第七章立体几何与空间向量综合测试卷（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》章节综合测试卷（1~8章）

第七章 立体几何与空间向量综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） (cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) 1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53) (cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35) 2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64) (cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35) 3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35) 4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35) (cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)m(cid:38)n(cid:102)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:107)(cid:108)(cid:38) (cid:102)(cid:33)(cid:109)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:115)(cid:116) (cid:46)(cid:102)(cid:93) (cid:94) 𝛼,𝛽 A(cid:95)(cid:117) // // // (cid:38)(cid:118) // B(cid:95)(cid:117)𝑚 𝛼,𝑛 𝛽,𝛼 /𝛽/ //𝑚(cid:38)𝑛(cid:118) // C(cid:95)(cid:117)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼,𝑚 𝛽(cid:38),𝑛(cid:118)𝛽 𝛼 𝛽 D(cid:95)(cid:117)𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛,𝛼⊥𝛽(cid:38)(cid:118)𝑛⊥𝛽 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝑚(cid:123)⊥(cid:124)𝛼,𝑛(cid:64)⊥(cid:125)𝛽(cid:126),𝑚(cid:108)⊥(cid:108)𝑛(cid:46)(cid:3)𝛼(cid:127)⊥(cid:49)𝛽(cid:111)(cid:111)(cid:110)(cid:128)(cid:49)(cid:111)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:46)(cid:130)(cid:131)(cid:131)(cid:15)(cid:31)(cid:132)(cid:133)(cid:134)(cid:90)(cid:130)(cid:131)(cid:135)(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:136)(cid:137)(cid:138)(cid:59)(cid:88) (cid:139). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:68)(cid:142)A(cid:38)(cid:117) // (cid:38) // (cid:38)(cid:118) // (cid:143) (cid:38)(cid:118)m(cid:38)n(cid:144)(cid:92)(cid:49)(cid:110)(cid:128)(cid:49)(cid:145)(cid:111)(cid:146)(cid:147)(cid:137)(cid:148)(cid:38)A(cid:149)(cid:150)(cid:151) (cid:68)(cid:142)B(cid:38)(cid:117) 𝑛// 𝛽 //𝛼 (cid:38)𝛽(cid:118) (cid:152)𝑛 (cid:144)𝛼(cid:92)(cid:143)𝑛⊂(cid:110)𝛼(cid:128)(cid:38)B(cid:149)(cid:150)(cid:151) (cid:68)(cid:142)C(cid:38)(cid:117)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼(cid:38),𝑚(cid:118)𝛽,𝑛 (cid:38)𝛽(cid:153) 𝛼 (cid:38)𝛽 (cid:118) // (cid:143) (cid:38)C(cid:149)(cid:150)(cid:151) (cid:68)(cid:142)D(cid:38)(cid:154)𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛(cid:38)(cid:138)𝑛/⊥/𝛼(cid:143) 𝛼⊥(cid:38)𝛽(cid:117) /𝑛/ (cid:38)𝛽(cid:118)𝑛(cid:155)⊂(cid:54)𝛽(cid:140) (cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:152) (cid:144)(cid:92)(cid:38) (cid:156)(cid:92)(cid:108)(cid:157) (cid:38)𝑚(cid:118)⊥/𝛼/,𝑚(cid:38)⊥(cid:158)𝑛 𝑛(cid:38)(cid:142)𝛼(cid:102)𝑛⊂𝑎(cid:38) 𝑛 (cid:151)𝛼(cid:117) (cid:38)(cid:158)𝑛 (cid:38)(cid:118)𝛼 (cid:38) (cid:159)(cid:160) 𝑙(cid:38)D(cid:115)𝑛 (cid:116)𝑙. 𝑛⊥𝛽 𝑙⊥𝛽 𝛼⊥𝛽 𝑛⊂𝑎 𝑛⊥𝛽 𝛼⊥𝛽 (cid:161)(cid:20)𝛼(cid:10)⊥D𝛽. 2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:162)(cid:163)(cid:164)(cid:165)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:169) (cid:38) =(1,1,1), =( ), =( )(cid:38)(cid:170) , (cid:38)(cid:118) 𝑥 𝑦∈𝑅,𝑎 𝑏 1,𝑦,𝑧 𝑐 𝑥,−4,2 𝑎⊥𝑐𝑏∥𝑐| 2 + |=(cid:93) (cid:94) 𝑎A(cid:95)𝑏2 2 B(cid:95)0 C(cid:95)3 D(cid:95)3 2 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:46)(cid:129)(cid:107)(cid:31)(cid:110)(cid:128)(cid:38)(cid:175)(cid:176)(cid:59) (cid:46)(cid:177)(cid:38)(cid:83)(cid:176)(cid:178)(cid:179)(cid:173)(cid:174)(cid:46)(cid:99). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:154) =0 +2𝑥=,𝑦0,𝑧 =2(cid:38) 1 𝑎⊥𝑐 ⇒ 𝑎⋅𝑐 ⇒ 𝑥−4 ⇒ 𝑥 (cid:154) = = = (cid:38) =1. 2 2 𝑦 𝑧 (cid:178) 𝑏 (cid:180) ∥| 2 𝑐 ⇒ + |= − 4 |2(1,1 ⇒ ,1) 𝑦 +( −2 𝑧 )|= |(3,0,3)|=3 2. (cid:161)(cid:20)(cid:10)𝑎D. 𝑏 1,−2,1 3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:181)(cid:182)(cid:183)(cid:184)(cid:185)(cid:186)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:189)(cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38) =60°(cid:38) =1(cid:38) =2(cid:38) =4(cid:38)(cid:118)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:46)(cid:193)(cid:111)𝐴(cid:194)−𝐵(cid:157)𝐶(cid:93)𝐷 (cid:94)𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐴𝐶A(cid:95)10𝐴𝐷 B(cid:95)2𝐴0−𝐵𝐶𝐷 C(cid:95)25 D(cid:95)30 π π π π 2 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:124)(cid:64)(cid:195)(cid:196)(cid:131)(cid:15)(cid:175)(cid:176)(cid:59)(cid:197)(cid:111)(cid:98)(cid:198)(cid:199) (cid:46)(cid:190)(cid:191)(cid:200)(cid:201)(cid:202) (cid:38)(cid:83)(cid:124)(cid:64) 2= 2+( ) (cid:157)(cid:98)(cid:187)(cid:188)(cid:46)(cid:203)(cid:38) 2 ℎ (cid:157)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:201)(cid:202)(cid:94)(cid:38)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120)(cid:95) 𝐴𝐵𝐶 𝑟 𝑅 𝑟 (ℎ (cid:119)𝑅 (cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:54) (cid:189)(cid:38) =60°(cid:38) =1(cid:38) =2(cid:38) (cid:154)(cid:195)(cid:196)(cid:131)(cid:15)(cid:137)(cid:138)△2𝐴𝐵=𝐶 2+∠𝐵𝐴2𝐶 𝐴𝐵cos 𝐴𝐶(cid:38) (cid:136) 2=1+ 𝐵𝐶×1×𝐴2𝐵×co𝐴s𝐶60−°2=𝐴3𝐵(cid:38)⋅𝐴(cid:178)𝐶(cid:180)⋅ ∠=𝐵𝐴3𝐶(cid:38) (cid:169)𝐵𝐶 (cid:46)(cid:190)4(cid:191)−2(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:157) (cid:38) 𝐵𝐶 (cid:118) △ = 𝐴𝐵𝐶 = 3 =2(cid:38) 𝑟 (cid:178)(cid:180) =1(cid:38) sin sin60° 𝐵𝐶 2𝑟 (cid:110)(cid:111)∠𝐵𝐴𝐶(cid:38)(cid:170) =4(cid:38) 𝑟 𝐴(cid:169)𝐷(cid:98)⊥(cid:187)(cid:188) 𝐴𝐵𝐶 (cid:190)𝐴(cid:191)𝐷(cid:192)(cid:201)(cid:202)(cid:157) (cid:38) (cid:118) 2= 2 𝐴 + − ( 𝐵1𝐶𝐷 2 (cid:38)(cid:136) 2=1 𝑅 +4=5(cid:38) 2 (cid:178)𝑅(cid:180)(cid:98)(cid:187)𝑟(cid:188) 𝐴𝐷)(cid:190)(cid:191)(cid:192)𝑅(cid:46)(cid:193)(cid:111)(cid:194)(cid:157)4 2=20 (cid:95) (cid:161)(cid:20)(cid:10)B(cid:95) 𝐴−𝐵𝐶𝐷 π𝑅 π4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:204)(cid:205)(cid:206)(cid:207)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:107)(cid:98)(cid:187)(cid:208) (cid:189)(cid:38) =120°(cid:38) = =2(cid:38) 1 1 1 1 =1(cid:38)(cid:118)(cid:145)(cid:111)(cid:107)(cid:108) (cid:152) (cid:178)(cid:209)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157)(cid:93) (cid:94)𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐶 1 1 𝐵𝐶 A(cid:95) 3 𝐴𝐵 B(cid:95) 𝐵1𝐶5 C(cid:95) 10 D(cid:95) 3 2 5 4 3 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:171)(cid:172)(cid:125)(cid:126)(cid:173)(cid:174)(cid:210)(cid:176)(cid:108)(cid:108)(cid:198)(cid:136)(cid:137). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:180) (cid:157)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:54)(cid:110)(cid:111) (cid:213)(cid:140) (cid:214) (cid:46)(cid:129)(cid:108)(cid:92) (cid:142) (cid:38) (cid:180) (cid:157) (cid:215)(cid:38)(cid:180)𝐵 (cid:157) (cid:215)(cid:38)(cid:180) (cid:157)𝐴𝐵(cid:215)𝐶 (cid:38)(cid:216)𝐵(cid:217)(cid:125)𝐵𝐶(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)𝐴(cid:127)𝐶(cid:38)𝐷 1 𝐵𝐷 𝑥 𝐵𝐶 𝑦 𝐵𝐵 𝑧 (cid:159)(cid:157)(cid:107)(cid:98)(cid:187)(cid:208) (cid:189)(cid:38) =120°(cid:38) = =2(cid:38) =1(cid:38) 1 1 1 1 (cid:178)(cid:180) 3 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶(0,1,2)(cid:38) 𝐴𝐵 𝐶𝐶 𝐵𝐶 1 1 𝐴( ,−1,0),𝐵 (0,0,2),𝐵(0,0,0),𝐶 (cid:178)(cid:180) = 3,1,2), =(0,1,2)(cid:38) 1 1 (cid:169)(cid:145)𝐴(cid:111)𝐵(cid:107)(cid:108)(− (cid:152) 𝐵(cid:178)𝐶(cid:209)(cid:198)(cid:157) (cid:38) 1 1 (cid:178)(cid:180)cos = 𝐴|𝐵 1 𝐵|𝐶 = 5 = 𝜃10. | || | 8 5 4 𝐴𝐵1 ⋅𝐵𝐶1 (cid:161)(cid:20)(cid:10)C 𝜃 . 𝐴𝐵 ⋅𝐵𝐶 ⋅ 5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:219)(cid:220)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:157)(cid:221)(cid:222)(cid:16)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:226)(cid:38)(cid:227)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:131)(cid:232)(cid:90)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:95)(cid:100)(cid:101)(cid:236)(cid:233)(cid:234)(cid:235)(cid:137)(cid:180)(cid:237)(cid:214) (cid:102)(cid:90)(cid:109)(cid:200)(cid:238)(cid:31)(cid:90)(cid:109)(cid:200)(cid:208)(cid:239)(cid:191)(cid:158)(cid:209)(cid:38)(cid:84)(cid:215)(cid:240)(cid:111)(cid:74)(cid:112)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:38)(cid:84)(cid:189) = = =40cm(cid:38) =10 2cm(cid:38)(cid:118) (cid:243)(cid:234)(cid:235)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:157)(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵 2𝐶𝐸 2𝐸𝐹 𝐴𝐶 A(cid:95) 10000 cm3 B(cid:95) 11000 cm3 C(cid:95)4000 3 D(cid:95) 13000 cm3 3 3 3 π π π πcm (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:140)(cid:212) (cid:214) (cid:142) (cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:103)(cid:245)(cid:38)(cid:176)(cid:59)(cid:200)(cid:238)(cid:46)(cid:203)(cid:38)(cid:83)(cid:124)(cid:64)(cid:200)(cid:238)(cid:152)(cid:200)(cid:208)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:7)(cid:246)(cid:38)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:59) (cid:88)(cid:247). 𝐶 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀(cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:140)(cid:212) (cid:214) (cid:142) (cid:38) 𝐶 𝐶𝑀⊥𝐴𝐵 𝑀 (cid:159)(cid:157)| |=2| |=2| |=40cm(cid:38)| |=10 2cm(cid:38)(cid:178)(cid:180)| |=10(cid:38)| |= | |2 | |2= 𝐴𝐵 𝐶𝐸 𝐸𝐹 𝐴𝐶 𝐴𝑀 𝐶𝑀 𝐶𝐴 − 𝐴𝑀 200−100 =10(cid:38) (cid:178)(cid:180)(cid:200)(cid:238)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:157) = 1 ( + + = 1 ( ×102+ ×202+ ×102× ×202)×10= 7000 3 上 下 上 下 3 3 π 𝑉 𝑆 𝑆 𝑆 ⋅𝑆 )ℎ π π π π (cm3)(cid:38) (cid:153)(cid:200)(cid:208)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:157) = = ×102×20=2000 (cm3)(cid:38) 1 𝑉 𝑆ℎ π π (cid:178)(cid:180)(cid:243)(cid:234)(cid:235)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:157) +2000 = (cm3)(cid:38) 3 3 7000π 13000π π (cid:161)(cid:20)(cid:10)D. 6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:163)(cid:248)(cid:249)(cid:220)·(cid:250)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:192)O(cid:213)(cid:251)(cid:142)(cid:115)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:38) = =2(cid:38)EF(cid:102)(cid:192)O(cid:46)(cid:90)(cid:103) (cid:107)(cid:202)(cid:38)(cid:212)Q(cid:157)(cid:115)(cid:252)(cid:187)(cid:188)(cid:193)(cid:111)(cid:56)(cid:46)(cid:212)(cid:38)(cid:118) (cid:46)(cid:253)(cid:177)(cid:254)(cid:255)(cid:157)(cid:93)𝑃 − 𝐴(cid:94)𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝐴𝐵 A(cid:95)[0,2] B(cid:95) 3,2] 𝑄𝐸⋅𝑄C𝐹(cid:95) 3] D(cid:95) 3] (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:171)(cid:172)(cid:179)(cid:131)(cid:103)(cid:245)[4(cid:38)−(cid:124)2(cid:64)(cid:244)(cid:194)(cid:210)(cid:176)(cid:59)(cid:192) [(cid:201)0,4(cid:202)−(cid:38)(cid:83)(cid:124)(cid:64)(cid:173)(cid:174)(cid:13)(cid:174)[(cid:194)0,4(cid:46)−(cid:256)2 (cid:257)(cid:258)(cid:230)(cid:257)(cid:136)(cid:138). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:156) (cid:102)(cid:115)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:197)(cid:111)(cid:115)(cid:259)(cid:199)𝑂(cid:189)(cid:260)(cid:38)(cid:118) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:158) = 2(cid:38) (cid:118) = 2 𝐻 2= 2(cid:38)(cid:115) 𝑃 (cid:252) − (cid:187) 𝐴𝐵 (cid:188) 𝐶𝐷 (cid:46)(cid:244)(cid:194) = 1 × 𝑃 2 𝐻 2 ⊥ × 2= 𝐴4𝐵𝐶2𝐷 (cid:38) 𝐴𝐻 3 3 𝑃𝐻 𝑃𝐴 −𝐴𝐻 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑉 (cid:115)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:193)(cid:111)(cid:194) =4× 3×22+22=4( 3+1)(cid:38) 4 𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑆 (cid:261)(cid:262)(cid:192) (cid:46)(cid:192)(cid:260) (cid:54)(cid:108)(cid:263) (cid:56)(cid:38)(cid:169)(cid:192)(cid:201)(cid:202)(cid:157) (cid:38)(cid:118) = 1 (cid:38)(cid:136) = = 6 2(cid:38) 3 2 3𝑉 − (cid:54) 𝑂 (cid:189)(cid:38) 𝑂 <4 𝑃 5 𝐻 = (cid:38)(cid:142)(cid:102) 𝑟 > 𝑉 (cid:38)(cid:153) 𝑆𝑟 EF(cid:102) 𝑟 (cid:192)O 𝑆(cid:46)(cid:90)(cid:103)(cid:107)(cid:202)(cid:38) ∘ △𝑃𝑂𝐴 ∠𝑃𝐴𝑂 ∠𝐴𝑃𝑂 𝑂2𝐴 𝑂2𝑃 2 2 (cid:159)(cid:160) =( + ) ( )= = (cid:38) 𝑄𝐸⋅𝑄𝐹 𝑄𝑂 𝑂𝐸 ⋅ 𝑄𝑂−𝑂𝐸 𝑄𝑂 −𝑂𝐸 𝑄𝑂 −𝑂𝐻 (cid:261)(cid:262) (cid:38)(cid:118)( ) =0(cid:38)( ) = 2 2= 2=2(cid:38) min max 𝑂𝐻≤𝑄𝑂≤𝐴𝑂 𝑄𝐸⋅𝑄𝐹 𝑄𝐸⋅𝑄𝐹 𝐴𝑂 −𝑂𝐻 𝐴𝐻 (cid:178)(cid:180) (cid:46)(cid:253)(cid:177)(cid:254)(cid:255)(cid:157)[0,2]. (cid:161)(cid:20)𝑄(cid:10)𝐸A⋅.𝑄𝐹7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:264)(cid:248)(cid:265)(cid:266)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:54)(cid:115)(cid:259)(cid:244) (cid:189)(cid:38)E(cid:38)F(cid:28)(cid:267)(cid:102) (cid:38) (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:38)(cid:118) 1 1 1 1 1 1 (cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷𝐷 𝐵𝐶 A(cid:95) // B(cid:95) //(cid:110)(cid:111)BCE 1 C(cid:95)𝐸𝐹 𝐵𝐷 D(cid:95)𝐹𝐷 (cid:110)(cid:111) 1 1 1 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)𝐸𝐹(cid:122)⊥(cid:123)𝐵(cid:68)𝐶 (cid:142)A(cid:38)(cid:268)(cid:269) (cid:145)(cid:111)(cid:136)(cid:137)(cid:130)(cid:270)(cid:151)𝐴(cid:68)𝐹(cid:142)⊥ B(cid:38)(cid:268)𝐵𝐶(cid:269)𝐶(cid:110)𝐵(cid:111) //(cid:110)(cid:111) (cid:136)(cid:137)(cid:130)(cid:270)(cid:151)(cid:68)(cid:142)C(cid:38) 1 (cid:137)(cid:180)(cid:64)(cid:271)(cid:51)(cid:210)(cid:272)(cid:59)(cid:273)(cid:274)(cid:38)(cid:275)𝐸(cid:158)𝐹(cid:130),𝐵(cid:270)𝐷(cid:151)(cid:68)(cid:142)D(cid:38)(cid:261)(cid:262)(cid:104)(cid:129)(cid:107). 𝐵𝐶𝐸 𝐺𝐻𝐷 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:68)(cid:142)A(cid:38) (cid:169) (cid:157) (cid:189)(cid:212)(cid:38)(cid:118) // (cid:38)(cid:276) (cid:144)(cid:92)(cid:38)(cid:178)(cid:180) (cid:145)(cid:111)(cid:38)(cid:161)A(cid:149)(cid:150)(cid:151) 1 (cid:68)(cid:142)𝐺 B𝐵(cid:38)𝐵(cid:169) (cid:46)(cid:189)𝐸(cid:212)𝐺(cid:157)𝐵H𝐷(cid:38)(cid:118) 𝐸𝐺/,/𝐸𝐹 (cid:38) // 𝐸(cid:38)𝐹,𝐵𝐷 1 1 (cid:159)(cid:157) (cid:110)𝐶(cid:111)𝐶 (cid:38) (cid:110)(cid:111)𝐵𝐶 (cid:38)𝐺𝐻 𝐵𝐸(cid:110)(cid:111)𝐺𝐷 (cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38) 1 𝐺𝐻⊄ 𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐶⊂ 𝐵𝐸𝐶 𝐺𝐷 ⊄ 𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐸⊂ 𝐵𝐸𝐶 (cid:178)(cid:180) //(cid:110)(cid:111) (cid:38) //(cid:110)(cid:111) (cid:38) 1 (cid:153)(cid:159)𝐺(cid:157)𝐻 𝐵𝐸=𝐶 𝐺𝐷 (cid:110)𝐵𝐸(cid:111)𝐶 (cid:38) 1 1 1 (cid:161)(cid:110)(cid:111)𝐺𝐻∩//𝐺(cid:110)𝐷(cid:111) 𝐺,𝐺𝐻(cid:38),𝐺𝐷 ⊂ 𝐺𝐻𝐷 1 (cid:153) 𝐵𝐶(cid:110)𝐸(cid:111) 𝐺(cid:38)𝐻𝐷(cid:161) //(cid:110)(cid:111)BCE(cid:38)(cid:20)(cid:24)B(cid:115)(cid:116)(cid:95) 1 1 1 (cid:68)(cid:142)𝐹𝐷C(cid:38)⊂(cid:54) 𝐺𝐻𝐷 (cid:189)(cid:38)𝐹𝐷 (cid:38) = (cid:38)(cid:161)EF(cid:152) (cid:104)(cid:137)(cid:148)(cid:129)(cid:107)(cid:93)(cid:277)(cid:118) (cid:129)(cid:107)(cid:110)(cid:28) (cid:38)(cid:278)(cid:138)(cid:279) 1 1 1 1 1 = (cid:38)(cid:236)△(cid:152)𝐸𝐵𝐶 𝐵𝐸(cid:273)≠(cid:274)𝐸(cid:94)𝐶(cid:38)C𝐵(cid:20)𝐹(cid:24)𝐹(cid:149)𝐶(cid:150)(cid:95) 𝐵𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐶 1 1 𝐸𝐵 𝐸𝐶 𝐵𝐸≠𝐸𝐶(cid:68)(cid:142)D(cid:38) (cid:280)(cid:101) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:153) = (cid:38)(cid:161)D(cid:20)(cid:24)(cid:149)(cid:150)(cid:95) 1 1 (cid:161)(cid:20)(cid:10)𝐴𝐵B⊥. 𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐴𝐵∩𝐴𝐹 𝐴 8(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:283)(cid:284)·(cid:250)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:115)(cid:259)(cid:244) (cid:189)(cid:38)M(cid:38)N(cid:28)(cid:267)(cid:157) (cid:38) (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:38)(cid:118) 1 1 1 1 1 1 (cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐶 𝐷 A(cid:95)(cid:107)(cid:108)MN(cid:152) (cid:178)(cid:209)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 6 B(cid:95)(cid:110)(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111) (cid:285)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 10 1 1 1 3 10 𝐴 𝐶 𝐵𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐷 C(cid:95)(cid:54) (cid:56)(cid:155)(cid:54)(cid:212)Q(cid:38)(cid:286)(cid:138) D(cid:95)(cid:54) (cid:56)(cid:155)(cid:54)(cid:212)P(cid:38)(cid:286)(cid:138) //(cid:110)(cid:111) 1 1 1 1 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝐵𝐶(cid:123)(cid:180) (cid:157)(cid:218)(cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:216)𝐵(cid:217)𝑄(cid:74)⊥𝐵(cid:241)𝐷(cid:178)(cid:242)(cid:46)(cid:125)(cid:126)𝐵(cid:107)𝐷(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:169)(cid:115)(cid:259)(cid:244)𝑃(cid:46)𝐴(cid:287)(cid:288)(cid:157)𝐵1𝑀(cid:38)𝑁(cid:154)(cid:125)(cid:126)(cid:173)(cid:174)(cid:230)(cid:257)(cid:145) (cid:111)(cid:107)(cid:108)(cid:178)(cid:209)(cid:198)(cid:38)𝐷(cid:250)(cid:111)(cid:198)(cid:31)(cid:108)(cid:108)(cid:129)(cid:107)(cid:137)(cid:130)(cid:270)ABC(cid:151)(cid:154) (cid:252)(cid:212)(cid:289)(cid:111)(cid:38)(cid:158) (cid:110)(cid:111) (cid:137)(cid:130)(cid:270)D. (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:180) (cid:157)(cid:218)(cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38)(cid:216)(cid:217)(cid:74)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:46)(cid:125)(cid:126)𝑁(cid:107),𝑀(cid:198),𝐵(cid:218),𝐴(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:169)(cid:115)(cid:259)(cid:244)𝐴∈(cid:46)(cid:287)(cid:288)𝐵(cid:157)𝑀1𝑁(cid:38) (cid:178)(cid:180) (1,0,0) (0𝐷,0,0) (1,1,0) (0,1,0)(cid:38) (1,0,1), (0,0,1), (1,1,1), (0,1,1)(cid:38) 1 1 1 1 0, 𝐴 1, 1 0 ,𝐷 , 1 , 1 (cid:38) ,𝐵 ,𝐶 𝐴 𝐷 𝐵 𝐶 2 2 2 𝑀 ,𝑁 (cid:68)(cid:142)A(cid:38) = 1 ,0 (cid:38) =( )(cid:38) 1 2 (cid:107)(cid:108)MN 𝑀 (cid:152) 𝑁 (cid:178) 0 (cid:209) ,− (cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196) 𝐴 (cid:177) 𝐶 (cid:157) | c − o 1 s ,1,−1 , | = | 1 | = 1 2 = 3(cid:38)(cid:161)A(cid:149)(cid:150)(cid:151) 1 1 | || | 1× 3 3 𝑀𝑁⋅𝐴1𝐶 2 𝐴 𝐶 𝑀𝑁𝐴 𝐶 𝑀𝑁 𝐴 𝐶 (cid:68)(cid:142)B(cid:38) = 1 ,0 (cid:38) = 1 (cid:38) 2 ⟨ 2 ⟩ 𝑀𝑁 0,− 𝐵𝑀 −1,0, 1 = =0 (cid:169)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) =( )(cid:38)(cid:118) 2 (cid:38) 1 = + =0 𝑛⋅𝑀𝑁 − 𝑦2 𝐵𝑀𝑁 𝑛 𝑥,𝑦,𝑧 𝑛⋅𝐵𝑀 −𝑥 𝑧 (cid:253) =1(cid:38)(cid:137)(cid:138) = =2(cid:38)(cid:178)(cid:180) =(1,0,2)(cid:38) 𝑥 𝑦 0,𝑧 𝑛 =( )(cid:38) =( )(cid:38) 1 1 1 𝐶 𝐷 0,−1,0 𝐵𝐶 −1,0,1 = =0 (cid:169)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) =( , , )(cid:38)(cid:118) 1 1 1 (cid:38) 1 1 1 1 1 = + =0 1 1 1 𝑛⋅𝐶 𝐷 −𝑦 (cid:253) = 𝐵 1 𝐶 (cid:38) 𝐷 (cid:137)(cid:138) =0, = 𝑚 1(cid:38)𝑥(cid:178)(cid:180)𝑦 𝑧=(1,0,1)(cid:38) 1 1 1 𝑛⋅𝐵𝐶 −𝑥 𝑧 (cid:110)𝑥(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111)𝑦 𝑧(cid:285)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)𝑚(cid:157)(cid:10) 1 1 𝐵𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐷cos , = = 1 2 =3 10(cid:38)(cid:161)B(cid:149)(cid:150)(cid:151) | || | 5× 2 10 𝑚⋅𝑛 + ⟨𝑚𝑛⟩ 𝑚⋅𝑛 (cid:68)(cid:142)C(cid:38)(cid:159)(cid:157)Q(cid:54) (cid:56)(cid:38)(cid:169) ( ,1, )(cid:38)(cid:178)(cid:180) = (cid:38)0 1(cid:38) 1 0 0 1 1 𝐵𝐶 𝑄 𝑥 𝑧 𝐶 𝑄 𝜆𝐶 𝐵 ≤𝜆≤ (cid:118) =( ,0, ), =( )(cid:38)(cid:178)(cid:180) = = +1(cid:38) 1 0 0 1 0 0 𝐶 𝑄 𝑥 𝑧 −1 𝐶 𝐵 1,0,−1 𝑥 𝜆,𝑧 −𝜆 (cid:178)(cid:180) ( +1)(cid:38) =( ), =( )(cid:38) 1 1 𝑄 𝜆,1,−𝜆 𝐵 𝑄 𝜆−1,0,−𝜆 𝐵𝐷 1 −1,−1,1 (cid:178)(cid:180) = =0(cid:38)(cid:120)(cid:138)(cid:10) = . 1 1 2 𝐵 𝑄⋅𝐵𝐷 1−𝜆−𝜆 𝜆 (cid:161) (cid:56)(cid:155)(cid:54)(cid:212) 1 ,1, 1 (cid:38)(cid:286)(cid:138) (cid:38)(cid:161)C(cid:115)(cid:116)(cid:151) 1 1 1 2 2 𝐵𝐶 𝑄 𝐵 𝑄⊥𝐵𝐷 (cid:68)(cid:142)D(cid:38)(cid:159)(cid:157) // // (cid:38)(cid:178)(cid:180) (cid:252)(cid:212)(cid:289)(cid:111)(cid:38) (cid:158) (cid:110)(cid:111) 𝑀𝑁(cid:38)(cid:178)𝐷(cid:180)𝐶 𝐴𝐵(cid:56)(cid:104)(cid:155)(cid:54)𝑁(cid:212),𝑀,P𝐵(cid:38),𝐴(cid:286)(cid:138) //(cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:161)D(cid:149)(cid:150). 1 (cid:161)(cid:20)𝐴∈(cid:10)C. 𝐵𝑀𝑁 𝐵 𝐷 𝑃𝐴 𝐵𝑀𝑁 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:281)(cid:282)(cid:290)(cid:291)·(cid:250)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:54)(cid:110)(cid:128)(cid:292)(cid:111)(cid:244)ABCD﹣A B C D (cid:189)(cid:38)(cid:180)(cid:293)(cid:212)A(cid:157)(cid:294)(cid:212)(cid:46)(cid:98)(cid:103)(cid:187) 1 1 1 1 (cid:288)(cid:146)(cid:102)1(cid:38)(cid:170)(cid:295)(cid:296)(cid:297)(cid:160)(cid:46)(cid:285)(cid:198)(cid:146)(cid:102) (cid:38)M(cid:157)A C (cid:152)B D (cid:46)(cid:92)(cid:212)(cid:95)(cid:117) = (cid:38) = (cid:38) = (cid:38)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:268)(cid:210) 3 1 1 1 1 1 π (cid:115)(cid:116)(cid:46)(cid:102)(cid:93)(cid:298)(cid:298)(cid:94) 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐴𝐴 𝑐 1 1 A(cid:95) = + B(cid:95) ， = 2 2 1 3 π 𝐶𝑀 − 𝑎− 𝑏 𝑐 𝐶𝑀 𝐴𝐶 C(cid:95) = + + D(cid:95) =1 1 ⟨ 1 ⟩ 𝐵𝐷 𝑎 𝑏 𝑐 𝐴𝐷⋅𝐵𝐷1 【解题思路】由题意可知， = = =1×1×cos = ，再利用空间向量的线性运算和数量积运算 3 2 π 𝑎⋅𝑏 𝑎⋅𝑐 𝑏⋅𝑐 逐个判断各个选项即可． 1 【解答过程】由题意可知， = = =1×1×cos = ， 3 2 π 𝑎⋅𝑏 𝑎⋅𝑐 𝑏⋅𝑐 1 1 1 1 对于A， = + = + = ( + )= + ，故A正确； 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 𝐶𝑀 𝐶𝐶 𝐶 𝑀 𝐴𝐴 𝐶 𝐴 𝐴𝐴 − 𝐴𝐵 𝐴𝐷 − 𝑎− 𝑏 𝑐 对于B，又因为 = + + = + + ， 1 1 所以 = 𝐴𝐶 1 𝐴 1 𝐵 + 𝐴 ) 𝐷 ( 𝐴 + 𝐴 + 𝑎 )= 𝑏 1 𝑐 2 1 1 1 1 2 1 + + + 2=0， 1 2 2 2 2 2 2 2 2 𝐶𝑀⋅𝐴𝐶 (− 𝑎− 𝑏 𝑐 ⋅ 𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎 − 𝑎⋅𝑏− 𝑎⋅𝑐− 𝑏⋅𝑎− 𝑏 − 𝑏⋅𝑐 𝑐⋅𝑎 𝑐⋅𝑏 𝑐 所以 ， = ，故B错误； 1 2 π 𝐶𝑀 𝐴𝐶 对于C， = + + = + + = + + ，故C错误； ⟨ 1 ⟩ 1 1 𝐵𝐷 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐵 −𝐴𝐵 𝐴𝐷 𝐴𝐴 −𝑎 𝑏 𝑐 2 对于D， = + + )= + + =1，故D正确． 1 故选：AD𝐴．𝐷⋅𝐵𝐷 𝑏⋅(−𝑎 𝑏 𝑐 −𝑎⋅𝑏 𝑏 𝑏⋅𝑐 10(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:162)(cid:163)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:54)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:299)(cid:300)(cid:241)(cid:189)(cid:38) (cid:38) (cid:28)(cid:267)(cid:102) (cid:38) (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:38) (cid:115)(cid:259)(cid:199) (cid:46)(cid:287)(cid:288)(cid:157)2(cid:38)(cid:118)(cid:54)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:189)(cid:93) (cid:94)𝑃−𝐸𝐷𝐹 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃−𝐸𝐷𝐹 1 A(cid:95) (cid:46)(cid:111)(cid:194)(cid:157) B(cid:95) 2 △𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐷⊥𝐸𝐹 1 C(cid:95)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111) D(cid:95)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:157) 3 𝑃𝐸𝐹⊥ 𝐷𝐸𝐹 𝑃−𝐸𝐷𝐹 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:107)(cid:191)(cid:176) (cid:46)(cid:111)(cid:194)(cid:137)(cid:130)(cid:131)A(cid:38)(cid:301)(cid:191) (cid:92) (cid:142)G(cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:103)(cid:245)(cid:51) (cid:110)(cid:111) (cid:136)(cid:137)(cid:130)(cid:131)B(cid:38)(cid:130) (cid:131) 、 (cid:46)(cid:285)(cid:198)(cid:102)(cid:277)△(cid:157)𝐵(cid:107)𝐸𝐹(cid:198)(cid:137)(cid:130)(cid:131)C(cid:38)(cid:124)(cid:64)(cid:187)(cid:188)(cid:46)𝐵(cid:244)𝐷(cid:194)𝐸(cid:7)𝐹(cid:246)(cid:137)(cid:130)(cid:131)D. 𝐸𝐹⊥ 𝐺𝑃𝐷 (cid:119)𝑃(cid:120)𝐺(cid:36)(cid:140)𝐷𝐺(cid:141)(cid:123)1 1 (cid:68)(cid:142)A(cid:38)(cid:280)(cid:101) = = × × = (cid:38)(cid:161)A(cid:115)(cid:116)(cid:151) 2 2 𝑆△𝐵𝐸𝐹 𝑆△𝑃𝐸𝐹 𝐵𝐸 𝐵𝐹 (cid:68)(cid:142)B(cid:38)(cid:301)(cid:191) (cid:92) (cid:142)G(cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:115)(cid:259)(cid:199)(cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:280)(cid:101) (cid:38) (cid:178)(cid:180)(cid:147) 𝐵𝐷 𝐸𝐹 (cid:38) 𝐸𝐹⊥𝐵𝐷 (cid:153) 𝐸𝐹⊥(cid:110)𝐺(cid:111)𝐷,𝐸𝐹⊥(cid:38)𝐺𝑃(cid:178)(cid:180) (cid:110)(cid:111) (cid:38) 𝑃𝐺,𝐺(cid:110)𝐷(cid:111)⊂ (cid:38)𝑃(cid:178)𝐺𝐷(cid:180) 𝐸𝐹(cid:38)⊥(cid:161)B𝐺(cid:115)𝑃(cid:116)𝐷(cid:151) (cid:68)𝑃𝐷(cid:142)⊂C(cid:38)(cid:154)𝐺(cid:56)𝑃𝐷(cid:137)(cid:101) 𝐸𝐹(cid:157)⊥(cid:110)𝑃𝐷(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:285)(cid:198)(cid:38) (cid:280)(cid:101) = 2 = ∠3𝑃2𝐺𝐷 =2 𝑃𝐸𝐹 2+ 𝐷 2 𝐸 (cid:38) 𝐹 (cid:118) (cid:104)(cid:129)(cid:107)(cid:38)(cid:161)C(cid:149)(cid:150)(cid:151) 2 2 (cid:68)(cid:142) 𝑃 D 𝐺 (cid:38)(cid:154)(cid:21) ,𝐷 (cid:22) 𝐺 (cid:137)(cid:101) ,𝑃𝐷 ≠ (cid:33)(cid:33)𝑃𝐺(cid:129)(cid:107)(cid:38)𝐷𝐺 𝑃𝐺,𝐷𝐺 1 𝑃1𝐷,𝑃𝐸,𝑃𝐹 1 (cid:118) = × × × × = (cid:38)(cid:161)D(cid:115)(cid:116). 3 2 3 𝑉𝑃−𝐸𝐷𝐹 𝑃𝐷 𝑃𝐸 𝑃𝐹 (cid:161)(cid:20)(cid:10)ABD. 11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:163)(cid:302)(cid:97)(cid:303)·(cid:250)(cid:99)(cid:94)(cid:54)(cid:187)(cid:288)(cid:157)1(cid:46)(cid:115)(cid:259)(cid:244) (cid:189)(cid:38) (cid:49) (cid:28)(cid:267)(cid:157) (cid:49) (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:38) 1 1 1 1 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶 (cid:212) (cid:304)(cid:305) = + (0 1,0 1)(cid:38)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:268)(cid:210)(cid:115)(cid:116)(cid:46)(cid:102)(cid:93) (cid:94) 1 1 1 1 1 𝑃 𝐴 𝑃 𝜆𝐴 𝐵 𝜇𝐴 𝐷 ≤𝜆≤ ≤𝜇≤ A(cid:95)(cid:117) = =0(cid:38)(cid:118)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:46)(cid:193)(cid:111)(cid:194)(cid:157) 4 9𝜋 𝜆 1,𝜇 𝑃−𝐵𝐸𝐶 B(cid:95)(cid:117) = = 1 (cid:38)(cid:118)(cid:145)(cid:111)(cid:107)(cid:108) (cid:152) (cid:178)(cid:209)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157)3 10 2 1 10 𝜆 𝜇 𝐶𝑃 𝐵 𝐹 3 C(cid:95)(cid:117) + =1(cid:38)(cid:118) (cid:111)(cid:194)(cid:46)(cid:306)(cid:61)(cid:177)(cid:157) 8 𝜆 𝜇 △𝑃𝐸𝐹 D(cid:95)(cid:117)(cid:155)(cid:54)(cid:307)(cid:13) (cid:286)(cid:138) = + (cid:38)(cid:118) (cid:46)(cid:306)(cid:61)(cid:177)(cid:157)3 2 1 1 1 4 𝑥,𝑦 𝐴𝑃 𝑥𝐵 𝐸 𝑦𝐵 𝐹 𝐷 𝑃 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:171)(cid:172)(cid:288)(cid:259)(cid:244)(cid:46)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120)A(cid:38)(cid:216)(cid:217)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:136)(cid:137)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:174)(cid:46)(cid:218)(cid:71)(cid:256)(cid:257)(cid:38)(cid:88)(cid:106)(cid:99) (cid:288)(cid:7)(cid:246)(cid:180)(cid:308)(cid:285)(cid:198)(cid:7)(cid:246)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120)BD(cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:108)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:137)(cid:138) (cid:54)(cid:108)(cid:263) (cid:56)(cid:256)(cid:77)(cid:38) = (cid:38)(cid:136)(cid:137)(cid:171)(cid:172)(cid:111) 1 1 (cid:194)(cid:7)(cid:246)(cid:176)(cid:120). 𝑃 𝐵 𝐷 𝑃𝐸 𝑃𝐹 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)A(cid:10)(cid:154)(cid:21)(cid:22)(cid:38) (cid:152) (cid:105)(cid:106)(cid:38) 1 (cid:161)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:152)𝑃(cid:180)𝐵 (cid:157)(cid:288)(cid:309)(cid:203)(cid:46)(cid:288)(cid:259)(cid:244)(cid:46)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:144)(cid:310)(cid:38) 1 𝑃−𝐵𝐸𝐶 𝐵𝐵 ,𝐵𝐸,𝐵𝐶(cid:161)(cid:201)(cid:202) = 12+12+ 1 2 = 3 (cid:38)(cid:193)(cid:111)(cid:194)(cid:157)4 2= 9 (cid:38)(cid:161) (cid:68)(cid:151) 2 2 4 2𝑅 π𝑅 π 𝐴 B(cid:10)(cid:180) (cid:157)(cid:211)(cid:212)(cid:216)(cid:127)(cid:38) (0,1,0)(cid:38) (0,0,1)(cid:38) (1,0,1)(cid:38) (1,1,1)(cid:38) 1 ,1,0 (cid:38) 1, 1 ,0 (1,0,0), 1 1 1 2 2 𝐷 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐹 𝐸 ,𝐴 (cid:154) = 1 + 1 = 1 , 1 ,0 (cid:38)(cid:178)(cid:180) 1 , 1 ,1 (cid:38) 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 𝐴 = 𝑃 1 𝐴 1 , 𝐵 1 (cid:38) 𝐴 𝐷 = 1 − (cid:38) | cos 𝑃 , | = | 1 | = 5 4 =5 6(cid:38)(cid:161)B(cid:149)(cid:151) 2 2 1 2 1 | || | 3 5 6 𝐶𝑃⋅𝐵1𝐹 2 4 C 𝐶𝑃 (cid:10)(cid:154) +,− =1(cid:138) 𝐵 (cid:38) 𝐹 (cid:54)(cid:108)−(cid:263),0,−1(cid:56)(cid:256)(cid:77)(cid:38)𝐶(cid:169)𝑃𝐵(cid:54)𝐹(cid:197)(cid:111) 𝐶𝑃⋅𝐵(cid:46)𝐹(cid:311)(cid:312)(cid:157)⋅ (cid:38)(cid:301)(cid:191) (cid:38) 1 1 ⟨ ⟩ 𝜆 𝜇 𝑃 𝐵 𝐷 𝑃 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑄 𝑄𝐸,𝑄𝐹 (cid:154)(cid:142) = (cid:38)(cid:178)(cid:180) = 2+ 2 = 2+ 2(cid:38)(cid:161) = (cid:38) (cid:301)(cid:191) 𝑄𝐸 𝑄 (cid:144) 𝐹 (cid:92)(cid:142) (cid:38) 𝑃𝐸 (cid:301)(cid:191) 𝑃𝑄(cid:38) 𝑄𝐸 ,𝑃𝐹 𝑃𝑄 𝑄𝐹 𝑃𝐸 𝑃𝐹 𝐸𝐹 = ,𝐵1𝐷 𝑀 = 1 × 2 𝑀𝑃 2+ 2 1 × 2 2= 1 × 2×1= 2(cid:38)(cid:313) (cid:105)(cid:106)(cid:58)(cid:253)(cid:314)(cid:9)(cid:38)(cid:161)C(cid:149)(cid:151) 2 2 2 2 2 2 2 4 𝑆△𝑃𝐸𝐹 𝐸𝐹⋅𝑃𝑀 𝑃𝑄 𝑄𝑀 ≥ 𝑃𝑄 𝑄,𝑀 D(cid:10)(cid:154) = + (0 1,0 1) 1 1 1 1 1 𝐴 𝑃 𝜆𝐴 𝐵 𝜇𝐴 𝐷 ≤𝜆≤ ≤𝜇≤ (cid:138) ( )(cid:38) =( )(cid:38) = 1 (cid:38) = 1 (cid:38) 1 1 2 2 𝑃 1−𝜇,𝜆,1 𝐴𝑃 −𝜇,𝜆,1 = 𝐵1𝐸 0,− ,−1 𝐵 𝐹 − ,0,−1 2 (cid:154) = 1 + 1 (cid:137)(cid:138) = 1 (cid:38) 𝜆 −2 𝑥 + = 𝐴𝑃 𝑥𝐵 𝐸 𝑦𝐵 𝐹 𝜇 𝑦 (cid:178)(cid:180) = 1 (cid:38) =( 𝑥 )𝑦(cid:38) | −1 | = 2+( )2= + 1 2 +( )2= 2 1 2 + 9(cid:38) 2 1 1 2 4 8 (cid:313) = 𝜆− 1 (cid:58) 𝜇 (cid:38) | 𝐷|𝑃 = 1 3 − 2 𝜇 (cid:38) ,𝜆, (cid:161) 0 D(cid:115) 𝐷 (cid:116) 𝑃 . 𝜆 𝜇−1 𝜇 𝜇−1 𝜇− 4 1 min 4 𝜇 𝐷 𝑃 (cid:161)(cid:20)(cid:10)AD. (cid:29) II (cid:27)(cid:93)(cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:204)(cid:205)·(cid:90)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:125)(cid:126)(cid:189)(cid:46)(cid:98)(cid:109)(cid:212) (1,1,1)， ( )， (3,0,0)(cid:38)(cid:118)(cid:212) (cid:279)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:315) (cid:316)(cid:157) 42 (cid:95) 𝐴 𝐵 2,1,−1 𝐶 𝐴 𝐵𝐶 3(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:154)(cid:21)(cid:22)(cid:176)(cid:59) , (cid:31) (cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:311)(cid:312)(cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:317)(cid:318)(cid:131)(cid:15)(cid:230)(cid:257)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:154)(cid:21)(cid:22)(cid:101)(cid:38)𝐵𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐴 𝐵𝐶 (cid:38) (cid:178)(cid:180) = = 𝐴(1,1,1)(cid:38),𝐵(2,1,−1),𝐶(3,0,0) | | 𝐵𝐴 (−1,0,2),𝐵𝐶 (1,−1,1) (cid:138)| |= 5,| |= 3(cid:38) = | 0 2| = 3(cid:38) |⃗ |⃗ 3 3 −1+ + 𝐵𝐴⋅𝐵𝐶 ⃗ 𝐵𝐴 𝐵𝐶 𝐵𝐶 | |2 2 (cid:178)(cid:180)(cid:212)A(cid:279)(cid:107)(cid:108)BC(cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157) = ( ) = 1= 42. ⃗ |⃗ |⃗ 3 3 𝐵𝐴⋅𝐵𝐶 ⃗ 𝑑 𝐵𝐴 − 5− 𝐵𝐶 (cid:161)(cid:36)(cid:62)(cid:157)(cid:10) 42. 3 13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:252)(cid:319)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:54)(cid:110)(cid:111)(cid:252)(cid:287)(cid:199) (cid:189)(cid:38) = = = = 2 (cid:38)(cid:43) (cid:320) (cid:321)(cid:322)(cid:38)(cid:286)(cid:212) (cid:279)(cid:323) (cid:38)(cid:170) = 3(cid:38)(cid:118)(cid:252)(cid:111)(cid:244)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:46)(cid:190)𝐴(cid:191)𝐵(cid:192)(cid:157)𝐴𝐷(cid:192) 1(cid:38),𝐵(cid:117)𝐶(cid:212)𝐶(cid:54)𝐷(cid:108)(cid:263),𝐴𝐵(cid:56)⊥(cid:38)𝐴(cid:170)𝐷 =△𝐵𝐶𝐷(cid:38) ′ ′ ′ (cid:140)(cid:212) 𝐵𝐷 (cid:214)(cid:192) (cid:46)(cid:240)(cid:111) 𝐶 (cid:38)(cid:118) 𝐶 (cid:178)(cid:138)(cid:240) 𝐴 (cid:111) 𝐶 (cid:200)(cid:189)(cid:111)(cid:194)(cid:306)(cid:61)(cid:46)(cid:200) 𝐴𝐵 (cid:201) 𝐶 (cid:202) 𝐷 (cid:157) 6 (cid:95) 𝑂 𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐷 4𝐵𝐸 4 𝐸 𝑂 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:175)(cid:171)(cid:172)(cid:317)(cid:318)(cid:131)(cid:15)(cid:324)(cid:131)(cid:15)(cid:138)(cid:279) (cid:38)(cid:83)(cid:171)(cid:172)(cid:107)(cid:198)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:189)(cid:108)(cid:132)(cid:133)(cid:325)(cid:59)(cid:190)(cid:191)(cid:192)(cid:46)(cid:192) ′ ′ (cid:260)(cid:38)(cid:83)(cid:88)(cid:106)(cid:192)(cid:46)(cid:240)(cid:111)(cid:315)(cid:316)(cid:28)(cid:326)(cid:38)(cid:327)(cid:178)(cid:138)(cid:46)(cid:240)𝐶𝐵(cid:111)⊥(cid:200)𝐴(cid:189)𝐵,(cid:111)𝐶𝐷(cid:194)⊥(cid:306)𝐴(cid:61)𝐷(cid:38)(cid:328)(cid:75)(cid:240)(cid:111)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:306)(cid:61)(cid:38)(cid:328)(cid:75)(cid:192)(cid:260)(cid:279)(cid:240)(cid:111)(cid:46)(cid:315) (cid:316) (cid:306)(cid:329)(cid:136)(cid:137)(cid:95) (cid:119)𝑑(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:154)(cid:21)(cid:22)(cid:101)(cid:38) = = 2 = = = 3(cid:38) ′ ′ ′ (cid:154)(cid:317)(cid:318)(cid:131)(cid:15)(cid:137)(cid:101)(cid:38) 2+𝐶𝐵2=𝐶𝐷2, 2,𝐴+𝐵 2𝐴=𝐷 12,𝐴(cid:38)𝐶(cid:178)(cid:180) (cid:38) ′ ′ ′ ′ ′ ′ (cid:253) (cid:46)(cid:189)(cid:212) (cid:38)(cid:178)(cid:180)𝐶𝐵 =𝐴𝐵 =𝐶𝐴 =𝐶𝐷 (cid:38)𝐴(cid:178)𝐷(cid:180)(cid:252)𝐶(cid:111)𝐴(cid:244) 𝐶(cid:46)𝐵(cid:190)⊥(cid:191)𝐴(cid:192)𝐵,𝐶(cid:54)𝐷(cid:330)⊥𝐴(cid:287)𝐷 (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:331)(cid:38)(cid:252)(cid:111)(cid:244) ′ ′ ′ ′ ′ (cid:46) 𝐶 (cid:190) 𝐴 (cid:191)(cid:192) (cid:46) 𝑂 (cid:201)(cid:202) = 𝑂1𝐵 𝑂 = 𝐶 3(cid:38) 𝑂𝐷 𝑂𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 𝐶𝐴 𝐴𝐵𝐶𝐷 2 2 ′ 𝑂 𝑅 𝐶𝐴 (cid:171)(cid:172)(cid:21)(cid:22)(cid:137)(cid:101)(cid:38)(cid:140)(cid:212) (cid:214)(cid:192) (cid:46)(cid:240)(cid:111)(cid:38)(cid:117)(cid:327)(cid:178)(cid:138)(cid:46)(cid:240)(cid:111)(cid:200)(cid:189)(cid:111)(cid:194)(cid:306)(cid:61)(cid:38)(cid:328)(cid:75)(cid:240)(cid:111)(cid:200)(cid:201)(cid:202)(cid:306)(cid:61)(cid:38)(cid:169)(cid:192) (cid:279)(cid:240)(cid:111) (cid:46)(cid:315)(cid:316) (cid:38)(cid:328)(cid:75)(cid:192)(cid:260)(cid:279)𝐸(cid:240)(cid:111)(cid:46)𝑂(cid:315)(cid:316) (cid:306)(cid:329)(cid:136)(cid:137)(cid:38) 𝑂 (cid:158)(cid:313)(cid:170)𝑑(cid:332)(cid:313) (cid:152)(cid:240)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:58)(cid:38)(cid:192)(cid:260)𝑑(cid:279)(cid:240)(cid:111)(cid:46)(cid:315)(cid:316) (cid:306)(cid:329)(cid:38)(cid:136) = (cid:38) max (cid:253) (cid:46)(cid:189)(cid:212) 𝑂𝐸 = 1 = 2(cid:38)(cid:280)(cid:101) (cid:157)(cid:314)(cid:333) 𝑑 (cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:38) 𝑑 = 𝑂 2 𝐸 2= 3 1= 1 (cid:38)(cid:178)(cid:180) 2= 2+ 4 4 4 2 2 𝐵𝐷 𝐹,𝐸𝐹 𝐵𝐷 △𝑂𝐵𝐷 𝑂𝐹 𝑂𝐵 −𝐵𝐹 − 𝑂𝐸 𝑂𝐹 𝐸2 2 2= 1 + 2 = 3 (cid:38) 2 4 8 𝐹 (cid:178)(cid:180)(cid:240)(cid:111)(cid:200)(cid:46)(cid:201)(cid:202)(cid:157) = 2 2= 6(cid:95) 4 𝑟 𝑅 −𝑂𝐸 (cid:161)(cid:36)(cid:62)(cid:157)(cid:10) 6(cid:95) 4 14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:223)(cid:282)(cid:334)(cid:48)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:252)(cid:187)(cid:208) (cid:46)(cid:197)(cid:111)(cid:102)(cid:115)(cid:259)(cid:199)(cid:38) =4(cid:38) =4 1 1 1 1 1 2(cid:38)(cid:212) (cid:54)(cid:197)(cid:111) (cid:46)(cid:335)(cid:312)(cid:157) (cid:189)(cid:212)H(cid:38)(cid:118)(cid:107)(cid:108) 𝐴 (cid:152) 𝐵𝐶 (cid:110) 𝐷 (cid:111) −𝐴 𝐵 𝐶 (cid:178) 𝐷 (cid:209)(cid:198)(cid:46)(cid:115)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 7𝐴 𝐵 (cid:95) 𝐴𝐴 1 1 4 𝐵 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:180)(cid:212)H(cid:157)(cid:218)(cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38) (cid:49) (cid:49) (cid:46)(cid:259)(cid:173)(cid:28)(cid:267)(cid:157)x(cid:49)y(cid:49)z(cid:215)(cid:46)(cid:115)(cid:259)(cid:173)(cid:216)(cid:217)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127) 1 𝐵𝐴 𝐻𝐶 𝐻𝐵 (cid:38)(cid:176)(cid:138)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:90)(cid:109)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) =(0,0,1)(cid:38)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:90)(cid:109)(cid:259)(cid:173)(cid:173)(cid:174) =(0,6,2 7)(cid:38)(cid:124)(cid:64)(cid:173)(cid:174) 1 1 (cid:46)𝐻−(cid:285)𝑥(cid:198)𝑦𝑧(cid:7)(cid:246)(cid:137)(cid:176)(cid:107)(cid:108)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:152)(cid:110)(cid:111) (cid:178)(cid:209)𝑛(cid:198)(cid:46)(cid:115)(cid:196)(cid:177). 𝐴𝐷 𝐴𝐷 1 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:159)(cid:157)(cid:212)𝐴𝐷(cid:54)(cid:197)(cid:111) 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:46)(cid:335)(cid:312)(cid:157) (cid:189)(cid:212)H(cid:38)(cid:118) (cid:110)(cid:111) (cid:38) 1 1 (cid:153)(cid:159)(cid:157)(cid:252)(cid:287)(cid:199) (cid:157)𝐵(cid:115)(cid:259)(cid:199)(cid:38)𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐵 𝐻⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:180)(cid:212)H(cid:157)(cid:218)(cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38) (cid:49) (cid:49) (cid:46)(cid:259)(cid:173)(cid:28)(cid:267)(cid:157)x(cid:49)y(cid:49)z(cid:215)(cid:46)(cid:115)(cid:259)(cid:173)(cid:216)(cid:217)(cid:74)(cid:112)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:46)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127) 1 (cid:38) 𝐵𝐴 𝐻𝐶 𝐻𝐵 𝐻−𝑥𝑦𝑧 (cid:159)(cid:157) (cid:110)(cid:111) (cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:118) (cid:38) 1 1 𝐵 𝐻⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵 𝐻⊥𝐵𝐶 (cid:159)(cid:157) =4(cid:38) =4 2(cid:38)(cid:118) = 2 2= =2 7(cid:38) 1 1 1 (cid:118) ( 𝐴𝐵 )(cid:49) 𝐴𝐴 (4,2,0)(cid:49) ( 𝐵 𝐻 )(cid:49)𝐵𝐵 (0 − ,0 𝐵 ,2 𝐻 7)(cid:38)32−4 1 𝐴 4,−2,0 𝐷 𝐵 0,−2,0 𝐵 (cid:178)(cid:180) = + = + =(0,4,0)+(0,2,2 7)=(0,6,2 7)(cid:38) 1 1 1 𝐴𝐷 𝐴𝐷 𝐷𝐷 𝐴𝐷 𝐵𝐵(cid:280)(cid:101)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:90)(cid:109)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) =(0,0,1)(cid:38) cos 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 1 =2 7= 7(cid:38) 𝑛 1 | | | | 8×1 4 𝐴𝐷1⋅𝑛 𝐴𝐷 ,𝑛 𝐴𝐷 ⋅𝑛 (cid:159)(cid:160)(cid:38)(cid:107)(cid:108) (cid:152)(cid:110)(cid:111) (cid:178)(cid:209)(cid:198)(cid:46)(cid:115)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 7(cid:95) ⟨ ⟩ 1 4 𝐴𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷 (cid:161)(cid:36)(cid:62)(cid:157)(cid:10) 7. 4 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:213)(cid:336)(cid:337)(cid:338)(cid:339)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38) (cid:54)(cid:98)(cid:187)(cid:238) (cid:189)(cid:38) (cid:31) (cid:146)(cid:157)(cid:314) 1 1 1 1 1 1 (cid:287)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:38)(cid:170)(cid:287)(cid:288)(cid:28)(cid:267)(cid:157)2(cid:31)4(cid:38) = = 𝐴=9𝐵0°𝐶, − (cid:157)𝐴𝐵(cid:108)𝐶(cid:263) △(cid:46)(cid:189)𝐴 (cid:212)𝐵(cid:38)𝐶 (cid:157)△(cid:108)𝐴𝐵(cid:263)𝐶 (cid:56)(cid:46) 1 1 1 (cid:212)(cid:38) // (cid:110)(cid:111) . 𝐶𝐶 2,∠𝐴𝐶𝐶 ∠𝐵𝐶𝐶 𝐺 𝐴𝐶 𝐻 𝐵𝐶 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐺𝐻 (1)(cid:176)(cid:51): (cid:212)H(cid:157)(cid:108)(cid:263) (cid:46)(cid:189)(cid:212); (2)(cid:176)(cid:98)(cid:187)(cid:188) 𝐵(cid:46)𝐶(cid:244)(cid:194). (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)𝐵(cid:93)−1𝐴(cid:94)₁𝐴(cid:159)𝐻(cid:157) // (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:178)(cid:180)(cid:340)(cid:279)(cid:64)(cid:108)(cid:111)(cid:110)(cid:128)(cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:131)(cid:15)(cid:51)(cid:269)(cid:151) 1 1 (cid:93)2(cid:94)(cid:124)(cid:64)(cid:314)(cid:244)(cid:194)(cid:210)(cid:43)(cid:98)𝐴(cid:187)(cid:188)𝐵 𝐶 𝐺(cid:341)𝐻(cid:16)(cid:157)(cid:98)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:176)(cid:120)(cid:136)(cid:137). 1 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:301)(cid:191) (cid:38)𝐵 −(cid:169)𝐴 ₁𝐴𝐻 = ，(cid:301)𝐴(cid:191)−𝐴𝐵(cid:49)𝐻 1 1 1 1 (cid:159)(cid:157)(cid:98)(cid:187)(cid:238) 𝐴，𝐶(cid:178)(cid:180) 𝐴 𝐶//∩𝐶 𝐺 𝑂 𝐻𝑂 𝐴 𝐺 1 1 1 1 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 −𝐴𝐵𝐶 𝐴 𝐶 𝐴𝐶 (cid:153) = =2，(cid:178)(cid:180)(cid:252)(cid:287)(cid:199) (cid:157)(cid:110)(cid:128)(cid:252)(cid:287)(cid:199) 2 1 1 𝐶𝐺 𝐴𝐶 𝐴 𝐶 𝐶𝐺 (cid:178)(cid:180) = . 1 (cid:153) 𝐶𝑂 //(cid:110)𝑂𝐴(cid:111) (cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38) (cid:110)(cid:111) ∩(cid:110)(cid:111) = ， 1 1 1 1 1 1 𝐴 𝐵// 𝐶 𝐺𝐻 𝐴 𝐵⊂ 𝐴 𝐵𝐶 𝐶𝐵𝐴 𝐶 𝐺𝐻 𝐻𝑂 1 ∴(cid:252)𝐴 (cid:287)𝐵(cid:199)𝐻𝑂 (cid:102)(cid:115)(cid:259)(cid:199)(cid:38)O(cid:102) (cid:46)(cid:189)(cid:212)(cid:38) 1 1 1 ∵(cid:212)H(cid:102)𝐴 𝐶(cid:46)𝐶(cid:189)𝐺(cid:212). 𝐴 𝐶 ∴ 𝐵𝐶(cid:93)2(cid:94)(cid:159)(cid:157) = =90°， (cid:118) ， ， 1 1 (cid:153) ∠𝐴=𝐶𝐶，₁ ∠𝐵𝐶𝐶₁(cid:110)(cid:111)ABC 𝐶𝐶 ⊥𝐴𝐶 𝐶𝐶 ⊥𝐵𝐶 𝐴𝐶∩(cid:110)𝐵(cid:111)𝐶 𝐶 , 𝐴𝐶,𝐵𝐶⊂ 1 ∴(cid:154)𝐶(cid:93)𝐶1⊥(cid:94) (cid:101) 𝐴𝐵𝐶// ，(cid:170) = =2， 1 1 1 1 (cid:102)(cid:287)(cid:288)𝐴(cid:157)𝐺4(cid:46)𝐶𝐶(cid:314)(cid:287)(cid:98)(cid:198)𝐶𝐶(cid:199)(cid:38)𝐴 𝐺 △𝐴𝐵𝐶 1 3 = ×4×4× =4 3， 2 2 ∴H𝑆△ (cid:157) 𝐴𝐵𝐶 (cid:189)(cid:212)(cid:38) ∵ 𝐵𝐶 1 1 = = ×4 3=2 3, 2 2 ∵𝑆△𝐴𝐵𝐻 𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 1 𝑉𝐵−𝐴 𝐴𝐻 = 𝑉1 𝐴 −𝐴𝐵𝐻 × = 1 ×2 3×2=4 3. 1 3 1 3 3 𝑉𝐴 −𝐴𝐵𝐻 𝑆△𝐴𝐵𝐻 𝐴 𝐺 16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:264)(cid:248)(cid:342)(cid:343)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:54)(cid:98)(cid:187)(cid:208) (cid:189)(cid:38) (cid:152) (cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157) 3(cid:38) 1 1 1 1 1 = = =2(cid:38) = =2 2. 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐵𝐵 1 1 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵𝐶 (1)(cid:51)(cid:269)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111)ABC(cid:151) 1 1 (2)(cid:117)(cid:212)N(cid:102)(cid:187)𝐴 𝐴𝐵(cid:46)𝐵(cid:189)⊥(cid:212)(cid:38)(cid:176)(cid:212)N(cid:279)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:315)(cid:316). 1 1 1 1 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:93)𝐴1𝐶(cid:94)(cid:327)(cid:51)(cid:269)(cid:111)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:38)(cid:341)(cid:16)(cid:157)𝐴(cid:51)𝐵(cid:269)𝐶(cid:108)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:38)(cid:136)(cid:51)(cid:269) (cid:110)(cid:111) (cid:151) 1 1 (cid:93)2(cid:94)(cid:171)(cid:172)(cid:111)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:38)(cid:176)(cid:98)(cid:187)(cid:208)(cid:46)(cid:203)(cid:38)(cid:180)(cid:308)(cid:124)(cid:64)(cid:314)(cid:244)(cid:194)(cid:341)(cid:16)(cid:176)(cid:212) (cid:279)(cid:110)𝐴𝐶(cid:111)⊥ 𝐴(cid:46)𝐵(cid:315)𝐵(cid:316)𝐴. 1 1 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:253)(cid:187) (cid:189)(cid:212)D(cid:38)(cid:301)(cid:191)BD(cid:38) 𝑁 𝐴 𝐵 𝐶 1 𝐴 𝐴(cid:159)(cid:157) = (cid:38)(cid:178)(cid:180) 1 1 (cid:159)(cid:157)𝐴(cid:98)𝐵(cid:187)(cid:208)𝐴 𝐵 𝐵𝐷⊥(cid:38)𝐴(cid:178)𝐴(cid:180) 1 1 1 1 1 (cid:178)(cid:180) 𝐴𝐵(cid:38)𝐶−(cid:178)𝐴(cid:180)𝐵 𝐶 = 3 𝐴𝐴 ∥𝐵𝐵 1 (cid:159)(cid:157)𝐵𝐷=⊥𝐵2(cid:38)𝐵(cid:178)(cid:180) 𝐵=𝐷1(cid:38) =2(cid:151) 1 (cid:159)(cid:157)𝐴𝐵=2(cid:38) =𝐴𝐷2 2(cid:38) 𝐴𝐴 1 (cid:178)(cid:180)𝐴𝐶2+ 2𝐴=𝐶 2(cid:38) 1 1 (cid:178)(cid:180)𝐴𝐶 𝐴𝐴(cid:38) 𝐴 𝐶 1 (cid:310)(cid:15)𝐴𝐶⊥𝐴𝐴(cid:38) (cid:159)(cid:157)𝐴𝐶⊥𝐴𝐵 = (cid:38)(cid:170) (cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:178)(cid:180) (cid:110)(cid:111) (cid:38) 1 1 1 1 1 1 (cid:159)(cid:157)𝐴𝐴 ∩(cid:110)𝐴(cid:111)𝐵 AB𝐴C(cid:38)(cid:178)𝐴(cid:180)𝐴 (cid:110)(cid:111)𝐴𝐵⊂ 𝐴 (cid:110)𝐴𝐵(cid:111)𝐵ABC(cid:151) 𝐴𝐶⊥ 𝐴 𝐴𝐵𝐵 1 1 (cid:93)2(cid:94)𝐴(cid:140)𝐶⊂ (cid:214) (cid:38)(cid:129)(cid:305)(cid:157)𝐴(cid:38)𝐴𝐵(cid:301)𝐵(cid:88)⊥ (cid:38) 1 1 (cid:154)(cid:93)1(cid:94)𝐵(cid:137)(cid:101)(cid:110)𝐵(cid:111)𝐸⊥𝐴𝐵 (cid:110)(cid:111)𝐸 (cid:38)(cid:170)𝐶𝐸(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111) = (cid:38) 1 1 1 1 (cid:178)(cid:180) (cid:110)(cid:111) 𝐴 𝐴(cid:38)𝐵𝐵 ⊥(cid:110)(cid:111)𝐴𝐵𝐶(cid:38)(cid:118) 𝐴 𝐴𝐵(cid:38)𝐵 ∩ 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 1 1 (cid:147)(cid:93)𝐵1(cid:94)𝐸(cid:137)⊥(cid:101)(cid:38) 𝐴𝐵𝐶 𝐶(cid:102)𝐸(cid:314)⊂(cid:287)(cid:98)𝐴(cid:198)𝐵(cid:199)𝐶(cid:38)(cid:137)𝐵(cid:138)𝐸⊥𝐶=𝐸 3(cid:38) = 13(cid:38) =4(cid:38) 1 1 1 (cid:189)(cid:38) △𝐴=𝐵2𝐴 2(cid:38) =2(cid:38) =𝐵4(cid:38)𝐸 𝐶𝐸 𝐵 𝐶 1 1 1 1 1 1 c △ os 𝐴 𝐶𝐵 =2𝐴2 𝐶(2 2) 2 42 = 𝐴 𝐵2(cid:38)(cid:118)sin 𝐵 𝐶 = 14 1 1 1 1 2×2×2 2 4 4 + − ∠𝐵 𝐴 𝐶 − ∠𝐵 𝐴 𝐶 (cid:137)(cid:138) (cid:46)(cid:111)(cid:194)(cid:157) 1 ×2×2 2× 14= 7(cid:38) 1 1 2 4 △𝐴 𝐶𝐵 (cid:153) = = 1 3 1 2 2=2 3 1 1 1 1 1 1 3 2 3 𝑉𝐶 −𝐴 𝐶𝐵 𝑉𝐶−𝐴 𝐶 𝐵 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 (cid:169)N (cid:279)(cid:111) (cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157)h(cid:38)(cid:118) = (cid:38) 1 1 1 1 1 3 1 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝑉𝐶 −𝐴 𝐵 𝐶 ⋅𝑆△𝐴 𝐵 𝐶⋅2ℎ (cid:137)(cid:138) = 21. 7 ℎ17(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:344)(cid:97)(cid:345)(cid:346)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:110)(cid:128)(cid:292)(cid:111)(cid:244) (cid:189)(cid:38)(cid:197)(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111) 1 1 1 1 1 (cid:146)(cid:102)(cid:287)(cid:288)(cid:157)2(cid:46)(cid:347)(cid:199)(cid:38) = =120°(cid:38)(cid:348)(cid:111) 𝐴𝐵(cid:46)𝐶𝐷(cid:111)−(cid:194)𝐴(cid:157)𝐵 𝐶15𝐷. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶 1 1 1 1 1 𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶𝐶 𝐵 (1)(cid:176)(cid:110)(cid:128)(cid:292)(cid:111)(cid:244) (cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:151) 1 1 1 1 (2)(cid:176)(cid:110)(cid:111) 𝐴(cid:152)𝐵𝐶(cid:110)𝐷(cid:111)−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷(cid:46)(cid:285)(cid:198)(cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177). 1 1 1 1 (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)𝐵𝐶(cid:123)𝐶(cid:93)𝐵1(cid:94)(cid:301)(cid:191)𝐶𝐷(cid:38)𝐷 𝐶 (cid:38)(cid:171)(cid:172)(cid:347)(cid:199)(cid:46)(cid:132)(cid:133)(cid:49)(cid:195)(cid:196)(cid:131)(cid:15)(cid:38)(cid:88)(cid:106)(cid:108)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:46)(cid:130)(cid:131)(cid:131)(cid:15)(cid:49)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:111)(cid:194)(cid:7) 1 (cid:246)(cid:49)(cid:187)(cid:208)(cid:46)(cid:244)(cid:194)(cid:7)(cid:246)(cid:275)(cid:128)𝐴(cid:176)𝐶(cid:120)𝐴(cid:136)𝐶(cid:137)(cid:151) (cid:93)2(cid:94)(cid:216)(cid:217)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:124)(cid:64)(cid:125)(cid:126)(cid:173)(cid:174)(cid:285)(cid:198)(cid:7)(cid:246)(cid:275)(cid:128)(cid:176)(cid:120)(cid:136)(cid:137). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:301)(cid:191) (cid:38) (cid:38) 1 (cid:159)(cid:157)(cid:197)(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111) 𝐴𝐶 𝐴(cid:349)𝐶(cid:157)(cid:347)(cid:199)(cid:38)(cid:170) = =120°(cid:38) 1 1 1 1 (cid:178)(cid:180) 𝐴𝐵(cid:152)𝐶𝐷 𝐴(cid:349)𝐵(cid:157)𝐶 (cid:314)𝐷(cid:287)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:38) ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶 𝐷 1 (cid:253)AB△(cid:46)𝐴(cid:189)𝐵𝐶(cid:212) △(cid:38)(cid:301)𝐴𝐵(cid:191)𝐶 (cid:38) (cid:38)(cid:118) (cid:38) (cid:38)(cid:118) = = 3(cid:38) 1 1 1 (cid:159)(cid:157)(cid:348)(cid:111) 𝑂 (cid:46)(cid:111)(cid:194)𝑂𝐶(cid:157)𝑂1𝐶5(cid:38) 𝑂𝐶⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶 ⊥𝐴𝐵 𝑂𝐶 𝑂𝐶 1 1 (cid:178)(cid:180) 𝐵𝐶𝐶 (cid:46) 𝐵 (cid:111)(cid:194)(cid:157) 15(cid:38)(cid:118) 1 ×2×2sin = 15(cid:38) 1 2 2 1 2 △𝐵𝐶𝐶 ∠𝐶𝐵𝐶 (cid:178)(cid:180)sin = 15(cid:38)(cid:118)cos = 1 . 1 4 1 4 ∠𝐶𝐵𝐶 ∠𝐶𝐵𝐶 (cid:54) (cid:189)(cid:38) 2=22+22 ×2×2× 1 =6(cid:38)(cid:118) = 6(cid:38) 1 1 4 1 (cid:178)(cid:180) △𝐵𝐶2𝐶 + 2𝐶 = 𝐶 2(cid:38)(cid:178)(cid:180) −2 . 𝐶𝐶 1 1 1 (cid:159)(cid:157)𝑂𝐶 𝑂𝐶= (cid:38)𝐶𝐶 𝑂(cid:110)𝐶(cid:111)⊥𝑂𝐶 (cid:38) (cid:178)(cid:180)𝐴𝐵∩𝑂(cid:110)𝐶(cid:111)𝑂 𝐴𝐵(cid:38),𝑂𝐶⊂ 𝐴𝐵𝐶𝐷 1 𝑂𝐶 ⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:161)(cid:110)(cid:128)(cid:292)(cid:111)(cid:244) (cid:46)(cid:244)(cid:194) = =2×2sin60°× 3=6. 1 1 1 1 1 (cid:93)2(cid:94)(cid:154)(cid:93)1(cid:94)(cid:137)𝐴𝐵(cid:101)𝐶𝐷(cid:38)−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 (cid:33)(cid:33)(cid:129)(cid:107)𝑉 (cid:38)𝑆(cid:180)𝐴𝐵𝐶(cid:157)𝐷⋅(cid:211)𝑂(cid:212)𝐶(cid:38)(cid:180) (cid:178)(cid:54)(cid:107)(cid:108)(cid:28)(cid:267)(cid:157) (cid:215)(cid:49) (cid:215)(cid:49) (cid:215)(cid:38)(cid:216)(cid:217) 1 1 (cid:74)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:46)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)𝐴(cid:218)𝐵(cid:71),𝑂(cid:127)𝐶,𝑂𝐶 . 𝑂 𝑂𝐵,𝑂𝐶,𝑂𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 𝑂−𝑥𝑦𝑧 (cid:118) (cid:38) 3,0)(cid:38) (0,0, 3)(cid:38) 3,0)(cid:38) 1 𝐵(1,0,0) 𝐶(0, 𝐶 𝐷(−2, = 3,0)(cid:38) = 3, 3)(cid:38) = (cid:38) 1 (cid:169)𝐵𝐶(cid:110)(cid:111)(−1, (cid:46)(cid:210)𝐶𝐶(cid:173)(cid:174)(cid:157)(0,− =( , , 𝐶𝐷 )(cid:38) (−2,0,0) 1 1 1 1 1 (cid:154) 𝐵𝐶𝐶=𝐵0, (cid:138) 1 +𝑚3 1𝑥=𝑦0,𝑧 (cid:253) =1(cid:38)(cid:118) =( 3,1,1). 1 =0, 3 1 + 3 1 =0, 1 𝐵𝐶⋅𝑚 −𝑥 𝑦 𝑦 𝑚 (cid:169)(cid:110) 𝐶 (cid:111) 𝐶 ⋅𝑚 1 1 (cid:46)(cid:210) − (cid:173)(cid:174) 𝑦 (cid:157) =(𝑧2 , 2 , 2 )(cid:38)(cid:38) (cid:154) 𝐶𝐷𝐷=𝐶0, (cid:138) 𝑛2 =0𝑥, 𝑦 𝑧 (cid:253) =1(cid:38)(cid:118) =(0,1,1)(cid:38) 1 =0, 3 2 + 3 2 =0, 2 𝐶𝐷⋅𝑛 −2𝑥 𝑦 𝑛 (cid:142)(cid:102)𝐶c𝐶os⋅𝑛, = − =𝑦 2 =𝑧10. | || | 5× 2 5 𝑚⋅𝑛 〈𝑚𝑛〉 𝑚 𝑛 (cid:169)(cid:110)(cid:111) (cid:152)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:285)(cid:198)(cid:157) (cid:38) 1 1 1 1 (cid:178)(cid:180)cos 𝐵𝐶 = 𝐶 | 𝐵 cos , 𝐶 = 𝐷𝐷10𝐶 . 𝜃 5 𝜃 〈𝑚𝑛〉| 18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:163)(cid:302)(cid:86)(cid:350)·(cid:99)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:54)(cid:187)(cid:288)(cid:157)4(cid:46)(cid:115)(cid:259)(cid:244) (cid:189)(cid:38)(cid:212) (cid:54)(cid:187) (cid:56)(cid:38) 1 1 1 1 1 (cid:170) =1(cid:95) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐴 𝐴𝐸 (1)(cid:176)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:193)(cid:111)(cid:194) 1 1 (2)(cid:117)(cid:212) (cid:54)(cid:187) 𝐷 −𝐸𝐴 (cid:56) 𝐵 (cid:38) 𝐵 (cid:170) (cid:279)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157) 26(cid:38)(cid:176)(cid:212) (cid:279)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:95) 1 1 1 1 2 𝑃 𝐷 𝐶 𝑃 𝐵 𝐷𝐸 𝑃 𝐸𝐵(cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:171)(cid:172)(cid:98)(cid:198)(cid:199)(cid:180)(cid:308)(cid:351)(cid:199)(cid:111)(cid:194)(cid:7)(cid:246)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120)(cid:38) (cid:93)2(cid:94)(cid:216)(cid:217)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:124)(cid:64)(cid:125)(cid:126)(cid:315)(cid:316)(cid:46)(cid:173)(cid:174)(cid:210)(cid:176)(cid:120)(cid:136)(cid:137). (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:154) =1(cid:38) =4,(cid:178)(cid:180) = = 2+ 2= 32+42=5, 1 1 1 1 1 𝐴𝐸 𝐴𝐵 𝐷 𝐸 𝐸𝐵 𝐴 𝐸 𝐴 𝐷 =4 2, 1 1 (cid:178) 𝐷 (cid:180) 𝐵 = 1 ×1×4=2, = 1 ×4 2× 52 (2 2) 2 =2 34, = = 1 ×4 2×4=8 1 2 1 1 2 1 1 1 2 𝑆△𝐷 𝐸𝐴 1 𝑆△𝐷 𝐵 𝐸 − 𝑆△𝐷 𝐴𝐵 𝑆△𝐷 𝐵 𝐵 2, = ×(1+4)×4=10, 1 2 𝑆𝐸𝐴𝐵𝐵 (cid:161)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:193)(cid:111)(cid:194)(cid:157) + + + + =2+2 34+16 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +10=12𝐷+−2𝐸𝐴3𝐵4𝐵+16 2 𝑆△𝐷 𝐸𝐴 𝑆△𝐷 𝐵 𝐸 𝑆△𝐷 𝐴𝐵 𝑆△𝐷 𝐵 𝐵 𝑆𝐸𝐴𝐵𝐵 (cid:93)2(cid:94)(cid:180) (cid:157)(cid:218)(cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38) (cid:38) (cid:38) (cid:178)(cid:54)(cid:107)(cid:108)(cid:28)(cid:267)(cid:157) (cid:215)(cid:49) (cid:215)(cid:49) (cid:215)(cid:38)(cid:216)(cid:217)(cid:74)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38) 1 𝐷 𝐷𝐴 𝐷𝐶 𝐷𝐷 𝑥 𝑦 𝑧 (cid:118) ,0,0)(cid:38) ,4,0)(cid:38) (4,4,4)(cid:38) (4,0,1) ( )(cid:38)(cid:84)(cid:189)0 4(cid:38) 1 1 𝐴(4 𝐵(4 𝐵 𝐷 (0,0,4),𝐸 ,𝑃 0,𝑎,4 ≤𝑎≤ (cid:118) =(4,0,1), =(4,4,4), = (cid:38) 1 𝐷𝐸 𝐷𝐵 𝐷𝑃 (0,𝑎,4) (cid:169)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) = (cid:38)(cid:118) =0, =0(cid:38) 1 1 𝐵 𝐷+𝐸 =0 𝑛 (𝑥,𝑦,𝑧) 𝑛⋅𝐷𝐸 𝑛⋅𝐷𝐵 (cid:136) (cid:156) =1(cid:38)(cid:118)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174) = (cid:38) + + =0, 1 4𝑥 𝑧 𝑥 𝐵 𝐷𝐸 𝑛 (1,3,−4) (cid:169) 4(cid:279)𝑥(cid:110)(cid:111)4𝑦 4𝑧(cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157) (cid:38) = | | = | | = 26(cid:38) 1 | | 1 9 16 2 𝐷𝑃⋅𝑛 3𝑎−16 (cid:154)(cid:142) 𝑃 0 𝐵 4 𝐷 (cid:38) 𝐸 (cid:120)(cid:138) =1 𝑑 (cid:38) ∴ 𝑑 𝑛 + + ≤𝑎≤ 𝑎 (cid:161) (0,1,4)(cid:38) =(0,4,3), =(4,3,0) 1 1 𝑃 𝐸𝐵 𝑃𝐵 2 2 2 (cid:212) (cid:279)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:315)(cid:316)(cid:157) 1 = 12 = 481(cid:95) 1 1 1 | | 5 5 𝐸𝐵1 ∴ 𝑃 𝐸𝐵 𝑃𝐵 − 𝑃𝐵 ⋅ 𝐸𝐵 25− 19(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:241)(cid:38)(cid:252)(cid:187)(cid:188) (cid:46)(cid:197)(cid:111) (cid:102)(cid:351)(cid:199)(cid:38) // = = = = = 3 𝑃(cid:110)−𝐴(cid:111)𝐵𝐶𝐷 . 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐵𝐶 𝐴𝐷,𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 1,𝐴𝐷 2,𝑃𝐶 ,𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷(1)(cid:176)(cid:51)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111) (cid:151) (2)(cid:54)(cid:187) (cid:56)(cid:102) 𝑃 (cid:277) 𝐵𝐶 (cid:155) ⊥ (cid:54)(cid:90)(cid:212) 𝑃 E 𝐴 (cid:38) 𝐵 (cid:286)(cid:138)(cid:250)(cid:111)(cid:198) (cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 6.(cid:117)(cid:155)(cid:54)(cid:38)(cid:176)(cid:59) (cid:46)(cid:177)(cid:151)(cid:117)(cid:104)(cid:155)(cid:54)(cid:38)(cid:352) 3 𝑃𝐷 𝐸−𝐴𝐶−𝑃 𝑃𝐸:𝐸𝐷 (cid:268)(cid:269)(cid:15)(cid:154). (cid:119)(cid:120)(cid:21)(cid:121)(cid:122)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:328)(cid:75)(cid:88)(cid:106)(cid:100)(cid:101)(cid:51)(cid:269) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:154)(cid:111)(cid:111)(cid:129)(cid:107)(cid:46)(cid:130)(cid:131)(cid:131)(cid:15)(cid:136)(cid:137)(cid:275)(cid:90)(cid:353)(cid:138)(cid:51)(cid:151) (cid:93)2(cid:94)(cid:216)(cid:217)(cid:354)(cid:313)(cid:46)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38)(cid:355)(cid:356)𝐵𝐶(cid:357)⊥(cid:13) =𝑃𝐴𝐵 (cid:38)(cid:275)(cid:90)(cid:353)(cid:193)(cid:242)(cid:33)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:38)(cid:154)(cid:173)(cid:174)(cid:285)(cid:198)(cid:7)(cid:246)(cid:216) (cid:217)(cid:259)(cid:141)(cid:136)(cid:137)(cid:176)(cid:120). 𝑃𝐸 𝜆𝑃𝐷 (cid:119)(cid:120)(cid:36)(cid:140)(cid:141)(cid:123)(cid:93)1(cid:94)(cid:159)(cid:157) (cid:110)(cid:111) (cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:178)(cid:180) (cid:38) (cid:159)(cid:157) = = = 𝑃𝐴=⊥ 3(cid:38)(cid:178)𝐴𝐵(cid:180)𝐶𝐷 2𝐵=𝐶,𝐴𝐶2,𝐴𝐵⊂2= 𝐴𝐵=𝐶𝐷2= 2𝑃+𝐴⊥2𝐵(cid:38)𝐶,𝑃𝐴⊥𝐴𝐶,𝑃𝐴⊥𝐴𝐵 (cid:178)(cid:180)𝑃𝐴 𝐴𝐵(cid:38)𝐵𝐶 1,𝑃𝐶 𝐴𝐶 𝑃𝐶 −𝑃𝐴 3−1 𝐴𝐵 𝐵𝐶 (cid:153)(cid:159)𝐴(cid:157)𝐵⊥𝐵𝐶 = (cid:110)(cid:111) (cid:38)(cid:178)(cid:180) (cid:110)(cid:111) (cid:38) (cid:159)(cid:157) 𝑃𝐴(cid:110)⊥𝐵(cid:111)𝐶,𝑃𝐴∩(cid:38)𝐴(cid:178)𝐵(cid:180)(cid:110)𝐴,(cid:111)𝑃𝐴,𝐴𝐵⊂(cid:110)(cid:111)𝑃𝐴𝐵(cid:151) 𝐵𝐶⊥ 𝑃𝐴𝐵 (cid:93)2(cid:94)𝐵(cid:159)𝐶⊂(cid:157) 𝑃(cid:110)𝐵𝐶(cid:111) (cid:38) /𝑃/𝐵𝐶(cid:38)⊥(cid:178)(cid:180)𝑃𝐴𝐵 (cid:110)(cid:111) (cid:38) (cid:153)(cid:159)(cid:157) 𝐵𝐶⊥ (cid:110)(cid:111)𝑃𝐴𝐵(cid:38)𝐵(cid:178)𝐶(cid:180)𝐴𝐷 𝐴𝐷⊥ (cid:38)(cid:153)𝑃𝐴𝐵 (cid:38) (cid:178)(cid:180) 𝑃𝐴,𝐴𝐵⊂(cid:33)(cid:33)(cid:358)𝑃(cid:144)𝐴𝐵(cid:129)(cid:107)(cid:38) 𝐴𝐷⊥𝑃𝐴,𝐴𝐷⊥𝐴𝐵 𝑃𝐴⊥𝐴𝐵 (cid:178)(cid:180)𝐴(cid:180)𝐵(cid:212),𝐴𝐷(cid:157),𝐴(cid:218)𝑃 (cid:71)(cid:211)(cid:212)(cid:38) (cid:178)(cid:54)(cid:107)(cid:108)(cid:28)(cid:267)(cid:157) (cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:74)(cid:241)(cid:178)(cid:242)(cid:46)(cid:125)(cid:126)(cid:107)(cid:198)(cid:218)(cid:71)(cid:127)(cid:38) 𝐴 𝐴𝐵,𝐴𝐷,𝐴𝑃 𝑥,𝑦,𝑧 (cid:74)(cid:241)(cid:38) (1,1,0) (0,0,1) (0,2,0), =( )(cid:38) (cid:169) =𝐶 =(,𝑃 ),𝐷,(0 𝑃1𝐷)(cid:38) 0,2−1 (cid:118)𝑃𝐸=𝜆𝑃𝐷+ 0=,2𝜆(,0−,0𝜆,1)+≤(𝜆≤ )=( )(cid:38) 𝐴=𝐸(1,𝐴1𝑃,0)(cid:38)𝑃(cid:169)𝐸(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)0(cid:173),2𝜆(cid:174),−(cid:157)𝜆 =0(,2𝜆,,1−, 𝜆)(cid:38) 1 1 1 1 (cid:118) 𝐴𝐶 1 =0 (cid:38)(cid:136) 𝐸𝐴𝐶 1 + 1 =0 𝑛 (cid:38)(cid:253) 𝑥 𝑦 = 𝑧 (cid:38) = = (cid:304)(cid:305)(cid:103)(cid:245)(cid:38) 1 =0 1 +( ) 1 =0 1 1 1 𝑛 ⋅𝐴𝐶 𝑥 𝑦 𝑦 𝜆−1 𝑥 1−𝜆,𝑧 2𝜆 𝑛 ⋅𝐴𝐸 2𝜆𝑦 1−𝜆 𝑧(cid:178)(cid:180)(cid:137)(cid:253) =( )(cid:38) 1 =(1,1𝑛,0)(cid:38) 1−=𝜆,𝜆(−0,10,,21𝜆)(cid:38)(cid:169)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:210)(cid:173)(cid:174)(cid:157) =( , , )(cid:38) 2 2 2 2 𝐴 (cid:118) 𝐶 2 =0𝐴 (cid:38) 𝑃 (cid:136) 2 + 2 =0 (cid:38)(cid:253) 𝑃𝐴𝐶 = (cid:38)(cid:120)(cid:138) 𝑛 =1 𝑥 , 𝑦 =0 𝑧 (cid:38) 2 =0 2 =0 2 2 2 𝑛 ⋅𝐴𝐶 𝑥 𝑦 𝑦 −1 𝑥 𝑧 (cid:178)(cid:180) 𝑛 2⋅ = 𝐴𝑃( )(cid:38) 𝑧 (cid:154)(cid:21)(cid:22) 𝑛 |cos 1,− , 1,0 |= | 1 2 | = | | = 6(cid:38) 1 2 | 𝑛1 | ⋅𝑛 | 2 | 2 2( 2−2𝜆 )2 4 2 3 ⟨𝑛 𝑛 ⟩ 𝑛 ⋅𝑛 ⋅ 𝜆−1 + 𝜆 (cid:16)(cid:359)(cid:91)(cid:360)(cid:15)(cid:138)( )2=4 2(cid:38)(cid:120)(cid:138) = 1 (cid:143) = (cid:93)(cid:361)(cid:362)(cid:94)(cid:38) 3 𝜆−1 𝜆 𝜆 𝜆 −1 1 (cid:178)(cid:180) = (cid:38) 3 𝑃𝐸 𝑃𝐷 (cid:363)(cid:56)(cid:178)(cid:364)(cid:38)(cid:187) (cid:56)(cid:102)(cid:277)(cid:155)(cid:54)(cid:90)(cid:212)E(cid:38)(cid:170) =1:2(cid:38)(cid:286)(cid:138)(cid:250)(cid:111)(cid:198) (cid:46)(cid:195)(cid:196)(cid:177)(cid:157) 6. 3 𝑃𝐷 𝑃𝐸:𝐸𝐷 𝐸−𝐴𝐶−𝑃