第一节立体几何小题篇_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第七章

MST老唐说题26版一轮 第七章 立体几何第 1 节 小题篇 考向1 空间点线面的位置关系 题型1 三垂线定理速证垂直 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂 直． 已知PO是平面的垂线，垂足为O，PA 是平面的斜线，斜足为A，直线l． 求证：（1）若l PA ，则l OA； （2）若l OA，则l PA ． PO  POl  证明：（1）l  l 平面OPA ，又OA平面OPA，故l OA；  l PA，POPA P PO  POl  （2）l  l 平面OPA，又PA 平面OPA ，故l PA ．  l OA，POPA P 【例1】如图，正长方体ABCDABCD 中，体对角线AC 与面对角线BD的位置关系一定是( ) 1 1 1 1 1 A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【例2】（2021•浙江）如图，已知正方体ABCDABCD ，M ，N分别是AD，DB的中点，则( ) 1 1 1 1 1 1 1MST老唐说题26版一轮 A．直线AD与直线DB垂直，直线MN //平面ABCD 1 1 B．直线AD与直线DB平行，直线MN 平面BDDB 1 1 1 1 C．直线AD与直线DB相交，直线MN //平面ABCD 1 1 D．直线AD与直线DB异面，直线MN 平面BDDB 1 1 1 1 【例3】（2024天津卷） 若m,n为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若m//，n，则m//n B. 若m//,n//，则m//n C. 若m//,n ，则m  n D. 若m//,n ，则m与n相交 【例4】（2024年甲卷）设、是两个平面，m、n是两条直线，且m.下列四个命题： ①若m//n，则n//或n// ②若m  n，则n,n ③若n//，且n//，则m//n ④若n与和所成的角相等，则m  n 其中所有真命题的编号是（ ） A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 题型2 几何法求解距离问题 ①两点间的距离：构造直角三角形，利用勾股定理处理； ②点到平面的距离：等体积法； ③直线到平面的距离：转化为求点到面的距离； ④平面到平面间的距离：转化为求点到面的距离． 注意：若二面角非直角，可以考虑用向量转化求解距离，如训练5． 【例1】在矩形ABCD中，AB1，AD 3，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角BACD，则点B 与点D之间的距离为（ ） A． 3 B． 5 C． 10 D． 5 2 2 【例2】如图，已知在矩形ABCD中，AD4，AB3，M为边BC的中点，将ABM ，VCDM 分别沿着 直线AM，MD翻折，使得B，C两点重合于点P，则点P到平面MAD的距离为 ． 2MST老唐说题26版一轮 【例3】已知正四棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ，AB=2，CC 1 =2 2 E为CC 1 的中点，则直线AC 1 与平面BED 的距离为 A．2 B． 3 C． 2 D．1 【例4】直四棱柱ABCDABCD 中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱AA3，M、N分别为AB、AD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的中点，E、F分别是CD,BC 的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离． 1 1 1 1 【例5】（2024甲卷） 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF 均为等腰梯形，BC //AD,EF //AD，AD4,AB BC  EF 2，ED  10,FB  2 3，M 为AD 的中点. （1）证明：BM//平面CDE； （2）求点M 到ABF 的距离. 题型3 几何法处理夹角问题 知识点1：线与线的夹角  平行直线 共面直线 （1）位置关系的分类：  相交直线  异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点  （2）异面直线所成的角 3MST老唐说题26版一轮 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a∥a，b∥b，把a与b所成的锐角（或 直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．  ②范围：(0， ] 2 ③求法：平移法：将异面直线a，b平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 知识点2：线与面的夹角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．  ②范围：[0， ] 2 ③求法： 常规法：过平面外一点B做BB平面，交平面于点B'；连接AB，则BAB即为直线AB与平 BB h 面的夹角．接下来在Rt△ABB中解三角形．即sinBAB  （其中h即点B到面的距离， AB 斜线长 可以采用等体积法求h，斜线长即为线段AB的长度）； 知识点3：二面角 （1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱， 这两个平面称为二面角的面．（二面角l或者是二面角ACDB） （2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围[0，]． （3）二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角， 如图在二面角l的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和 OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就 相当于求两条异面直线的夹角即可）． 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点A，作AO于O，过A作ABc于B，则BO为斜线AB在面内的 4MST老唐说题26版一轮 射影，ABO为二面角c的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点A，作AO于O； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABc于B，连接BO； ③计算：ABO为二面角c的平面角，在Rt△ABO中解三角形． 图1 图2 图3 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面 S S 积公式（cos 射 = A'B'C' ，如图2）求出二面角的大小； S S 斜 ABC 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为 补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面 积法解题． 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是 二面角的平面角． 例如：过二面角内一点A作AB于B，作AC 于C，面ABC交棱a于点O，则BOC就是二面 角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了． 角度1 几何法求异面直线所成角 【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所 在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余 弦取绝对值即为直线所成角的余弦值． 【例1】（2021•乙卷文）在正方体ABCDABCD 中，P为BD 的中点，则直线PB与AD 所成的角为（ ） 1 1 1 1 1 1 1 π π π π A． B． C． D． 2 3 4 6 5MST老唐说题26版一轮 角度2 几何法求二面角 【例1】（2013•全国大纲卷理）已知正四棱柱ABCDABCD 中，AA 2AB，则CD与平面BDC 所成 1 1 1 1 1 1 角的正弦值等于（ ） 2 3 2 1 A． B． C． D． 3 3 3 3 角度3 射影面积法求二面角 【例1】如图，在正方体ABCD ABC D 中，AB3，CE 2EC ，求二面角D一BE 一C 的余弦值． 1 1 1 1 1 考向2 静态立体几何 题型1 常见几何体与重要特殊几何体 1．常见空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 相交于一点，但不一定 侧棱 平行且相等 延长线交于一点 相等 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 6MST老唐说题26版一轮 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 互相平行且相等，垂 母线 相交于一点 延长线交于一点 直于底面 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S =2rl S =rl S =(r＋r)l 圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 3．空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 体积 几何体 柱体(棱柱和圆柱) S =S +2S V=Sh 表面积 侧 底 1 锥体(棱锥和圆锥) S =S +S V= Sh 表面积 侧 底 3 1 台体(棱台和圆台) S =S +S +S V= (S +S + S S )h 表面积 侧 上 下 3 上 下 上 下 4 球 S=4R2 V= R3 3 3． 常考其他几何体 阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样 的三棱柱，称为堑堵． 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，另有一棱与底面垂直的 7MST老唐说题26版一轮 四棱锥，称为阳马．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑． 4．正四面体 2 如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 a，显然正四面体和正 2 方体有相同的外接球．（正四面体的棱长为正方体棱长 2倍） 在棱长为a的正四面体中 6 结论1：高h a． 3 6 结论2：内切球半径r  a． 12 6 结论3：外切球半径R a． 4 【例1】（2024新I卷） 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的 体积为（ ） A. 2 3π B. 3 3π C. 6 3π D. 9 3π 【例2】（2024甲卷）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r 和r ，母线长分别为2  r r  和3  r r  ， 1 2 2 1 2 1 V 则两个圆台的体积之比 甲 =______． V 乙 8MST老唐说题26版一轮 【例3】（2023•多选•新高考Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120， PA2，点C在底面圆周上，且二面角P AC O为45，则( ) A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为4 3 C．AC 2 2 D．PAC的面积为 3 【例4】（2024天津卷）一个五面体ABCDEF ．已知AD∥BE∥CF ，且两两之间距离为1．并已知 AD 1，BE 2，CF 3．则该五面体的体积为（ ） 3 3 3 1 3 3 3 1 A. B.  C. D.  6 4 2 2 4 2 【例5】（2020•新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 52 【例6】（2024新Ⅱ卷） 已知正三棱台ABC- ABC 的体积为 ，AB6，AB 2，则AA与平面 1 1 1 1 1 1 3 ABC所成角的正切值为（ ） 1 A. B.1 C.2 D.3 2 9MST老唐说题26版一轮 【例7】正四面体ABCD中，棱长为a，高为h，外接球半径为R，内切球半径为r，AB与平面BCD所成 角为，二面角ABDC 的大小为，则( ) 6 6 1 A．h a B．R2r C．sin D．cos 3 3 2 【例8】已知正四面体ABCD，点M 为棱CD的中点，则异面直线AM 与BC所成角的余弦值为 ． 【例9】《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一．” 如图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程．在一个长方体截得的堑堵和鳖臑中，若 堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为( ) 2 2 4 2 A．2 B．3 3 C．2 D．2 3 3 3 【例10】《九章算术商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳 马居二，鳖臑居一，不易之率也．意思是：如图，沿正方体对角面ABCD截正方体可得两个堑堵，再沿平 1 1 面BCD截堑堵可得一个阳马（四棱锥DABCD)，一个鳖臑（三棱锥DBCC)，若P为线段CD上一 1 1 1 1 1 1 1 1 动点，平面过点P，CD平面，设正方体棱长为1，PDx，与图中的鳖臑截面面积为S，则点P 从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是( ) 10MST老唐说题26版一轮 A． B． C． D． 11MST老唐说题26版一轮 题型2 截面问题 一、立体几何与截面问题 1．定义 ①截面:一个无限长的平面去截几何体，该平面与几何体的交面，为该几何体的截面 ②截线:该平面与几何体表面上的交线叫做截线． ③截点:该平面与几何体各棱上的交点叫做截点．连接各截点形成的线段即为截线(在表面上)，连接各截线 形成的封闭图形即为截面． 2．作截面的基本逻辑 (1)找截点→连截线→围截面 (2)作截面的理论依据： ①任意两点确定唯一直线，不共线的三点确定唯一平面； ②处于两个平面中的两条直线的交点，在这两条直线所在的平面的交线上； ③若两个平面互相平行，且第三个平面与它们相交，则两条交线平行； ④若一条直线平行于一个平面，经过该直线的平面与该此平面相交，则直线与交线平行： (3)如何确定该截面是否“完整” ①所画的线是否围成了一个封闭图形? ②题目所要求过的点是否都在截面上? ③该截面的各个边是否都在几何体的表面(不能在几何体内部)? 3．作截面的具体方法 （1）平行线法：适用于有两个或两个以上截面线段在表面上 （2）延长线法：适用于只有一个截面线段在表面上 12MST老唐说题26版一轮 【例1】正方体ABCD ABCD的棱长为2，E为棱BB的中点，用过点A，E，C的平面截取该正方体， 则截面的面积为( ) A．2 6 B．2 5 C．5 D．4 2 【例2】正方体ABCDABCD 中，M ，N分别是CC ，BC 的中点，则过A ，M ，N三点的平面截正 1 1 1 1 1 1 1 1 方体所得的截面形状是( ) A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【例3】如图正方体ABCDABCD ，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC 上的动点，过点A、P、Q 1 1 1 1 1 的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是 ①②④ （写出所有正确命题的编号）． 1 ①当0CQ 时，S为四边形； 2 1 ②当CQ 时，S为等腰梯形； 2 3 ③当 CQ1时，S为六边形； 4 6 ④当CQ1时，S的面积为 ． 2 13MST老唐说题26版一轮 二、正方体截面问题: 1．正方体的基本截面: 任意三角形 正三角形 梯形 平行四边形 正方形 菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形 正方体的截面不会出现以下图形: 直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形． 2．正方体截面面积最大值: 截面为三角形→正三角形 截面为四边形→矩形 截面为六边形→正六边形 注意：正方体的体对角线与所有棱所成角都相等． 【例1】（2018•新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正 方体所得截面面积的最大值为（ ） 3 3 2 3 3 2 3 A． B． C． D． 4 3 4 2 14MST老唐说题26版一轮 【例2】（2023•多选•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m)的正方体容器（容器 壁厚度忽略不计）内的有( ) A．直径为0.99m的球体 B．所有棱长均为1.4m的四面体 C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体 【例3】（2025•T8第一次联考•多选）已知正方体ABCDABCD的棱长为1，M 是AA中点，P是AB   的中点，点N满足DN DC([0,1])，平面MPN截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分 别为V ，V ，则下列判断正确的是( ) 1 2 1 3 A． 时，截面面积为 2 2 1 B． 时，V V 2 1 2 C．|V V |随着的增大先减小后增大 1 2 5 D．|V V |的最大值为 1 2 12 三、球体的截面问题 1．球的截面一定是圆或者是圆的一部分； 2．确定球心与半径，建立直角三角形，计算截面与球心的距离； 3． 最大的截面半径r R，最小的截面半径r  R2 d2 ． min 15MST老唐说题26版一轮 【例1】正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面 积的取值范围是( ) A．[4，6] B．[4，12] C．[，4] D．[，6] 【例2】【多选】在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F ，M 分别为BC，CD，BE 的中点， 分别沿AE，AF 及EF 所在直线把AEB，AFD和EFC 折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三 棱锥PAEF ，如图2所示，则下列结论中正确的是( ) A．PAEF B．三棱锥M AEF 的体积为4 C．三棱锥PAEF 外接球的表面积为24 D．过点M 的平面截三棱锥PAEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[，6] 【例3】已知三棱锥PABC的各个顶点都在球O的表面上，PA底面ABC，AB AC，AB6，AC 8， D是线段AB上一点，且AD5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28， 则球O的表面积为( ) A．128 B．132 C．144 D．156 16MST老唐说题26版一轮 题型 3 几何体外接球 一、长方体切割体的外接球 图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体 【例1】（2020•天津）若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A．12 B．24 C．36 D．144 【例2】（2019•新课标Ⅰ）已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC ，ABC 是边 长为2的正三角形，E，F 分别是PA，AB的中点，CEF 90，则球O的体积为( ) A．8 6 B．4 6 C．2 6 D． 6 二、锥体的外接球 【例1】（2021•甲卷）已知A，B，C 是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC BC，AC  BC 1， 则三棱锥O ABC 的体积为( ) 2 3 2 3 A． B． C． D． 12 12 4 4 【例2】（2020•新课标Ⅰ）已知A，B，C 为球O的球面上的三个点，O 为ABC 的外接圆．若O 的 1 1 面积为4，ABBC  AC OO ，则球O的表面积为( ) 1 A．64 B．48 C．36 D．32 17MST老唐说题26版一轮 32 【例3】（2021•天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个 3 圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A．3 B．4 C．9 D．12  【例4】（2024•九省2月份联考）在正三棱锥PABC中，侧棱PA与底面ABC所成的角为 ，且AB3， 3 则三棱锥PABC外接球的表面积为( ) A．8 B．12 C．16 D．18 三、含垂面and二面角的外接球 l2 1．双半径单交线公式：R2 R2 R 2  1 2 4 1 l2 R2 OD2 OO2 O D2 O E2 O D2 (O C2 CE2)O D2 O C2 ( BC)2 O D2 R2 R 2  ． 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 4 【例1】已知在三棱锥ABCD中，面ABD面BCD，BCD和ABD均是边长为2 3的正三角形，则该 三棱锥的外接球体积为 ． 18MST老唐说题26版一轮 【例2】已知平面图形PABCD，ABCD为矩形，AB4，PAD是以P为顶点的等腰直角三角形，如图所 16 示，将△PAD沿着AD翻折至△PAD，当四棱锥P ABCD体积的最大值为 ，此时四棱锥P ABCD外 3 接球的表面积为（ ） A．12 B．16 C．24 D．32 m2 n2 2mncos l2 2．双距离单交线公式：R2   ．证明：如图，若空间四边形ABCD中， sin2 4 二面角CABD的平面角大小为，ABD的外接圆圆心为O ，ABC的外接圆圆心为O ， 1 2 l E为公共弦AB中点，则O EO ，O E m，O E n，AE  ，OAR， 1 2 1 2 2 由于O、O、E、O 四点共圆，且OE 2R O 1 O 2 ，余弦定理 OO 2 m2 n2 2mncos， 1 2 sin 1 2 得R2  OE 2  AE 2  m2 n2 2mncos  l2 ． sin2 4 【例1】已知三棱锥DABC所有顶点都在球O的球面上，△ABC为边长为2 3的正三角形，△ABD是以 BD为斜边的直角三角形，且AD2，二面角CABD为120，则球O的表面积为（ ） 148 37 A． B．28 C． D．36 3 3 19MST老唐说题26版一轮 题型 4 几何体内切球 1．棱锥的内切球半径：等体积法 第一步、先求出四个表面的面积和整个锥体的体积． 第二步、设内切球半径为r，建立等式： 1 V V V V V V  (S S S S )r． PABC OABC OPAB OPAC OPBC PABC ABC PAB PAC PBC 3 3V 第三步、解出r  PABC ． S S S S ABC PAB PAC PBC 注意：正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r 之比为R:r3:1． 6 6 外接球半径：R a，内切球半径：r  a． 4 12 【例1】正三棱锥SABC，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少? 2．圆锥的内切球问题 4 【例2】（2023•合肥月考）已知某圆锥的高为4，其内切球的体积为 ，则该圆锥的侧面积S ( ) 3 A． B．3 C．6 D．12 20MST老唐说题26版一轮   【例3】点P是棱长为4的正四面体表面上的动点，MN 是该四面体内切球的一条直径，则PM PN 的最大 值是 ．  【例4】（2025•八省第一次联考）如图，在三棱锥PABC中，PAPBCACB2，APBACB ， 2 E，F ，G分别为PA，PB，PC上靠近点P的三等分点，若此时恰好存在一个小球与三棱锥PABC的 四个面均相切，且小球同时还与平面EFG相切，则PC ( ) A． 6 2 B． 6 2 C． 131 D． 131 题型 5 几何体棱切球 1．常用结论： a2 a2 2a ①已知正方体的棱长为a，则它的棱切球半径为R  ． 2 2 3a ②已知正三棱柱的棱长均为a，则它的棱切球半径为R ． 3 2a ③已知正四面体的棱长为a，则它的棱切球半径为R ． 4 2．解题技巧： ①找切点，找球心，构造直角三角形． ②正n棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点O，正棱锥的棱切球的球心在其高线上，可以通过 对称性或者截面圆心的垂心确定． a ③棱长都为a的正n棱柱，则棱切球的半径为R ．  2sin n 21MST老唐说题26版一轮 【例1】已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为 4 24 6 8 2 A． B．4 3 C． D． 3 3 3 【题2】已知球O的表面积为9π，若球O与正四面体SABC的六条棱均相切，则此四面体的体积为（ ） 9 2 9 2 A．9 B． 3 2 C． D． 2 8 【题3】已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为( )  4 3 4 4 3 A． B． C． D． 6 27 3 3 考向 3 动态立体几何 立体几何中的动态翻折问题 1．关于点的轨迹：某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹的关键是找 到关键点和翻折过程中不变的数量关系与位置关系． 2．证明或探索位置关系： ①确定翻折前后变与不变的关系，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变， 而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而 对于变化的关系则要在立体图形中解决． ②确定翻折后关键点的位置，所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会 带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只 有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与 计算 3．关于体积最值问题，将一个多边形沿一条线折叠得到一个棱锥,当该棱锥的体积最大时,以折线为交线的 两个半平面垂直，当在折叠过程中棱锥的底面积和高度同时变化时，则需要构建目标函数，通过自变量的 范围,求函数最值解决． 4．旋转问题，两线段距离之和最值问题，将不共面的两线段旋转到同一平面，再利用平面几何知识进行求 解． 22MST老唐说题26版一轮 题型1 轨迹问题 【例1】如图，矩形ABCD中，AB2AD2，E为边AB的中点，将VADE沿DE翻折成△ADE，若M 为 1 线段AC的中点，则在翻折过程中，M 点的轨迹为（ ） 1 A．椭圆的一段 B．直线的一段 C．抛物线的一段 D．一段圆弧 【例2】已知正方形ABCD的边长为2，将ACD沿AC翻折到△ACD的位置，得到四面体DABC，在翻 折过程中，点D¢始终位于ABC所在平面的同一侧，且BD的最小值为 2，则点D的运动轨迹的长度为（ ） 2 2π 4 2π A． B．2 C． D． 3 3 题型2 最值问题 【例3】（2021•上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周 上的一个动点，则ABC 的面积的取值范围为 ． 1 【例4】在梯形ABCD中，ABC BAD90,ABBC  AD1，将ABC沿直线AC翻折成VABC， 2 1 当三棱锥B ACD的体积最大时，三棱锥B ACD的外接球的表面积为_______． 1 1 23MST老唐说题26版一轮 【例5】（2017•新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心 为O．D、E、F 为圆O上的点，DBC ，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿 虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC ，ECA，FAB，使得D、E、F 重合，得到三 棱锥．当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值为 ． 【例6】（2024•T8联考模拟）已知正方体ABCDABCD 的棱长为2，P为线段C D 上的动点，则三棱 1 1 1 1 1 1 锥PBCD外接球半径的取值范围为( ) 29 21 41 7 A．[ ,2] B．[ , 3] C．[ , 3] D．[ , 3] 4 4 4 4 【例7】（2025•武汉二调）如图，直角梯形ABCD中，BC//AD，AB AD ，BC 8，AD9，AB2 3， 点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F ，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF 垂 直，得到六面体ABCDEF ． （1）若CF BD，求BE 的长； （2）求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值． 24MST老唐说题26版一轮 题型3 旋转问题 【例1】如图，正方体ABCDABCD 的棱长为2，P是面对角线BC 上一动点，Q是底面ABCD上一动 1 1 1 1 1 点，则DPPQ的最小值是 ． 1    【例2】（多选）在棱长为1的正方体ABCDABCD 中，点P满足DPDD DA，[0，1]，[0， 1 1 1 1 1 1]，则以下说法正确的是( ) A．当时，BP//平面CBD 1 1 1  B．当 时，存在唯一点P使得DP与直线CB 的夹角为 2 1 3 C．当1时，DPPB的最小值为 2 2 D．当点P落在以B 为球心， 2为半径的球面上时，的最小值为2 2 1 题型四 体积分割之动态定直线 例1（. 2025•武汉二调）四棱锥P ABCD中，AB AD 10，CBCD5，BAD90，PB4，PC 3， △PBC 内部点Q满足四棱锥Q ABCD与三棱锥QPAD的体积相等，则PQ长的最小值为 ． 25MST老唐说题26版一轮 题型5 折叠构造旋转面求最值 例2.（2025•T8第二次模拟）在平面四边形ABCD中，AB AC CD1，ADC 30，DAB120， 将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点． （1）设PC  AB，三棱锥PABC的各个顶点都在球O的球面上． (i)证明：平面PAC 平面ABC； （ⅱ）求球O的半径； （2）求二面角ACPB的余弦值的最小值． 拓展思维2 折叠中的向量不变性 1. 斯坦纳定理 对角线向量定理之折痕向量乘积不变性       (AD2BC2)(AB2CD2) ① ACBD 2      CA2 CB2 AB2 如左图所示，在ABC 中，由余弦定理的向量式有CACB ；在CAD中，同理有 2          CA2 CD2 AD2      (AD2 BC2)(AB2 CD2) CACD ．所以在四边形ABCD中，ACBD AC(CDCB) , 2 2       (AD2 BC2)(AB2 CD2) 即ACBD ,这就是对角线向量定理（斯坦纳定理）． 2           AD2 BC2  AB2 CD2 推论1：cos AC,BD  ② 2 AC BD 说明：式子①②既适用于平面向量也适用于空间向量 推论2：在空间向量中涉及折叠的问题，一定有折痕的向量与任意向量在折叠前后对应的向量的乘积不变； 证明：如右图所示，在四边形ABCD中，沿着BD折叠后，A移到了A'位置，则 AD2 BC2 AB2 CD2 A'D2 BC2 A'B2 CD2 ACBD   A'CBD． 2 2 26MST老唐说题26版一轮 【例1】（2005•浙江）如图所示，M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE⊥AB于E，现将ADE沿 DE折起，使二面角ADEB为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M 、N的连线与AE 所成的角的大小为 ． 【例2】（2015•浙江）如图，三棱锥ABCD中，AB AC BDCD3，ADBC 2，点M ，N分别 是AD，BC的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ． 【例3】（2009•浙江）如图在长方形ABCD中，AB2，BC 1，E为DC的中点，F 为线段EC（端点 除外）上的动点，现将△AFD沿AF 折起，使平面ABD平面ABCF ，在平面ABD内过点D做DK  AB， K为垂足，设AK t，则t的取值范围是 ． 【例4】（2012•浙江）已知矩形ABCD，AB=1，BC= 2 ，将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻 折，在翻折过程中（ ） A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线AC与BD，AB与CD，AD与BC均不垂直 27MST老唐说题26版一轮 【例5】（2016•浙江）如图已知平面四边形ABCD，ABBC 3，CD1，AD 5,ADC 90，沿直 线AC将△ACD翻折成△ACD，直线AC 与BD所成角的余弦值的最大值是 ． 类型三．异面直线两点间距离公式与对角线向量定理 （1）作ABb于点A.ABa于点B，（2）平移b交a于点B，（3）PN BN 于点N，（4）连接PQ， NQ. 则：l2 d2m2n22mncos.其中也是二面角PABQ的平面角； 其实对角线向量定理可以完整解决这个问题，不妨看看例题. 【例6】如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都 垂直于AB．已知AB4，AC 6，BD8，则CD的长为（ ） A． 17 B．7 C．2 17 D．9 28MST老唐说题26版一轮 线线角，线面角与二面角分析与计算 2. 1.三余弦定理（最小角定理）：如图所示，设A为平面上一点，过点A的斜线AO在平面上的射影为AB， AC为平面内的一条直线，那么OAC，OAB，BAC三角的余弦关系为 cosOAC cosBACcosOAB 【证明】如图，过点O作OB AB于点B，过点B作BCAC 于点C，连OC，则△OAC，△ABC，△OAB AB AC AC 均为直角三角形.令OAB，BAC ，OAC，则cos  ，cos  ，cos 1 2 1 2 AO AB AO 显然coscoscos ，且 ，即斜线与射影所成的角是斜线与平面内的任何直线所成的角中的最小的 1 2 1 角. 2．三正弦定理（最大角定理）:对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所 成的线面角的最大值等于二面角的平面角，即二面角是最大的线面角.(由三正弦定理sinsinsinPAB 可得) 证明 如图，过平面 内一点P作底平面 的垂线，垂足为O，则PAO 为PB与底平面所成的角，即 2 1 PO PAO，所以sin ，在平面 中，过点A作棱OB的垂线，垂足为B，连接OB，则OP AB，PBO 1 PA OP PB 为二面角P ABO的平面角，即PBO，所以sin .又sinPAB ， PB PA 因此sinsinsinPAB. 类型一 最大角和最小角定理判断角度大小 关于异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角，这三个角度比大小成为了近年考试的热点和重 难点，根据最小角定理，即异面角线面角，再根据最大角定理，即二面角线面角，所以通常线面角最小， 二面角和异面角则需要具体情况具体分析. 29MST老唐说题26版一轮 【例1】(2022·浙江卷)如图，已知正三棱柱ABCABC AC  AA E F 分别是棱BC AC 上的点. 1 1 1， 1， ， ， 1 1 记EF 与AA 所成的角为 ，EF 与平面ABC所成的角为，二面角F BCA的平面角为，则（ ） 1  B. C. D. A. 【例2】(2019·浙江卷)设三棱锥V ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点). 记直线PB与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则 （ ） A.  B.  C.  D.  ， ， ， ， 【例3】（2018·浙江卷）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不 含端点）.设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为 ，二面角SABC的平面角为 ， 1 2 3 则（ ）. A.   B.   C.   D.   1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1 30MST老唐说题26版一轮 【例4】如图，在正四面体ABCD中，已知M ，N分别为AD，BC的中点，P为线段MB上的动点（包括 端点）.记PN 与CD所成角的最小值为，PN 与平面BCD所成角的最大值为，则（ ）.  A. B. C. D. 2 【例5】如图，在四棱锥PABCD中，已知底面是边长为2的正方形，△PAD是以AD为斜边的等腰直角 三角形，AB平面PAD，点E是线段PD上的动点（不含端点）.若线段AB上存在点F（不含端点），使 得异面直线PA与EF 成30的角，则线段PE 长的取值范围是（ ）. 2 6 2 6 A.(0, ) B.(0, ) C.( , 2) D.( , 2) 2 3 2 3 【例6】（2023四省联考）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在 编制《授时历》时所做的天文计算.图中的AB，AC ，BD，CD都是以O为圆心的圆弧，CMNK 是为计算 所做的矩形，其中M，N，K，分别在线段OD，OB，OA上，MN OB，KN OB.记AOB，AOC ， BOD，COD，则 sin coscos A.sinsincos B.coscoscos C.sin D.cos cos cos 31