第51讲 立体几何中的截面问题
知识梳理
解决立体几何截面问题的解题策略．
1、坐标法
所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，为解决立
体几何问题增添了一种代数计算方法．
2、基底法
所谓基底法是不需要建立空间直角坐标系，而是利用平面向量及空间向量基本定理作为
依托，其理论依据是：若四点E、F、G、H共面，P为空间任意点，则有：
结论1：若EG与EH不共线，那么EF=λEG+μEH；
结论2：PE=λPF+μPG+ηPH(λ+μ+η=1)．
3、几何法
从几何视角人手，借助立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行的性质与判定定理以
及平面几何相关定理、结论，通过论证，精准找到该截面与相关线、面的交点位置、依次连接这
些点，从而得到过三点的完整截面，再依据题意完成所求解答或证明．
必考题型全归纳
1 题型一：截面作图
2546 (2024·全国·高一专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为6，M是AB 的
1 1 1 1 1 1
中点，点N在棱CC 上，且CN=2NC.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD-
1 1
ABCD 所得的截面，写出作法；
1 1 1 1
2547 (2024·江苏·高一专题练习)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别
1 1 1 1
是棱AA ，CC 的中点，过E作平面α，使得α⎳平面BDF.
1 1
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466 1043(1)作出α截正方体ABCD-ABCD 所得的截面，写出作图过程并说明理由；
1 1 1 1
(2)求平面α与平面BDF的距离.
2548 (2024·全国·高一专题练习)(1)如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，M，N
1 1 1 1
是棱AB ，AD 的中点，在图中画出过底面ABCD中的心O且与平面AMN平行的平面
1 1 1 1
在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长为： ；
(2)作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面，截面多边形的边数为 ．
2549 (2024·全国·高一专题练习)如图①，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，P为线段
1 1 1 1
BC的中点，Q为线段CC 上的动点，过点A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S.
1
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467 1043(1)若1<CQ<2，请在图①中作出截面S(保留尺规作图痕迹)；
(2)若CQ=1(如图②)，试求截面S将正方体分割所成的上半部分的体积V与下半部分
1
的体积V之比.
2
2550 (2024·全国·高一专题练习)如图，已知正方体ABCD-ABCD ，点E为棱CC 的中
1 1 1 1 1
点.
(1)证明：AC ⎳平面BDE.
1
(2)证明：AC ⊥BD.
1
(3)在图中作出平面BED 截正方体所得的截面图形(如需用到其它点，需用字母标记并
1
说明位置)，并说明理由.
2551 (2024·江苏·高一专题练习)已知正方体ABCD-ABCD 是棱长为1的正方体，M是
1 1 1 1
棱AA 的中点，过C、D 、M三点作正方体的截面，作出这个截面图并求出截面的面积．
1 1
2 题型二：截面图形的形状、面积及周长问题
2552 (2024·全国·高三专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，P为BC的中
1 1 1 1
点，Q为线段CC 上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列
1
命题中正确命题的个数为 ( )
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468 10431
①当0<CQ< 时，S为四边形；
2
1
②当CQ= 时，S为等腰梯形；
2
3 1
③当CQ= 时，S与CD 的交点R 满足CR = ；
4 1 1 1 1 1 3
3
④当 <CQ<1时，S为六边形；
4
A.1 B.2 C.3 D.4
2553 (2024·四川成都·高二双流中学校考期中)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,
1 1 1 1
M,N为线段BC,CC 上的动点，过点A,M,N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命
1 1
题正确的个数是 ( )
①当BM=0且0<CN<1时，S为等腰梯形；
1
②当M，N分别为BC,CC 的中点时，几何体A -DMN的体积为 ；
1 1 1 12
3 1
③当M为BC中点且CN= 时，S与CD 的交点为R，满足CR= ；
4 1 1 1 6
④当M为BC中点且0≤CN≤1时，S为五边形.
A.1 B.2 C.3 D.4
2554 (2024·全国·高一专题练习)如图正方体ABCD-ABCD ，棱长为1，P为BC中点，Q
1 1 1 1
为线段CC 上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若CQ=λCC ，
1 1
则下列结论错误的是 ( )
1
A.当λ∈0,
2
1
时，Ω为四边形 B.当λ= 时，Ω为等腰梯形
2
3
C.当λ∈ ,1
4
6
时，Ω为六边形 D.当λ=1时，Ω的面积为
2
2555 (2024·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考开学考试)如图，在棱长为 2的正方体
ABCD-ABCD中，点E、F、G分别是棱AB、BC、CD的中点，则由点E、F、G确定
的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．
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469 10432556 (2024·河南信阳·高二信阳高中校考阶段练习)在一次通用技术实践课上，木工小组需要
将正方体木块截去一角，要求截面经过面对角线AC上的点P(如图)，且与平面BCD 平
1 1
行，已知AA =10cm，AP=6cm，则截面面积等于 cm2.
1
2557 (2024·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习)正方体ABCD-ABCD 的棱长是a，
1 1 1 1
其中E是CD中点，F是AA 中点，则过点E,F,B 的截面面积是．
1 1
2558 (2024·全国·高三专题练习)已知直三棱柱ABC-ABC 的侧棱长为2，AB⊥BC，
1 1 1
AB=BC=2，过AB，BB 的中点E，F作平面α与平面AACC垂直，则所得截面周长
1 1 1
为 ．
2559 (2024·全国·高三专题练习)棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，点E为棱BC的
1 1 1 1
中点，则过B ，E，D三点的平面截正方体的截面周长为 ．
1
2560 (2024·四川泸州·四川省泸县第二中学校联考模拟预测)如图，在棱长为2的正方体
ABCD-ABCD ，中，点E为CD的中点，则过点C且与BE垂直的平面α被正方体
1 1 1 1 1
ABCD-ABCD 截得的截面周长为 ．
1 1 1 1
3 题型三：截面切割几何体的体积问题
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470 10432561 (2024·广东广州·高一统考期末)在棱长为a的正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别
1 1 1 1
为棱BC，CC 的中点，过点A，E，F作一个截面，该截面将正方体分成两个多面体，则体
1
积较小的多面体的体积为 .
2562 (2024·辽宁锦州·校考一模)在正四棱锥S-ABCD中，M为SC的中点，过AM作截面
V
将该四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V,V，则 2 的最大值是
1 2 V
1
.
2563 (2024·浙江·高二竞赛)在正四棱锥S-ABCD中，M在棱SC上且满足SM=2MC.过
V
AM作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为V，V，则 2 的
1 2 V
1
最大值为 .
2564 (2024·上海·高二专题练习)如图，正方体ABCD-ABCD ，中，E、F分别是棱AB、
1 1 1 1
BC的中点，过点D 、E、F的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为
1
V,V，记V<V，则V:V= .
1 2 1 2 1 2
2565 (2024·全国·高一专题练习)如图所示，在长方体ABCD-ABCD中，用截面截下一个
三棱锥C-ADD，则三棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为 .
2566 (2024·贵州贵阳·贵阳六中校考一模)在三棱柱ABC-ABC 中，AA ⊥底面ABC，
1 1 1 1
1
AB=BC=CA= AA ，点P是棱AA 上的点，AP=2PA ，若截面BPC 分这个棱柱
2 1 1 1 1
为两部分，则这两部分的体积比为 .
2567 (2024·广东揭阳·高一普宁市华侨中学校考阶段练习)如图，正方体ABCD-ABCD
1 1 1 1
中，E、F分别是棱AB 、CD 的中点，则正方体被截面BEFC分成两部分的体积之比
1 1 1 1
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471 1043V:V= .
1 2
4 题型四：球与截面问题
2568 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-
ABCD 中，M,N分别为棱AD,DD 的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截
1 1 1 1 1 1 1
面的面积的最小值为 ( )
π π 3π π
A. B. C. D.
6 4 8 2
2569 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)在矩形ABCD中，AB=3,AD=
4，将△ABD沿对角线BD翻折至△ABD的位置，使得平面ABD⊥平面BCD，则在三
棱锥A-BCD的外接球中，以AC为直径的截面到球心的距离为 ( )
435 6 2 239 113
A. B. C. D.
10 5 10 10
32π
2570 (2024·海南·高三校联考期末)已知某球的体积为 ，该球的某截面圆的面积为3π，则
3
球面上的点到该截面圆圆心的最大距离为 ( )
5
A.1 B.3 C.2+ 3 D.
2
2571 (2024·江西南昌·江西师大附中校考三模)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，
1 1 1 1
E为棱CC 上的一点，且满足平面BDE⊥平面ABD，则平面ABD截四面体ABCE的
1 1 1
外接球所得截面的面积为 ( )
13 25 8 2
A. π B. π C. π D. π
6 12 3 3
2572 (2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测)已知球O是正三棱锥A-BCD
(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，BC= 3，AB= 2，点E
是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是 ( )
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472 10433π 2π π π
A. B. C. D.
4 3 2 4
2573 (2024·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测)已知半径为4的球O，被两个平面截得
2
圆O 、O ，记两圆的公共弦为AB，且OO =2，若二面角O -AB-O 的大小为 π，则
1 2 1 2 1 2 3
四面体ABOO 的体积的最大值为 ( )
1 2
4 8 4
A.8 3 B. 2 C. 2 D. 3
9 9 9
2574 (2024·全国·高三专题练习)已知球O和正四面体A-BCD，点B、C、D在球面上，底面
BCD过球心O，棱AB、AC、AD分别交球面于B 、C 、D ，若球的半径R= 3，则所得
1 1 1
多面体BCD -BCD的体积为 ( )
1 1 1
9 2 9 2 23 2 13 2
A. B. C. D.
8 4 12 6
2575 (2024·天津红桥·统考二模)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球
的体积为 ( )
4 3 4 2 8 3 8 2
A. π B. π C. π D. π
3 3 3 3
5 题型五：截面图形的个数问题
2576 (2024·全国·高三专题练习)过正四面体P-ABC的顶点P作平面α，若α与直线PA，
PB，PC所成角都相等，则这样的平面的个数为( )个
A.3 B.4 C.5 D.6
2577 (2024·陕西榆林·陕西省榆林中学校考三模)过正方体ABCD-ABCD 的顶点A作
1 1 1 1
平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，则满足条件的平面α的个数为
( )
A.1 B.3 C.4 D.6
2578 (2024·全国·高三专题练习)设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截
此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α
A.有无数多个 B.恰有4个 C.只有1个 D.不存在
2579 (2024·浙江·模拟预测)过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，
且使截面与底面BCD所成的角为75°，这样的截面有 ( )
A.6个 B.12个 C.16个 D.18个
2580 (2024·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期中)空间给定不共面的A，B，C，D四个
点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个
点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个
数是 个
6 题型六：平面截圆锥问题
2581 (多选题)(2024·广东·高二统考期末)圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从
圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线(截而与圆
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473 1043锥侧面的交线)是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角θ
不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭
圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与θ和圆锥轴截面半顶角α有如下关
π
系 θ,α∈0,
2
；当θ>α时，截口曲线为椭圆；当θ=α时，截口曲线为抛物线：当0<α
时，截口曲线为双曲线.(如左图)
现有一定线段AB与平面β夹角φ(如上右图)，B为斜足，β上一动点P满足∠BAP=γ，
设P点在β的运动轨迹是Γ，则 ( )
π π π π
A.当φ= ，γ= 时，Γ是椭圆 B.当φ= ，γ= 时，Γ是双曲线
4 6 3 6
π π π π
C.当φ= ，γ= 时，Γ是抛物线 D.当φ= ，γ= 时，Γ是椭圆
4 4 3 4
2582 (2024·辽宁阜新·校考模拟预测)比利时数学家丹德林(GerminalDandelin)发现：在圆
锥内放两个大小不同且不相切的球使得它们与圆锥的侧面相切，用与两球都相切的平面
截圆锥的侧面得到的截线是椭圆．这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为20，
底面半径为4的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切．若一个平面与两个球
均相切，则此平面截圆柱侧面所得的截线为一个椭圆，则该椭圆的短轴长为 ( )
A.12 B.4 C.2 5 D.8
2583 (2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模).如图是数学家GerminalDandelin用来证
明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两
个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O ，球O 的半径分
1 2
别为4和1，球心距O 1 O 2 =6，截面分别与球O ，球O 切于点E，F，(E，F是截口椭圆的 1 2
焦点)，则此椭圆的离心率等于 ( )
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474 104333 6 2 1
A. B. C. D.
9 3 2 6
2584 (2024·上海·高二专题练习)如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多
人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家
Germinaldandelin(1794-1847)的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不
同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，两个球分别与截面相切于E,F，在截口曲
线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C,B，由球和圆的几何性质，可
以知道，AE=AC，AF=AB，于是AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的产生方法可
知，它们之间的距离BC是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E,F为焦点的椭圆.
如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影
是椭圆，已知AA 是椭圆的长轴，PA 垂直于桌面且与球相切，PA =5，则椭圆的焦距为
1 2 1 1
( )
A.4 B.6 C.8 D.12
2585 (2024·全国·高三对口高考)如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α,PB⊥α，C是
α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是 ( )
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475 1043A.一条线段，但要去掉两个点 B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点
2586 (2024·全国·学军中学校联考模拟预测)已知空间中两条直线l 、l 异面且垂直，平面α∥
1 2
l 且l ⊂α，若点P到l 、l 距离相等，则点P在平面α内的轨迹为 ( )
1 2 1 2
A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2587 (2024·宁夏银川·校联考二模)已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上的两
点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹 ( )
A.是圆 B.是椭圆 C.是抛物线 D.不是平面图形
2588 (2024·四川广安·高二广安二中校考期中)美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑
等)和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构
素描是学习索描的重要一步.某同学在画切面圆柱体(用与圆柱底面不平行的平面去截圆
柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切
面圆柱体的母线)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母
线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是一个底角为60°的直角梯形，设圆柱半
径r=1，则该椭圆的焦距为 ( )
2 3 3 3 1
A. B. C. D.
3 3 2 3
2589 (2024·全国·高三专题练习)如图，正方体AC ，P为平面BBD 内一动点，设二面角A
1 1 1 1
-BD -P的大小为α，直线AP与平面ABD 所成角的大小为β.若cosβ=sinα，则点
1 1 1 1
P的轨迹是 ( )
第 页 共 页
476 1043A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
2590 (2024·四川广安·高二统考期末)已知四棱锥P-ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面
PAB，底面ABCD是梯形，AB=AD=2，BC=4，∠APD=∠CPB，满足上述条件的四
棱锥的顶点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.圆 D.不完整的圆
2591 (2024·全国·校联考模拟预测)用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的
轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把
圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．已知某圆锥的轴截面是正三角形，平面α与该
π
圆锥的底而所成的锐二面角为 ，则平面α截该圆锥所得椭圆的离心率为 ．
6
7 题型七：截面图形有关面积、长度及周长范围与最值问题
2592 (2024·西藏林芝·统考二模)在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=BC=4，平
面α经过AC的中点E，并且与BC垂直，当α截此三棱锥所得的截面面积最大时，此时三
棱锥A-BCD的外接球的表面积为 ( )
80 3 70 80
A. π B. π C.20π D. π
3 3 3
2593 (2024·贵州·高二校联考阶段练习)已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为
3π，则过圆锥顶点的截面面积最大值为 ( )
A.1 B. 3 C.2 D.2 3
2594 (2024·全国·高一专题练习)若球O是正三棱锥A-BCD的外接球，BC=3,AB=
2 3，点E在线段BA上，BA=3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的
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477 1043截面的面积为 ( )
8π 4π
A. B.2π C. D.π
3 3
2595 (2024·高一课时练习)在三棱锥A-BCD中，AB=BC=CD=DA=2 2,∠ADC=
∠ABC=90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面
上，E,F分别在线段OB,CD上运动(端点除外)，BE= 2CF.当三棱锥E-ACF的体
积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为 ( )
3
A.π B. 3π C. π D.2π
2
2596 (2024·江西·高一宁冈中学校考期末)棱长为1的正方体ABCD-ABCD 的8个顶点
1 1 1 1
都在球O的表面上，E，F分别为棱AB，AD 的中点，则经过E，F球的截面面积的最小
1 1
值为 ( )
3 π 5 7
A. π B. C. π D. π
8 2 8 8
2597 (2024·全国·高三对口高考)如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为2 3，动点P在对
1 1 1 1
角线BD 上，过点P作垂直于BD 的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周
1 1
长为y，设BP=x，则当x∈1,5 时，函数y=fx 的值域为 ( )
A. 3 6,6 6 B. 6,2 6 C. 0, 6 D. 0,3 6
2598 (2024·全国·高一专题练习)如图所示，在长方体ABCD-ABCD 中，点E是棱CC
1 1 1 1 1
上的一个动点，若平面BED 与棱AA 交于点F，给出下列命题：
1 1
①四棱锥B -BEDF的体积恒为定值；
1 1
②四边形BEDF是平行四边形；
1
③当截面四边形BEDF的周长取得最小值时，满足条件的点E至少有两个；
1
④直线DE与直线DC交于点P，直线DF与直线DA交于点Q，则P、B、Q三点共线.
1 1
其中真命题是 ( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
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478 10432599 (2024·高一课时练习)正方体ABCD-ABCD 中作一截面与AC 垂直，且和正方体
1 1 1 1 1
所有面相交，如图所示．记截面多边形面积为S，周长为C，则 ( )
A.S为定值，C不为定值 B.S不为定值，C为定值
C.S和C均为定值 D.S和C均不为定值
2600 (2024·四川内江·高二统考期末)如图所示，在长方体ABCD-ABCD 中，BB =
1 1 1 1 1
BD ，点E是棱CC 上的一个动点，平面BED 交棱AA 于点F，下列命题错误的是
1 1 1 1 1
( )
A.四棱锥B -BEDF的体积恒为定值
1 1
B.存在点E，使得BD⊥平面BDE
1 1
C.存在唯一的点E，使得截面四边形BEDF的周长取得最小值
1
D.对于棱CC 上任意一点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CG∥平面EBD
1 1
8 题型八：截面有关的空间角问题
2601 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测)在正方体ABCD-ABCD 中，E为
1 1 1 1
BC 中点，过A,D,E的截面α与平面AABB的交线为l，则异面直线l与BC所成角的
1 1 1 1 1 1
余弦值为 ( )
10 5 10 15
A. B. C. D.
10 5 5 5
2602 (2024·高一课时练习)在棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中，E为AD 的中点，过
1 1 1 1 1 1
点A．C．E的截面与平面BDDB 的交线为m，则异面直线m与CC 所成角的正切值
1 1 1
为 ( )
3 2 2 2
A. 2 B. C. D.
4 2 4
2603 (2024·全国·高一专题练习)平面α过正方体ABCD-ABCD 的顶点A，α⎳平面
1 1 1 1
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479 1043CBD ，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABBA =n，则m、n所成角的正弦值为 ( )
1 1 1 1
3 2 3 1
A. B. C. D.
2 2 3 3
2604 (2024·四川成都·高三校联考期末)在正方体ABCD-ABCD 中，E为线段AD的中
1 1 1 1
点，设平面ABC 与平面CCE的交线为m，则直线m与AC所成角的余弦值为 ( )
1 1 1
1 3 10 2 5
A. B. C. D.
2 2 5 5
2605 (2024·陕西安康·高二统考期中)在正方体ABCD-ABCD 中，E为线段AD的中点，
1 1 1 1
设平面ABC 与平面CCE的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为 ( )
1 1 1
5 10 15 30
A. B. C. D.
5 10 10 10
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480 1043
