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2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a÷b• ＝a
C． ﹣ ＝2 D．（ ）3＝
3．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲 2＝
0.4，S乙 2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
5．（3分）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
6．（3分）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
7．（3分）对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于
x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根⊗的情况，⊗下列说法正确的是（⊗ ）
A．有两个不相等⊗的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中
的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
9．（3分）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑
车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交
AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（ ）
A．8 B．2 +2 C．2 +6 D．2 +2
11．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图
中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对
称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣
1≤x＜3；④点（﹣2，y ），（2，y ）都在抛物线上，则有y ＜0＜y .其中结论正确的个数是（
1 2 1 2
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。13．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝ ．
14．（3分）已知x，y是实数，且满足y＝ + + ，则 的值是 ．
15．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，
M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
16．（3分）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 ．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原
点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点
D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．
三、解答题：本题共4小题，每小题6分，共24分。解答应写出文字说明，演算步骤。
18．（6分）计算：（﹣ ）﹣1+2cos30°+（3﹣ ）0﹣ ．
π
19．（6分）先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，其中x＝3．
20．（6分）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得
该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为
30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan ＝ ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
θ
（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.732）21．（6分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机
摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）
在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长
线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
五、（本题7分）
23．（7分）在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，
为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全
校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这
四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
六、（本题8分）
24．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，EF与 O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的
延长线于点E和⊙F，连接AD交BC于点N，∠⊙ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝ ，求线段DM的长．
七、（本题10分）
25．（10分）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念
品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种
纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么
该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问
的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
八、（本题13分）26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣ ）两点，与x轴的另一个交点
为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时
M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边
形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．（3分）﹣ 的相反数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a÷b• ＝a
C． ﹣ ＝2 D．（ ）3＝
【分析】根据合并同类项的法则、分式运算的法则逐项判断即可．
【解答】解：a3+a3＝2a3，故A错误，不符合题意；
a÷b• ＝a• • ＝ ，故B错误，不符合题意；
﹣ ＝ ＝ ＝2，故C正确，符合题意；
（ ）3＝ ，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、分式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则、分
式相关运算的法则．
3．（3分）由5个相同的小正方体组成的几何体，如图所示，该几何体的左视图是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
C．一个抽奖活动中，中奖概率为 ，表示抽奖20次就有1次中奖
D．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲 2＝
0.4，S乙 2＝2，则甲的成绩比乙的稳定
【分析】利用调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义分别判断后即可
确定正确的选项．
【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，
不符合题意；
B、数据3，5，4，1，﹣2的中位数是3，故错误，不符合题意；
C、一个抽奖活动中，中奖概率为 ，抽奖20次可能有1次中奖，也可能不中奖，故错误，
不符合题意；D、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为S甲 2＝
0.4，S乙 2＝2，则甲的成绩比乙的稳定，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式、调查方式的选择、中位数的定义、概率的意义及方差的意义
等知识，解题的关键是了解统计的有关知识，难度不大．
5．（3分）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 +1+|a﹣1|的化简结果是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【分析】根据数轴得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根据 ＝|a|和绝对值的性质化简即
可．
【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 ＝|a|是解题的关键．
6．（3分）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1＝146°33′，则∠2的度数是（ ）
A．63°27′ B．64°27′ C．64°33′ D．63°33′
【分析】由邻补角的定义可求得∠3＝33°27'，再由平行线的性质可得∠4＝∠3＝33°27'，利
用三角形的外角性质即可求∠2．
【解答】解：如图，∵∠1＝146°33′，
∴∠3＝180°﹣∠1＝33°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝33°27'，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4+∠A，
∴∠2＝33°27'+30°＝63°27'．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错
角相等．
7．（3分）对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2﹣ab，例如3 2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于
x的方程（k﹣3） x＝k﹣1的根⊗的情况，⊗下列说法正确的是（⊗ ）
A．有两个不相等⊗的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据运算“ ”的定义将方程（k﹣3） x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ
＝（k﹣1）2+4＞0，⊗即可得出该方程有两个不相⊗等的实数根．
【解答】解：∵（k﹣3） x＝k﹣1，
∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1，⊗
∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0，
∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0，
∴关于x的方程（k﹣3） x＝k﹣1有两个不相等的实数根．
故选：A． ⊗
【点评】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实
数根”是解决问题的关键．
8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】由已知可得7n的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72022的结果的个位数字与
70+71+72的个位数字相同，即可求解．
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵2023÷4＝505…3，
∴70+71+…+72022的结果的个位数字与70+71+72的个位数字相同，
∴70+71+…+72022的结果的个位数字是7，
故选：C．
【点评】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的
关键．
9．（3分）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，
其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑
车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（ ）
A． ﹣ ＝20 B． ﹣ ＝20
C． ﹣ ＝ D． ﹣ ＝
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm/h，利用
时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min，即可得出关于x的分式方程，此题得
解．
【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为2xkm/h．
依题意得： ﹣ ＝ ，
即 ﹣ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解
题的关键．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC
于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线BD交
AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是（ ）
A．8 B．2 +2 C．2 +6 D．2 +2
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，
AE＝CE＝ AC＝2，利用勾股定理得AB＝BC＝ ＝ ，进而可得EF＝ AB＝
，CF＝ BC＝ ，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴BE⊥AC，AE＝CE＝ AC＝2，
由勾股定理得，AB＝BC＝ ＝ ，
∵点F为BC的中点，
∴EF＝ AB＝ ，CF＝ BC＝ ，
∴△CEF的周长为 ＝ +2．
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤
以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
11．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图
中阴影部分的面积为（ ）A． B． C．1﹣ D．1﹣
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE
全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，
然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形
ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中， ，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝ ×60°＝30°，
∴DE＝1× ＝ ，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（ ×1× ）＝1﹣ ．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，
利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题
的难点．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣
1≤x＜3；④点（﹣2，y ），（2，y ）都在抛物线上，则有y ＜0＜y .其中结论正确的个数是（
1 2 1 2
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；
①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，
故①正确，符合题意；
②∵x＝﹣ ＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0．
∴②正确，符合题意；
③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
∴③错误，不符合题意；
④从图象看，当x＝﹣2时，y ＜0，
1
当x＝2时，y ＞0，
2
∴有y ＜0＜y ，
1 2故④正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次
项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线
向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab
＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物
线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣
4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2
﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．（3分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝ a （ b ﹣ 1 ） 2 ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ab2﹣2ab+a，
＝a（b2﹣2b+1），
＝a（b﹣1）2．
【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后
利用完全平方公式进行二次因式分解．
14．（3分）已知x，y是实数，且满足y＝ + + ，则 的值是 ．
【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵y＝ + + ，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，y＝ ，
则原式＝ × ＝ ＝ ，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
π
【分析】如图，设AB的中点为O，连接OP，OC，OM，判断出点M的运动轨迹，利用弧长公
式求解．
【解答】解：如图，设AB的中点为O，连接OP，OC，OM，
∵OP＝OC，CM＝PM，
∴OM⊥PC，
∴∠CMO＝90°，
∴点M的运动轨迹是以OC为直径的 T，
设 T交AC于点E，交BC于点F，连⊙接EF则EF是直径，
∴⊙点M的运动轨迹在以OC为直径的 T上（即 上），
∵AC＝CB＝1，∠ACB＝90°， ⊙
∴AB＝ ＝ ＝ ，
∵OA＝OB，
∴OC＝ AB＝ ，
∴点M的运动轨迹的长＝ ×2 × ＝ ，
π π
故答案为： ．
π【点评】本题考查轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确判
断出点M的运动轨迹，属于中考常考题型．
16．（3分）关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 a ≥ 2 ．
【分析】先把a当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a的取值范
围即可．
【解答】解： ，
由①得：x≤2，
由②得：x＞a，
∵不等式组无解，
∴a≥2，
故答案为：a≥2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小解没了．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点O与原
点重合，点A在第一象限，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点
D，连接CD．若△ACD的面积是1，则k的值是 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到S△OCE ＝S△OBD ＝
k，根据OA的中点C，利用△OCE∽△OAB得到面积比为1：4，代入可得结论．
【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴S△COE ＝S△BOD ＝ k，S△ACD ＝S△OCD ＝1，
∵CE∥AB，
∴△OCE∽△OAB，
∴△OCE与△OAB得到面积比为1：4，
∴4S△OCE ＝S△OAB ，
∴4× k＝1+1+ k，
∴k＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一
点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比
例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形
的面积是 |k|，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
三、解答题：本题共4小题，每小题6分，共24分。解答应写出文字说明，演算步骤。
18．（6分）计算：（﹣ ）﹣1+2cos30°+（3﹣ ）0﹣ ．
π
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、立方根的
性质分别化简，再计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2× +1+2
＝﹣2+ +1+2＝ +1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，其中x＝3．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x＝3代入计算即可．
【解答】解：原式＝ •
＝﹣ •
＝﹣ ，
当x＝3时，
原式＝﹣
＝﹣5．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的性质，将所求式子化简．
20．（6分）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得
该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为
30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan ＝ ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
θ
（结果精确到0.1m，参考数据： ≈1.732）
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝
AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算
可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用
锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角
函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tan ＝ ＝ ，
θ
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝ ＝ ＝ y（米），
∴AE＝DF＝ y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（ y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝ ＝ ＝ ，
解得：y＝6+8 ，
经检验：y＝6+8 是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8 ≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已
知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．（6分）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4．
（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机
摸出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点（x，y）
在函数y＝﹣x+4的图象上的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得结果．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象
上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵口袋中共有4个小球，且小球上数字是奇数的有2个，
∴摸出小球上的数字是奇数的概率为 ＝ ．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中点在函数y＝﹣x+4的图象上的有（1，3），（3，1），共2种，
∴由x，y确定的点（x，y）在函数y＝﹣x+4的图象上的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、一次函数图象上点的坐标特征、概率公式，熟练掌握
列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率＝
．
四、（本题7分）
22．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长
线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定
等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
五、（本题7分）
23．（7分）在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，
为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这
四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆
心角的度数以及B所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全
图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），
答：调查的总学生是200名；
（2）D所占百分比为 ×100%＝15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%＝54°；
B所占的百分比是1﹣15%﹣20%﹣30%＝35%，
C的人数是：200×30%＝60（名），
补图如下：（3）1200×35%＝420（名），
答：估计喜欢B（科技类）的学生大约有420名．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确
信息是解题关键．
六、（本题8分）
24．（8分）如图， O是△ABC的外接圆，EF与 O相切于点D，EF∥BC分别交AB，AC的
延长线于点E和⊙F，连接AD交BC于点N，∠⊙ABC的平分线BM交AD于点M．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AB：BE＝5：2，AD＝ ，求线段DM的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得OD⊥EF，由EF∥BC得OD⊥BC，由垂径定理得
，进而即可得到结论；
（2）由平行线分线段定理得DN＝ ，再证明△BDN∽△ADB，可得BD＝2，最后证明
∠BMD＝∠DBM，进而即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EF与 O相切于点D，
∴OD⊥⊙EF，
∵BC∥EF，
∴OD⊥BC，
∴ ，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵AB：BE＝5：2， ，EF∥BC，
∴ ＝ ，
∴DN＝ ，
∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，
又∵∠BDN＝∠ADB，
∴△BDN∽△ADB，
∴ ，即： ，
∴BD＝2（负值舍去），
∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，
∴DM＝BD＝2．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线
段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形是解题的关键．
七、（本题10分）25．（10分）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念
品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种
纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么
该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问
的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【分析】（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件
建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等
式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的
性质求值即可．
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得 ，
解得 ，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点评】本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种
纪念品的单价是关键．
八、（本题13分）
26．（13分）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣ ）两点，与x轴的另一个交点
为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时
M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边
形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，求出直线BC的解析式，设M（m，﹣
m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），可得S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，再求解即
可；
（3）设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线
时；②当AQ为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四
边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：（1）将B（3，0），D（﹣2，﹣ ）代入y＝ax2+x+c，∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x2+x+ ，
令x＝0，则y＝ ，
∴C（0， ）；
（2）作直线BC，过M点作MN∥y轴交BC于点N，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+
设M（m，﹣ m2+m+ ），则N（m，﹣ m+ ），
∴MN＝﹣ m2+ m，
∴S△MBC ＝ •MN•OB＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
当m＝ 时，△MBC的面积有最大值 ，
此时M（ ， ）；
（3）令y＝0，则﹣ x2+x+ ＝0，
解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），
设Q（0，t），P（m，﹣ m2+m+ ），
①当AB为平行四边形的对角线时，m＝3﹣1＝2，
∴P（2， ）；
②当AQ为平行四边形的对角线时，3+m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，﹣ ）；
③当AP为平行四边形的对角线时，m﹣1＝3，
解得m＝4，
∴P（4，﹣ ）；
综上所述：P点坐标为（2， ）或（﹣4，﹣ ）或（4，﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性
质，分类讨论是解题的关键．
