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2019年内蒙古通辽市中考数学试卷
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡
上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2019 B．﹣ C．﹣2019 D．
2．（3分） 的平方根是（ ）
A．±4 B．4 C．±2 D．+2
3．（3分）2018年12月，在国家发展改革委发布《关于全力做好2019年春运工作的意见》中
预测，2019年春运全国民航旅客发送量将达到7300万人次，比上一年增长12%，其中7300
万用科学记数法表示为（ ）
A．73×106 B．7.3×103 C．7.3×107 D．0.73×108
4．（3分）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中左视图和俯视图相同的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≥3 D．x≥﹣1
6．（3分）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形
的面积为（ ）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
17．（3分）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于（
）
A． B．π C．π D．2π
8．（3分）现有以下命题：
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等；
③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是随机事件；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y，则直线y＝kx﹣k﹣1与
双曲线y＝在同一平面直角坐标系中大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结
论：①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
2④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
其中错误结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
11．（3分）如图，是我市6月份某7天的最高气温折线统计图，则这些最高气温的中位数是
℃．
12．（3分）某机床生产一种零件，在6月6日至9日这4天中出现次品的数量如下表：
日期 6月6日 6月7日 6月8日 6月9日
次品数量（个） 1 0 2 a
若出现次品数量的唯一众数为1，则数据1，0，2，a的方差等于 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且
AE平分∠BAC，则AB的长为 ．
14．（3分）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为
．
315．（3分）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为 ．
16．（3分）取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们洗匀正面
朝下，随机摆放在桌面上．从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数字m使分式方程
﹣1＝无解的概率为 ．
17．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是
AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最
小值是 ．
三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．（5分）计算：﹣14﹣| ﹣1|+（ ﹣1.414）0+2sin60°﹣（﹣）﹣1
19．（6分）先化简，再求值．
÷ +，请从不等式组 的整数解中选择一个你喜欢的求值．
20．（5分）两栋居民楼之间的距离CD＝30m，楼AC和BD均为10层，每层楼高为3m．上午某时
刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第几层？（参
考数据： ≈1.7， ≈1.4）
21．（6分）有四张反面完全相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将
4四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 ．
（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从
剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸
牌用A、B、C、D表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．
22．（9分）通辽市某中学为了了解学生“大课间”活动情况，在七、八、九年级的学生中，分
别抽取了相同数量的学生对“你最喜欢的运动项目”进行调查（每人只能选一项），调查
结果的部分数据如下表（图）所示，其中七年级最喜欢跳绳的人数比八年级多5人，九年级
最喜欢排球的人数为10人．
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 6
请根据以上统计表（图）解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少人？
（2）补全统计表和统计图．
（3）该校有学生1800人，学校想对“最喜欢踢毽子”的学生每4人提供一个毽子，学校现
有124个毽子，能否够用？请说明理由．
523．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至
F点，使CF＝CD，连接AF．
（1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长．
24．（9分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小
说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．
根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每
天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数
关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐赠后
可获得最大利润为1960元，求a的值．
25．（9分）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得
到线段CQ，连接BP，DQ．
（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；
（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．
①如图2，求证：BE⊥DQ；
6②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．
26．（12分）已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A
（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S ＝
△DAC
2S ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
△DCM
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，
直接写出满足条件的点P的坐标．
72019年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡
上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．【解答】解：﹣的相反数是：．
故选：D．
2．【解答】解： ＝4，± ＝±2，
故选：C．
3．【解答】解：其中7300万用科学记数法表示为7.3×107．
故选：C．
4．【解答】解：A、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故A不符合题意；
B、左视图和俯视图相同，故B符合题意；
C、左视图第一层两个小正方形，俯视图第一层一个小正方形，故C不符合题意；
D、左视图是一列两个小正方形，俯视图一层三个小正方形，故D不符合题意；
故选：B．
5．【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，
故选：D．
6．【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x＝5，x＝3，
1 2
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2 ＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
7．【解答】解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC＝120°，S ＝S ，
△AOB △AOC
∴图中阴影部分的面积＝S ＝ ＝π．
扇形AOC
故选：C．
88．【解答】解：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，正确，是真命题；
②一个图形和它经过平移所得的图形中，各组对应点所连接的线段平行且相等或在同一
直线上，错误，是假命题；
③通常温度降到0℃以下，纯净的水会结冰是必然事件，故错误，是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命
题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
真命题有2个，
故选：B．
9．【解答】解：二元一次方程组 中第二个方程减去第一个方程得：x﹣y＝﹣5k，
∵关于x、y的二元一次方程组 的解满足x＜y，
∴x﹣y＜0，
∴﹣5k＜0，
即：k＞0，
∴y＝kx﹣k﹣1经过一三四象限，双曲线y＝的两个分支位于一三象限，B选项符合，
故选：B．
10．【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，
对称轴x＝﹣＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
9③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，
∴x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
即a﹣b≤m（am+b），故④错误；
⑤抛物线与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；
故选：A．
二、填空题（本题包括7小题，每小题3分，共21分，将答案直接填在答题卡对应题的横线
上）
11．【解答】解：根据7天的最高气温折线统计图，将这7天的最高气温按大小排列为：24，25，
26，27，28，28，29，故中位数为27℃，
故答案为27．
12．【解答】解：∵出现次品数量的唯一众数为1，
∴a＝1，
∴，
∴S2＝ ＝，
故答案为．
13．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝BO＝DO，
10∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴64+AB2＝4AB2，
∴AB＝
故答案为：．
14．【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知＝，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．
再根据相似的性质可知＝，
解得：y＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），
所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．
故答案为：3.75cm2．
15．【解答】解：①如图1
当AB＝AC＝5，AD＝4，
则BD＝CD＝3，
∴底边长为6；
②如图2．
当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝3，
∴BD＝2，
11∴BC＝ ＝2 ，
∴此时底边长为2 ；
③如图3：
当AB＝AC＝5，CD＝4时，
则AD＝ ＝3，
∴BD＝8，
∴BC＝4 ，
∴此时底边长为4 ．
故答案为：6或2 或4 ．
16．【解答】解：由分式方程，得
m＝x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）
x＝1或﹣2时，分式方程无解，
x＝1时，m＝2，
x＝﹣2时，m＝0，
所以在1，2，3，4，5取一个数字m使分式方程无解的概率为．
17．【解答】解：过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
12∵AM＝AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
∴HD＝MD＝1，HM＝ HD＝
∴CH＝4
∴MC＝ ＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝ ﹣1
故答案为： ﹣1
三、解答题（本题包括9小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）
18．【解答】解：原式＝﹣1﹣（ ﹣1）+1+2×+2
＝﹣1﹣ +1+1+ +2
＝3．
19．【解答】解：÷ +
＝
＝
＝
＝，
13由不等式组 ，得﹣3＜x≤2，
∴当x＝2时，原式＝．
20．【解答】解：设太阳光线GB交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，
由题意知，AC＝BD＝3×10＝30m，FH＝CD＝30m，∠BFH＝∠α＝30°，
在Rt△BFH中，tan∠BFH＝＝＝，
∴BH＝30×＝10 ≈10×1.7＝17，
∴FC＝HD＝BD﹣BH≈30﹣17＝13，
∵≈4.3，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼BD的影子会遮挡到楼AC的第5层．
21．【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）游戏不公平，理由如下：
列表得：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是
中心对称图形的结果有2种，即（A，C）（C，A）
∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝＝≠，
∴游戏不公平．
修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对
称图形），则小明获胜，否则小亮获胜．
22．【解答】解：（1）从九年级最喜欢运动的项目统计图中得知，九年级最喜欢排球的人数占
14总数的百分比为：1﹣30%﹣16%﹣24%﹣10%＝20%，
又知九年级最喜欢排球的人数为10人，
∴九年级最喜欢运动的人数有10÷20%＝50（人），
∴本次调查抽取的学生数为：50×3＝150（人）．
（2）根据（1）得七年级最喜欢跳绳的人数有50﹣7﹣8﹣6﹣14＝15人，
那么八年级最喜欢跳绳的人数有15﹣5＝10人，
最喜欢踢毽的学生有50﹣12﹣10﹣10﹣5═13人，
九年级最喜欢排球的人数占全年级的百分比＝＝20%，
补全统计表和统计图如图所示；
七年级学生最喜欢的运动项目人数统计表
项目 排球 篮球 踢毽 跳绳 其他
人数（人） 7 8 14 15 6
（3）不够用，理由：1800×÷4＝126，
∵126＞124，
∴不够用．
故答案为：15．
23．【解答】解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：连接AC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
15∵CF＝CD，
∴∠CAF＝∠EAC，
∵AC＝CE，
∴∠E＝∠EAC，
∵∠B＝∠E，
∴∠B＝∠FAC，
∵∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝90°，
∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AE，
∵tan∠CAE＝，
∴＝，
∵AC＝10，
∴设CM＝3x，则AM＝4x，
在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2，
∴（3x）2+（4x）2＝100，
解得x＝2，
∴AM＝8，
∵AC＝CE，
∴AE＝2AE＝2×8＝16．
24．【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）；
（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为w元．
w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）
对称轴为x＝35+a，且0＜a≤6，则30a≤38，
16则当x＝35+a时，w取得最大值，
∴（35+a﹣20﹣a）[﹣10x（35+a）+500]＝1960
∴a＝2，a＝58（不合题意舍去），
1 2
∴a＝2．
25．【解答】（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
，
∴△BCP≌△DCQ（SAS）；
（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，
∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，
∴∠DEF＝∠BCF＝90°，
∴BE⊥DQ；
②∵△BCP为等边三角形，
∴∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，
∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，
同理：∠EDP＝45°，
∴△DEP为等腰直角三角形．
26．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，
17则点B（3，5），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），
过点D作y轴的平行线交AB于点H，
设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），
∵S ＝2S ，
△DAC △DCM
则S ＝DH（x﹣x）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，
△DAC C A
解得：x＝﹣1或5（舍去5），
故点D（﹣1，5）；
（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，
即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝6或﹣4，
故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，
解得：s＝1 ，
故点P（1 ，2）或（1﹣ ，2）；
综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1 ，2）或（1﹣ ，2）．
1819
