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第 10 讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，
则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
正方体的对角线是球的直径，所以 ，则 ，
所以球的表面积
故选：D.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形 按“斜二测画法”得到如图所示的直
观图，其中 ， ， ， ，则原四边形中 的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
解：过点 作 ,垂足为 .
因为 ， ， ， ；
，所以原四边形中 的长度为2 .
故选：B
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，
其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：
．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则
（ ）A．50 B．52 C．60 D．62
【答案】D
由已知条件得出 ，解得 ，所以 ．
故选：D．
4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱 中，AC与BD的交点为点M， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
- ＝ ，
.
故选：A．
5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线
DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设该正面体的棱长为 ，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，
所以有 ，，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 ，
故选：B
6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面 的法向量为 ，点 在平
面 内，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
则点 到平面 的距离为
故选：D
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图（1），在矩形 中， ， 为线段
上一点（不是端点），沿线段 将 折成 （如图（2）），使得平面 平面 ，
且二面角 的余弦值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
过 作 于 ，因为平面 平面 ，所以 平面 ．
过 作 于 ，连接 ，则 即二面角 的平面角，
所以 ．
在图（1）中，直线 与 垂直，交 于 ，
以 为原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
由 ，可知直线 的方程为 ，与直线 的方程联立解得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，解得 ．
由 ，得 ，所以 ，
化简得 ，解得 ，即 ．
在图（2）中，以 为坐标原点，以 ， 的方向分别为 ， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ．因为 ， ，
所以 ， ，
进而可得 ，
因为 ， ，
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：D8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，
则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
如图,以A为原点,AB,AD,AA 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
1则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)， ， .
所以 ， .
对于①：当E为 的中点时， .设平面 的一个法向量为 ,
则 ，不妨令x =1,则 ，
所以平面A1BD的一个法向量为 .
又因为 ，所以 与 不垂直，所以直线 平面 不成立.故①错误；
对于②：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积.
又 ，高为a,所以 .故②错误；
对于③：当E为 的中点时， .平面 的一个法向量为 ,
而 .
设直线BE与平面 所成的角为 ，所以 .
1
所以 ，所以 ，
即直线 与平面 所成的角正切值为 .故③正确；
对于④：设 .因为 ， ，所以 在 上得到投影为 .
所以点E到直线 的距离为 .
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为 .
当 时，截面为等腰梯形.设截面交 于F.所以 ，
高 ，所以其面积为 .
记 ，
所以 ，所以 在 上单调递减函数，
所以 ，即 .
因为 ，所以
当z=a，即D、E重合时，截面为边长为 的正三角形，其面积为 .
1
综上所述： .故④正确.
故选：B
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 ，若 ，则
B．若空间四个点 ， ，则 三点共线C．已知向量 ，若 ，则 为钝角
D．任意向量 满足
【答案】AB
对于A：因为 ， ，则 ，故A正确；
对于B：因为 ，则 ，即 ，
又 与 有公共点，所以 三点共线，故B正确；
对于C： ，
若 为钝角：则 ，且 与 不共线，
由 得 ，
当 时， ，即 ，由 与 不共线得 ，
于是得当 且 时， 为钝角，故C错误；
对于D： 是 的共线向量，而 是 的共线向量，故D错误，
故选：AB
10．（2022·辽宁·高一期末）已知 ， 是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正
确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】BC
选项A：若 ， ， ，
则 或 相交或 互为异面直线.判断错误；
选项B：若 ， ，则 .判断正确；
选项C：设平面 ， ，又 ，则
设平面 ， ，又 ，则 ，
则 ，又 ， ，则 ，
又 ， ，则 ，则 .判断正确；
选项D：若 ， ， ，则 的位置关系为相交，
当且仅当 时 .判断错误.故选：BC
11．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿BC向上
翻折，得三棱锥 设 ，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法
正确的是（ ）
A．存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥 体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D．当 时， 的最小值为
【答案】ABCD
解：当平面 与平面 垂直时，
，平面 与平面 的交线为 ，
平面 ， 平面 ，
， ，故AB正确；
当三棱锥 体积取得最大值时，顶点A到底面距离最大，
即平面 与平面 垂直时，
由上面可知， 平面 ，故AD与平面ABC成角为 ，
因为 ，所以 ， ， ，
，故C正确；
当 时,因为 为 的中点，
所以 ，则 ，
又因 为 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
如图将 沿 旋转，使其与 在同一平面内，则当 三点共线时， 最小，
即 的最小值为 ，
在 中， ，
则 ，
所以 ，
所以 的最小值为 ，故D正确.
故选：ABCD.
12．（2022·广东广州·高二期末）正方形 ，的棱长为1， ， 分别为 ， 的中点，
下列说法正确的有（ ）
A．直线 与平面 垂直
B．平面 截正方体所得的截面周长为
C．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是30°
D．在棱 上存在点 ，使得点 和点 到平面 的距离相等
【答案】BD
对A，由正方体的性质，体对角线 与平面 垂直，又平面 不平行于平面 ，故直线 与
平面 不垂直，A错；
对B， ， 分别为 ， 的中点， ，故平面 截正方体所得的截面为 ，
，故
， ，故平面 截正方体
所得的截面周长为 ，B对；
对C， ，异面直线 与 所成的角为 ，又 平面 ，所以 ，在等腰直角 上，易得 ，即 ， ，即
，命题不成立，C错；
对D，若点 和点 到平面 的距离相等，则 ，即 ，即 ，
MN是 的中位线，故 上的点与C到MN的距离相等， ，故G在 点时，
，命题成立，D对，
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2 π，则该圆锥的体积为
_______．
【答案】 ##
设圆锥的底面半径为r，母线为l，则 ，
解得 ，
则该圆锥的高 ，
故该圆锥的体积为 ，故答案为：
14．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知 的顶点都在半径为 的球 的球面上，球心 到平面 的
距离为 ，则球 的表面积为___________.
【答案】
解：在底面 中，由余弦定理得：
又 ，则 ，由正弦定理得： ，
所在 外接圆的半径 ，如图，即
球心 到平面 的距离为 ，
且 ，
可得 ，
则球 的表面积是 ．
故答案为： .
15．（2022·广西桂林·高一期末）十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋
糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根
据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸
小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是
________(注：填图①或图②)．
【答案】图①由给定的几何体及生活实际知，蛋糕盒是正四棱柱，设其底面正方形边长为a，高为b，
图②所用彩带总长为 ，对于图①，令彩带与包装盒的棱的部分公共点如图，
过E作 交 于F，由图①的几何体及对称性知， ，则彩带总长为
，
显然 ，于是得 ，
所以图①所用彩带总长比图②所用彩带总长短，所需的费用少.
故答案为：图①
16．（2022·河北保定·高一期末）如图，在三棱锥 中， 平面 米， 米，
与底面 所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点 出发，沿着侧面 走到 上的一点，再沿着侧面
继续走到棱 上，则这只蚂蚁从点 出发到达棱 的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线
与 的交点到底面 的距离为______米.
【答案】 2 ##1.5
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，又AB=4米，BC=3米，
所以AC=5米.因为AD与底面BCD所成的角为∠ADB，所以tan∠ADB= =2，所以BD=2米.将侧面ABD
翻折至与平面ABC共面，如图所示.AC=CD=5米，AD=2 米，取AD的中点E，连接CE，交AB于F，
则CE⊥AD，蚂蚁的最短路线为C→F→E，最短路程为CE=2 米，最短路线与AB的交点为F.取BD的中点G，连接EG，则EG= AB=2米，BG= BD=1米，根据 CBF∽△CGE，得 = = ，则FB=
△
EG= ，故这只蚂蚁的最短路线与AB的交点到底面BCD的距离为 米.
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，三棱柱 中， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求三棱柱 的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取BC中点O，连接OA， ， ．
因为 ，所以 ．
因为 ， ，所以 为等边三角形．
所以 ，
又因为 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以 ．
(2)在 中， ，所以 ．
同理， ．又因为 ，
所以 ，所以 ，又 ， ，
所以 平面ABC．
所以
18．（2022·四川·遂宁中学高一期末）如图，正方体 ，其外接球与内切球的表面积之和为
，过点 的平面 与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
(2)平面 将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.
【答案】(1)答案见解析(2) ，
(1)解：连接 ，则 为所求三角形（作法不唯一），如图所示
(2)解：设正方体的棱长为 ，正方体的体对角线即为外接球的直径，正方体的棱长即为内切球的直径，
所以 ，解得 ，
平面 将正方体截成三棱锥 和多面体 两部分，
所以 ， ，
因此体积较大的几何体是多面体 ，其体积为 ，
由 ，所以 ，
， ，
故多面体 的表面积为 .
19．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD， ，且 ，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，
所以 ，
又底面ABCD为菱形，所以 ，
所以 ，
所以四边形EGCF为平行四边形，
所以
又 平面PCD． 平面PCD，
所以EF//平面PCD．
(2)解：连接 ，
因为PD⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以 ，
因为四边形ABCD为菱形， ，
所以 为等边三角形，
因为F为BC的中点，
所以 ，
因为 ∥ ，
所以 ，
所以 两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为 ，所以D（0，0，0），F( ，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则 ．
设平面DEF的法向量 ，则
，令 ，得 ．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则 ，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥 中， 底面 ，底面
是直角梯形， ， ， ， ， ， ， 为侧棱 上靠近
点 的四等分点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：取 上取一点 ，使 ，连接 、 ，
由题知 ，所以 ， ．
又因为 ， ，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 ．
(2)解：因为 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
所以 、 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以， ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，故二面角 的余弦值为 .
21．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形 ，四边形 是
边长为2的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如
图2.(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所成
角的正弦值.
【答案】(1)详见解析；(2)存在点 且为 的中点； .
(1)证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形 是边长为2的菱形，并且 ，
所以 ，且 ，
在图2中，相交直线 均与BE垂直，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ，则 ，
所以平面 平面 ；
(2)由（1）分别以 为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
因为 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为： .
22．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥
(1)求证：
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至 旋转至 如图所示，其中二
面角 与二面角 相同，当 时，求平面 与 所成的锐二面角的余弦值
【答案】(1)证明见解析(2)
(1)证明：连接 ，交于点 ，连接 ， 面 ， 平面 ，，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ．
(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，
设点E为DA中点，则 ，设 是 中点，则 ，又 ，
所以 是二面角 的平面角，即 ，
，同理
解得： ， ，
设 为平面 的法向量，则 ， ， ，
， ，取 ，则 ，
， ，
设 为平面 的法向量，则 ， ， ，
， ，取 ，则 ， ，
，
与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
