文档内容
第12讲 圆锥曲线中的轨迹方程
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第11题,6分 求平面轨迹方程 由方程研究曲线的性质
2024年新Ⅱ卷，第5题,5分 求平面轨迹方程 无
由导数求函数的最值 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分 求平面轨迹方程 基本(均值)不等式的应用
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
2021年新I卷，第21题,12分 求双曲线的轨迹方程 双曲线中的定值问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定义
2.会用方法求解轨迹方程的相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解求轨迹方程的5种常用方法
1 直接法: 直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直
接法。
2 定义法: 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨
迹方程的方法叫做定义法。
3 相关点法: 用动点 M 的坐标 x，y 表示相关点 P 的坐标 (x 、y ) ，然后代入点 P的坐标
0 0
(x 、y ) 所满足的曲线方程，整理化简便得到动点 Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点
0 0
法。（用未知表示已知，带入已知求未知)
4 参数法: 当动点坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 x、y 与某一变数 t 的关系，
再消去参变数 t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5 交轨法: 将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求
轨迹方程的方法叫做交轨法。
考点一、 直接法求轨迹方程
1．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记
动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
2．（辽宁·高考真题）已知点 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
3．（湖北·高考真题）设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与
点P关于y轴对称，O为坐标原点，若 且 ，则点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（江苏·高考真题）如图所示，圆 与圆 的半径都是1， ，过动点 分别作圆 、圆 的
切线 （ 为切点），使得 ，试建立适当的坐标系，并求动点 的轨迹方程．5．（2021·浙江·统考高考真题）已知 ，函数 .若 成
等比数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
1．（2020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
2．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且
，则点P的轨迹方程为 .
3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点 ， ，若动点 满足 ，则动点
的轨迹方程为 .
4．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知 ， ，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率
与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·浙江温州·一模）动点 到定点 的距离与 到定直线 ： 的距离的比等于
，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点二、 定义法求轨迹方程
1．（重庆·高考真题）如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l： 的距离，若 ,求 的值.
2．（重庆·高考真题）如图， 和 是平面上的两点，动点P满足： ．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若 ，求点P的坐标．
3．（江西·高考真题）设动点P到两定点 和 的距离分别为 和 ， ，且存在常
数 ，使得 ．
(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
(2)如图，过点 的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在 ，使 是以点B为直角顶
点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点 的坐标满足方程 ，则动点M的
轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对
2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点 ， ，动点 满足条件 ，则动点
的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）若动点P(x,y)满足方程 ，则动点P的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北·一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|
OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（20-21高二上·安徽宿州·期末）在 中，已知 ， 且 的周长为16，则顶点
的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．6．（22-23高二·全国·课堂例题）若点 满足方程 ，则动点M的轨
迹方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N： ，直线 ，圆M与圆N外切，且与直线
相切，则点M的轨迹方程为 ．
8．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点F的坐标为 ，以线段FP为直径的圆与
圆 相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系 中，点 到点 距离与点 到直线 距离的差
为-1，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设点 的横坐标为 ．
（i）求 在点 处的切线的斜率（用 表示）；
（ii）直线 与 分别交于点 ．若 ，且 时，求直线 的斜率的取值范围（用
表示）．
10．（22-23高二上·浙江金华·期中）已知椭圆C： ＝1（ ）的右焦点F的坐标为 ，且
椭圆上任意一点到两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的标准方程
(2)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为 ，试问 的面积是否
存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
考点三、 相关点法求轨迹方程
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，
为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）C． （ ） D． （ ）
2．（上海·高考真题）点 与圆 上任一点连线的中点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
3．（全国·高考真题）设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段 的中点，则点M的
轨迹方程为 ．
4．（陕西·高考真题）如图，设P是圆 上的动点，点D是P在x轴上投影，M为 上一点，
且 .
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点 且斜率为 的直线被C所截线段的长度.
1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于
点 的对称点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为 的正方形 的顶点 、 分别在 轴和 轴上滑动，
为坐标原点， ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M满足 ，
则点M的轨迹方程为 ．
4．（2022高三·全国·专题练习）已知 ， ，当 时，线段 的中点
轨迹方程为 ．
5．（2023·吉林长春·模拟预测）已知斜率为 的动直线与椭圆 交于 两点，线段 的中点
为 ，则 的轨迹长度为 ．
考点 四 、 参数法求轨迹方程
1．（全国·高考真题）在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2 ,在y轴上截得线段长
为2 .
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为 ,求圆P的方程.
2．（·辽宁·高考真题）设椭圆方程为 ，过点 的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，
点P满足 ，点N的坐标为 ，当l绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2） 的最小值与最大值.
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知圆 与圆 内切，且圆 与直线 相切，则圆
的圆心的轨迹方程为 ．
2．（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆 ： 和圆 ： ，动圆M同时
与圆 及圆 外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 .
3．（2023·河南·模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，直线与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，若 交于点 ，则点 的轨迹方程为
.
考点 五 、 交轨法求轨迹方程
1．（全国·高考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 ，若点C满足
，其中 ， ，且 ，则点C的轨迹方程为
A． B．
C． D．
2．（湖南·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 的动直线与双曲线相交
于 两点．
（1）若动点 满足 （其中 为坐标原点），求点 的轨迹方程；
（2）在 轴上是否存在定点 ，使 · 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（福建·高考真题）如图，P是抛物线 上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
（1）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求 的取值范围.
1．（江西·高考真题）设点 在直线 上，过点P作双曲线 的两条切线，切点为A、B，定点 ．
(1)过点A作直线 的垂线，垂足为N，试求 的重心G所在的曲线方程；
(2)求证A、M、B三点共线．
2．（全国·高考真题）已知点 到两个定点 、 距离的比为 ，点 到直线 的距离为 ．
求直线 的方程．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的动弦， 是椭圆长
轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
一、单选题
1．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若 ，
则点P的轨迹方程为( )
A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4
2．（2024·山东泰安·一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若 ，则点 的轨迹为
（ ）
A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．圆
3．（2024·河南新乡·二模）已知N是圆 上的动点，点M满足 ，记M的轨迹为
E，则（ ）
A．E是与圆O相切的一条直线 B．E是半径为5的圆
C．E上的点到原点O的距离的最大值为8D．E与圆O相切
4．（2024·湖南·模拟预测）已知点 ，点 ，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动
点M的轨迹方程为（ ）A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·山东枣庄·期末）已知 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在
直线的斜率之积等于 ，则（ ）
A．当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，并除去 两点
B．当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，并除去 两点
C．当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，并除去 两点
D．当 时，顶点 的轨迹是焦点在 轴上的双曲线，并除去 两点
6．（2024·贵州贵阳·三模）过点 的直线 与圆 相交于不同的两点M，N，则线
段MN的中点 的轨迹是（ ）
A．一个半径为10的圆的一部分 B．一个焦距为10的椭圆的一部分
C．一条过原点的线段 D．一个半径为5的圆的一部分
二、多选题
7．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知点 是一个动点，则下列说法
正确的是（ ）
A．若 ，则点 的轨迹为椭圆
B．若 ，则点 的轨迹为双曲线
C．若 ，则点 的轨迹为一条直线
D．若 ，则点 的轨迹为圆
三、填空题
8．（2024·江苏南通·二模）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，则线段
中点 的轨迹方程为 .
9．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点 ，若 为平面上的一个动点
且 ，则点 运动所形成的曲线的方程为 ．
四、解答题
10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知A，B两点的坐标分别是 ，直线AM，BM相交于点
M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 ，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．
(2)将曲线C向上平移4个单位得到曲线E，已知斜率为3的直线l与曲线E有两个不同的交点 且满足
，求直线l的方程．
一、单选题
1．（2024·河南信阳·模拟预测）已知椭圆C： 的下顶点为A，斜率不为0的直线 与C交于B，D
两点，记线段 的中点为E，若 ，则（ ）
A．点E在定直线 上 B．点E在定直线 上
C．点E在定直线 上 D．点E在定直线 上
2．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 ，动点 满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹为圆 B．点 到原点最短距离为2
C．点 的轨迹是一个正方形 D．点 的轨迹所围成的图形面积为24
3．（2024·四川宜宾·三模）已知抛物线C： ，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相
切，则点P的轨迹是（ ）
A．一条抛物线 B．一个圆 C．一条直线 D．一段线段
4．（2024·安徽·模拟预测）已知 ， 为圆 ： 上的动点，且动点 满足： ，
记 点的轨迹为 ，则（ ）
A． 为一条直线 B． 为椭圆
C． 为与圆 相交的圆 D． 为与圆 相切的圆
二、多选题
5．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是动点．下列命
题正确的是（ ）
A．若 ，则 的轨迹的长度等于2
B．若 ，则 的轨迹方程为
C．若 ，则 的轨迹与圆 没有交点D．若 ，则 的最大值为3
三、填空题
6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 为坐标原点，矩形 的顶点A，C在抛物线 上，则顶点
B的轨迹方程为 ．
四、解答题
7．（2024·河北石家庄·二模）已知 为平面上一个动点， 到定直线 的距离与到定点 距离的
比等于 ，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出
该定值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是 轴上的动点， 是平面内的动点，线段
的垂直平分线交 轴于点 ，交 于点 ，且 恰好在 轴上，记动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程
(2)过点 的直线 与曲线 交于 两点，直线 与直线 分别交于点 ，设线段 的
中点为 ，求证：点 在曲线 上．
9．（2024·广东广州·模拟预测）将 上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），所得曲线
为 .记 ，过点 的直线与 交于不同的两点 ，直线 ， 与 分别交于点 .
(1)求 的方程；
(2)设直线 ， 的倾斜角分别为 ， （ ， ），求 的值.
10．（2024·安徽合肥·三模）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 ，
其中 ，且 ，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点 ，若曲线 上两动点 均在 轴上方， ，且 与 相交于点 ．当
时，
（ⅰ）求证： 为定值
（ⅱ）求动点 的轨迹方程．11．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C交于
A，B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.
(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
12．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E： 的左右焦点分别为 ， ，过焦点 斜率为 的直
线 与椭圆E交于A，B两点，过焦点 斜率为 的直线 与椭圆E交于C，D两点，且 ．
(1)求直线 与 的交点N的轨迹M的方程；
(2)若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为 ， ， ， ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，
满足 ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．
13．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的渐近线方程为 ，过
的左焦点 且垂直于一条渐近线的直线分别交两条渐近线于点 ， （ ， 在 轴同侧），且
．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)探究圆 ： 上是否存在点 ，使得过 作双曲线 的两条切线 ， 互相垂直，
并说明理由．
14．（2024·河北沧州·模拟预测）已知圆 ，圆 ．若动圆S与圆 、
圆 都内切，记动圆S的圆心的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知 ，过点 的直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别交直线 于M，N，设线
段MN的中点为G，判断点G是否在轨迹C上，并说明理由．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系中，过直线 上任一点 作该直线的垂线 ，
，线段 的中垂线与直线 交于点 ．
(1)当 在直线 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2)过 向圆 引两条切线，与轨迹 的另一个交点分别
①判断：直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
②求 周长的最小值．1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.
已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之
积为4，则（ ）
A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
2．（全国·统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
3．（江苏·高考真题）已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足
,则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A． B． C． D．
4．（上海·高考真题）直角坐标平面 中，若定点 与动点 满足 ，则点 的轨迹
方程是
5．（四川·高考真题）如图，动点 到两定点 、 构成 ，且 ，设动点
的轨迹为 ．
（1）求轨迹 的方程；
（2）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹 相交于点 ，且 ，求 的取值范围．
