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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·山东泰安·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为 ，所以 .
故选：A.
2．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知复数 （ 是虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，所以 .
故选：A.
3．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
对于全称量词的否定是特称量词，并对结果求反，
即 ；
故选：D.
4．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知 ， ，则集合M、N
之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由 ，
由 等价于 ，可得 ，所以 .
故选：C
5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））不等式 成立是不等式 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
又 ，
所以不等式 成立是不等式 成立的必要不充分条件.
故选：B.
6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知复数 （i为虚数单位），则z的虚
部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，所以z的虚部为 ，
故选：A
7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））设集合 ，
，若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
， ，
∵ ，即 ，
所以 ，解得 ．
故选：C．
8．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））命题“对 ， ”为真命题的一个充分不
必要条件可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
因为 ， 等价于 ， 恒成立，
设 ，
则 ．
所以命题为真命题的充要条件为 ，
所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以为 ．
故选C．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东佛山·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】AD
A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当 时， ，故错误；
C.当 时， 故错误；
D. ，因为 ， ， ，所以 ，故正确；
故选：AD
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 ､ 均为实数集 的子集，且 ，则下列结论中正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
∵
∴ ，
若 是 的真子集，则 ，故A错误；由 可得 ，故B正确；
由 可得 ，故C错误，D正确.
故选：BD.
11．（2022·福建省福州第一中学三模）设复数 ，当a变化时，下列结论正确的是（ ）
A． 恒成立 B．z可能是纯虚数
C． 可能是实数 D． 的最大值为
【答案】ABD
，
对选项A， ， ，
故A正确.
对选项B， ，
当 时， 为纯虚数，故B正确.
对选项C，
令 ，即 无解，故C错误.
对选项D， ，当且仅当 时取等号.
所以 的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD
12．（2022·河北·石家庄二中高二期中）下列说法正确的有（ ）
A．设 ， ，若 ，则实数a的取值范围是
B．“ ， ”是“ ”成立的充分条件
C．命题p： ， ，则 ： ，
D．“ ”是“函数 是R上的单调增函数”的必要不充分条件
【答案】BD
解：对于A：当 ，即 ，解得 时满足 ，当 ，因为 ，所以 ，解得 ，综上可得 ，故A错误；
对于B：由 ， 则 ，故“ ， ”是“ ”成立的充分条件，即B正确；
对于C：命题p： ， ，则 ： ， ，故C错误；
对于D：因为 ，所以 ，若 在 上单调递增，
则 恒成立，所以 ，解得 ，因为 ，
所以“ ”是“函数 是R上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·上海·模拟预测）集合 ，则 _________．
【答案】
由题意， .
故答案为： .
14．（2022·天津·耀华中学二模）已知i为虚数单位，则复数 ___________.
【答案】 .
，
故答案为： .
15．（2022·江苏常州·模拟预测）命题“ ， ”的否定是__________．
【答案】 ， ．
命题“ ， ”的否定是“ ， ”
故答案为： ，
16．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知正数x，y满足 ，则 的最小值是__________，
的最大值是__________.
【答案】正数x，y满足 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，由 且 解得： ，
所以当 时， 取得最小值 ；
依题意， ，令 ，则 ， ，
于是得： ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为： ；
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·四川·成都七中高二期中（理））已知复数 .
(1)若 对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；
(2)当 时，且 （ 表示 的共轭复数），若 ，求z.
【答案】(1) (2)
(1)若 对应复平面上的点在第四象限，则 ，解得 .
(2)当 时， ，则 .
∴ ，∴ .
18．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）已知集合 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1) (2)
(1)由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
由 ， ，所以 ．
(2)由 ，得 ，
，则 ，即
，所以 ，解得
所以 或
故实数a的取值范围是
19．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）（1）已知 ，求 的最小值．
（2）求关于x的不等式的解集： ．
【答案】（1）8 ；（2） 时，解集为 ； 时，解集为 ； 时，解集为
； 时，解集为 ； 时，解集为 ．
解：（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为8．
（2） ，
当 时，不等式为 ，解集为 ，
时，不等式分解因式可得 ，
当 时，故 ，此时解集为 ．
当 时， ，故此时解集为 ，
当 时， 可化为 ，又 ，
解集为 ．当 时， 可化为 ，
又 ，解集为 ，
综上所述： 时，解集为 ，
时，解集为 ，
时，解集为 ，
时，解集为 ，
时，解集为 ．
20．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知 ， ，
其中 .
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得 是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)不存在，理由见解析.
(1)命题 .
命题 .
若p是q的充分条件，则
即
(2) : 或 .
是q的必要条件,则
即 或 ；解得： 或 ；又
故不存在 使 是q的必要条件.
21．（2022·安徽·高一期中）集合 ，
(1)当 时，求(2)问题：已知 ，求 的取值范围
从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则
按第一个解答记分）
① ② ③
【答案】(1) (2)答案不唯一，具体见解析
(1)因为 ，所以
时 ，
所以
(2)选①：由题意 ，
时 ，解得 ；
时， ，解得 ，
综上
选②：由题意 ，
时 ，解得 ；
时， ，解得 ，
综上 ；
选③： 时 ，解得 ；
时， ，解得 ；
综上
22．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，
延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．
这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间 （单位：小时）变化的函数为
，已知当 时， 的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作
用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到 小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量 关于时间 的函数为
，记 为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出 的最大值．（结果精确到0.1）【答案】(1) 小时(2)6.5
(1)由于 ，则 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， ，
即产生有效作用的时间段为 ，
故产生有效作用的时间为 小时．
(2)当 时，令 ，则 ，
同时 ，
再令 ，则 ，
面积 ，
由基本不等式， ，
当且仅当 时等号成立，
则 在 上的最大值为 ，
当 时， ，
则此时 在 是单调递减的，
则最大值在 时取到， ，
综上所述， 在 上的最大值为6.5．
