押天津卷第17题学生版_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）323409112

押天津卷 17 题 空间向量与立体几何 考点 2年考题 考情分析 最近两年对于立体几何与空间向量的考察比较简单，主要包 2023年天津卷第17题 括线面平行的判定，直线与平面的夹角，平面与平面的夹 空间向量与 角，以及23年首次考察了点到平面的距离公式。预测24年 立体几何 2022年天津卷第17题 高考不会有大的变化，仍然考察线面平行判定，以及空间中 夹角和距离的运算。整体难度较低。 题型一立体几何与空间向量 17 ． （ 15 分 ） （ 2023• 天 津 ） 在 三 棱 台 中 ， 若 平 面 ， ， ， ， ， 分别为 ， 中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求平面 与平面 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点 到平面 的距离．17．（15分）（2022•天津）直三棱柱 中， ， ， ， 为 中点， 为 中点， 为 中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 的正弦值； （3）求平面 与平面 夹角的余弦值． 1．异面直线所成的角 若异面直线l，l 所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 1 2 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平 面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α 与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n 和n ，则平面α与平面β的夹角即为向量n 和n 的夹角或其补角．设 1 2 1 2 平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝. 1 2 常用结论 1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝| cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是. 4．点到直线的距离 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP＝a，则向量AP 在直线l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝. 5．点到平面的距离 如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线 l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量 QP的长度，因此PQ＝＝＝. 1．如图，三棱台 ABCA 1 B 1 C 1中，AB AC，AB AC 4， A 1 B 1  A 1 C 1  A 1 A2 ，侧棱 A 1 A 平面ABC，点D是 CC 1的中点． BB  ABC （1）求证： 1 平面 1 ； （2）求点 B 1到平面ABD的距离； （3）求平面 AB 1 C 和平面ABD夹角的余弦值． 2．如图所示，在三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1中， AA 1  平面 ABC，BAC 90， AB AC  AA 1 2 ，D是棱 CC 1的中点，M 为棱BC中点．P是AD的延长线与 A 1 C 1的延长线的交点． PB // BDA （Ⅰ）求证： 1 平面 1； （Ⅱ）求直线MP与平面 BDA 1所成角的正弦值； MPB BDA （Ⅲ）求平面 1与平面 1夹角的余弦值． 3．如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD， AB//CD,CD2AB2PD2AD4,AP2 2 ，点 E是棱PC上靠近P端的三等分点，点P是棱PA上一点． （Ⅰ）证明：PA//平面BDE； （Ⅱ）求点F 到平面BDE的距离；（Ⅲ）求平面BDE与平面PBC 夹角的余弦值． 4．如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，PD AD3，点E，F 分别是 棱PA，PC的中点，点M 是线段BC上一点． （Ⅰ）求证：PB平面EFD； （Ⅱ）求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值； 3 22 （Ⅲ）若直线MF 与平面ABCD所成的角的正弦值为 22 ，求此时MC的长度． 5 ． 在 四 棱 台 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1中 ， 底 面 ABCD是 正 方 形 ， 且 侧 棱 AA 1垂 直 于 底 面 ABCD， AA 1  AD2A 1 D 1 4 ，O，E分别是AC 与 DD 1的中点． （Ⅰ）求证：OE//平面 A 1 BD 1； （Ⅱ）求平面ABCD与平面 A 1 BD 1所成角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点D到平面 A 1 BD 1的距离．6．如图，多面体 ABCDEF 是由一个正四棱锥 ABCDE与一个三棱锥 F ADE拼接而成，正四棱锥 ABCDE的所有棱长均为 3 2,AF //CD ． （1）在棱DE上找一点G，使得面ABC 面AFG，并给出证明； 1 AF  CD （2）当 2 时，求点F 到面ADE 的距离； 1 AF  CD （3）若 3 ，求直线DF与面ABC所成角的正弦值． 1 AB AD 7．如图，正方形 ADEF与梯形 ABCD所在平面互相垂直，已知 AB//CD， ADCD， 2 ， CD1．点P为线段EC的中点． （1）求证：BF //平面CDE； （2）求直线DP与平面BDF 所成角的正弦值； （3）求平面BDF 与平面CDE夹角的余弦值． 8．如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1中， AB AC  AA 1 2 ，BAC 90，E，F 分别为 CC 1，BC的中 点． （1）求异面直线 A 1 B 与EF 所成角的余弦值； （2）求点 B 1到平面AEF 的距离； （3）求平面AEF 与平面 A 1 EB 夹角的余弦值．9．如图， AD//BC 且 AD2BC， ADCD，EG//AD且EG AD，CD//FG且CD2FG，DG平 面ABCD，DADC DG2． （Ⅰ）若M 为CF 的中点，N为EG的中点，求证：MN //平面CDE； （Ⅱ）求平面EBC 与平面BCF 的夹角的正弦值； （Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长． 10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB4，PD AD2，点E 3 AE  AB 在线段AB上，且 4 ． （Ⅰ）求证：CE 平面PBD； （Ⅱ）求直线PA与平面PCE 所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面BCE 与平面PCE 的夹角的余弦值． 8 CF  11．如图，AE平面ABCD，CF //AE ，AD//BC ，AD AB，AB AD1，AE BC 2， 7 ．（1）求证：BF //平面ADE ； （2）求直线CE 与平面BDE所成角的正弦值； （3）求平面BDE与平面BDF 夹角的余弦值． 12．如图所示，四棱锥 PABCD中，PC 底面 ABCD，PC CD2，E为 AB的中点，底面四边形 ABCD满足ADC DCB90，AD1，BC 3． （Ⅰ）证明：DE平面PAC ； （Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面PED与平面PEB夹角的余弦值． 13．如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形，线段 AD的中点为O且PO底面 ABCD， 1  ABBC  AD1 BADABC  2 ， 2 ，E是PD的中点． （1）证明：CE//平面PAB；  （2）点M 在棱PC上，且直线BM 与底面ABCD所成角为 4 ，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离． PDA 14．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形 ADPQ 是梯形， PD//QA ， 2 ，平 面 ADPQ 平面ABCD，且 ADPD2QA2 ． （1）求证： QB// 平面PDC ； （2）求平面CPB与平面 PBQ 所成角的大小； 7 3 （3）已知点H 在棱PD上，且异面直线AH 与PB所成角的余弦值为 15 ，求点A到平面HBC 的距离． 15．如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1中，AC  AB， AC 2AB2AA 1 2 ，M 为AC 的中点， A 1 N B 1 C 1， 垂足为N． BC// ABM （1）求证： 1 平面 1 ； （2）求直线BN 与平面 A 1 BM 所成角的正弦值； ABN ABM （3）求平面 1 与平面 1 的夹角．