文档内容
第七章 立体几何与空间向量综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
(cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10)
1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53)
(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)
2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64)
(cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35)
4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35)
(cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)m(cid:38)n(cid:102)(cid:33)(cid:103)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:107)(cid:108)(cid:38) (cid:102)(cid:33)(cid:109)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:21)(cid:115)(cid:116)
(cid:46)(cid:102)(cid:93) (cid:94) 𝛼,𝛽
A(cid:95)(cid:117) // // // (cid:38)(cid:118) //
B(cid:95)(cid:117)𝑚 𝛼,𝑛 𝛽,𝛼 /𝛽/ //𝑚(cid:38)𝑛(cid:118) //
C(cid:95)(cid:117)𝑚⊂𝛼,𝑛/⊂/𝛼,𝑚 𝛽(cid:38),𝑛(cid:118)𝛽 𝛼 𝛽
D(cid:95)(cid:117)𝑚⊥𝛼,𝑚 𝑛,𝛼⊥𝛽(cid:38)(cid:118)𝑛⊥𝛽
2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)𝑚(cid:94)⊥(cid:93)𝛼2,0𝑛2⊥4·𝛽(cid:119),𝑚(cid:120)⊥(cid:121)𝑛(cid:122)·(cid:99)𝛼(cid:123)⊥(cid:124)𝛽(cid:125)(cid:94)(cid:126) (cid:38) =(1,1,1), =( ), =( )(cid:38)(cid:127) , (cid:38)(cid:118)
| 2 + |=(cid:93) (cid:94) 𝑥 𝑦∈𝑅,𝑎 𝑏 1,𝑦,𝑧 𝑐 𝑥,−4,2 𝑎⊥𝑐𝑏∥𝑐
𝑎A(cid:95)𝑏2 2 B(cid:95)0 C(cid:95)3 D(cid:95)3 2
3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:128)(cid:129)(cid:130)(cid:131)(cid:132)(cid:133)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:98)(cid:134)(cid:135) (cid:136)(cid:38) (cid:110)(cid:111) (cid:38) =60°(cid:38) =1(cid:38)
=2(cid:38) =4(cid:38)(cid:118)(cid:98)(cid:134)(cid:135) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:46)(cid:140)(cid:111)𝐴(cid:141)−𝐵(cid:142)𝐶(cid:93)𝐷 (cid:94)𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐵𝐶 ∠𝐵𝐴𝐶 𝐴𝐵
𝐴𝐶A(cid:95)10𝐴𝐷 B(cid:95)2𝐴0−𝐵𝐶𝐷 C(cid:95)25 D(cid:95)30
4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)π (cid:93)2024·(cid:143)(cid:144)(cid:145)(cid:146)·π(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:107)(cid:98)(cid:134)π(cid:147) (cid:136)(cid:38) π =120°(cid:38) = =2(cid:38)
1 1 1 1
=1(cid:38)(cid:118)(cid:148)(cid:111)(cid:107)(cid:108) (cid:149) (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:142)(cid:93) (cid:94)𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐶
1 1
𝐵𝐶 A(cid:95) 3 𝐴𝐵 B(cid:95) 𝐵1𝐶5 C(cid:95) 10 D(cid:95) 3
2 5 4 3
5(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:156)(cid:157)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:142)(cid:158)(cid:159)(cid:16)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:163)(cid:38)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:170)(cid:90)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:95)(cid:100)(cid:101)(cid:174)(cid:171)(cid:172)(cid:173)(cid:175)(cid:176)(cid:177)(cid:178)(cid:102)(cid:90)(cid:109)(cid:179)(cid:180)(cid:31)(cid:90)(cid:109)(cid:179)(cid:147)(cid:181)(cid:138)(cid:182)(cid:151)(cid:38)(cid:84)(cid:183)(cid:184)(cid:111)(cid:74)(cid:112)(cid:185)(cid:150)(cid:186)(cid:38)(cid:84)(cid:136) = = =40cm(cid:38) =10 2cm(cid:38)(cid:118)
(cid:187)(cid:172)(cid:173)(cid:46)(cid:188)(cid:141)(cid:142)(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵 2𝐶𝐸 2𝐸𝐹 𝐴𝐶
A(cid:95) 10000 cm3 B(cid:95) 11000 cm3 C(cid:95)4000 3 D(cid:95) 13000 cm3
3 3 3
π π π
πcm
6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:120)(cid:189)(cid:190)(cid:157)·(cid:191)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:139)O(cid:192)(cid:193)(cid:194)(cid:115)(cid:195)(cid:134)(cid:135) (cid:38) = =2(cid:38)EF(cid:102)(cid:139)O(cid:46)(cid:90)(cid:103)
(cid:107)(cid:196)(cid:38)(cid:197)Q(cid:142)(cid:115)(cid:195)(cid:134)(cid:135)(cid:140)(cid:111)(cid:56)(cid:46)(cid:197)(cid:38)(cid:118) (cid:46)(cid:198)(cid:155)(cid:199)(cid:200)(cid:142)(cid:93)𝑃 − 𝐴(cid:94)𝐵𝐶𝐷 𝑃𝐴 𝐴𝐵
A(cid:95)[0,2] B(cid:95) 3,2] 𝑄𝐸⋅𝑄C𝐹(cid:95) 3] D(cid:95) 3]
7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:201)(cid:189)(cid:202)(cid:203)[4−·(cid:99)2(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:54)(cid:115)(cid:204)(cid:188)[0,4− (cid:136)(cid:38)[E0(cid:38),4−F2(cid:28)(cid:205)(cid:102) (cid:38) (cid:46)(cid:136)(cid:197)(cid:38)(cid:118)
1 1 1 1 1 1
(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐷𝐷 𝐵𝐶
A(cid:95) // B(cid:95) //(cid:110)(cid:111)BCE
1
C(cid:95)𝐸𝐹 𝐵𝐷 D(cid:95)𝐹𝐷 (cid:110)(cid:111)
1 1 1
8(cid:95)(cid:93)5𝐸(cid:28)𝐹(cid:94)⊥(cid:93)𝐵𝐶2024·(cid:206)(cid:207)(cid:208)(cid:209)·(cid:191)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:115)(cid:204)(cid:188) 𝐴𝐹⊥ 𝐵𝐶𝐶 𝐵(cid:136)(cid:38)M(cid:38)N(cid:28)(cid:205)(cid:142) (cid:38) (cid:46)(cid:136)(cid:197)(cid:38)(cid:118)
1 1 1 1 1 1
(cid:93) (cid:94) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐶𝐶 𝐶 𝐷
A(cid:95)(cid:107)(cid:108)MN(cid:149) (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:142) 6 B(cid:95)(cid:110)(cid:111) (cid:149)(cid:110)(cid:111) (cid:210)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:142) 10
1 1 1
3 10
𝐴 𝐶 𝐵𝑀𝑁 𝐵𝐶 𝐷
C(cid:95)(cid:54) (cid:56)(cid:211)(cid:54)(cid:197)Q(cid:38)(cid:212)(cid:213) D(cid:95)(cid:54) (cid:56)(cid:211)(cid:54)(cid:197)P(cid:38)(cid:212)(cid:213) //(cid:110)(cid:111)
1 1 1 1
二、多项选𝐵𝐶择题：本题共3小题𝐵，𝑄每⊥小𝐵题𝐷6分，共1𝐵8分𝐷，在每小题给出的𝑃四𝐴个选项𝐵中𝑀，𝑁有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:206)(cid:207)(cid:214)(cid:215)·(cid:191)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:54)(cid:110)(cid:216)(cid:217)(cid:111)(cid:188)ABCD﹣A B C D (cid:136)(cid:38)(cid:176)(cid:218)(cid:197)A(cid:142)(cid:219)(cid:197)(cid:46)(cid:98)(cid:103)(cid:134)
1 1 1 1
(cid:220)(cid:221)(cid:102)1(cid:38)(cid:127)(cid:222)(cid:223)(cid:224)(cid:225)(cid:46)(cid:210)(cid:152)(cid:221)(cid:102) (cid:38)M(cid:142)A C (cid:149)B D (cid:46)(cid:92)(cid:197)(cid:95)(cid:117) = (cid:38) = (cid:38) = (cid:38)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:226)(cid:227)
3 1 1 1 1 1
π
(cid:115)(cid:116)(cid:46)(cid:102)(cid:93)(cid:228)(cid:228)(cid:94) 𝐴𝐵 𝑎 𝐴𝐷 𝑏 𝐴𝐴 𝑐
1 1
A(cid:95) = + B(cid:95) ， =
2 2 1 3
π
𝐶𝑀 − 𝑎− 𝑏 𝑐 𝐶𝑀 𝐴𝐶
⟨ ⟩C(cid:95) = + + D(cid:95) =1
1 1
10(cid:95)(cid:93)6 𝐵(cid:28)𝐷(cid:94)(cid:93)𝑎 202 𝑏 4·(cid:119)𝑐(cid:120)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:54)(cid:98)(cid:134)𝐴𝐷(cid:135)⋅𝐵𝐷 (cid:46)(cid:110)(cid:111)(cid:229)(cid:230)(cid:185)(cid:136)(cid:38) (cid:38) (cid:28)(cid:205)(cid:102) (cid:38) (cid:46)(cid:136)(cid:197)(cid:38)
(cid:115)(cid:204)(cid:231) (cid:46)(cid:232)(cid:220)(cid:142)2(cid:38)(cid:118)(cid:54)(cid:98)(cid:134)(cid:135) (cid:136)(cid:93) (cid:94)𝑃−𝐸𝐷𝐹 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃−𝐸𝐷𝐹
1
A(cid:95) (cid:46)(cid:111)(cid:141)(cid:142) B(cid:95)
2
△𝑃𝐸𝐹 𝑃𝐷⊥𝐸𝐹
1
C(cid:95)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111) D(cid:95)(cid:98)(cid:134)(cid:135) (cid:46)(cid:188)(cid:141)(cid:142)
3
𝑃𝐸𝐹⊥ 𝐷𝐸𝐹 𝑃−𝐸𝐷𝐹
11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:120)(cid:233)(cid:97)(cid:234)·(cid:191)(cid:99)(cid:94)(cid:54)(cid:134)(cid:220)(cid:142)1(cid:46)(cid:115)(cid:204)(cid:188) (cid:136)(cid:38) (cid:49) (cid:28)(cid:205)(cid:142) (cid:49) (cid:46)(cid:136)(cid:197)(cid:38)
1 1 1 1
𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐴𝐵 𝐵𝐶
(cid:197) (cid:235)(cid:236) = + (0 1,0 1)(cid:38)(cid:118)(cid:112)(cid:113)(cid:226)(cid:227)(cid:115)(cid:116)(cid:46)(cid:102)(cid:93) (cid:94)
1 1 1 1 1
𝑃 𝐴 𝑃 𝜆𝐴 𝐵 𝜇𝐴 𝐷 ≤𝜆≤ ≤𝜇≤
A(cid:95)(cid:117) = =0(cid:38)(cid:118)(cid:98)(cid:134)(cid:135) (cid:137)(cid:138)(cid:139)(cid:46)(cid:140)(cid:111)(cid:141)(cid:142)
4
9𝜋
𝜆 1,𝜇 𝑃−𝐵𝐸𝐶
B(cid:95)(cid:117) = = 1 (cid:38)(cid:118)(cid:148)(cid:111)(cid:107)(cid:108) (cid:149) (cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:142)3 10
2 1 10
𝜆 𝜇 𝐶𝑃 𝐵 𝐹
3
C(cid:95)(cid:117) + =1(cid:38)(cid:118) (cid:111)(cid:141)(cid:46)(cid:237)(cid:61)(cid:155)(cid:142)
8
𝜆 𝜇 △𝑃𝐸𝐹
D(cid:95)(cid:117)(cid:211)(cid:54)(cid:238)(cid:13) (cid:212)(cid:213) = + (cid:38)(cid:118) (cid:46)(cid:237)(cid:61)(cid:155)(cid:142)3 2
1 1 1
4
𝑥,𝑦 𝐴𝑃 𝑥𝐵 𝐸
(cid:29)
𝑦I𝐵I𝐹
(cid:27)(cid:93)
𝐷
(cid:32)
𝑃
(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:143)(cid:144)·(cid:90)(cid:99)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:239)(cid:240)(cid:136)(cid:46)(cid:98)(cid:109)(cid:197) (1,1,1)， ( )， (3,0,0)(cid:38)(cid:118)(cid:197) (cid:241)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:242)
(cid:243)(cid:142) (cid:95) 𝐴 𝐵 2,1,−1 𝐶 𝐴 𝐵𝐶
13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:195)(cid:244)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:54)(cid:110)(cid:111)(cid:195)(cid:232)(cid:231) (cid:136)(cid:38) = = = = 2 (cid:38)(cid:43)
(cid:245) (cid:246)(cid:247)(cid:38)(cid:212)(cid:197) (cid:241)(cid:248) (cid:38)(cid:127) = 3(cid:38)(cid:118)(cid:195)(cid:111)(cid:188)𝐴𝐵𝐶𝐷(cid:46)(cid:137)𝐴(cid:138)𝐵(cid:139)(cid:142)𝐴𝐷(cid:139) 1(cid:38),𝐵(cid:117)𝐶(cid:197)𝐶(cid:54)𝐷(cid:108)(cid:249),𝐴𝐵(cid:56)⊥(cid:38)𝐴(cid:127)𝐷 =△𝐵𝐶𝐷(cid:38)
′ ′ ′
(cid:250)(cid:197)𝐵𝐷(cid:178)(cid:139) (cid:46)(cid:184)(cid:111)𝐶 (cid:38)(cid:118)𝐶(cid:150)(cid:213)(cid:184)𝐴(cid:111)𝐶 (cid:179)(cid:136)(cid:111)(cid:141)(cid:237)(cid:61)(cid:46)(cid:179)𝐴𝐵(cid:251)𝐶(cid:196)𝐷(cid:142) (cid:95) 𝑂 𝐸 𝐵𝐷 𝐵𝐷 4𝐵𝐸
𝐸 𝑂14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:160)(cid:207)(cid:252)(cid:48)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:100)(cid:101)(cid:195)(cid:134)(cid:147) (cid:46)(cid:253)(cid:111)(cid:102)(cid:115)(cid:204)(cid:231)(cid:38) =4(cid:38) =4
1 1 1 1 1
2(cid:38)(cid:197) (cid:54)(cid:253)(cid:111) (cid:46)(cid:254)(cid:255)(cid:142) (cid:136)(cid:197)H(cid:38)(cid:118)(cid:107)(cid:108) 𝐴(cid:149)𝐵𝐶(cid:110)𝐷(cid:111)−𝐴 𝐵 𝐶(cid:150)𝐷(cid:151)(cid:152)(cid:46)(cid:115)(cid:154)(cid:155)(cid:142) 𝐴𝐵(cid:95) 𝐴𝐴
1 1
四、解答𝐵题：本题𝐴𝐵共𝐶𝐷5小题，共𝐵7𝐶7分，解答应写出𝐴必𝐷要的文字𝐴说𝐵𝐶明𝐷、证明过程及验算步骤。
15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:192)(cid:256)(cid:257)(cid:258)(cid:259)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38) (cid:54)(cid:98)(cid:134)(cid:180) (cid:136)(cid:38) (cid:31) (cid:221)(cid:142)(cid:260)
1 1 1 1 1 1
(cid:232)(cid:98)(cid:152)(cid:231)(cid:38)(cid:127)(cid:232)(cid:220)(cid:28)(cid:205)(cid:142)2(cid:31)4(cid:38) = = 𝐴=9𝐵0°𝐶, − (cid:142)𝐴𝐵(cid:108)𝐶(cid:249) △(cid:46)(cid:136)𝐴 (cid:197)𝐵(cid:38)𝐶 (cid:142)△(cid:108)𝐴𝐵(cid:249)𝐶 (cid:56)(cid:46)
1 1 1
(cid:197)(cid:38) // (cid:110)(cid:111) . 𝐶𝐶 2,∠𝐴𝐶𝐶 ∠𝐵𝐶𝐶 𝐺 𝐴𝐶 𝐻 𝐵𝐶
1 1
𝐴 𝐵 𝐶 𝐺𝐻
(1)(cid:261)(cid:51): (cid:197)H(cid:142)(cid:108)(cid:249) (cid:46)(cid:136)(cid:197);
(2)(cid:261)(cid:98)(cid:134)(cid:135) 𝐵(cid:46)𝐶(cid:188)(cid:141).
𝐵−𝐴₁𝐴𝐻
16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:201)(cid:189)(cid:262)(cid:263)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:54)(cid:98)(cid:134)(cid:147) (cid:136)(cid:38) (cid:149) (cid:46)(cid:242)(cid:243)(cid:142) 3(cid:38)
1 1 1 1 1
= = =2(cid:38) = =2 2. 𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐴 𝐵𝐵
1 1
𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵𝐶(1)(cid:51)(cid:264)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111)ABC(cid:265)
1 1
(2)(cid:117)(cid:197)N(cid:102)(cid:134)𝐴 𝐴𝐵(cid:46)𝐵(cid:136)⊥(cid:197)(cid:38)(cid:261)(cid:197)N(cid:241)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:242)(cid:243).
1 1 1 1
𝐴 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶
17(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:266)(cid:97)(cid:267)(cid:268)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:110)(cid:216)(cid:217)(cid:111)(cid:188) (cid:136)(cid:38)(cid:253)(cid:111) (cid:149)(cid:110)(cid:111)
1 1 1 1 1
(cid:221)(cid:102)(cid:232)(cid:220)(cid:142)2(cid:46)(cid:269)(cid:231)(cid:38) = =120°(cid:38)(cid:270)(cid:111) 𝐴𝐵(cid:46)𝐶𝐷(cid:111)−(cid:141)𝐴(cid:142)𝐵 𝐶15𝐷. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶
1 1 1 1 1
𝐷 ∠𝐵𝐶𝐷 ∠𝐵𝐶 𝐷 𝐵𝐶𝐶 𝐵
(1)(cid:261)(cid:110)(cid:216)(cid:217)(cid:111)(cid:188) (cid:46)(cid:188)(cid:141)(cid:265)
1 1 1 1
(2)(cid:261)(cid:110)(cid:111) 𝐴(cid:149)𝐵𝐶(cid:110)𝐷(cid:111)−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷(cid:46)(cid:210)(cid:152)(cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155).
1 1 1 1
𝐵𝐶𝐶 𝐵 𝐶𝐷𝐷 𝐶
18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:120)(cid:233)(cid:86)(cid:271)·(cid:99)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:54)(cid:134)(cid:220)(cid:142)4(cid:46)(cid:115)(cid:204)(cid:188) (cid:136)(cid:38)(cid:197) (cid:54)(cid:134) (cid:56)(cid:38)
1 1 1 1 1
(cid:127) =1(cid:95) 𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐴𝐴
𝐴𝐸
(1)(cid:261)(cid:195)(cid:134)(cid:135) (cid:46)(cid:140)(cid:111)(cid:141)
1 1
(2)(cid:117)(cid:197) (cid:54)(cid:134) 𝐷 −𝐸𝐴 (cid:56) 𝐵 (cid:38) 𝐵 (cid:127) (cid:241)(cid:110)(cid:111) (cid:46)(cid:242)(cid:243)(cid:142) 26(cid:38)(cid:261)(cid:197) (cid:241)(cid:107)(cid:108) (cid:46)(cid:242)(cid:243)(cid:95)
1 1 1 1
2
𝑃 𝐷 𝐶 𝑃 𝐵 𝐷𝐸 𝑃 𝐸𝐵19(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)·(cid:98)(cid:99)(cid:94)(cid:74)(cid:185)(cid:38)(cid:195)(cid:134)(cid:135) (cid:46)(cid:253)(cid:111) (cid:102)(cid:272)(cid:231)(cid:38)
// = = = = = 3 𝑃(cid:110)−𝐴(cid:111)𝐵𝐶𝐷 . 𝐴𝐵𝐶𝐷
𝐵𝐶 𝐴𝐷,𝑃𝐴 𝐴𝐵 𝐵𝐶 1,𝐴𝐷 2,𝑃𝐶 ,𝑃𝐴⊥ 𝐴𝐵𝐶𝐷
(1)(cid:261)(cid:51)(cid:10)(cid:110)(cid:111) (cid:110)(cid:111) (cid:265)
(2)(cid:54)(cid:134) (cid:56)(cid:102) 𝑃 (cid:273) 𝐵𝐶 (cid:211) ⊥ (cid:54)(cid:90)(cid:197) 𝑃 E 𝐴 (cid:38) 𝐵 (cid:212)(cid:213)(cid:191)(cid:111)(cid:152) (cid:46)(cid:153)(cid:154)(cid:155)(cid:142) 6.(cid:117)(cid:211)(cid:54)(cid:38)(cid:261)(cid:59) (cid:46)(cid:155)(cid:265)(cid:117)(cid:104)(cid:211)(cid:54)(cid:38)(cid:274)
3
𝑃𝐷 𝐸−𝐴𝐶−𝑃 𝑃𝐸:𝐸𝐷
(cid:226)(cid:264)(cid:15)(cid:275).
