文档内容
第 10 讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022 新高考一卷第 10 题
已知函数 ，则
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【思路分析】对函数 求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项 ；
由 ，可判断选项 ；假设 是曲线 的切线，设切点为 ，
求出 ， 的值，验证点 是否在曲线 上即可．
【解析】
【解法一】(验证切点)： ，令 ，解得 或 ，令 ，
解得 ，
在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， 且
，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项 正确，选项 错误；
又 ，则 关于点 对称，故选项 正确；
假设 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，解得 或 ，
显然 和 均不在曲线 上，故选项 错误．
故选： ．
【解法二】 (二级结论)：对于A、B的判断，同法一；
对于 C，应用结论：三次函数的对称中心为其拐点，而拐点的横坐标满足
。
(x)=3 −1, (x)=6x，由 (x)=6x=0 得 x=0，f(0)=1，故点(0,1)是曲线 y= f(x)的
对称中心，C正确；
对于 D，设过原点的直线与函数 f(x)切于点(m,n)，则切线斜率 k=3 −1=
，解得m= ≠2，D错误 。
【解法三】(平移)：对于A、B的判断，同法一；
对于C，f(x)是由g (x)= x向上平移一个单位而得到，显然g(x)是奇函数，其对称中心为(0,0)，将其向上平移一个单位得到f(x)的对称中心(0,1)。下同法二。
【试题评价】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切
线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图像
等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试题
既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性思
维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、 函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
二、 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用 f′(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间
上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对 函数值变
函数的图象
值 化比较“陡峭”(向上或向
越大 快
下)
比较“平缓”(向上或向
越小 慢
下)
四、 函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，
f′(a)＝0，而且在点 x＝a附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，就把 a 叫做函数
y＝f(x)的极小值点， f ( a ) 叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，
f′(b)＝0，而且在点 x＝b附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，就把 b 叫做函数
y＝f(x)的极大值点， f ( b ) 叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、 函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x )＝0时，
0
(1)如果在x 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x )是极大值；
0 0
(2)如果在x 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x )是极小值．
0 0
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根；
(3)列表；
(4)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况
求极值．
六、 函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那
么它必有最大值和最小值．2．对于函数 f(x)，给定区间 I，若对任意 x∈I，存在 x ∈I，使得 f(x)≥f(x )，则
0 0
称 f(x )为函数 f(x)在区间 I 上的最小值；若对任意 x∈I，存在 x ∈I，使得
0 0
f(x)≤f(x )，则称f(x )为函数f(x)在区间I上的最大值．
0 0
思考 如图所示，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，找出函数 f(x)在区间
[a，b]上的最大值、最小值．若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？
答案 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x )．
3
若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x )，无最大值．
3
七、 求函数的最大值与最小值的步骤
函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值
与最小值的步骤如下：
(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是最大
值，最小的一个是最小值．
三年真题
一、单选题
1． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必
有（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ， ，
所以 在 上为常函数或递减,
若 在 上为单调递减，所以 ，
即 ①， ②
①②两式相乘得：
所以 ，
若 在 上为常函数，且 ，则 ，
即 ③， ④，
③④两式相乘得：
所以 ，
综上所述，
故选：A
2．设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时， ．且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，因此函数 在 上是奇函数．
① 当 时， ， 在 时单调递增，
故函数 在 上单调递增．，
，
．
②当 时，函数 在 上是奇函数，可知： 在 上单调递增，且 （3） ，
，的解集为 ．
③当 时， ，不符合要求
不等式 的解集是 ， ， ．
故选：D
3．用计算器验算函数 的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A． 在 上是单调减函数 B． 的值域为
C． 有最小值 D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，A错误
，B错误；
在 上单调递增，在 上单调递减，其在 上无最小值，C错误；
综上，可排除 ,
故选：D.
4．已知 ，在下列不等式中成立的一个是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】A.令 ，则 ，函数 在 上单调递增，所
以 ，即 .故选项A不正确.
B.当 时， ，当 时， .故选项B不正确.
C. 时， .故选项C不正确.
D.由C选项知选项D正确.
故选：D.
5．设 是函数 的导函数， 的图像如图所示，则 的图像最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】由导函数的图象可得当 时， ,函数 单调递增；
当 时， ,函数 单调递减；
当 时， ,函数 单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选:C.
6．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间
内有极小值点（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【详解】解：由导函数 在区间 内的图象可知，函数 在 内的图象与 轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极
小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，
它是极大值点.所以函数 在开区间 内的极小值点有 个.
故选：A.
7．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
8．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
9．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四
棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
二、多选题
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
12．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.三年模拟
一、单选题
1．设定义R在上的函数 ，满足任意 ，都有 ，且 时， ，
则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，任意 ，都有 ，所以 是周期为 的周期函数.
所以 .
构造函数 ，
所以 在区间 上单调递增，所以 ，
即 ，也即 .
故选：A
2．设 是函数 的导函数，且 ， （e为自然对数的底数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以函数 在 上为增函数，
不等式 即不等式 ，
又 ， ，
所以不等式 即为 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
3．已知函数 ，下列说法中，正确的是（ ）
A．函数 不是周期函数
B．点 是函数 图象的一个对称中心
C．函数 的增区间为D．函数 的最大值为
【答案】C
【详解】对于A， ，
故函数 是周期函数，A错；
对于B，
，
所以，点 不是函数 图象的一个对称中心，B错；
对于C，由 ，
可得 ，解得 ，
所以，函数 的增区间为 ，C对；
对于D，由 可得 ，解得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 .
由A知，函数 为周期函数，且 为函数 的一个周期，
不妨考虑函数 在区间 上的最大值，
由题意知，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以， ，D错.
故选：C.
4．已知函数 有两个极值点 ，若 ，则关于x的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解： ，
由题意知 是函数的两个极值点，即 是方程 的两根，
从而关于 的方程 有两个根， 或 ，
若 ，所以根据题意画图，
由图可看出 有两个不等实根， 只有一个不等实根，
综上方程 的不同实根个数为3个.
故选：B.
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 ， .
则 ，设 ， .
，所以 在 单调递增， .
所以 ，即 在 单调递增，所以 ，即 ，即 ， .
设 ， ，
所以 在 单调递增， ，即 .
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
故选：A
6． 的最小值是 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，令 ，得 ，则 在 上单调递减， 上单调递增，
即函数 在 处取得最小值 ，
所以问题转化为 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立
当 时，不符合.
当 时，对称轴 ，则 或解得 或 ，
所以
故选：A.
7．已知函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数x都有 ，当 时，
，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，∵当 时， ，则 ，所以当
时，函数 单调递减．
因为对于任意的实数x都有 ，所以 ，即 为偶函数，
所以当 时，函数 单调递增．
又 ， ，
，
又 ，所以 ，即 ，
故选:C．
8．给出定义：若函数 在区间D上可导，即 存在，且导函数 在D上也可导，则称 在
D上存在二阶导函数.记 ，若 在D上恒成立，则称 在D上为凸函数.若在 上是凸函数，则实数a可取的最大整数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】因为 ，
由凸函数的定义可得， 在 恒成立，
即 在 恒成立，
且当 时， ，
所以 ，则实数a可取的最大整数值为
故选:C.
9．已知 ，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，定义域关于原点对称，
，
所以 为 上的偶函数，
当 时, ，设 ，
则 ， ， ，
所以 即 在 上单调递减,所以 ,
所以 在 上单调递减,又因为 为偶函数,
所以 在 上单调递增，又因为 , ,
又因为 ,
因为 , ，所以 ,
所以 ，即 ,
所以 ,
所以 ,
即 .
故选：D.
10．已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
而 ， ，故 ，
而 ，故 ，故①错误.又 ，故 ，
故②正确， 此时 ，故④正确.
设 ，
则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，
故 ，必有 即 ，
所以 ，即 ，
由 的单调性可得 即 ，故③成立.
故选：B.
二、多选题
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 在定义域内是减函数
B．存在一个实数 ，使得函数 满足
C．对于任意的实数 ，函数 无极值点
D．当 时，若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，则
【答案】BC
【详解】A选项：当 时， ，定义域为 ，显然函数 在定义域内不具有
单调性，故A不正确；
B选项：当 时， ，此时满足 ，故B正确；
C选项：当 时， ，此时函数 是常函数，无极值点；当 时，函数，在 和 上都是单调的，因此不存在极值点，故C正确；
D选项：当 时，由 ， ， ，因此曲线 在点 处的切
线方程为 ，即 ，则切线与坐标轴交点坐标为： ，
，所以 ，解得 或 ，故D不正确.
故选：BC.
12．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上有7个零点 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为 D． 的值域为
【答案】AD
【详解】A选项：令 ，得 或 .由 ，得 ，因为
，所以 或 ；由 ，得 ，因为 ，所以 或 或
或 或 .故 在 上有7个零点，故A正确.
B选项：因为 ， ，所以 ，则 的图象不关于直线 对称，故B
错误.
C选项： ，故C错误.
D选项：，令
，则 ，令 ，则 ，所以当 时， ，
单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递
增.而 ， ，所以 ，
，即 的值域为 ，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合导数的性质是解题的关键.
13．已知函数 （ ， ， ），则下列说法正确的是（ ）
A．若实数 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或
B．函数 的图象过坐标原点的充要条件是
C．若函数 在 上单调，则
D．若函数 的图象关于点 中心对称，则
【答案】ABD
【分析】对于A：由题意知实数 是 的两个不等实根，得到 ， ，再由 得
，最后由 可求得 的取值范围；对于B：从充分性和必要性两方面分别进行证明即可；对于
C：由函数 在 上单调，则一定有 恒成立，显然C不正确；对于D：由题意知恒成立，可求得 ，D正确.
【详解】A选项： ，由题意知实数 是方程 的两个不等实根，（注
意：极值点与导函数的零点之间的关系）
所以 ，且 ， ，由 ，得 ，所以 ，解得
或 ，所以A正确；
B选项：若函数 的图象过坐标原点，则 ，故必要性成立；反之，若 ，则 ，
故函数 的图象过坐标原点，充分性成立，所以B正确；
C选项：若函数 在 上单调，则 恒成立，所以 ，即 ，所以
C不正确；
D选项：因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 ，即
，整理得 ，所以
，所以D正确.
故选：ABD.
14．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导数， 是
函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经过
探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.
若函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极大值点为
B． 有且仅有3个零点C．点 是 的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出 ，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判
断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据 的解的情况，
可判断C项；由对称中心可推得 ，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知 .
令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递增；
令 ，解得 ，所以在 上单调递减.
又 ， .
所以， 在 处有极大值 ，在 处有极小值 .
所以 的极大值点为-2，A项错误；
又极大值 ，极小值 ，作出 的图象，
有图象可知， 有且仅有3个零点，故B正确；，令 ，解得 ，
又 ，由题意可知，点 是 的对称中心，故C正确；
因为点 是 的对称中心，所以有 ，即 .
令 ，
又 ，
所以
，，所以 .故D正确.
故选：BCD.
15．已知 为坐标原点，抛物线 ： （ ）的焦点 为 ，过点 的直线 交抛物线
于 ， 两点，点 为抛物线 上的动点，则（ ）
A． 的最小值为
B． 的准线方程为
C．
D．当 时，点 到直线 的距离的最大值为
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的焦点坐标以及标准方程，结合抛物线的定义，利用图象，可得A、B的正误；设出
直线 的方程，联立直线与抛物线，写出韦达定理，根据数量积的坐标运算，整理函数关系，可得C的正
误；利用两平行线之间的距离公式，结合导数求得范围，可得D的正误.
【详解】对于A、B，由抛物线的焦点 ，则 ，即 ，其准线方程为 ，
设点 到准线的距离为 ，则 ，设点 到准线的距离为 ，易知 ，如下图：
故A错误，B正确；
对于C，由题意可知，过点 的直线 可设为 ，代入抛物线 ，可得
，
设 ，则 ，
，
将 代入上式，可得
，故C正确；
对于D，由C可得直线 的方程为 ，可设直线 的方程为 ，
易知点 到直线 的距离等于两平行线 与 的距离 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 和 上单调递减，在 上单调递增，由当 时， ，当 时， ，则 ， ，可得 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路，联立直线与圆锥曲线，写出韦达定理，解得题目中其他
条件，整理方程，可求得参数的值或者参数之间的等量关系，也可整理函数关系，求解范围.
16．已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【分析】对于A，代入 后对 求导，利用导数与函数极值的关系即可得证；对于B，构造函数
，利用导数求得 ，从而可证得 ；对于C，举反例排除即可；对于
D，利用极值点偏移的证明方法即可证得 .
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故A正确；
对于B，令 ，得 ，令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，整理得 ，即 恒成立，故B正确；
对于C，令 ，则 ，令 ，解得 ，故 只有1个零点，故C错误；
对于D，因为 是关于 的方程 的2个不等实数根，
所以 ，即 ，
所以问题等价于 有两个零点 ，证明 ，
不妨设 ，则由 得到 ，
要证 ，只需要证明 ，
即只需证明： ，
只需证明： ，即 ，
令 ，
只需证明： ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 恒成立，
综上所述，原不等式成立，即 成立，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令 ，利用导数可求得 单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正
确；B选项中，利用导数可求得 在 上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为 ，令
，利用导数可求得 ，由 可知B正确；C选项中，利用导数可求得
的单调性，由此确定 ，若 ，可等价转化为 ，令，利用导数可求得 单调性，从而得到 ，知 ，可得
C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为 ，从而可确定 ，结合
单调性得到 ，由此化简得到 ，令 ，利用导数可求得 最大值，
知D正确.
【详解】对于A，当 时， ，令 ，则 ， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
在 上单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上为增函数，A正确；
对于B，当 时， ，又 为正实数， ，
， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
则由 得： ，即 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
，则正实数 的最小值为 ，B正确；
对于C， ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增； ，则 ；
不妨设 ，则必有 ，若 ，则 ，等价于 ，
又 ，则等价于 ；
令 ，则 ，
， ， ， ，即 ，
在 上单调递增， ，即 ，
，可知 不成立，C错误；
对于D，由 ， 得： ，即
，
由C知： 在 上单调递减，在 上单调递增；
， ，则 ， ，
，即 ， ；
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 的最大值为 ，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于
（ ）的问题的基本步骤如下：①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关系，由此证得结论.
