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01 卷 第七章 立体几何与空间向量《过关检测卷》
－2022 年高考一轮数学单元复习（新高考专用）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知点 ， ， ，又点 在平面 内，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为 的中点，若
， ， ，则用基底 表示向量 为（ ）
A． B． C． D．
3．若 、 、 三点共线，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．已知 ， ，则 （ ）．A．
B．
C．
D．
5．如图所示，在空间直角坐标系中， ，原点 是 的中点，点 在平面
内，且 ， ，则点 的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与
的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．设 ， ，…， 是空间中给定的2021个不同的点，则使
成立的点 的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2020 D．20218．平行六面体 的各棱长均相等， ，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ，点 是线段 上的动点，若线段 上存在点 ，
使得异面直线 与 成30°的角，则线段 长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 ､ 是两个不共线的向量，且 ( 且 )，则
构成空间的一个基底
D．若 ､ ､ 不能构成空间的一个基底，则 ､ ､ ､ 四点共面
11．若平面 ､ 的一个法向量分别为 ， ，则（ ）
A． B．C． 与 相交但不垂直 D． 或 与 重合
12．已知直线 的一个方向向量 ，且直线 过 和
两点，则 （ ）
A． B． C． D．
13．已知向量 ､ 分别是直线 ､ 的方向向量，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
14．如图， 平面 ，四边形 为矩形，其中 ， 是 的
中点， 是 上一点，当 时， （ ）．
A． B． C． D．
15．正方体 中，点 是侧面 的中心，若
，则 （ ）．
A．
B．C．
D．
16．已知三棱锥 中， ， ，则异面
直线 ， 所成角为（ ）
A． B． C． D．
17．已知三维数组 ， ，且 ，则实数 （ ）
A．-2 B．-9 C． D．2
二、多选题
18．已知正方体 的棱长为 ，点 分别是 ， 的中点，
在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离是
B．点 到平面 的距离是
C．平面 与平面 间的距离为
D．点 到直线 的距离为
19．给出下列命题，其中为假命题的是（ ）
A．已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 ，则
B．已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的一个方向向量，若 ，则与 所成角为
C．若三个向量 ， ， 两两共面，则向量 ， ， 共面
D．已知空间的三个向量 ， ， ，则对于空间的任意一个向量 ，总存在实数
使得
20．在平行六面体 中， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A．线段 的长度为
B．异面直线 夹角的余弦值为
C．对角面 的面积为
D．平行六面体 的体积为
21．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若 ，则必有 与 重合， 与 重合， 与 为同一线段
B．若 ，则 是钝角
C．若 ，则 与 一定共线
D．非零向量 ､ ､ 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 ､ ､ 必共面
22．下列命题中不正确的是（ ）.
A．若 ､ ､ ､ 是空间任意四点，则有
B．若 ，则 ､ 的长度相等而方向相同或相反
C． 是 ､ 共线的充分条件
D．对空间任意一点 与不共线的三点 ､ ､ ，若 ()，则 ､ ､ ､ 四点共面
23．在正方体 中，点 在线段 上运动，下列说法正确的是（
）
A．平面 平面 B． 平面
C．异面直线 与 所成角的取值范围是 D．三棱锥 的体积不
变
24．（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为2的正方形， ，
， ， 均与底面 垂直，且 ，点 ，
分别为线段 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与平面 平行
B．三棱锥 的外接球的表面积是
C．点 到平面AEF的距离为
D．若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是
25．如图1，在边长为2的正方形 中， ， ， 分别为 ， ， 的
中点，沿 ､ 及 把这个正方形折成一个四面体，使得 ､ ､ 三点重合于 ，得到四面体 (如图2).下列结论正确的是（ ）
A．四面体 的外接球体积为
B．顶点 在面 上的射影为 的重心
C． 与面 所成角的正切值为
D．过点 的平面截四面体 的外接球所得截面圆的面积的取值范围是
26．如图，正方体 的棱长为1，P是线段 上的动点，则下列结
论中正确的是（ ）
A．
B． 的最小值为
C． 平面D．异面直线 与 ，所成角的取值范围是
27．已知梯形 ， ， ， ， 是线段
上的动点；将 沿着 所在的直线翻折成四面体 ，翻折的过程中
下列选项中正确的是（ ）
A．不论何时， 与 都不可能垂直
B．存在某个位置，使得 平面
C．直线 与平面 所成角存在最大值
D．四面体 的外接球的表面积的最小值为
第II卷（非选择题）
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三、填空题
28．已知二面角 为 ，在 与 的交线上取线段 ，且 ，
分别在平面 和 内，它们都垂直于交线 ，且 ， ，则 的长
为_________.
29．已知 ， ， ，若点 满足 ，则
点 的坐标为________．
30．在空间直角坐标系中， 、 ，若 ，则 的值为
________．31．已知 、 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，
则向量 的坐标为________．
32．正方体 的棱长为1， ､ 分别在线段 与 上，
的最小值为______.
33．已知点 ， ， ，若 ， ， 三点共线，则
______.
34．如图，正三棱柱 的高为4，底面边长为 是 的中点，
是线段 上的动点，过 作截面 ，使得 且垂足为 ，则三棱锥
体积的最小值为__________．
35．在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，， ， ，则 的长为___________.
36．如图，直三棱柱 中， ， ， ，
分别是 ， 的中点，则 与 所成的角的余弦值为___________.
37．在平行六面体 中， 是线段 的中点，若
，则 ______．
38．已知正四面体 的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正
四面体 表面上任意一点，则 的最小值为___________．
39．设 的对角线 和 交于 为空间任意一点，如图所示，若
，则 _______．四、双空题
40．边长为2的正方体 内（包含表面和棱上）有一点 ， 、
分别为 、 中点，且 （ ， ）．
（1）若 （ ），则 ______．
（2）若 （ ），则三棱锥 体积为______．
41．已知正四面体 内接于半径为 的球 中，在平面 内有一动点
，且满足 ，则 的最小值是___________；直线 与直线 所成
角的取值范围为___________.
42．如图，在直角梯形 中， ， .已知
.将 沿直线 翻折成 ，连接 .当三棱锥
的体积取得最大值时，异面直线 与 所成角的余弦值为___________；
若此时三棱锥 外接球的体积为 ，则a的值为___________.43．在空间直角坐标系中，已知 ，则 _______； 关
于 的对称点坐标为_______．
44．已知空间向量 ， ， 两两夹角均为 ，且 ．若存在
非零实数 ， ，使得 ， ，且
，则 ________， ________．
45．已知正方体 的棱长为1，则三棱锥 外接球的表面积
为_______，二面角 的余弦值为________．
46．在空间四边形ABCD中，若 ，点E、F分别是线段
BC、AD的中点，则 _______， 的坐标为___________．
47．已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，点M，N分别是棱BC，CC 的中点，则
1 1 1 1 1
二面角C﹣AM﹣N的余弦值为__．若动点P在正方形BCC B（包括边界）内运动，且
1 1
PA∥平面AMN，则线段PA 的长度范围是__．
1 148．如图所示，M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，P，Q是MN的三等
分点，用向量 表示 和 ，则 __________________；
____________________
49．在棱长为2的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面
（包含边界）．
（1）若点 与点 重合，则点 到平面 的距离是________；
（2）若 ，则线段 长度的取值范围是________．
50．如图，设 为平行四边形 所在平面外任意一点， 为 的中点.若
，则 __________， _________.
五、解答题
51．如图，四棱台 的上､下底面均为菱形， ，， 平面 ， ， ，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的角.
52．如图，四棱锥 的底面 是菱形， 平面 ，
， ， 点是棱 上一点．
（1）求证： ；
（2）当 是 的中点时，求二面角 的余弦值．
53．在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，平面 底面
， ．（1）求证： ；
（2）点 ， 分别在棱 ， ， ， ，求平面 与平
面 所成角的正弦值．
54．设空间两个不同的单位向量 ， 与向量 的夹
角都等于 ．
（1）求 和 的值；
（2）求 的大小．
55．已知 ， ．
（1）求 ；
（2）求 与 夹角的余弦值；
（3）求确定 、 的值使得 与 轴垂直，且 ．
56．如图，四棱锥 的底面 是边长为6的正方形， .（1）证明： ；
（2）当四棱锥 体积为 时，求二面角 的正弦值.
57．如图，正方形 所在平面与等边 所在平面互相垂直，设平面 与
平面 相交于直线 .
（1）求 与 所成角的大小；
（2）求二面角 的余弦值.
58．如图，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形， ，
， ，平面 平面 ， 是 的中点，且
.
（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
59．如图，在等腰梯形 中， ， ， ， 为
中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置（ 平面
）.
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的正弦值.
60．如图，正三棱锥 中， 与底面 所成角正切值为 ．
（1）证明： 面 ；
（2）设 为 的中心，延长 到点 使得 ，求二面角
的平面角的大小．
61．如图，在七面体 中，四边形 是菱形，其中 ，
为等边三角形，且 ， 为 的中点.（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
