文档内容
2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
2．（3分）下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5
C．众数是4 D．方差是9.2
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3b2+2a2b3＝3a5b5 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．2﹣2＝﹣ D． + ＝
5．（3分）下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若
EC＝2，则OD的长为（ ）A．2 B．2 C．4 D．4+2
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
8．（3分）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆 O 与 O 的半径为3米，且 O 经过
1 2 1
O 的圆心O ．已知实线部分为此花坛的周长，⊙则花坛⊙的周长为（ ） ⊙
2 2
⊙
A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．12 米
9．（3分π）如图，菱形ABCD中，πAB＝2 ，∠ABC＝60π°，矩形BEFG的边EF经π过点C，且点
G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．310．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设
DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2 ）是图象的最
低点，那么a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截止2022年1月中国向120多个国家和国际组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对
外提供此疫苗最多的国家．20亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，
AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
13．（3分）按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数是
．
14．（3分）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝
，则AB的长是 ．15．（3分）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的
点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数
y
1
＝ 和y
2
＝ 分别经过点B、点E，若S△COD ＝5，则k
1
﹣k
2
＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上
的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明）
17．（8分）（1）解不等式组 ，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中a＝4sin30°﹣（ ﹣3）0．
π
18．（7分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生
进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表
观看时长 频数（人） 频率
（分）
0＜x≤15 2 0.05
15＜ 6 0.15
x≤30
30＜ 18 a
x≤45
45＜ 0.25
x≤60
60＜ 4 0.1
x≤75
（1）频数分布表中，a＝ ，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会
时长超过60分钟的有 人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，
请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
19．（8分）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时
刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝
1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆
影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B
（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式 ＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP ＝ S△AOB ，请求出点P的坐标．
21．（8分）如图，以AB为直径的 O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点
E为BC中点，连接DE、BD．⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．22．（10分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调
查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货
源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大
利润是多少？
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（ ，0），B（3， ）两点，
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边
形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点
M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点
M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3
【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可．
【解答】解：点A表示的数为﹣2，
﹣2的相反数为2，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（3分）下列几何体的三视图中没有矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可．
【解答】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；
B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩
形，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形
状是正确判断的前提．
3．（3分）一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（ ）
A．平均数是4.4 B．中位数是4.5
C．众数是4 D．方差是9.2【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最
后利用方差的概念计算可得．
【解答】解：将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，
所以这组数据的众数为5，故选项C不合题意；
中位数为5，故选项B不合题意；
平均数为 ＝4.4，故选项A符合题意；
方差为 ×（[ 2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，，故选项D不合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、
算术平均数及方差的定义．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3b2+2a2b3＝3a5b5 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．2﹣2＝﹣ D． + ＝
【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．
【解答】解：a3b2+2a2b3不能合并，因为不是同类项，A选项错误；
（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，B选项也错误；
2﹣2＝ ，C选项也错误；
+ ＝3 ，D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的运算和实数的运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次
根式的化简混合运算．
5．（3分）下列尺规作图不能得到平行线的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平
面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角相等两直线平行可对
C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．
【解答】解：通过尺规作图不能得到平行线的为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
6．（3分）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若
EC＝2，则OD的长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性
质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD
＝DE，即可求出OD的长．
【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟
练掌握这些性质是解题的关键．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式 有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜ ＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④ 的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的
内角和定理，根的判别式判断即可．
【解答】解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算
术平方根、平方根和多边形．
8．（3分）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆 O 与 O 的半径为3米，且 O 经过
1 2 1
O 的圆心O ．已知实线部分为此花坛的周长，⊙则花坛⊙的周长为（ ） ⊙
2 2
⊙
A．4 米 B．6 米 C．8 米 D．12 米
【分析π】连接AO
1
，AO
2
，BO 1π，BO
2
，O
1
O
2
，根据等边三π 角形的判定得出△AOπ1 O
2
和△BO
1
O
2
是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO O ＝∠AO O ＝∠BO O ＝∠BO O ＝
1 2 2 1 1 2 2 1
60°，求出优弧 所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．
【解答】解：连接AO ，AO ，BO ，BO ，O O ，
1 2 1 2 1 2
∵等圆 O 与 O 的半径为3米， O 经过 O 的圆心O ，
1 2 1 2 2
∴AO 1 ＝⊙AO 2 ＝⊙BO 1 ＝BO 2 ＝O 1 O 2 ＝3⊙米， ⊙
∴△AO O 和△BO O 是等边三角形，
1 2 1 2∴∠AO O ＝∠AO O ＝∠BO O ＝∠BO O ＝60°，
1 2 2 1 1 2 2 1
∴优弧 所对的圆心角的度数是360°﹣60°﹣60°＝240°，
∴花坛的周长为2× ＝8 （米），
π
故选：C．
【点评】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求
出圆心角的度数是解此题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝2 ，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点
G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】方法一：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得
出AB＝BC＝CD＝2 ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求
出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出 ，则可求出答案．
方 法 二 ： 连 接 CG ， 求 出 S 菱 形 ABCD ＝ 2 ， 根 据 S△ BCG ＝
可求出答案．
【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝2 ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝2 ，
∴CN＝CD•sin60°＝2 ＝3，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ ，
方法二：连接CG，同方法一求出△BGC的BC上的高为3，
∴S菱形ABCD ＝2 ，
∵S△BCG ＝ ，
∴ ，
∴BE＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判
定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设
DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2 ）是图象的最
低点，那么a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】由A、C关于BD对称，推出NA＝NC，推出AN+MN＝NC+MN，推出当M、N、C共
线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC＝2 ，就可以求出正方形的边长，再求a的
值即可．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．
∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是△ABC的重心，
∴N′O＝ BO，
∴N′D＝ BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA＝NC，
∴AN+MN＝NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC＝2 ，
设正方形的边长为m，则BM＝ m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，
∴20＝m2+（ m）2，
∴m＝4，
∴BD＝4 ，
∴a＝N′D＝ BD＝ ×4 ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）截止2022年1月中国向120多个国家和国际组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对
外提供此疫苗最多的国家．20亿用科学记数法表示为 2×1 0 9 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：20亿＝2000000000＝2×109．
故答案为：2×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，
AC＝2.3，则△ADC的周长是 6 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．
【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝2.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键．
13．（3分）按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数是
．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是 ，当n＝30时即可求解．【解答】解：∵ ， ， ， ……，
∴第n个数是 ，
当n＝30时， ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关
键．
14．（3分）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝
，则AB的长是 1 2 ．
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝
EF，由勾股定理可求AB的长．
【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，
∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠BCE，∵∠FED＝∠BEC，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角
形是本题的关键．
15．（3分）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的
点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数
y
1
＝ 和y
2
＝ 分别经过点B、点E，若S△COD ＝5，则k
1
﹣k
2
＝ 1 0 ．
【分析】作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH
＝∠BCE，再证明△BCE≌△OCD，则面积相等，根据反比例函数系数k的几何意义得k
1
﹣k 的值．
2
【解答】解：作EH⊥y轴于点H，
则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF＝45°，
∴∠OCD+∠OCF＝45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S△BCE ＝S△COD ＝5，
∴S△CEH ＝5，S矩形BCHE ＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k
1
﹣k
2
＝S矩形BCHE ＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角
形的判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上
的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 4 ．
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2（
）＝ ＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【解答】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝ ，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝ ，
∴PA+2PB＝2（ ）＝2（PF+PB）＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4× ＝2 ，
∴（PA+2PB）
最小
＝2BF＝4 ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，
构造 ．
三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明）
17．（8分）（1）解不等式组 ，并写出该不等式组的最小整数解．
（2）先化简，再求值：（ +1）÷ ，其中a＝4sin30°﹣（ ﹣3）0．
π
【分析】（1）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组
的最小整数解．
（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答
案．
【解答】解：（1）由①得：x＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．
（2）原式＝[ +1]•
＝（ + ）•＝ •
＝ ，
当a＝4sin30°﹣（ ﹣3）0＝4× ﹣1＝2﹣1＝1时，
π
原式＝4．
【点评】本题考查不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题
型．
18．（7分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生
进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整的统计图
“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表
观看时长 频数（人） 频率
（分）
0＜x≤15 2 0.05
15＜ 6 0.15
x≤30
30＜ 18 a
x≤45
45＜ 0.25
x≤60
60＜ 4 0.1
x≤75
（1）频数分布表中，a＝ 0.4 5 ，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会
时长超过60分钟的有 5 2 人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，
请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．【分析】（1）根据0＜x≤15的频数与频率，求出调查的总人数，再用30＜x≤45的频数除
以总人数，求出a，然后求出45＜x≤60的频数，从而补全统计图；
（2）用总人数乘以平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的人数所占的百分比即可；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到甲、乙两
名同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）调查的总人数有：2÷0.05＝40（人），
a＝ ＝0.45，
45＜x≤60的人数有：40×0.25＝10（人），
补全统计图如下：（2）估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有：520×0.1＝52（人）；
故答案为：52；
（3）画树状图得：
∵共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是2种，
∴P（恰好抽到甲、乙两名同学）＝ ＝ ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频率分布直方图的知识．用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时
刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝
1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆
影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
【分析】设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作
DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的
高度．
【解答】解：如图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为
0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，
∵DF∥PQ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝ ，
∴tan80.5°＝ ≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
【点评】本题考查了锐角三角函数和相似三角形的应用；作出相应辅助线得到矩形是解决
本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．
20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝ （x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B
（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图象直接写出不等式 ＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP ＝ S△AOB ，请求出点P的坐标．【分析】（1）通过图象位置关系解不等式．
（2）用待定系数法法求解析式．
（2）先求△AOB的面积，再求P的坐标．
【解答】解：（1）当y＝ 的图象在y＝ax+b图象的下方时， ＜ax+b成立，
∴﹣4＜x＜﹣2．
（2）将A（﹣2，4）代入y＝ 得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣ ．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得： ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6．
（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO ＝S△AOC ﹣S△BOC
＝ OC×（y ﹣y ）
A B
＝ ×6×2
＝6，
∴S△AOP ＝ ×6＝3，
∵P在y轴上，∴ OP×|x |＝3，
A
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0．﹣3）．
【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将线段的长度转化为坐
标运算是求解本题的关键．
21．（8分）如图，以AB为直径的 O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点
E为BC中点，连接DE、BD．⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若DE＝5，cos∠ABD＝ ，求OE的长．
【分析】（1）连接 OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出 DE＝BE，进而证明
△DOE≌△BOE，进一步得出结论；
（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得
OE．
【解答】（1）证明：如图，
连接OD，
∵AB为 O的直径，
∴∠BDC⊙＝∠ADB＝90°，
∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝ ，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE
∵点D在 O上，
∴DE是 ⊙O的切线；
（2）解：⊙∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC＝ ＝ ，
∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE＝ ．
【点评】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角
形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
22．（10分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，
第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调
查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货
源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大
利润是多少？
【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数关系式，再根据
“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，
根据题意可得， +50＝ ，
解得x＝40．
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴1.1x＝44．
∴第二批每个挂件的进价为40元．
（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，
根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当x≥52时，w随y的增大而减小，
∵40+10（60﹣y）≤90，
∴w≥55，
∴当y＝55时，w取最大，此时w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．
23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（ ，0），B（3， ）两点，
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边
形是平行四边形，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，
请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方
程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；
（3）过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，证明
△CHM≌△HBN（AAS），由全等三角形的性质得出CM＝HN，MH＝BN，求出H点的坐标，
由待定系数法求出直线CH的解析式，联立直线CH和抛物线解析式即可得出点Q的坐
标．
【解答】解：（1）将点A（﹣ ，0），B（3， ）代入到y＝ax2+bx+2中得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+ x+2；
（2）设点P（m，﹣m2+ m+2），
∵y＝﹣x2+ x+2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x+2，∴D（m， m+2），
∴PD＝|﹣m2+ m+2﹣ m﹣2|＝|m2﹣3m|，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或 或 ，
∴点P的横坐标为1或2或 或 ；
（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过
B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∴△CHM≌△HBN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H（m，n），
∵C（0，2），B（3， ），∴ ，解得 ，
∴H（ ， ），
设直线CH的解析式为y＝px+q，
∴ ，解得 ，
∴直线CH的解析式为y＝﹣ x+2，
联立直线CH与抛物线解析式得 ，
解得 或 ，
∴Q（ ， ）；
②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B
作BN⊥MH于N，
同理得Q（ ， ）．
综上，存在，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标
特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点
M，则AE与CF的数量关系是 AE ＝ CF ，位置关系是 AE ⊥ CF ；
（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点
M．
①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
②连接DM，求∠EMD的度数；
③若DM＝6 ，ED＝12，求EM的长．
【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝
∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；
（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，
则可得出结论；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角
形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，
又∵DE＝DF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DCF+∠DEA＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF．
故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；
（2）①（1）中的结论还成立，
理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠E＝∠F，
∵∠F+∠ECF＝90°，
∴∠E+∠ECF＝90°，
∴∠EMC＝90°，
∴AE⊥CF；
②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，
∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，
∴△DEG≌△DFH（AAS），
∴DG＝DH，
又∵DG⊥AE，DH⊥CF，
∴DM平分∠EMC，
又∵∠EMC＝90°，
∴∠EMD＝ ∠EMC＝45°；
③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，
∴∠DMG＝∠GDM，
∴DG＝GM，又∵DM＝6 ，
∴DG＝GM＝6，
∵DE＝12，
∴EG＝ ＝ ＝6 ，
∴EM＝GM+EG＝6+6 ．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形
的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
