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第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（基础篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·江苏·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．任一空间向量与它的相反向量都不相等
B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
2．（5分）（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线
1 3
段OM上，点P在线段AN上，且MN= ON，AP= AN，用向量⃗OA，⃗OB，⃗OC表示⃗OP，则⃗OP=
2 4
（ ）
1 1 1 1 3 1
A． ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC B． ⃗OA− ⃗OB+ ⃗OC
4 4 4 4 4 4
1 1 3 1 3 1
C． ⃗OA− ⃗OB+ ⃗OC D． ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OC
4 4 4 4 4 4
3．（5分）（2023·全国·高三对口高考）已知 ，
⃗a=(1,1,0),⃗b=(0,1,1),⃗c=(1,0,1),⃗p=⃗a−⃗b,⃗q=⃗a+2⃗b−⃗c
则⃗p⋅⃗q=（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．−1 B．1 C．0 D．2
4．（5分）（2023秋·山西大同·高二校考期末）已知空间向量 ，且 ，则向量
⃗a=(1,0,1),⃗b=(x,1,2) ⃗a⋅⃗b=3
⃗a与⃗b的夹角为（ ）
5π 2π π π
A． B． C． D．
6 3 3 6
5．（5分）（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知 ，则下
⃗a=(2,3,−1),⃗b=(2,0,−4),⃗c=(−4,−6,2)
列结论正确的是（ ）
A．⃗a⊥⃗b B．⃗a⊥⃗c C．⃗a//⃗b D．⃗a//⃗c
6．（5分）（2023春·江苏南通·高二校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，BC 与BC相交于点
1 1 1 1 1
O，∠AAB=∠AAC=60∘，∠BAC=90∘，AA=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（ ）
1 1 1
√29 √23
A． B．√29 C． D．√23
2 2
7．（5分）（2023春·高二课时练习）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上
画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了
图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是（ ）
学科网（北京）股份有限公司1 1 √2 √3
A． B． C． D．
4 2 2 2
8．（5分）（2023秋·高一单元测试）如图，在平行六面体ABCD−A B C D 中，以顶点A为端点的三
1 1 1 1
条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60∘，下列说法中正确的是（ ）
A．
AC =12√6
1
√6
B．直线BD 与AC所成角的正弦值为
1 6
C．向量 与 的夹角是
⃗B C ⃗A A 60∘
1 1
D．AC ⊥平面CB D
1 1 1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·全国·高一专题练习）给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
|⃗a|=|⃗b| ⃗a=⃗b ⃗a=−⃗b
B．若向量 是向量 的相反向量，则
⃗a ⃗b |⃗a|=|⃗b|
C．在正方体 中，
ABCD−A B C D ⃗AC=⃗A C
1 1 1 1 1 1
D．若空间向量⃗m ，⃗n ，⃗p 满足⃗m=⃗n ，⃗n=⃗p ，则⃗m=⃗p
10．（5分）（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（
）
1 1 1
A．⃗MP=2⃗MA+3⃗MB B．⃗OP= ⃗OA+ ⃗OB+ ⃗OM
2 3 6
C．⃗PM⋅⃗AB=0 D．⃗PM ∥ ⃗AB
11．（5分）（2023秋·湖北襄阳·高二校考期末）已知向量 ， ，则下列结
⃗a=(1,−1,m) ⃗b=(−2,m−1,2)
论中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．若|⃗a|=2，则m=±√2
B．若⃗a⊥⃗b，则m=−1
C．不存在实数 ，使得⃗a=λ⃗b
D．若 ，则
⃗a⋅⃗b=−1 ⃗a+⃗b=(−1,−2,2)
12．（5分）（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，P，Q分
1 1 1 1
别是棱BC，CC 的中点，点M满足⃗BM=t⃗BA，t∈[0,1]，下列结论正确的是（ ）
1
A．若t=1，则A B //平面MPQ
1 1
9
B．若t=1，则过点M，P，Q的截面面积是
2
1 √3
C．若t= ，则点A 到平面MPQ的距离是
2 1 6
1 √2
D．若t= ，则AB与平面MPQ所成角的正切值为
2 2
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·上海浦东新·高二校考期末）已知 ， ，则 .
⃗a=(1,2,3) ⃗b=(3,2,1) ⃗a⋅(⃗a+⃗b)=
14．（5分）（2023·高二校考课时练习）已知 ， ，且 与 的夹角为钝角，
⃗a=(3,−2,−3) ⃗b=(−1,x−1,1) ⃗a ⃗b
则x的取值范围是 .
15．（5分）（2023春·云南·高二校联考阶段练习）如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E,F分别为
1 1 1 1
的中点，若 ，则 .
AB,DD ⃗EF=x⃗DA+ y⃗DC+z⃗DD x+ y+z=
1 1
16．（5分）（2023春·宁夏·高一校考阶段练习）如图1，在直角梯形EFBC中，BF∥CE，EC⊥EF，
EF=1，FB=2，EC=3，A为BF中点，现沿平行于EF的AD折叠，使得ED⊥DC，如图2所示，则关
于图2下列结论正确的有 ．
学科网（北京）股份有限公司①BC⊥平面BDE
②该几何体为三棱台
③二面角B−EF−D的大小为30°
2
④该几何体的体积为
3
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·高二课时练习） 在正六棱柱ABCDEF−A B C D E F 中，化简
1 1 1 1 1 1
，并在图中标出化简结果．
⃗AF −⃗AB+⃗BC
1
18．（12分）（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是
OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
学科网（北京）股份有限公司(1)⃗OA⋅⃗OB
(2)⃗EF⋅⃗CB
(3)
(⃗OA+⃗OB)⋅(⃗CA+⃗CB)
19．（12分）（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）如图所示，在平行六面体ABCD−A B C D
1 1 1 1
中， 为 的中点.设 .
O AC ⃑AB=⃑a,⃑AD=⃑b,⃑A A =⃑c
1
(1)用⃑a,⃑b,⃑c表示⃑A O；
1
2
(2)设E是棱DD 上的点，且⃑DE= ⃑DD ，用 ⃑a,⃑b,⃑c表示⃑EO.
1 3 1
20．（12分）（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）已知⃑a=(2,−1,−4),⃑b=(−1,k,2).
(1)若(⃑a−⃑b)//(⃑a+⃑b)，求实数k的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)若(⃑a+3⃑b)⊥(⃑a+⃑b)，求实数k的值.
21．（12分）（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
AB//DC，AD=DC=AP=2,AB=1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE//平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
22．（12分）（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E为BB 的中点.
1 1 1 1 1
（1）证明： 平面 ；
BC❑// AD E
1 1
（2）求直线BC 到平面AD E的距离；
1 1
（3）求平面AD E与平面ABCD夹角的余弦值.
1
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