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第 10 讲 第七章 立体几何与空间向量（综合测试）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，
则球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）若水平放置的四边形 按“斜二测画法”得到如图所示的直
观图，其中 ， ， ， ，则原四边形中 的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2022·江西·高三阶段练习（理））1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，
其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：
．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则
（ ）
A．50 B．52 C．60 D．62
4．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱 中，AC与BD的交点为点M， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线
DM所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
6．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面 的法向量为 ，点 在平
面 内，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖北·石首市第一中学高二阶段练习）如图（1），在矩形 中， ， 为线段
上一点（不是端点），沿线段 将 折成 （如图（2）），使得平面 平面 ，
且二面角 的余弦值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体 的棱长为a，E是棱 的动点，
则下列说法正确的（ ）个．
①若E为 的中点，则直线 平面
②三棱锥 的体积为定值
③E为 的中点时，直线 与平面 所成的角正切值为
④过点 ，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 ，若 ，则
B．若空间四个点 ， ，则 三点共线
C．已知向量 ，若 ，则 为钝角
D．任意向量 满足
10．（2022·辽宁·高一期末）已知 ， 是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正
确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
11．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角 沿BC向上
翻折，得三棱锥 设 ，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点.下列说法
正确的是（ ）
A．存在某个位置，使
B．存在某个位置，使
C．当三棱锥 体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为
D．当 时， 的最小值为
12．（2022·广东广州·高二期末）正方形 ，的棱长为1， ， 分别为 ， 的中点，
下列说法正确的有（ ）
A．直线 与平面 垂直
B．平面 截正方体所得的截面周长为
C．在线段 上存在点 ，使异面直线 与 所成的角是30°
D．在棱 上存在点 ，使得点 和点 到平面 的距离相等三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知某圆锥的底面周长为4π，侧面积为2 π，则该圆锥的体积为
_______．
14．（2022·辽宁抚顺·高一期末）已知 的顶点都在半径为 的球 的球面上，球心 到平面 的
距离为 ，则球 的表面积为___________.
15．（2022·广西桂林·高一期末）十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋
糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图①和图②两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根
据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸
小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是
________(注：填图①或图②)．
16．（2022·河北保定·高一期末）如图，在三棱锥 中， 平面 米， 米，
与底面 所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点 出发，沿着侧面 走到 上的一点，再沿着侧面
继续走到棱 上，则这只蚂蚁从点 出发到达棱 的最短路程为_______米，这只蚂蚁的最短路线
与 的交点到底面 的距离为______米.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）17．（2022·内蒙古包头·高一期末）如图，三棱柱 中， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求三棱柱 的体积．
18．（2022·四川·遂宁中学高一期末）如图，正方体 ，其外接球与内切球的表面积之和为
，过点 的平面 与正方体的面相交，交线围成一个正三角形.
(1)在图中画出这个正三角形（不必说明画法和理由）；
(2)平面 将该正方体截成两个几何体，求体积较大的几何体的体积和表面积.
19．（2022·湖南衡阳·高二期末）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC
的中点．(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD， ，且 ，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
20．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）如图1，四棱锥 中， 底面 ，底面
是直角梯形， ， ， ， ， ， ， 为侧棱 上靠近
点 的四等分点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值.
21．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）图1是直角梯形 ，四边形 是
边长为2的菱形，并且 ，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如
图2.(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所成
角的正弦值.
22．（2022·辽宁实验中学模拟预测）如图所示正四棱锥
(1)求证：
(2)若沿侧棱将此四棱锥剪开，四个侧面向外旋转，PAD旋转至 旋转至 如图所示，其中二
面角 与二面角 相同，当 时，求平面 与 所成的锐二面角的余弦值
