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2022年内蒙古赤峰市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的
对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）同种液体，压强随着深度增加而增大．7km深处海水的压强为72100000Pa，数据
72100000用科学记数法表示为（ ）
A．7.21×106 B．0.721×108 C．7.21×107 D．721×105
4．（3分）解不等式组 时，不等式①、②的解集在同一数轴上表示正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）A． B．
C． D．
6．（3分）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a2•a3＝a6 C．2a•3a2＝6a3 D．（﹣a4）3＝﹣a7
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查某班学生的视力情况适合采用随机抽样调查的方法
B．声音在真空中传播的概率是100%
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的方差分别是S甲 2＝2.4，S乙 2＝1.4，则甲的射击
成绩比乙的射击成绩稳定
D．8名同学每人定点投篮6次，投中次数统计如下：5，4，3，5，2，4，1，5，则这组数据的中
位数和众数分别是4和59．（3分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形
ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD
C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC
10．（3分）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的
一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
11．（3分）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．﹣3 D．5
12．（3分）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线
长为（ ）A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
13．（3分）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E
是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．2 D．
14．（3分）如图，AB是 O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应
点D落在AB上，延⊙长CD，交 O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙
A．2 B．2 C．2 ﹣4 D．2 ﹣2
二、填空π题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每π小题3分，共12分）π
15．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝ ．
16．（3分）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，王
强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表
示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 ．（填写所有正确结论的序
号）
①体育场离王强家2.5km②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
17．（3分）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射
定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观
测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测
者观看镜子的俯角 ＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高
度约为 m．α（结果取整数， ≈1.7）
18．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是
抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（10分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝（ ）﹣1 +4cos45°．
20．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
21．（12分）为了解青少年健康状况，某班对50名学生的体育达标情况进行了测试，满分为
50分．根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下：
组别 成绩x（分） 频数（人数）
第一组 5≤x＜15 1
第二组 15≤x＜25 5
第三组 25≤x＜35 12
第四组 35≤x＜45 m
第五组 45≤x＜55 14请结合图表完成下列各题：
（1）求表中m的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？
（4）第三组12名学生中有A、B、C、D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛
练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B、C两名女生分在同一组的概率．
22．（12分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种
苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株
或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
23．（12分）阅读下列材料
定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．
例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．
完成下列任务
（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ；
②min|﹣ ，﹣4|＝ ．
（2）如图，已知反比例函数y ＝ 和一次函数y ＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x
1 2
＜0时，min| ，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．24．（12分）如图，已知AB为 O的直径，点C为 O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC
的垂直平分线，交OC于点⊙F，垂足为点E，连⊙接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是 O的切线；
（2）若CD＝6，O⊙F＝4，求cos∠DAC的值．
25．（14分）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长
方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池
1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y
1
（m2），则y 关于x的函数解析式为：y ＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x
1 1
＜6），面积为y（m2），则y 关于x的函数解析式为：y ＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数
2 2 2
在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 （可省略
单位），水池2面积的最大值是 m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的x（m）值是
；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 ；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简
称水池3），则水池3的总面积y（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y ＝x+b（x＞0）．
3 3
若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
26．（14分）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们
研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个
1 1 1
顶点，OA 交AB于点E，OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 ；
1 1
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心
O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的
边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使
△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．2022年内蒙古赤峰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的
对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1．（3分）﹣5的绝对值是（ ）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3分）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．（3分）同种液体，压强随着深度增加而增大．7km深处海水的压强为72100000Pa，数据
72100000用科学记数法表示为（ ）A．7.21×106 B．0.721×108 C．7.21×107 D．721×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：72100000＝7.21×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）解不等式组 时，不等式①、②的解集在同一数轴上表示正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【解答】解：不等式组 的解集是﹣1＜x≤3，
在数轴上表示为：
，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能把不等式组
的解集在数轴上表示出来是解此题的关键．
5．（3分）下面几何体的俯视图是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据题意和题目中的图形，可以画出相应的俯视图，本题得以解决．
【解答】解：几何体的俯视图是：
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，解答本题的关键是画出相应的俯视图．
6．（3分）如图，点A（2，1），将线段OA先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，
得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣3，2） B．（0，4） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
【分析】根据点的平移规律，即可解答．
【解答】解：如图：由题意得：点A的对应点A′的坐标是（﹣1，3），
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a2•a3＝a6 C．2a•3a2＝6a3 D．（﹣a4）3＝﹣a7
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘
方与积的乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a3与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、2a•3a2＝6a3，故C符合题意；
D、（﹣a4）3＝﹣a12，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘
方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．调查某班学生的视力情况适合采用随机抽样调查的方法
B．声音在真空中传播的概率是100%
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的方差分别是S甲 2＝2.4，S乙 2＝1.4，则甲的射击
成绩比乙的射击成绩稳定D．8名同学每人定点投篮6次，投中次数统计如下：5，4，3，5，2，4，1，5，则这组数据的中
位数和众数分别是4和5
【分析】利用调查方式的选择方法、概率的意义，方差的意义及众数、中位数的定义分别判
断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、调查某班学生的视力情况，因调查范围比较小，适合采用全面调查的方法，
故错误，不符合题意；
B、声音在真空中传播的概率是0%，故错误，不符合题意；
C、甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的方差分别是S甲 2＝2.4，S乙 2＝1.4，则甲的射击
成绩不如乙的射击成绩稳定，故错误，不符合题意；
D、8名同学每人定点投篮6次，投中次数统计如下：5，4，3，5，2，4，1，5，则这组数据的中
位数和众数分别是4和5，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】考查了调查方式的选择方法、概率的意义，方差的意义及众数、中位数的定义等知
识，解题的关键是了解统计的有关定义和方法，难度不大．
9．（3分）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形
ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变 B．AD＝CD
C．四边形ABCD面积不变 D．AD＝BC
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝
BC．
【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题
的关键．
10．（3分）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的
一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
【分析】根据统计图分别判断各个选项即可．
【解答】解：∵10÷5%＝200，
∴这次调查的样本容量为200，
故A选项结论正确，不符合题意；
∵1600× ＝400（人），
∴全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有400人，
故B选项结论不正确，符合题意；
∵200×25%＝50（人），
∴被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人，
故D选项结论正确，不符合题意；
∵360°× ＝36°，
∴扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°，
故C选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．11．（3分）已知（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，则2x2﹣4x+3的值为（ ）
A．13 B．8 C．﹣3 D．5
【分析】先根据平方差公式进行计算，求出x2﹣2x＝5，再变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）﹣2x＝1，
x2﹣4﹣2x＝1，
x2﹣2x＝5，
所以2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2×5+3＝10+3＝13，
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式和求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键．
12．（3分）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线
长为（ ）
A．10cm B．20cm C．5cm D．24cm
【分析】根据弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：设母线的长为R，
由题意得， R＝2 ×12，
解得R＝24，π π
∴母线的长为24cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查弧长的计算，根据展开后的半圆弧长等于圆锥形烟囱帽的底面周长
列方程求解是解题的关键．
13．（3分）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E
是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（ ）A．3 B．5 C．2 D．
【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时
PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．
【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此
时PD+PE有最小值为DE'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故选：A．
【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解
题的关键．
14．（3分）如图，AB是 O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应
点D落在AB上，延⊙长CD，交 O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
⊙A．2 B．2 C．2 ﹣4 D．2 ﹣2
【分析π】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三π角形，根据扇形面积减π三角形面积计
算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝2 ，
∴S阴影 ＝S扇形OEC ﹣S△OEC ＝ ﹣ × ＝2 ﹣4，
π
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的
关键．
二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分）
15．（3分）分解因式：2x3+4x2+2x＝ 2 x （ x + 1 ） 2 ．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（x2+2x+1）
＝2x（x+1）2．
故答案为：2x（x+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题
的关键．
16．（3分）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，王
强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表
示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 ①③④ ．（填写所有正确结
论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min
【分析】利用图象中的信息对每个结论进行逐一判断即可．
【解答】解：由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分钟跑
步到达，
∴①的结论正确；
由图象中的折线中的第二段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，
∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），
∴②的结论不正确；
由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；
由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），
∴③的结论正确；
由图象中的折线中的第五段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102
分钟到达学校，
∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），
∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了函数的图象，从函数的图象中正确的获取信息是解题的关键．
17．（3分）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射
定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观
测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测
者观看镜子的俯角 ＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高
度约为 1 7 m．α（结果取整数， ≈1.7）
【分析】由光的反射原理可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝
＝ ，解得DO≈1，则BO＝BD﹣DO＝10m，在Rt△AOB中，tan60°＝
＝ ，解方程可求得AB．
【解答】解：由题意可得∠COD＝∠AOB＝60°，
在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝ ＝ ，
解得DO≈1，
∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），
在Rt△AOB中，tan60°＝ ＝ ，
解得AB≈17，
∴旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是
解答本题的关键．
18．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是
抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣ 5 ，﹣ 4 ）或（ 0 ， 1 ） ．
【分析】由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的
解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
【解答】解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m ＝﹣1，m ＝﹣6，
1 2
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形
的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是
解决问题的关键．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．共8题，满分96分）
19．（10分）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中a＝（ ）﹣1 +4cos45°．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1+ ）÷
＝ •
＝ •
＝3（a﹣1）
＝3a﹣3，
当a＝（ ）﹣1 +4cos45°
＝2﹣2 +4×
＝2﹣2 +2
＝2时，原式＝3×2﹣3＝3．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，分式的化简求值，准确熟练地进
行计算是解题的关键．
20．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，BC＝5．
（1）作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接CD，求△BCD的周长．
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到 DC＝DB，则利用等角的余角相等得到∠A＝
∠DCA，则DC＝DA，然后利用等线段代换得到△BCD的周长＝AB+BC．
【解答】解：（1）如图，DH为所作；
（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠B+∠A＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴DC＝DA，
∴△BCD的周长＝DC+DB+BC＝DA+DB+BC＝AB+BC＝8+5＝13．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了
线段垂直平分线的性质．
21．（12分）为了解青少年健康状况，某班对50名学生的体育达标情况进行了测试，满分为
50分．根据测试成绩，绘制出不完整的频数分布表和不完整的频数分布直方图如下：组别 成绩x（分） 频数（人数）
第一组 5≤x＜15 1
第二组 15≤x＜25 5
第三组 25≤x＜35 12
第四组 35≤x＜45 m
第五组 45≤x＜55 14
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中m的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于35分为达标，则本次测试的达标率是多少？
（4）第三组12名学生中有A、B、C、D四名女生，现将这12名学生平均分成两组进行竞赛
练习，每组两名女生，请用画树状图法或列表法求B、C两名女生分在同一组的概率．
【分析】（1）用总人数减去除第四组外的各组人数得到m的值；
（2）利用第三组和第四组的频数补全直方图；
（3）用第四组和第五组的频数和除以总人数得到本次测试的达标率；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出B、C两名女生分在同一组的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）m＝50﹣1﹣5﹣12﹣14＝18；
（2）如图，（3）本次测试的达标率为 ×100%＝64%；
（4）画树状图为：
共用12种等可能的结果，其中B、C两名女生分在同一组的结果数为4，
所以B、C两名女生分在同一组的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22．（12分）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种
苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株
或B种苗木30株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
【分析】（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据“A、B两种苗木共6000株，其中A
种苗木的数量比B种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可．
【解答】解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，
根据题意，得 ，解得 ，
答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；
（2）设安排m人种植A种苗木，
根据题意，得 ，
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，
350﹣m＝350﹣100＝250（人），
答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．
【点评】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关
系是解题的关键．
23．（12分）阅读下列材料
定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．
例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．
完成下列任务
（1）①min|（﹣3）0，2|＝ 1 ；
②min|﹣ ，﹣4|＝ ﹣ 4 ．
（2）如图，已知反比例函数y ＝ 和一次函数y ＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x
1 2
＜0时，min| ，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．
【分析】（1）根据定义运算的法则解答即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．【解答】解：（1）由题意可知：①min|（﹣3）0，2|＝1，
②min|﹣ ，﹣4|＝﹣4；
故答案为：1，﹣4．
（2）当﹣2＜x＜0时，min| ，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3，
∵一次函数y ＝﹣2x+b，
2
∴b＝﹣3，
∴y ＝﹣2x﹣3，
2
当x＝﹣2时，y＝1，
∴A（﹣2，1）
将A点代入y ＝ 中，得k＝﹣2，
1
∴y ＝﹣ ．
1
【点评】本题主要考查了新定义运算和反比例函数图像的性质，熟练掌握新定义运算的法
则和反比例函数的性质是解答本题的关键．
24．（12分）如图，已知AB为 O的直径，点C为 O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC
的垂直平分线，交OC于点⊙F，垂足为点E，连⊙接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是 O的切线；
（2）若CD＝6，O⊙F＝4，求cos∠DAC的值．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解
答即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质得到CF＝CD＝6，利用相似三角形的判定与性质求得线段AC，再利用直角三角形的边角关系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，则结论可得．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，
∴CO⊥AB．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC．
∵∠DCA＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA．
∴DA∥OC，
∴DA⊥OA．
∵OA是 O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：⊙在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（ASA），
∴CD＝CF＝6，
∴CO＝CF+OF＝10．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝ AC．
∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，
∴△CEF∽△COA，
∴ ，
∴ ，
∴AC＝2 ，
在Rt△AOC中，
∵cos∠OCA＝ ，∴cos∠DAC＝cos∠OCA＝ ．
【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等
三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直
角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．
25．（14分）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长
方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池
1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y
1
（m2），则y 关于x的函数解析式为：y ＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x
1 1
＜6），面积为y（m2），则y 关于x的函数解析式为：y ＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数
2 2 2
在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 3 ≤ x ＜ 6 （可省略单位），水池2面积的最大值是 9 m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 C ， E ，此时的x（m）值是
1 或 4 ；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 0 ＜ x ＜ 1 或 4 ＜ x ＜ 6 ；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简
称水池3），则水池3的总面积y（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y ＝x+b（x＞0）．
3 3
若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
【分析】（1）依据函数图象和函数解析式，利用二次函数的性质解答即可；
（2）利用图象交点的数学意义解答即可；
（3）依据图象，利用数形结合法解答即可；
（4）在1＜x＜4范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可；
（5）令y ＝y ，得到关于x的一元二次方程，解Δ＝0的方程即可求得b值．
3 2
【解答】解：（1）∵y ＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
2
又∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0＜x＜6，
∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．
故答案为：3≤x＜6；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4＝﹣x2+6x，
解得：x＝1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函
数的函数值，
即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，
故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，则线段FG表示两个水池面积差，
设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），
∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣ + ，
∵﹣1＜0，
∴当m＝ 时，FG有最大值为 ．
∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为 ，此时x的值为 ；
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴y ＝y ，
3 2
即：x+b＝﹣x2+6x，
∴x2﹣5x+b＝0．
∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，
解得：b＝ ．
∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为 米．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次
函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，图象上点的坐标的实际意义，配方法
求二次函数的极值，二次函数与二次方程的联系，充分理解函数图象上点的坐标的数学意
义是解题的关键．
26．（14分）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：
【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A B C O的一个
1 1 1
顶点，OA 交AB于点E，OC 交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 AE ＝ BF ；
1 1
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心
O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正
方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的
边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使
△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．
【分析】【问题一】利用ASA判断出△AOE≌△BOF，即可得出答案；
（2）先求出S△AOB ＝16，再利用ASA判断出△AOE≌△BOG，即可求出答案；
【问题三】分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【解答】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，
∵四边形A B C O是正方形，
1 1 1
∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：AE＝BF；
【问题二】如图③，
连接OA，OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴S△AOB ＝ S正方形ABCD ＝ ×82＝16，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAE＝∠OBG＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵m⊥n，
∴∠EOG＝90°，
∴∠AOE＝∠BOG，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴S△AOE ＝S△BOG ，
∴S四边形OEAG ＝S△AOE +S△AOG ＝S△BOG +S△AOG ＝S△AOB ＝16；
【问题三】在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ＝BE＝BC+CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝90°＝∠E，∴∠EFP+∠EPF＝90，
∵∠AFP＝90°，
∴∠EFP+∠AFQ＝90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴ ，
∵QF＝EQ﹣EF＝4，
∴ ，
∴EP＝1，
∴BP＝BE﹣EP＝7；
②当∠APF＝90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴ ，
∵PE＝BE﹣BP＝8﹣BP，
∴ ，
∴BP＝2或BP＝6；
③当∠PAF＝90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，
∴FN＝EN﹣EF＝4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴ ，
∴ ，∴AM＝3，
∴BP＝3，
即BP的长度为2或3或6或7．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形
的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解
本题的关键．
