文档内容
2022年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题
卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬
奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用
科学记数法表示为（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×105 D．1.2×106
4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
5．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中
《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．
问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，
又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再
向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
8．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径
的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）若关于x的分式方程：2﹣ ＝ 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
10．（3分）下列命题：
①（m•n2）3＝m3n5
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式 在实数范围内有意义，则x≥1
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
11．（3分）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）
A． B．1﹣ C． D．1﹣
12．（3分）如图，点D是 OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝ ，∠BDC
▱
＝120°，S△BCD ＝ ，若反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（
）
A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
13．（3分）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 ．
14．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠ 的度数 °．
α15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝
．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与
点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ．
17．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝2 ，BC＝3，点P从B点出发，
在△ABC内运⊙动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径
长为 ．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写
出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算： • +4|1﹣ |sin60°﹣（ ）﹣1．
19．（6分）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，请从不等式组 的整数解中选择一个
合适的数求值．
20．（7分）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”
和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率 ；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表
法表示）21．（6分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点
后一位， ≈1.7）．
22．（5分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：
跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，
学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数
是 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．23．（8分）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店
购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲 元，去乙商店购买实付y乙
元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲 ，y乙 关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
24．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于
点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝ ，AB＝4 ，求AC长度及阴影部分面积．25．（10分）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共
点A．
（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），如图2，求 的值为多少；
α α
（3）AB＝8 ，AG＝ AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转 （0°＜ ＜360°），当
α α
C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程
为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC ＝ S△ABC ，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．2022年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题
卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3 B． C． D．﹣3
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 的绝对值要由字母a本身
的取值来确定：①当a是正数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负数时，a的绝对值是
它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
2．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬
奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．（3分）节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用
科学记数法表示为（ ）
A．0.12×106 B．1.2×107 C．1.2×105 D．1.2×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：120万用科学记数法表示为：1.2×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）正多边形的每个内角为108°，则它的边数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．5
【分析】方法一：根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外
角和360°除以72°，计算即可得解；
方法二：设多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程求解即
可．
【解答】解：方法一：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°﹣108°＝72°，
∴边数＝360°÷72°＝5，
方法二：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）•180°＝108°•n，
解得n＝5，
所以，这个多边形的边数为5．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一
个外角的度数求边数更简便，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
5．（3分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中
《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，
又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程
组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意得： ．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正
确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，反射光线CD与AB平行，当
∠ABM＝35°时，∠DCN的度数为（ ）
A．55° B．70° C．60° D．35°
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”解答即可．
【解答】解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，
∴∠OBC＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵CD∥AB，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，
∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN＝ （180°﹣∠BCD）＝55°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再
向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单
位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并
用规律求函数解析式．
8．（3分）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径
的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵点A，B，C都在格点上，
∴∠ADC＝∠ABC，
在Rt△ABC中，
cos∠ABC＝ ＝ ＝ ＝cos∠ADC，
故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形
的边角关系是正确解答的前提．
9．（3分）若关于x的分式方程：2﹣ ＝ 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠0 C．k＞﹣1 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的取值
范围．
【解答】解：2﹣ ＝ ，
2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，
2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，
2x＝4﹣2k，
x＝2﹣k，
∵方程的解为正数，
∴2﹣k＞0，
∴k＜2，
∵x≠2，
∴2﹣k≠2，
∴k≠0，
∴k＜2且k≠0，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程得到解法，注意对方程增根的讨论是
解题的关键．
10．（3分）下列命题：
①（m•n2）3＝m3n5
②数据1，3，3，5的方差为2
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）
④平分弦的直径垂直于弦
⑤若使代数式 在实数范围内有意义，则x≥1
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．3 C．2 D．4
【分析】利用幂的运算性质、方差的计算公式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式有意义的条件分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①（m•n2）3＝m3n6，故原命题错误，是假命题，符合题意；
②数据1，3，3，5的方差为2，故原命题正确，是真命题，不符合题意；
③因式分解x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），正确，是真命题，不符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，符合题意；
⑤若使代数式 在实数范围内有意义，则x≥1，正确，是真命题，不符合题意，
假命题有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解幂的运算性质、方差的计算公
式、因式分解的方法、垂径定理及二次根式有意义的条件等知识，难度不大．
11．（3分）如图，正方形ABCD及其内切圆O，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的
概率是（ ）
A． B．1﹣ C． D．1﹣
【分析】直接表示出各部分面积，进而得出落在阴影部分的概率．
【解答】解：设圆的半径为a，则圆的面积为： a2，正方形面积为：4a2，
π
故随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率为： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．
12．（3分）如图，点D是 OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝ ，∠BDC
▱
＝120°，S△BCD ＝ ，若反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过C，D两点，则k的值是（
）A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12
【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE＝ ，
根据S△BCD ＝ ，求得CF＝9，得到点D的纵坐标为4 ，设C（m， ），则D（m+9，4
），由反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过C，D两点，从而求出m，进而可得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB＝OC，
∴∠COE＝∠1，
∵BD与y轴平行，
∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，
∴∠COE＝∠ABD，
在△COE和△ABD中，
，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE＝BD＝ ，
∵S△BDC ＝ BD•CF＝ ，
∴CF＝9，
∵∠BDC＝120°，
∴∠CDF＝60°，
∴DF＝3 ，
点D的纵坐标为4 ，设C（m， ），则D（m+9，4 ），
∵反比例函数y＝ （x＜0）的图象经过C，D两点，
∴k＝ m＝4 （m+9），
∴m＝﹣12，
∴k＝﹣12 ，
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数，掌握平行四边形的性质和反比例函数图象的坐标特征
是解题的关键．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
13．（3分）菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，则菱形的边长为 5 ．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、OB，再利用勾股定理列式进行计算即可
得解．
【解答】解：
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝ AC＝4，OB＝ BD＝3，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝5
故答案为：5【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形
的各种性质是解题的关键．
14．（3分）如图，依据尺规作图的痕迹，求∠ 的度数 6 0 °．
α
【分析】先根据矩形的性质得出AB∥DC，故可得出∠ABD的度数，由角平分线的定义求
出∠EBF的度数，再由EF是线段BD的垂直平分线得出∠BEF的度数，根据三角形内角
和定理得出∠BFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠ABD＝∠CDB＝60°．
由作法可知，BF是∠ABD的平分线，
∴∠EBF＝ ∠ABD＝30°．
由作法可知，EF是线段BD的垂直平分线，
∴∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ ＝60°．
故答α案为：60．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此
题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝
﹣ 1 ．
【分析】用含有AB的代数式表示AD，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AE，
设AB＝a，则AE＝a，BE＝ ＝ a＝ED，
∴AD＝AE+DE＝（ +1）a，
在Rt△ABD中，tan∠BDE＝ ＝ ＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形的边
角关系和等腰三角形的性质是正确解答的前提．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与
点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为 ， 9 或 3 ．
【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一
半，同时借助勾股定理求得AP的长度．
【解答】解：当∠A＝30°时，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°，BC＝ AB＝ ×6＝3，
由勾股定理得，AC＝3 ，
①点P在线段AB上，
∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°
∴∠CPB＝90°，
∴∠CPA＝90°，
在Rt△ACP中，∠A＝30°，
∴PC＝ AC＝ ×3 ＝ ．
∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝ ．
②点P在线段AB的延长线上，
∵∠PCB＝30°，
∴∠ACP＝90°+30°＝120°，
∵∠A＝30°，
∴∠CPA＝30°．
∵∠PCB＝30°，
∴∠PCB＝∠CPA，
∴BP＝BC＝3，
∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．
当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AC＝ AB＝ ×6＝3，
由勾股定理得，BC＝3 ，
①点P在线段AB上，
∵∠PCB＝30°，
∴∠ACP＝60°，
∴△ACP是等边三角形
∴AP＝AC＝3．
②点P在线段AB的延长线上，
∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，
∴CP∥AP
这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．
综上所得，AP的长为 ，9或3．
故答案为： ，9或3．
【点评】本题的考点是直角三角形，本题中涉及到勾股定理、含30°角的直角三角形的三边
关系、等边三角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．
17．（3分）如图， O是△ABC的外接圆，AC为直径，若AB＝2 ，BC＝3，点P从B点出发，
在△ABC内运⊙动且始终保持∠CBP＝∠BAP，当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径
长为 ．
π【分析】如图，取AB的中点J，首先证明∠APB＝90°，推出点P在以AB为直径的 J上运
动，当J，P，C共线时，PC的值最小，解直角三角形求出∠CJB＝60°可得结论⊙．
【解答】解：如图，取AB的中点J，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠BAP＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的 J上运动，
当J，P，C共线时，PC的⊙值最小，
在Rt△CBJ中，BJ＝ ，BC＝3，
∴tan∠CJB＝ ＝ ，
∴∠BJC＝60°，
∴当C，P两点距离最小时，动点P的运动路径长＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查轨迹，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是正确判断出点P的
运动轨迹，属于中考常考题型．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算： • +4|1﹣ |sin60°﹣（ ）﹣1．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解： • +4|1﹣ |sin60°﹣（ ）﹣1
＝2 +4×（ ﹣1）× ﹣2
＝2 +2 （ ﹣1）﹣2
＝2 +6﹣2 ﹣2
＝4．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，估算无理数的大小，二
次根式的乘除法，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（a﹣ ）÷ ，请从不等式组 的整数解中选择一个
合适的数求值．
【分析】先算括号里的异分母分式的减法，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进
行计算即可解答．
【解答】解：（a﹣ ）÷
＝ •
＝ •
＝a（a+2）
＝a2+2a，
，
解得：﹣1＜a≤2，
∴该不等式组的整数解为：0，1，2，
∵a≠0，a﹣2≠0，
∴a≠0且a≠2，∴a＝1，
∴当a＝1时，原式＝12+2×1
＝1+2
＝3．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题
的关键．
20．（7分）如图，一个圆环被4条线段分成4个区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”
和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内：
（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率 ；
（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率．（用树状图或列表
法表示）
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，共有12个等可能的结果，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻
的两个区域的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率是 ；
故答案为： ；
（2）根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域有8种，
则吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率是 ＝ ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点
后一位， ≈1.7）．
【分析】在Rt△BDE中求出ED，再在Rt△ACM中求出AM，最后根据线段的和差关系进行
计算即可．
【解答】解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，
在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝BE＝14m，
在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，
∴AM＝ CM＝14 （m），
∴AB＝BM﹣AM
＝CE﹣AM
＝20+14﹣14
≈10.2（m），
答：AB的长约为10.2m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，
构造直角三角形是解决问题的关键．
22．（5分）某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目B：篮球；项目C：
跳绳；项目D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，
学校决定进行抽样调查，并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有 20 0 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数
是 10 8 °；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数．
【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用360°乘以B所
占的百分比即可得出答案；
（2）用总人数减去其它项目的人数，求出C选项的人数，从而补全统计图；
（3）用全校的总人数乘以选修篮球和跳绳两个项目的总人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次调查的学生共有：30÷15%＝200（人），在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是：360°× ＝108°；
故答案为：200，108；
（2）C项目的人数有：200﹣30﹣60﹣20＝90（人），
补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1200× ＝900（名），
答：估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数有900名．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计
图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇
形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（8分）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店
购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价8.5折出售；
乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲 元，去乙商店购买实付y乙
元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲 ，y乙 关于x的函数关系式；
（2）两图象交于点A，求点A坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲 ，y乙 关于x的函数关系式；
（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可
得到点A的坐标．
（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更
合算．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲 ＝0.85x，
当0≤x≤300时，y乙 ＝x，
当x＞300时，y乙 ＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，
则y乙 ＝ ；
（2）令0.85x＝0.7x+90，
解得x＝600，
将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，
即点A的坐标为（600，510）；
（3）由图象可得，
当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买
体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
24．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于
点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝ ，AB＝4 ，求AC长度及阴影部分面积．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出
∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；
（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求
出EC，根据S阴影部分 ＝S△COE ﹣S扇形 进行计算即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是 O的切线；
⊙
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝ ，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝ ＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4 ，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4 ）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴EC＝ ，
∴S阴影部分 ＝S△COE ﹣S扇形
＝ × ×4﹣
＝ ﹣4
π
＝ ，
答：AC＝3，阴影部分的面积为 ．
【点评】本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的
判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
25．（10分）已知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共
点A．
（1）如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 的值为多少；
（2）将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转 （0°＜ ＜90°），如图2，求 的值为多少；
α α（3）AB＝8 ，AG＝ AD，将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转 （0°＜ ＜360°），当
α α
C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【分析】（1）由正方形性质知∠AGE＝∠D＝90°、∠DAC＝45°，据此可得 、
GE∥CD，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接AE，只需证△ADG∽△ACE即可得；
（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股
定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°，
∴ ，GE∥CD，
∴ ，
∴CE＝ DG，
∴ ＝ ＝2；
（2）连接AE，由旋转性质知∠CAE＝∠DAG＝ ，
在Rt△AEG和Rt△ACD中， α
＝cos45°＝ 、 ＝cos45°＝ ，
∴ ，
∴△ADG∽△ACE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（3）①如图：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴ ，
∴DG＝ CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8 ，AC＝ ＝16，
∵AG＝ AD，
∴AG＝ AD＝8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，
∵C，G，E三点共线．∴CG＝ ＝ ＝8 ，
∴CE＝CG﹣EG＝8 ﹣8，
∴DG＝ CE＝4 ﹣4 ；
②如图：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴ ，
∴DG＝ CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝8 ，AC＝ ＝16，
∵AG＝ AD，
∴AG＝ AD＝8，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC＝90°
∴CG＝ ＝ ＝8 ，
∴CE＝CG+EG＝8 +8，
∴DG＝ CE＝4 +4 ．综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为4 ﹣4 或4 +4 ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角
形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程
为y＝x﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PBC ＝ S△ABC ，请直接写出点P的坐标；
（3）点Q是抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）求出B、C点坐标，并将其代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝|﹣t2+3t|，
由题意可求 ＝ ×3×|﹣t2+3t|，求出t的值即可求解；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，由题意可得tan∠OCA＝
tan∠BCE＝ ＝ ，求出E（4，﹣1），用待定系数求出直线CE的解析式y＝ x﹣3，联立
方程组 ，可求Q（ ，﹣ ）．
【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），将B、C两点代入y＝﹣x2+bx+c，
∴ ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，则﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC ＝ ×2×3＝3，
∵S△PBC ＝ S△ABC ，
∴S△PBC ＝ ，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
设P（t，﹣t2+4t﹣3），则Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴ ＝ ×3×|﹣t2+3t|，
解得t＝ 或t＝ ，
∴P点坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或（
， ）；
（3）过点B作BE⊥BC交CQ于点E，过E点作EF⊥x轴交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，∴tan∠OCA＝ ，
∴tan∠BCE＝ ＝ ，
∵BC＝3 ，
∴BE＝ ，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
设直线CE的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝ x﹣3，
联立方程组 ，
解得 （舍）或 ，
∴Q（ ，﹣ ）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三
角形面积的方法是解题的关键．
