第三章一元函数的导数及其应用综合测试卷（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2026版高考《举一反三》一轮复习专练（新高考数学专用）_2026版《举一反三》章节综合测试卷（1~8章）

第三章 一元函数的导数及其应用综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） (cid:4)(cid:22)(cid:23)(cid:24)(cid:10) 1.(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:28)(cid:29)I(cid:27)((cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:31)(cid:29)Ⅱ(cid:27)((cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21))(cid:33)(cid:34)(cid:28)(cid:35)(cid:36)(cid:27)(cid:37)(cid:38)(cid:39)(cid:40)(cid:41)(cid:42)(cid:43)(cid:44)(cid:45)(cid:46)(cid:47)(cid:48)(cid:49)(cid:50)(cid:39)(cid:51)(cid:9)(cid:52)(cid:53) (cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35) 2.(cid:57)(cid:36)(cid:29)I(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:20)(cid:59)(cid:60)(cid:61)(cid:21)(cid:36)(cid:62)(cid:63)(cid:38)(cid:64)2B(cid:65)(cid:66)(cid:67)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:68)(cid:69)(cid:21)(cid:70)(cid:46)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:72)(cid:73)(cid:35)(cid:74)(cid:75)(cid:76)(cid:77)(cid:38)(cid:64) (cid:78)(cid:79)(cid:80)(cid:81)(cid:82)(cid:63)(cid:38)(cid:83)(cid:20)(cid:72)(cid:84)(cid:85)(cid:36)(cid:62)(cid:71)(cid:9)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35) 3.(cid:57)(cid:36)(cid:29)Ⅱ(cid:27)(cid:58)(cid:38)(cid:43)(cid:36)(cid:62)(cid:53)(cid:54)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:56)(cid:35)(cid:53)(cid:54)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:56)(cid:86)(cid:87)(cid:35) 4.(cid:39)(cid:26)(cid:88)(cid:89)(cid:63)(cid:38)(cid:43)(cid:25)(cid:26)(cid:27)(cid:31)(cid:36)(cid:21)(cid:55)(cid:90)(cid:91)(cid:92)(cid:57)(cid:35) (cid:29) I (cid:27)(cid:93)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:96)(cid:97)(cid:98)(cid:99)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) = 2+ 1 (cid:38)(cid:105)lim =(cid:93) (cid:94) 2 𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 Δ𝑥 1 Δ𝑥→0 A(cid:95)1 B(cid:95) C(cid:95)2 D(cid:95)4 2 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:114)(cid:115)(cid:7)(cid:116)(cid:31)(cid:117)(cid:118)(cid:119)(cid:105)(cid:120)(cid:121) (1)=1(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:107). ′ 1 𝑓 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:103)(cid:38) = (cid:38)(cid:105) (1)=1. 2 ′ ′ 1 𝑓(𝑥) 2𝑥−𝑥 1𝑓 1 (cid:128)(cid:129)lim = lim = (1)= . 2 2 2 2 𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1) 𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1) ′ Δ𝑥 Δ𝑥 𝑓 (cid:130)(cid:20)Δ(cid:10)𝑥→B0. Δ𝑥→0 2(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:131)(cid:132)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:104)(cid:13) ( )=e ( 2 +2)(cid:46)(cid:136)(cid:137)(cid:54)(cid:138)( ( ))(cid:139)(cid:46)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:127)(cid:143) 𝑥 (cid:93) (cid:94) 𝑓 𝑥 𝑥 −2𝑥 −1,𝑓 −1 5 A(cid:95) +e =0 B(cid:95) e +6=0 C(cid:95)e +6=0 D(cid:95)e +e+ =0 e 𝑥 𝑦−4 𝑥− 𝑦 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:112)(cid:113)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:144)(cid:145)(cid:22)(cid:124)(cid:38)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:107). (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:111) ( )=e ( 2 +2)(cid:38)(cid:120)(cid:121) ( )= 2e (cid:38) 𝑥 𝑥 ′ 1 𝑓 𝑥 𝑥 −2𝑥 𝑓 𝑥 𝑥5 (cid:105) ( )= (cid:38)(cid:146) ( )=e ( )2 ×( )+2 = (cid:38) e e ′ −1 𝑓 −1 𝑓 −1 −1 −2 −1 5 1 (cid:105)(cid:128)(cid:114)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:127)(cid:143) = ( +1)(cid:38)(cid:125) e +6=0(cid:95) e e (cid:130)(cid:20)(cid:10)B(cid:95) 𝑦− 𝑥 𝑥− 𝑦3(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023·(cid:56)(cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:150)(cid:151)(cid:152)(cid:34)(cid:153)(cid:154)(cid:114)(cid:155)(cid:3)(cid:156)(cid:157)(cid:158)(cid:159)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:38)(cid:163)(cid:164)(cid:165)(cid:166)(cid:71)(cid:46)(cid:156)(cid:157)(cid:154)(cid:167)(cid:168)(cid:169)(cid:76)(cid:49) (cid:170)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:171) (cid:172)(cid:58)(cid:173)t(cid:46)(cid:3)(cid:174)(cid:143) = ( )(cid:38)(cid:64) ( ) ( ) (cid:46)(cid:175)(cid:61)(cid:176)(cid:177)(cid:54)[ ](cid:178)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:180)(cid:156)(cid:157)(cid:160)(cid:161)(cid:162) 𝑓 𝑏 −𝑓 𝑎 (cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:46)(cid:159)(cid:183)(cid:38)(cid:102)(cid:103) 𝑊 (cid:169)(cid:76)(cid:168)(cid:180)(cid:38)(cid:184)(cid:49)(cid:185)(cid:33) 𝑊 (cid:156)(cid:157) 𝑓 (cid:46)𝑡(cid:160)(cid:161)(cid:163) − (cid:164)(cid:171)𝑏(cid:172)−𝑎(cid:58)(cid:173)(cid:46)(cid:3)(cid:174)(cid:74)(cid:186)(cid:136)𝑎(cid:128),𝑏(cid:187).(cid:105)(cid:186)(cid:188)(cid:189)(cid:190)(cid:46)(cid:191)(cid:21)(cid:192) (cid:93) (cid:94) A(cid:95)(cid:54)[ , ](cid:178)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:180)(cid:38)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:193)(cid:185)(cid:156)(cid:157)(cid:183)(cid:194) 1 2 B(cid:95)(cid:54) 𝑡(cid:58)𝑡(cid:195)(cid:38)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:193)(cid:185)(cid:156)(cid:157)(cid:183)(cid:194) 2 C(cid:95)(cid:54)𝑡 (cid:58)(cid:195)(cid:38)(cid:184)(cid:49)(cid:185)(cid:33)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:196)(cid:197)(cid:166)(cid:71)(cid:194) 3 D(cid:95)(cid:184)𝑡(cid:156)(cid:157)(cid:54)[0, ](cid:38)[ , ](cid:38)[ , ](cid:178)(cid:198)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:199)(cid:38)(cid:54)[ , ](cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:200)(cid:159) 1 1 2 2 3 1 2 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:112)(cid:113)(cid:21)𝑡 (cid:70)(cid:199)𝑡(cid:46)𝑡(cid:13)(cid:11)(cid:101)𝑡(cid:201)𝑡(cid:202)(cid:203)(cid:3)(cid:174)(cid:38)(cid:193)(cid:204)(cid:184)(cid:185)𝑡(cid:156)𝑡(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182). (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:170)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:171) (cid:172)(cid:58)(cid:173)t(cid:46)(cid:3)(cid:174)(cid:143) = ( )(cid:38)(cid:185)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:171) (cid:172)(cid:58)(cid:173)t(cid:46)(cid:3)(cid:174) (cid:143) = ( ). 𝑊 𝑊 ℎ 𝑡 𝑊 (cid:68) 𝑊 (cid:205)A 𝑔 (cid:20) 𝑡 (cid:24)(cid:38)(cid:54)[ , ](cid:178)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:180)(cid:38)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182) = ( 2 ) ( 1 ) (cid:38) 1 2 ℎ 𝑡 2−ℎ1𝑡 𝑡 𝑡 ( ) ( ) ℎ(𝑡) − 𝑡 −𝑡 (cid:185)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182) = 2 1 .(cid:111)(cid:136)(cid:120)(cid:103)(cid:38) ( ) ( )> ( ) ( )(cid:38) 1 2 1 2 𝑔 𝑡 2−𝑔1𝑡 (cid:128)(cid:129) > ,(cid:125)(cid:184)(cid:156) 𝑔 (cid:157) (𝑡 (cid:46) ) (cid:160) − (cid:161)(cid:162) 𝑡 (cid:15) − (cid:181) 𝑡 (cid:182)(cid:193)(cid:185)(cid:156)(cid:157)(cid:159)(cid:38) ℎ 𝑡(cid:130) − A ℎ (cid:20)𝑡(cid:24)(cid:206)(cid:207) 𝑔 (cid:194)𝑡 −𝑔 𝑡 (cid:68)(cid:205)ℎB(𝑡(cid:20)) (cid:24)𝑔(cid:38)(𝑡(cid:111)) (cid:136)(cid:120)(cid:103)(cid:38) (cid:54) (cid:58)(cid:195)(cid:46)(cid:140)(cid:141)(cid:208)(cid:209)(cid:61)(cid:205) (cid:54) (cid:58)(cid:195)(cid:46)(cid:140)(cid:141)(cid:208)(cid:209)(cid:38) 2 2 (cid:210)(cid:33)(cid:140)(cid:141)(cid:208)(cid:209)(cid:211)(cid:143)(cid:212)(cid:213)(cid:38)(cid:130)ℎ(cid:54)(𝑡) (cid:58)𝑡(cid:195)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)𝑔(cid:182)(𝑡)(cid:193)(cid:185)𝑡 (cid:156)(cid:157)(cid:159)(cid:38)(cid:130)B(cid:20)(cid:24)(cid:206)(cid:207)(cid:194) 2 (cid:68)(cid:205)C(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:54) (cid:58)(cid:195)(cid:38)(cid:184)(cid:49)𝑡(cid:185)(cid:33)(cid:156)(cid:157)(cid:46)(cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:196)(cid:61)(cid:205)(cid:160)(cid:161)(cid:166)(cid:71)(cid:163)(cid:164)(cid:171)(cid:38) 3 (cid:130)(cid:184)(cid:49)(cid:185)(cid:33)(cid:156)(cid:157)(cid:46)𝑡 (cid:160)(cid:161)(cid:163)(cid:164)(cid:196)(cid:166)(cid:71)(cid:38)(cid:130)C(cid:20)(cid:24)(cid:206)(cid:207)(cid:194) (cid:68)(cid:205)D(cid:20)(cid:24)(cid:38)(cid:111)(cid:136)(cid:120)(cid:103)(cid:38)(cid:184)(cid:156)(cid:157)(cid:54)[0, ](cid:38)[ , ](cid:38)[ , ](cid:178)(cid:198)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:199)(cid:38) 1 1 2 2 3 (cid:54)[ , ](cid:58) )(cid:46)(cid:214)(cid:213)(cid:200)(cid:175)(cid:38)(cid:128)𝑡(cid:129)(cid:54)[𝑡 𝑡, ](cid:58)(cid:46)𝑡 (cid:160)𝑡 (cid:161)(cid:162)(cid:15)(cid:181)(cid:182)(cid:200)(cid:159)(cid:38)(cid:130)D(cid:20)(cid:24)(cid:189)(cid:190)(cid:38) 1 2 1 2 1 2 (cid:130)(cid:20)𝑡(cid:10)𝑡D. ℎ(𝑡 )−ℎ(𝑡 𝑡 𝑡 1 ln2 ln4 4(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:215)(cid:216)(cid:217)(cid:218)·(cid:198)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103) = (cid:38) = (cid:38) = (cid:38)(cid:84)(cid:199)e= (cid:143)(cid:44)(cid:219)(cid:68)(cid:13)(cid:46)(cid:220)(cid:13)(cid:38) 2 e 2 2 4 𝑎 𝑏 𝑐 2.71828⋯ (cid:105)(cid:93) (cid:94)A(cid:95) < < B(cid:95) < < C(cid:95) < < D(cid:95) < < 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐ln 𝑐 𝑏 𝑎 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:221)(cid:222)(cid:43) (cid:16)(cid:223)(cid:224)(cid:90)(cid:225)(cid:116)(cid:38)(cid:226)(cid:227)(cid:104)(cid:13) ( )= ( >0)(cid:38)(cid:228)(cid:229)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:233)(cid:234)(cid:193)(cid:204)(cid:175)(cid:61)(cid:125)(cid:120). 𝑥 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:121) 𝑎,𝑏,𝑐 = 1 = ln e (cid:38) = ln2 = ln 𝑓 2(cid:38) 𝑥 = l 𝑥 n4 = 𝑥 2ln2 = ln2 (cid:194) 2 e e 2 2 2 4 4 2 𝑎 𝑏 𝑐 ln ln (cid:170) ( )= (cid:38)(cid:105) = (cid:38) 2 𝑥 1− 𝑥 ′ (cid:235) 𝑓 0< 𝑥 < 𝑥 e(cid:58)(cid:38) 𝑓(𝑥) >0(cid:38) 𝑥 (cid:128)(cid:129) (cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:146)0< 2< e<2π0(cid:54)(0, )(cid:56)(cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:197)(cid:259)𝑓(cid:122)𝑥(cid:21)(cid:22)(cid:95)π ′ (cid:235) 𝑎≤ >0(cid:58)(cid:38)(cid:260) 𝑓 𝑥 ( )= siπn +1(cid:38)(cid:105) ( )= (sin cos ) =2 2 sin 4 (cid:38) e e e π −2𝑎 𝑥 2𝑎 𝑥− 𝑥 𝑎 𝑥− 𝑎 ℎ 𝑥 𝑥 ℎ ′ 𝑥 𝑥 𝑥 (cid:235) , (cid:58)(cid:38) ( )>0(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )(cid:54) , (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38) 4 4 π π ′ 𝑥∈ π ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 π (cid:235) 0, (cid:58)(cid:38) ( )<0(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )(cid:54) 0, (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) 4 4 π π ′ 𝑥∈ ℎ 𝑥 ℎ 𝑥 2 (cid:146) (0)= ( )=1(cid:38) = (cid:38) π 4 e π 4𝑎 ℎ ℎ π ℎ 1− (cid:128)(cid:129) = 2 <0(cid:38)(cid:105) > 2e4 (cid:38)(cid:125)(cid:246)(cid:13) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:192) 2e4,+ . π 4 e π 4𝑎 2 π 2 π (cid:130)(cid:20)(cid:10) ℎ D(cid:95) 1− 𝑎 𝑎 ∞ 6(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:262)(cid:263)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) (cid:143)(cid:123)(cid:124)(cid:54)R(cid:56)(cid:46)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:46)(cid:115)(cid:104)(cid:13)(cid:38)( )(cid:143)(cid:264)(cid:104)(cid:13)(cid:38)( +1) ′ (cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:266) (0)=2(cid:38)(cid:105)(cid:186)(cid:188)(cid:267)(cid:119)(cid:197)(cid:189)(cid:190)𝑓(cid:46)(𝑥(cid:192))(cid:93) (cid:94) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥−1 𝑓 𝑥 ′ A(cid:95) (0)=𝑓(2) B(cid:95) + (3)=0 ′ 10 ′ 𝑓 𝑓 𝑓(−1) 𝑓 C(cid:95) (4)=2 D(cid:95) ( )= =1 ′ ′ 𝑓 𝑖𝑓 2𝑖 −22 𝑖(cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:111)(cid:264)(cid:104)(cid:13)(cid:49)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:232)(cid:268)(cid:120)(cid:121) = (cid:172) +1)= +1)(cid:38)(cid:28)(cid:269)(cid:68)(cid:33)(cid:116)(cid:33)(cid:270)(cid:114) (cid:115)(cid:120)(cid:121) = (cid:172) +1)+𝑓(−𝑥−+11))=−0𝑓(cid:38)(𝑥(cid:233)−1(cid:234))(cid:120)𝑓(cid:121)(−𝑥 (cid:46)(cid:90)(cid:244)𝑓((cid:271)𝑥(cid:168)(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:272)(cid:213)(cid:119)(cid:273)(cid:271)(cid:168)(cid:232) ′ ′ ′ ′ ′ (cid:274)(cid:275)(cid:276)𝑓(cid:24)((cid:125)−𝑥(cid:120)−.1) 𝑓(𝑥−1) 𝑓(−𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥) (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:257)(cid:143) ( )(cid:143)(cid:264)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:128)(cid:129) = (cid:38) (cid:257)(cid:143) ( +1)(cid:143)(cid:265)(cid:104)𝑓(cid:13)𝑥−(cid:38)1(cid:128)(cid:129) +1)=𝑓(−𝑥+−11))(cid:38) −𝑓(𝑥−1) ① (cid:68) 𝑓(cid:33)𝑥(cid:270)(cid:114)(cid:115)(cid:120)(cid:121) 𝑓(=−𝑥 𝑓(cid:38)(𝑥(cid:125) ② = (cid:38) ′ ′ ′ ′ (cid:68)①(cid:33)(cid:270)(cid:114)(cid:115)(cid:120)(cid:121)−𝑓(−𝑥−+11))=−𝑓(𝑥+−11))(cid:38)(cid:125)𝑓(−𝑥−+1)1)+𝑓(𝑥−1+)1)③=0(cid:38) ′ ′ ′ ′ (cid:68)(cid:205)②A(cid:24)(cid:38)(cid:43) =1−(cid:277)𝑓(cid:278)(−𝑥 (cid:120)(cid:121) 𝑓(=𝑥 (cid:38)(cid:130)𝑓A(−(cid:24)𝑥(cid:189)(cid:190)(cid:194) 𝑓(𝑥 ④ (cid:68)(cid:205)B(cid:24)(cid:38)(cid:43)𝑥=2(cid:277)(cid:278)②(cid:120)(cid:121)𝑓(0) +𝑓(2)(3)=0(cid:38)(cid:130)B(cid:24)(cid:189)(cid:190)(cid:194) ′ ′ (cid:68)(cid:205)C(cid:24)(cid:38)(cid:43)𝑥=3(cid:277)(cid:278)④(cid:120)(cid:121)𝑓(−1)+𝑓(4)=0(cid:38)(cid:43) =1(cid:277)(cid:278) (cid:120)(cid:121) = (0)=2(cid:38)(cid:128)(cid:129) ′ ′ ′ ′ ′ (4)= (cid:38)(cid:130)C𝑥 (cid:24)(cid:206)(cid:207)(cid:194)④ 𝑓(−2) 𝑓 𝑥 ③ 𝑓(−2) 𝑓 𝑓 (cid:68)(cid:205)D−(cid:24)2 (cid:38)(cid:111) (cid:120)(cid:121) = (cid:38)(cid:125) +1)= (cid:38) ′ ′ ′ ′ (cid:128)(cid:129)(cid:111) (cid:120)③(cid:121) 𝑓(−=(𝑥−2)−+1)1)(cid:38)𝑓((𝑥−2)−1) 𝑓(−𝑥 𝑓(𝑥−3) ⑤ ′ ′ (cid:128)(cid:129)(cid:111)④(cid:120)⑤(cid:121) 𝑓(+𝑥−3) −=𝑓(𝑥 +3⑥)+1)(cid:38)(cid:125) = +4)(cid:38) ′ ′ ′ ′ (cid:111) (cid:120)⑥(cid:121) +𝑓(4()𝑥= 3)−3)+8−)(cid:38)𝑓((𝑥 𝑓(𝑥) −𝑓(𝑥 ⑦ ′ ′ (cid:128)⑦(cid:129)(cid:111) 𝑓(𝑥(cid:120)(cid:121) −=𝑓(𝑥 +8)(cid:38)⑧(cid:130)8(cid:192) (cid:46)(cid:90)(cid:244)(cid:271)(cid:168). ′ ′ ′ (cid:128)(cid:129) (⑦8)⑧= (0)𝑓=(𝑥2)(cid:38) 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥) ′ ′ (cid:43) =𝑓1(cid:277)(cid:278)𝑓 (cid:120)(cid:121) (0)+ (2)=0(cid:38)(cid:125) (2)= (cid:38) ′ ′ ′ (cid:111)𝑥C(cid:24)(cid:103)(cid:38)④(4)=𝑓 (cid:38) 𝑓 𝑓 −2 ′ (cid:43) =2(cid:277)(cid:278)𝑓 (cid:120)(cid:121)−(22)= (6)(cid:38)(cid:125) (6)=2(cid:38) 10 ′ ′ ′ 𝑥 ⑦ 𝑓 −𝑓 𝑓 (cid:128)(cid:129) ( )= (2)+2 (4)+3 (6)+4 (8)+ +9 (18)+10 (20)= =1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ( +𝑖 3 𝑖𝑓 + 2𝑖 𝑓 +7+ 𝑓 )× 𝑓 2= 𝑓 (cid:38)(cid:130) ⋯ D(cid:24)(cid:189) 𝑓 (cid:190). 𝑓 (cid:130)−(cid:20)1−(cid:10)2C. 4−5−6 8−9−10 −22 7(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:215)(cid:279)(cid:280)(cid:281)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:170)(cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:143) (cid:46)(cid:265)(cid:104)(cid:13) = ( )(cid:46)(cid:115)(cid:104)(cid:13)(cid:143) = ( )(cid:38)(cid:283) ( )+( +1)2 ′ ′ (cid:284)(cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:266) ( +4)> ( 2+1)(cid:38)(cid:105)(cid:246)(cid:13) (cid:46)𝑅(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:192)𝑦(cid:93)𝑓 𝑥(cid:94) 𝑦 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 A(cid:95)( )𝑓 2(𝑎3,+ ) 𝑓 𝑎 B(cid:95)𝑎 ( ) (1,+ ) C(cid:95)(−∞,−)1 ∪ ∞ D(cid:95)(−∞,−)3 ∪ ∞ (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)−(cid:109)3,(cid:110)1 (cid:222)(cid:260) = + +1)2(cid:38)(cid:274)(cid:275) −1(cid:46),3(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:273)(cid:264)(cid:265)(cid:232)(cid:38)(cid:111)(cid:102)(cid:103)(cid:88)(cid:122)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:273)(cid:264)(cid:265) ′ (cid:232)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:107)(cid:197)(cid:285)(cid:116)(cid:95)𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑥 𝑔(𝑥)(cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:257)(cid:143) = (cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38) (cid:128)(cid:129) = (cid:38)𝑦(cid:128)𝑓(cid:129)(𝑥) = (cid:38) ′ ′ (cid:260) 𝑓(−=𝑥) 𝑓(+𝑥) +1)2−(cid:38)𝑓(−𝑥) 𝑓(𝑥) ′ (cid:257)𝑔(cid:143)(𝑥)( )𝑓+((𝑥)+1(𝑥)2(cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38) ′ (cid:105) 𝑓 𝑥= 𝑥 (cid:38)(cid:125) + +1)2= + +1)2(cid:38) ′ ′ (cid:125)𝑔(−𝑥) +𝑔(𝑥)+1)𝑓2=(−𝑥) +(−𝑥 +1)2(cid:38)𝑓(𝑥) (𝑥 ′ ′ (cid:128)−(cid:129)𝑓(𝑥) =(−𝑥 (cid:38) 𝑓(𝑥) (𝑥 ′ (cid:235) >𝑓0(𝑥(cid:58))(cid:38)−2𝑥 = <0(cid:38)(cid:125) (cid:54)(0,+ )(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38)(cid:105) (cid:54)( ,0)(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38) ′ (cid:111)𝑥 +4)𝑓>(𝑥) 2−+21𝑥)(cid:38)(cid:125) (| 𝑓(+𝑥)4|)> (∞2+1)(cid:38) 𝑓(𝑥) −∞ (cid:128)(cid:129)𝑓(2|𝑎 +4|<𝑓(2𝑎+1(cid:38)(cid:125) (𝑓2+2𝑎1)< +𝑓4𝑎< 2+1(cid:38)(cid:107)(cid:121) < (cid:286) >3(cid:38) (cid:125)(cid:246)(cid:13)2𝑎(cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)𝑎 (cid:249)(cid:192)( − 𝑎) (3,+2𝑎)(cid:95) 𝑎 𝑎 −1 𝑎 (cid:130)(cid:20)(cid:10)𝑎A(cid:95) −∞,−1 ∪ ∞ 8(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:262)(cid:263)·(cid:198)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:3)(cid:205) (cid:46)(cid:142)(cid:127)e e +9e2 2=0(cid:243)4(cid:244)(cid:197)(cid:287)(cid:46)(cid:246)(cid:13)(cid:112)(cid:38)(cid:28)(cid:269)(cid:288)(cid:143) , 1 2 2𝑥 𝑥 , , (cid:38)(cid:105)( e 1 e)( e 2 e)( e 3 e)( e 4 e)(cid:46) 𝑥 (cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:143) − (cid:93) 𝑎 𝑥 (cid:94) 𝑥 𝑥 𝑥 3 4 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 3 4 𝑥 𝑥 A(cid:95)(0,16 𝑥 e −4) 𝑥 − B(cid:95) 𝑥 (0 − ,12e 𝑥4) − C(cid:95)(0,4e4) D(cid:95)(0,8e4) e e (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:252)(cid:225)(cid:289)(cid:123)(cid:142)(cid:127)(cid:38)(cid:226)(cid:227)(cid:104)(cid:13) = (cid:38)(cid:290)(cid:64)(cid:115)(cid:13)(cid:291)(cid:255)(cid:142)(cid:127) = (cid:247)(cid:121)(cid:33)(cid:244)(cid:197)(cid:285)(cid:112)(cid:46) (cid:46)(cid:248)(cid:249)(cid:38)(cid:83)(cid:292) 𝑥 𝑥 (cid:293)(cid:90)(cid:294)(cid:100)(cid:295)(cid:142)(cid:127)(cid:114)(cid:107)(cid:125)(cid:121). 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:296)(cid:219) =0(cid:197)(cid:192)(cid:142)(cid:127)e e +9e2 2=0(cid:46)(cid:112)(cid:38) 2𝑥 𝑥 (cid:105)(cid:142)(cid:127)e e + 𝑥 9e2 2=0(cid:46)(cid:112)(cid:125)(cid:143) − (cid:142) 𝑎𝑥 (cid:127)( e ) 2𝑥 e +9e2=0(cid:46)(cid:112)(cid:38) 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑥 (cid:260) = e (cid:38)(cid:121) −𝑎𝑥 2 +9 𝑥 e2=0(cid:38)(cid:170) = e (cid:38) 𝑥 (cid:114)(cid:115) − (cid:121) 𝑎⋅ 𝑥 = e (cid:38) 𝑥 𝑥 𝑥 2 (𝑥−1) ′ (cid:111) 𝑡 𝑥 <0(cid:38) 𝑡 (cid:121) −𝑎𝑡 <0(cid:286)0< <1(cid:38) 𝑓( (cid:111) 𝑥) 𝑥 >0(cid:38)(cid:121) 𝑓( > 𝑥) 1(cid:38) 𝑥 ′ ′ (cid:125)(cid:104)𝑓((cid:13)𝑥) (cid:54) 𝑥 ,0)(cid:31)(0,1)𝑥(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)𝑓(cid:261)((cid:38)𝑥)(cid:54)(1,+ 𝑥)(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38) =e(cid:38) (cid:297)(cid:59) 𝑓((cid:46)𝑥)(cid:175)((cid:298)−(cid:136)∞(cid:137)(cid:38)(cid:74)(cid:136)(cid:38) ∞ 𝑓(1) 𝑓(𝑥)(cid:299)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:142)(cid:127) 2 +9e2=0(cid:243)(cid:33)(cid:244)(cid:197)(cid:155)(cid:285)(cid:46)(cid:246)(cid:13)(cid:112)(cid:38)(cid:170)(cid:143) (cid:38) (cid:38) 1 2 (cid:300)(cid:301)(cid:136)(cid:137)(cid:103)(cid:38)(cid:142) 𝑡 − (cid:127) 𝑎𝑡 2 +9e2=0(cid:46)(cid:60)(cid:90)(cid:244)(cid:112)(cid:38)(cid:111) = e (cid:121)(cid:33) 𝑡 (cid:244)(cid:197) 𝑡 (cid:287)(cid:46) (cid:213)(cid:38) 𝑥 𝑡 −𝑎𝑡 = 𝑡 2𝑥 e2>0 𝑥 (cid:205)(cid:192) + = =9e2(cid:38)(cid:266) >e, >e(cid:38)(cid:111) >e (cid:38)(cid:107)(cid:121)6e< <10e(cid:38) 1 2 1 2 1 2 Δe2 𝑎−e−𝑎+396e2>0 𝑡 𝑡 𝑎,𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 −2 𝑎 (cid:197)(cid:302)(cid:170) = e 1 = e 4 , = e 2 = e 3(cid:38) −𝑎 1 𝑥 𝑥 2 𝑥 𝑥 1 4 2 3 𝑡 𝑥 𝑥 𝑡 𝑥 𝑥 (cid:105)( e 1 e)( e 2 e)( e 3 e)( e 4 e)=( e)2( e)2 =( e e +e2)2=(10e2 e)2(cid:38) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 (cid:111)6e 𝑥 < − < 𝑥 10 − e(cid:38)(cid:121) 𝑥 0 − <(1 𝑥 0 − e2 e)2𝑡 < − 16e4𝑡 (cid:38) − 𝑡 𝑡 − 𝑡 − 𝑡 −𝑎 (cid:128)(cid:129)( e 1𝑎 e)( e 2 e)( e 3 e)( e 4− e 𝑎 )(cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:143)(0,16e4). 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 3 4 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 − 𝑥 − (cid:130)(cid:20)(cid:10)A(cid:95) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023·(cid:303)(cid:280)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:123)(cid:124)(cid:54) (cid:56)(cid:46)(cid:104)(cid:13) ( ) ( ), ( )(cid:192) ( )(cid:46)(cid:115)(cid:104)(cid:13)(cid:266)(cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:284)(cid:192) (cid:38) ′ (cid:283) ( )(cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38) ( )+ ( )=3(cid:38) ( ) ( 𝑅)=3(cid:38)(cid:105)(cid:93)𝑓 𝑥 ,(cid:94)𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑅 ′ ′ 𝑔A𝑥(cid:95) (8)=3 𝑓 𝑥 B(cid:95)𝑔 𝑥( )=1𝑓 𝑥 −𝑔 C2(cid:95)−𝑥( )+ (3)=6 D(cid:95) ( ) (3)=6 ′ ′ (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)𝑓 (cid:109)(cid:110)(cid:222)(cid:112)(cid:113)(cid:102)(cid:103)(cid:304)𝑔(cid:305)−(cid:274)6(cid:275) ( )(cid:46)(cid:264)(cid:265)(cid:232)(cid:31)𝑓(cid:271)−1(cid:168)(cid:232)𝑓(cid:38)(cid:83)(cid:88)(cid:122)(cid:102)(cid:103)(cid:304)𝑔(cid:305)−(cid:114)3(cid:155)−𝑓(cid:69)(cid:46)(cid:104)(cid:13)(cid:213)(cid:38)(cid:233)(cid:149)(cid:274)(cid:275). ′ (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:111) ( )(cid:143)(cid:265)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:121)𝑔(𝑥 )= ( )(cid:38)(cid:33)(cid:270)(cid:114)(cid:115)(cid:38)(cid:121) ( )= ( )(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )(cid:143)(cid:264)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:128) ′ ′ ′ (cid:129) (0)=0(cid:38)(cid:111) 𝑔( 𝑥)+ ( )=3(cid:273)𝑔( −)𝑥 (𝑔 𝑥)=3(cid:38)(cid:121) ( )+ −(𝑔 −𝑥)=0𝑔(cid:38)(cid:128)𝑥(cid:129) ( )𝑔= 𝑥( )(cid:38)(cid:130) ( ) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (cid:46)𝑔(cid:271)(cid:168)(cid:143)2. 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −𝑔 2−𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 2−𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥−2 𝑔 𝑥 (cid:128)(cid:129) (8)= ( )= (0)=0(cid:38)(cid:146) (8)+ (8)=3(cid:38)(cid:128)(cid:129) (8)=3(cid:38)(cid:130)A(cid:189)(cid:190)(cid:38)B(cid:206)(cid:207)(cid:194) ′ ′ ′ ′ (cid:111) (𝑔)+ (𝑔)=−63(cid:38)(cid:121)𝑔( )+ ( 𝑓)= 𝑔(3)+ (3)=3(cid:38)𝑓(cid:146) ( )+ ( )=0(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )+ (3)=0(cid:38) ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (cid:128)(cid:129)𝑓 𝑥( 𝑔)+𝑥 (3)=6(cid:38)𝑓(cid:130)−1C(cid:189)𝑔(cid:190)(cid:194)−1 3,𝑓 𝑔 𝑔 𝑥 𝑔 2−𝑥 𝑔 −1 𝑔 (cid:111) (𝑓)−+1 ( 𝑓)=3(cid:38)(cid:121) (3)+ (3)=3(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( ) (3)= ( ) + (3)= (cid:38)(cid:130)D(cid:206)(cid:207). ′ ′ ′ ′ ′ 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑔 −3 −𝑓 𝑔 −3 −3 𝑔 −3(cid:130)(cid:20)(cid:10)AC. 10(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:306)(cid:239)(cid:307)(cid:308)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) ( )=3 2 (cid:38)(cid:105)(cid:93) (cid:94) 𝑥 𝑥 A(cid:95) ( )(cid:192) (cid:56)(cid:46)(cid:237)(cid:104)(cid:13) B(cid:95)(cid:104)𝑓(cid:13)𝑥( )=−( )+ (cid:243)(cid:266)(cid:309)(cid:243)(cid:90)(cid:244)(cid:253)(cid:138) C(cid:95)(cid:104)𝑓 (cid:13)𝑥 (𝑅)(cid:46)(cid:200)(cid:61)(cid:213)(cid:143) D(cid:95) ( )(cid:310)ℎ (cid:54)𝑥 (cid:311)(cid:90)𝑓 (cid:244)𝑥 (cid:245)(cid:213)𝑥 (cid:138) (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)𝑓(cid:68)𝑥(cid:205)A(cid:10)(cid:114)(cid:115)(cid:38)−(cid:277)1(cid:312)(cid:213)(cid:313)(cid:314)(cid:125)(cid:120)(cid:194)(cid:68)𝑓(cid:205)𝑥B(cid:10)(cid:28) =0(cid:49) >0(cid:31) <0(cid:198)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:104)(cid:13)(cid:213)(cid:46)(cid:259) (cid:9)(cid:28)(cid:318)(cid:274)(cid:275)(cid:253)(cid:138)(cid:194)(cid:68)(cid:205)C(cid:10)(cid:28) =0(cid:49) >0(cid:31) <0(cid:198)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:38)𝑥(cid:120)(cid:121) (𝑥 )> 𝑥(cid:38)(cid:125)(cid:120)(cid:274)(cid:275)(cid:194)(cid:68)(cid:205)D(cid:10)(cid:112)(cid:113) ( ) ′ (cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:253)(cid:138)(cid:310)(cid:54)(cid:232)(cid:123)𝑥(cid:15)(cid:28)(cid:318)𝑥(cid:120)(cid:103) 𝑥 (cid:38)(cid:319) ( )=0(cid:38)𝑓(cid:233)𝑥(cid:234)(cid:274)−(cid:275)1 ( )(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:31)(cid:245)(cid:213). 𝑓 𝑥 0 0 ′ (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:68)(cid:205)(cid:20)(cid:24)A(cid:10)(cid:257)(cid:143) ( )=3 ∃𝑥 2 (cid:38) ∈𝑅 (cid:105) ( 𝑓 )= 𝑥 3 ln 2 ln2=2 𝑓 𝑥3 ln ln2 (cid:38) 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ′ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑥 3− 3− (cid:235) =log 3 1 (cid:58)(cid:38)(cid:105) 3 ln3= 1 ln3=ln 3(cid:38) (cid:120)(cid:121) 3 ln ln2=ln 3 ln2<0(cid:38) 2 2 2 𝑥 2 2 𝑥 𝑥 3− − (cid:125) ( )=3 ln 2 ln2<0(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )=3 2 (cid:197)(cid:192) (cid:56)(cid:46)(cid:237)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:130)A(cid:206)(cid:207)(cid:194) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ′ (cid:68)(cid:205)𝑓 (cid:20)𝑥 (cid:24)B(cid:10)(cid:257)3−(cid:143) ( )= ( )+ (cid:38)𝑓 𝑥 − 𝑅 (cid:235) =0(cid:58)(cid:38) (0)=ℎ 𝑥(0)+𝑓0𝑥=0(cid:38)𝑥(cid:120)(cid:103) =0(cid:192) ( )(cid:46)(cid:253)(cid:138)(cid:194) (cid:235)𝑥>0(cid:58)(cid:38)ℎ( )=𝑓( )+ =3 2 +𝑥>0(cid:38)ℎ(cid:120)𝑥(cid:103) ( )(cid:54)(0,+ )(cid:180)(cid:86)(cid:253)(cid:138)(cid:194) 𝑥 𝑥 (cid:235) 𝑥 <0(cid:58)(cid:38) ℎ 0< 𝑥 3 𝑓 < 𝑥 1(cid:38) 𝑥 (cid:105) ( − )=2 𝑥 3 <0 ℎ (cid:38) 𝑥 ∞ 2 𝑥 2 𝑥 𝑥 (cid:120)𝑥(cid:121) ( )= ( )+ <0(cid:38)(cid:120)(cid:103)𝑓 𝑥( )(cid:54)( ,0−)(cid:180)1(cid:86)(cid:253)(cid:138)(cid:194) (cid:320)(cid:56)ℎ(cid:128)𝑥(cid:321)(cid:10)(cid:104)𝑓 (cid:13)𝑥 (𝑥)= ( )+ℎ(cid:243)𝑥(cid:266)(cid:309)(cid:243)−∞(cid:90)(cid:244)(cid:253)(cid:138)(cid:38)(cid:130)B(cid:189)(cid:190)(cid:194) (cid:68)(cid:205)(cid:20)(cid:24)C(cid:10)(cid:235)ℎ>𝑥0(cid:58)𝑓(cid:38)𝑥( )𝑥=3 2 >0(cid:194) 𝑥 𝑥 (cid:235) =0(cid:58)(cid:38) (0)𝑥=30 20𝑓=𝑥0(cid:194) − (cid:235)𝑥<0(cid:58)(cid:38)𝑓(cid:105)0<3 <−1(cid:38)0<2 <1(cid:38)(cid:120)(cid:121) ( )=3 2 > 2 > (cid:38) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (cid:320)𝑥(cid:56)(cid:128)(cid:321)(cid:10) ( )> (cid:38)(cid:128)(cid:129) (cid:197)(cid:192)(cid:104)(cid:13) ( )𝑓(cid:46)𝑥(cid:200)(cid:61)(cid:213)−(cid:38)(cid:130)C−(cid:206)(cid:207)(cid:194)−1 (cid:68)(cid:205)(cid:20)(cid:24)D(cid:10) 𝑓 𝑥 (cid:257)(cid:143) − ( 1 )=3 l − n 1 2 ln2= 𝑓 2 𝑥 3 ln ln2 (cid:38)2 >0(cid:38) 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ′ 𝑓 𝑥 3− 3− (cid:128)(cid:129) ( )(cid:46)(cid:259)(cid:9)(cid:322)(cid:123)(cid:205) 3 ln ln2(cid:38) 2 𝑥 ′ 𝑓 𝑥 3− (cid:296)(cid:219) = 3 ln ln2(cid:192) (cid:56)(cid:46)(cid:237)(cid:104)(cid:13)(cid:38) 2 𝑥 𝑦 3− 𝑅 (cid:146)(cid:257)(cid:143)(cid:235) =0(cid:58)(cid:38) 3 ln ln2=ln ln2>0(cid:194) 2 𝑥 𝑥 3− 3− (cid:235) =log 3 1 (cid:58)(cid:38) 3 ln ln2=ln 3 ln2<0(cid:38) 2 2 2 𝑥 𝑥 3− − (cid:128)(cid:129) (cid:38)(cid:319) ( )=0(cid:38) 0 0 ′ ∃𝑥 ∈𝑅 𝑓 𝑥(cid:128)(cid:129) ( )(cid:54)( , )(cid:56)(cid:143)(cid:261)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:54)( ,+ )(cid:56)(cid:143)(cid:237)(cid:104)(cid:13). 0 0 (cid:128)(cid:129)𝑓(𝑥)(cid:243)(cid:311)−(cid:90)∞(cid:245)𝑥(cid:61)(cid:213)(cid:138). (cid:130)D(cid:189)(cid:190)𝑥. ∞ (cid:130)(cid:20) 𝑓(cid:10)𝑥BD. 11(cid:95)(cid:93)6(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:323)(cid:202)(cid:323)(cid:324)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) ( )= (e +e ) e +e (cid:242)(cid:243)(cid:198)(cid:244)(cid:253)(cid:138) (cid:38) (cid:38) (cid:38) 1 2 3 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 (cid:266) < < (cid:38)(cid:105)(cid:93) (cid:94) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑥 1 2 3 𝑥A(cid:95)𝑥 +𝑥 + =0 B(cid:95)(cid:246)(cid:13) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:143)(0,1] 1 2 3 C(cid:95)𝑥 +𝑥1>0𝑥 D(cid:95) +𝑎 >1 1 3 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)𝑎(cid:109)𝑥 (cid:110)(cid:290)(cid:64) ( )(cid:46)(cid:264)(cid:265)(cid:232)(cid:120)(cid:274)(cid:275)A(cid:20)(cid:24)(cid:194)(cid:43)𝑎𝑥(cid:104)(cid:13)𝑎(cid:46)(cid:253)(cid:138)(cid:325)(cid:21)(cid:251)(cid:16)(cid:143)(cid:104)(cid:13)(cid:136)(cid:326)(cid:46)(cid:92)(cid:138)(cid:325)(cid:21)(cid:38)(cid:83)(cid:290)(cid:64)(cid:115) (cid:13)(cid:31)(cid:327)(cid:25)(cid:197)(cid:285)(cid:116)(cid:190)(cid:123) 𝑓 𝑥 (cid:140)(cid:141)(cid:208)(cid:209)(cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:38)(cid:233)(cid:234)(cid:121)(cid:246)(cid:13) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:38)(cid:125)(cid:120)(cid:274)(cid:275)B(cid:20)(cid:24)(cid:194)(cid:111) +1= 2e2 1 1 e2 1𝑥1 𝑥 (cid:328)(cid:120)(cid:274)(cid:275)C(cid:20)(cid:24)(cid:194)(cid:111) 3 = e2 2 3 1 (cid:121) = 1 3 e2 2 3 1 (cid:38) 𝑎 (cid:233)(cid:234) 3 + >1(cid:285)(cid:177)(cid:205)e2 3 3 > 𝑎 0 𝑥 (cid:38)(cid:260) ( )=e + ( >0)(cid:38)(cid:64)(cid:115) 𝑎 (cid:13) 𝑥 (cid:51)(cid:329) 1− ( 𝑥 ) + >0(cid:38) 𝑎 (cid:125) 𝑥 (cid:120)(cid:274) 1− (cid:275)D 𝑥 +(cid:20)(cid:24). 𝑎𝑥 𝑎 𝑥 −2𝑥 −1 ℎ 𝑥 2𝑥 (cid:106)−2(cid:107)𝑥−(cid:36)1(cid:126)𝑥(cid:127)(cid:110)(cid:104)(cid:13) ( )= (ℎe𝑥+e ) e +e (cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:143)R(cid:38) 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 ( )= ( )(e 𝑓+𝑥e )𝑎𝑥e +e = −[ (e +e ) e +e ]= ( )(cid:38) −𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 𝑓(cid:128)−(cid:129)𝑥 ( )𝑎(cid:192)−(cid:264)𝑥(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:105) (0−)=0(cid:38) − 𝑎𝑥 − −𝑓 𝑥 (cid:146)(cid:257)𝑓(cid:143)𝑥( )(cid:243)(cid:198)(cid:244)(cid:253)(cid:138)𝑓(cid:266) < < (cid:38) ( )= ( )= ( )=0(cid:38) 1 2 3 1 2 3 (cid:128)(cid:129) 𝑓=𝑥 (cid:38) =0(cid:38)(cid:125)𝑥 +𝑥 +𝑥 =𝑓 0𝑥(cid:38)(cid:130)𝑓A𝑥(cid:20)(cid:24)(cid:189)𝑓(cid:190)𝑥(cid:194) 1 3 2 1 2 3 ( ) 𝑥 = − (e 𝑥 +e 𝑥 ) e +e 𝑥 = 𝑥 0(cid:38)(cid:121) 𝑥 = e e = e = 2 (cid:38) e𝑥 e−𝑥 e2𝑥 1 e 1 𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥 − −𝑥 2𝑥 −1 2𝑥 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 − 𝑎𝑥 + + 1− + (cid:260) ( )= 2 (cid:38)(cid:105) ( )= 4e >0(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )(cid:54)R(cid:56)(cid:237)(cid:104)(cid:13)(cid:38) e 1 (e 21𝑥)2 2𝑥 ′ 2𝑥 (cid:154)(cid:319) 𝑔 (cid:104)𝑥 (cid:13) 1 ( − )(cid:243)+ 3(cid:244)(cid:253) 𝑔 (cid:138)𝑥(cid:38) = + (cid:172) = ( )(cid:46)(cid:136) 𝑓 𝑥(cid:137)(cid:243)3(cid:244)(cid:92)(cid:138)(cid:38)(cid:74)(cid:136)(cid:10) 𝑓 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 4 4 4e 4e (cid:146) ( )= (e 21𝑥)2 = (e )2 22𝑥e 1 = e 1 2 2 e 1 2 =1(cid:38) e e (cid:235) 𝑔 (cid:266) ′ (cid:309)𝑥(cid:235) = 2𝑥 + 0(cid:58)(cid:247)(cid:285) 2 (cid:9) 𝑥 (cid:38) + (cid:125) 2𝑥 0 + < ( 2𝑥 + ) 2𝑥+ 1(cid:38) ≤ 2𝑥 ⋅ 2𝑥+ ′ (cid:128)(cid:129)0< 𝑥<1(cid:38)(cid:130)B(cid:206)(cid:207)(cid:194) 𝑔 𝑥 ≤ +1= 𝑎 2 +1= 2e2 1 >0(cid:38)(cid:130)C(cid:20)(cid:24)(cid:189)(cid:190)(cid:194) 1 e2 1 1 e2 1𝑥1 𝑥 𝑥 𝑎𝑥 1− + +(cid:111) = 2 (cid:121) = 1 2 (cid:38)(cid:146) >0(cid:38) 3 e2 3 1 3 e2 3 1 3 (cid:154)(cid:319) 𝑎𝑥 3 1 + − = 𝑥 + e2 𝑎 2 3 1 + 𝑥 11 3 − 𝑥 e + 2 2 3 1 > 𝑥 1(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:105)e2 3 3 >0(cid:223)(cid:203)(cid:38) (cid:260) ( 𝑎 ) 𝑥 =e 𝑎 1− ( 𝑥 + >0) 𝑥 (cid:38) 1− ( )= 𝑥 +2(e )>0( >0 𝑥 ) − (cid:38) 2𝑥 −1 2𝑥 ′ 2𝑥 (cid:128)ℎ(cid:129)𝑥( )(cid:54)(−02,𝑥+−1)(cid:230)𝑥 (cid:231)(cid:236)(cid:237)ℎ(cid:38)𝑥(cid:105) ( )>−1(0)=0(cid:38)𝑥 (cid:205)(cid:192)ℎe2𝑥3 3 ∞>0(cid:38)(cid:105) 3 + >ℎ1𝑥(cid:38)(cid:130)ℎD(cid:189)(cid:190). 𝑥 (cid:130)(cid:20)(cid:10)A−CD2𝑥. −1 𝑎𝑥 𝑎 (cid:29) II (cid:27)(cid:93)(cid:32)(cid:20)(cid:30)(cid:21)(cid:94) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:262)(cid:263)(cid:223)(cid:196)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) = (cid:46)(cid:136)(cid:137)(cid:172)(cid:104)(cid:13) = ln (cid:46)(cid:136)(cid:137)(cid:54)(cid:7)(cid:330)(cid:138)(cid:139)(cid:243)(cid:155)(cid:287) (cid:46)(cid:140)(cid:141)(cid:38)(cid:105)(cid:7)(cid:330)(cid:138)(cid:331)(cid:71)(cid:143) (e2,e) . 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑥 1 =4 2 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:170)(cid:7)(cid:330)(cid:138)(cid:143)( , )(cid:38)(cid:111) = (cid:38)(cid:120)(cid:121) =4 2 >0)(cid:38)(cid:233)(cid:234)(cid:290)(cid:64)(cid:115)(cid:13)(cid:120)(cid:121) 0 (cid:38)(cid:114) 0 0 2 0 𝑎0 0 ln 0 = 0 𝑥 𝑎 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑎 (𝑎 (cid:107)(cid:125)(cid:120). 𝑎 𝑥 𝑥 1 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:104)(cid:13) = ln (cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:143)(0,+ )(cid:38)(cid:120)(cid:121) = (cid:38)(cid:111) = (cid:38) 2 𝑎 ′ ′ (cid:170)(cid:332)(cid:141) = ln 𝑦 (cid:172)(cid:332) 𝑎 (cid:141) 𝑥 = (cid:46)(cid:7)(cid:330)(cid:138) ∞ (cid:143)( , ) 𝑓 (cid:38) (𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 0 0 (cid:111)(cid:205)(cid:54) 𝑓 (cid:7) (𝑥 (cid:330) ) (cid:138)(cid:139) 𝑎 (cid:243) 𝑥 (cid:330)(cid:287)(cid:46)(cid:140) 𝑔( (cid:141) 𝑥) (cid:38)(cid:128) 𝑥 (cid:129) 1 = (cid:38)(cid:128) 𝑥 (cid:129) 𝑦 =4 2 >0)(cid:38) 2 0 𝑎0 0 𝑥 𝑥 =𝑥 4 2 𝑎 (𝑎 (cid:111) )= )(cid:38)(cid:120)(cid:121) ln = (cid:38)(cid:333)(cid:203)(cid:120)(cid:121) 0 (cid:38) 0 0 0 0 ln = 0 0 𝑥 𝑎 (cid:107) 𝑓 (cid:121) (𝑥 0 =e 𝑔2(cid:38) (𝑥 (cid:128)(cid:129) 0 = 𝑎 e(cid:38) 𝑥 (cid:128)(cid:129)(cid:7)𝑥(cid:330)(cid:138)(cid:331)(cid:71)(cid:143)(e𝑎2,e)𝑥. 𝑥 (cid:130)(cid:36)𝑥(cid:62)(cid:143)(cid:10)(e2,e). 𝑦 13(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:262)(cid:263)(cid:223)(cid:196)·(cid:198)(cid:101)(cid:94)(cid:283)(cid:197)(cid:285)(cid:116)e ( ln2) ln 2 0(cid:38)(cid:68)(cid:334)(cid:22) 1 ,+ (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:105)(cid:189) e 𝑚𝑥 𝑚𝑥− −𝑥 𝑥 ≥ 𝑥∈ ∞ (cid:246)(cid:13) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:192) 2 ,+ . e 𝑚 ∞ e e 1 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:43)(cid:102)(cid:103)(cid:252)(cid:225)(cid:143)(cid:281)(cid:126)(cid:197)(cid:285)(cid:116) ln ln (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:233)(cid:90)(cid:335)(cid:290)(cid:64) ( )= ln (cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:121)(cid:336) 𝑚2𝑥 𝑚2𝑥 e ≥𝑥 𝑥 𝑔 𝑡 𝑡 𝑡,𝑡≥ ln (cid:68)(cid:334)(cid:22) 1 ,+ (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:233)(cid:90)(cid:335)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:107). 2𝑥 𝑚 (cid:106)(cid:107) ≥ (cid:36) 𝑥 (cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:283) 𝑥 (cid:197) ∈ (cid:285) 𝑒 (cid:116)e ∞ ( ln2) ln 2 0(cid:38)(cid:68)(cid:334)(cid:22) 1 ,+ (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:105) e ln e ln (cid:38) e 𝑚2𝑥 𝑚2𝑥 𝑚𝑥 𝑚𝑥− −𝑥 𝑥 ≥ 𝑥∈ ∞ ≥𝑥 𝑥 (cid:234) >0(cid:38)(cid:128)(cid:129) e > e0 = 1 > 1 (cid:38) 𝑚2𝑥 2 2 e 𝑚1 (cid:170) ( )= ln (cid:38)(cid:105) ( )=ln +1 0(cid:38) e ′ 𝑔 𝑡 𝑡 𝑡,𝑡≥ 𝑔 𝑡 𝑡 ≥ (cid:128)(cid:129) ( )(cid:54) 1 ,+ (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:337)(cid:234) e (cid:38) e 𝑚2𝑥 𝑔 𝑡 ∞ ≥𝑥 (cid:125) ln (cid:68)(cid:334)(cid:22) 1 ,+ (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38) e 2𝑥 𝑚≥ 𝑥 𝑥∈ ∞ ln 1 ln (cid:170) ( )= (cid:38)(cid:105) ( )= (cid:38) e 2 2𝑥 1− 2𝑥 ′ (cid:235) 𝑓 1 < 𝑥 < e𝑥 (cid:58) , (cid:38) 𝑥≥ ( )> 𝑓 0(cid:38) 𝑥 ( )(cid:54) 𝑥 1 , e (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38) e 2 e 2 ′ (cid:235) > 𝑥 e (cid:58)(cid:38) ( 𝑓 )< 𝑥 0(cid:38) ( ) 𝑓 (cid:54) 𝑥 e ,+ (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) 2 2 ′ (cid:128) 𝑥 (cid:129)(cid:235) = e (cid:58) 𝑓 (cid:38) 𝑥 ( ) 𝑓 = 𝑥 e = 2 (cid:38) ∞ 2 min 2 e 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 (cid:320)(cid:56)(cid:38)(cid:189)(cid:246)(cid:13) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:192) 2 ,+ . e 𝑚 ∞ (cid:130)(cid:36)(cid:62)(cid:143)(cid:10) 2 ,+ . e 14(cid:95)(cid:93)5(cid:28)(cid:94)(cid:93)20 ∞ 24·(cid:338)(cid:339)·(cid:90)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:123)(cid:124)(cid:54)(0,+ )(cid:56)(cid:46)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:340)(cid:341) ( )= ( )(cid:38)(cid:235) [1,5)(cid:58)(cid:38) ( )= ln .(cid:283)(cid:54)(cid:342)(cid:173)[1,25)(cid:180)(cid:38)(cid:104)(cid:13) ( )= ( ) (cid:243)(cid:198)(cid:244) ∞ (cid:197)(cid:287)(cid:253)(cid:138)(cid:38) 𝑓 (cid:105) 𝑥 (cid:246)(cid:13) 𝑓 (cid:46) 𝑥 (cid:247)(cid:213) 𝑓 (cid:248) 5 (cid:249) 𝑥 (cid:143) 𝑥ln∈5 , 1 . 𝑓 𝑥 25 5e 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓ln𝑥 −𝑎𝑥 <5 𝑎 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)(cid:112)(cid:113)(cid:21)(cid:22)(cid:121)(cid:336) ( )= (cid:343)(cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:136)(cid:326)(cid:38)(cid:344)(cid:118)(cid:345)(cid:141) = (cid:172)(cid:104)(cid:13)(cid:155)(cid:140)(cid:31)(cid:126)(cid:138) ln ,5 <25 5 𝑥𝑥,1≤𝑥 (25,ln5)(cid:58)(cid:46)(cid:208)(cid:209)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:136)(cid:326) 𝑓 (cid:121)𝑥(cid:336)(cid:36)(cid:62). ≤𝑥 𝑦 𝑎𝑥 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:340)(cid:341) ( )= ( )(cid:38)(cid:235) [1,5) ( )=ln (cid:38) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 5𝑥 𝑥∈ ,𝑓 𝑥 𝑥 (cid:128)(cid:129)(cid:235) [5,25), [1,5) ( )= =ln (cid:38) 5 5 5 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥∈ ln ∈<5 ,𝑓 𝑥 𝑓 (cid:130) ( )= (cid:38) ( )= ( ) =0， ( )= (cid:38) ln ,5 <25 5 𝑥𝑥,1≤𝑥 (cid:343)(cid:59) 𝑓 𝑥(cid:104)(cid:13)(cid:136)(cid:326)(cid:38)(cid:74)≤(cid:136)𝑥 (cid:128)(cid:187)(cid:38)(cid:300) 𝑔 (cid:301)𝑥 (cid:136)(cid:326) 𝑓 (cid:120)𝑥(cid:103) −𝑎 (cid:38) 𝑥 (cid:154)(cid:319)(cid:104) ∴ (cid:13) 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 (cid:243)(cid:198)(cid:244)(cid:197)(cid:287)(cid:253)(cid:138)(cid:38) (cid:105)(cid:345)(cid:141) = (cid:69)(cid:54)(cid:136)(cid:199)(cid:46)(cid:33)(cid:304)(cid:346)(cid:141)(cid:347)(cid:173)(cid:38) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥)−𝑎𝑥 𝑦 𝑎𝑥 (cid:56)(cid:142)(cid:46)(cid:346)(cid:141)(cid:143)(cid:345)(cid:141)(cid:172) ( )=ln (5 <25) (cid:155)(cid:140)(cid:58)(cid:38) 5 𝑥 (cid:186)(cid:142)(cid:46)(cid:346)(cid:141)(cid:192)(cid:345)(cid:141) = 𝑓 𝑥 (cid:348)(cid:126)(cid:138)(2 ≤ 5, 𝑥 ln5)(cid:58)(cid:38) 𝑦 𝑎𝑥(cid:235)(cid:345)(cid:141) = (cid:172) ( )=ln (5 <25)(cid:155)(cid:140)(cid:58)(cid:38) 5 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑓 𝑥 ≤𝑥 1 ( )= (cid:38)(cid:170)(cid:140)(cid:138)(cid:143) ,ln 0 (cid:38) 0 5 𝑥 ′ (cid:105) 𝑓 (cid:208) 𝑥 (cid:209) 𝑥 = 1 0 = ln 𝑥 0 5 0 − 𝑃 0 ， 𝑥 ln 𝑥 5 0=1， 0 =5e (cid:38)(cid:349)(cid:58) = 5 1 e (cid:38) 𝑎 𝑥 𝑥 −0 ∴ ∴𝑥 ln5 𝑎 (cid:235)(cid:345)(cid:141) = (cid:348)(cid:126)(cid:138)(25,ln5)(cid:58)(cid:38) = = (cid:38) 25 𝑦 𝑎𝑥 𝑎 𝑘 (cid:130)(cid:36)(cid:62)(cid:143)(cid:10) ln5 , 1 . 25 5e 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15(cid:95)(cid:93)13(cid:28)(cid:94)(cid:93)23-24(cid:350)(cid:100)(cid:186)·(cid:56)(cid:147)(cid:148)(cid:149)·(cid:351)(cid:179)(cid:352)(cid:353)(cid:94)(cid:354)(cid:355)(cid:356)(cid:357)(cid:56)(cid:358)(cid:63)(cid:90)(cid:179)(cid:58)(cid:173)(cid:180)(cid:38)(cid:29) s(cid:58)(cid:46)(cid:350)(cid:359)(cid:143) ( )=5 2 + +4(cid:38)(cid:84)(cid:199)(cid:56)(cid:358)(cid:350)(cid:359) (cid:46)(cid:230)(cid:360)(cid:143)m(cid:38)t(cid:46)(cid:230)(cid:360)(cid:143)s(cid:194) 𝑡 𝑓 𝑡 𝑡 (1)4(cid:114)5𝑡(cid:356)(cid:357)(cid:54)[1,2](cid:58)(cid:173)(cid:179)(cid:180)(cid:46)𝑓(𝑡(cid:361))(cid:211)(cid:362)(cid:359)(cid:194) (2)(cid:114)(cid:356)(cid:357)(cid:54) =2s(cid:58)(cid:46)(cid:363)(cid:58)(cid:362)(cid:359). (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)(cid:110)𝑡 (cid:93)1(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:361)(cid:211)(cid:252)(cid:16)(cid:209)(cid:344)(cid:118)(cid:194) (cid:93)2(cid:94)(cid:112)(cid:113)(cid:363)(cid:58)(cid:252)(cid:16)(cid:209)(cid:344)(cid:118)(cid:95) (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:93)1(cid:94) = = 5×22 45×2 (5×12 45×1 4) =60 (m/s). 1 𝑓(2)−𝑓(1) + +4− + + 𝑣 2−1 (cid:93)2(cid:94)(cid:29)2s(cid:364)(cid:46)(cid:363)(cid:58)(cid:362)(cid:359)(cid:143)lim = lim Δ𝑓 𝑓(2+Δ𝑡)−𝑓(2) 5(2+ 2+45(2+Δ𝑡→0 Δ+𝑡 Δ𝑡(→50×22Δ+𝑡 45×2+4) = lim Δ𝑡) Δ𝑡) 4− =Δl𝑡i→m05( 2 65 = lim[5( +Δ6𝑡5]=65(m/s). Δ𝑡) + Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡) (cid:257)(cid:349)Δ𝑡→(cid:38)0(cid:29)2s(cid:364)(cid:46)(cid:363)(cid:58)Δ𝑡(cid:362)→0(cid:359)(cid:143)65m/s. 1 16(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:365)(cid:216)(cid:366)(cid:280)·(cid:100)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) = ln (cid:38) = + . 2𝑓(𝑥) (1)(cid:114)(cid:104)(cid:13) (cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:342)(cid:173)(cid:194) 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 −𝑥 𝑥 (2)(cid:283)(cid:235) >𝑔(0𝑥(cid:58)) (cid:38) 2 e (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38)(cid:114)(cid:246)(cid:13)m(cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249). 𝑥 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)𝑥 (cid:109)(cid:110)(cid:93)1𝑚(cid:94)𝑥(cid:114)−(cid:59)(cid:104)≤(cid:13)𝑚𝑓(𝑥)(cid:38)(cid:83)(cid:290)(cid:64)(cid:115)(cid:13)(cid:114)(cid:59) (cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:342)(cid:173). (cid:93)2(cid:94)(cid:285)(cid:177)(cid:252)(cid:225)(cid:289)(cid:123)(cid:197)(cid:285)(cid:116)(cid:121)𝑔(𝑥) ln e ln (cid:38)(cid:260)𝑔=(𝑥) ln (cid:91)(cid:114)(cid:59)(cid:213)(cid:282)(cid:38)(cid:83)(cid:367)(cid:294)(cid:91)(cid:28)(cid:368)(cid:254)(cid:13)(cid:226)(cid:227)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:114) 𝑥− 𝑥 (cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:200)(cid:61)(cid:213)(cid:125)(cid:121). 𝑚(𝑥− 𝑥)≤ 𝑡 𝑥− 𝑥 1 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:299)(cid:21)(cid:22)(cid:38)(cid:104)(cid:13) =2ln + (cid:46)(cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:143)(0,+ )(cid:38) (cid:114)(cid:115)(cid:121) = 2 1 = ( 1 2 𝑔(𝑥) 0(cid:38)(cid:235)(cid:266) 𝑥− (cid:309) 𝑥 (cid:235) 𝑥 =1(cid:58)(cid:247)(cid:285)(cid:9)(cid:38) ∞ 2 ′ 𝑔(𝑥) 𝑥−1−𝑥 − 𝑥−1) ≤ 𝑥(cid:125) (cid:54)(0,+ )(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) (cid:128)𝑔(cid:129)((cid:104)𝑥)(cid:13) (cid:46)∞(cid:236)(cid:261)(cid:342)(cid:173)(cid:143)(0,+ )(cid:38)(cid:86)(cid:236)(cid:237)(cid:342)(cid:173). (cid:93)2(cid:94)(cid:235) 𝑔 > (𝑥 0 ) (cid:58)(cid:38) 2 e ∞ 2 e ln ln e =e ln (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥− 𝑥 𝑥 𝑚𝑥 − ≤𝑚𝑓(𝑥)⇔𝑚𝑥 − ≤𝑚𝑥 𝑥⇔𝑚(𝑥− 𝑥)≤ 𝑥 1 (cid:260) = ln >0(cid:38)(cid:114)(cid:115)(cid:121) = (cid:38) ′ ℎ(𝑥) 𝑥− 𝑥,𝑥 ℎ(𝑥) 1−𝑥 (cid:235)0< <1(cid:58)(cid:38) <0(cid:38)(cid:235) >1(cid:58)(cid:38) >0(cid:38) ′ ′ (cid:125)(cid:104)(cid:13)𝑥 (cid:54)(0,ℎ1)((cid:56)𝑥)(cid:236)(cid:261)(cid:38)(cid:54)𝑥(1,+ )(cid:56)ℎ(cid:236)(𝑥(cid:237)) (cid:38)(cid:105)(cid:235) >0(cid:58)(cid:38) =1(cid:38) ℎ(𝑥) ∞ 𝑥e ℎ(𝑥)≥ℎ(1) (cid:260) = ln (cid:38)(cid:299)(cid:21)(cid:22)(cid:38) [1,+ )(cid:38) e (cid:258)(cid:223)(cid:203)(cid:38) 𝑡 𝑡 𝑡 𝑥− 𝑥 ∀𝑡∈ ∞ 𝑚𝑡≤ ⇔𝑚≤ 𝑡 e e (cid:260) = 1(cid:38)(cid:114)(cid:115)(cid:121) = 0(cid:38)(cid:105)(cid:104)(cid:13) (cid:54)[1,+ )(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38) 𝑡 𝑡 2 (𝑡−1) ′ (cid:235) 𝜑 = (𝑡) 1(cid:58)(cid:38)𝑡,𝑡≥ = 𝜑 = (𝑡) e(cid:38)(cid:257)(cid:349)𝑡 ≥ e(cid:38) 𝜑(𝑡) ∞ min (cid:128)𝑡(cid:129)(cid:246)(cid:13)m𝜑(cid:46)((cid:247)𝑡)(cid:213)(cid:248)(cid:249)𝜑(1) ,e]. 𝑚≤ 17(cid:95)(cid:93)15(cid:28)(cid:94)(cid:93)2024·(cid:97)((cid:369)−∞·(cid:198)(cid:101)(cid:94)(cid:102)(cid:103) ( )=2 ln (cid:95) (1)(cid:283) = (cid:38)(cid:114)(cid:332)(cid:141) = ( )(cid:54)(cid:138) (1,2𝑓)(cid:139)𝑥(cid:46)(cid:140)(cid:141)𝑥(cid:142)−𝑎(cid:127)(cid:194)𝑥−𝑎𝑥−1 (2)(cid:283)(cid:104)𝑎 (cid:13)−1= ( )(cid:310)(cid:54)𝑦(cid:33)(cid:244)𝑓 (cid:197)𝑥 (cid:287)(cid:46)(cid:245)𝑃 (cid:213)(cid:138) , (cid:38)(cid:114)(cid:51)(cid:10) ( )+ ( )>0(cid:95) 1 2 1 2 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)𝑦(cid:110)𝑓(cid:93)𝑥1(cid:94)(cid:222)(cid:68)(cid:104)(cid:13)(cid:114)(cid:115)(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:115)𝑥(cid:13)𝑥(cid:46)(cid:144)(cid:145)(cid:22)(cid:124)𝑓(cid:114)𝑥(cid:59)(cid:140)𝑓(cid:141)𝑥(cid:208)(cid:209)(cid:38)(cid:233)(cid:234)(cid:120)(cid:114)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:127)(cid:194) (cid:93)2(cid:94)(cid:111)(cid:102)(cid:103)(cid:88)(cid:122)(cid:115)(cid:13)(cid:172)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:273)(cid:245)(cid:213)(cid:3)(cid:174)(cid:222)(cid:370)(cid:187) ( )+ ( )(cid:38)(cid:219)(cid:63)(cid:88)(cid:122)(cid:100)(cid:295)(cid:142)(cid:127)(cid:112)(cid:46)(cid:310)(cid:54)(cid:304)(cid:305)(cid:125)(cid:120)(cid:51)(cid:329). 1 2 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:235) = (cid:58)(cid:38) ( )=2 +ln𝑓+𝑥 𝑓(cid:38)𝑥 1 1 𝑎 −1 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥−1 ( )= + +1, (1)=3(cid:38) ′ ′ 𝑓 (cid:128)(cid:129)𝑥 (cid:332)(cid:141)𝑥 = 𝑥 ( ) 𝑓 (cid:54)(cid:138) (1,2)(cid:139)(cid:46)(cid:140)(cid:141)(cid:142)(cid:127)(cid:143) =3( )(cid:38)(cid:125) = (cid:194) 𝑦 𝑓1𝑥 𝑃 𝑦−2 𝑥−1 𝑦 3𝑥−1 (cid:93)2(cid:94) ( )= (cid:38) 𝑎 ′ 𝑓 𝑥 𝑥− 1 𝑥−𝑎 (cid:260) =0(cid:38)(cid:121) =0(cid:38)(cid:260) = (cid:38)(cid:105) >0(cid:38) 𝑎 ′ (cid:371)𝑓(cid:142)((cid:127)𝑥)(cid:120)(cid:16)(cid:143) 2𝑥−𝑥 + −𝑎 =0 (cid:38)𝑡(cid:105) 𝑥= 𝑡 , = (cid:192)(cid:142)(cid:127) (cid:46)(cid:33)(cid:244)(cid:197)(cid:287)(cid:46)(cid:112)(cid:38) 1 1 2 2 = 2>0 𝑎𝑡 −𝑡 𝑎 ① 𝑡1 𝑥 𝑡 𝑥 ① (cid:128)(cid:129) 1 (cid:38)(cid:107)(cid:121)0< < (cid:38) >0 2 Δ 1−4𝑎 𝑎 (cid:111)(cid:372)(cid:166)(cid:123)(cid:15)𝑎(cid:121) + = 1 , =1(cid:38)(cid:105) 2+ 2=( + )2 = 1 (cid:38) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (cid:128)(cid:129) )+ 𝑡 ) 𝑡 =2( 𝑎𝑡 𝑡 + 𝑡 ln 𝑡 +ln 𝑡 𝑡 − + 2𝑡 𝑡 𝑎 −2 1 2 1 2 1 2 1 2 =2( 𝑓(𝑥 + 𝑓(𝑥 ln( 2 2 𝑥 2+ 𝑥2 )−𝑎( = 𝑥 + 1𝑥 ) (cid:38) −𝑎(𝑥 𝑥 )−2 1 2 1 2 1 2 𝑡 𝑡 )−𝑎 𝑡 𝑡 )−𝑎(𝑡 𝑡 )−2 2𝑎 𝑎−2(cid:260) ( )= + 1 0< < 1 (cid:38)(cid:105) ( )= 1 <0 0< < 1 (cid:38) 2 2 2 ′ ℎ 𝑎 2𝑎 𝑎−2 𝑎 ℎ 𝑎 2−𝑎 𝑎 (cid:128)(cid:129)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:54) 0, 1 (cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) 2 ℎ 𝑎 (cid:128)(cid:129) ( )= + 1 > 1 =1>0(cid:38) 2 (cid:128)(cid:129) ℎ 𝑎 )+ 2𝑎 𝑎 ) − > 2 0. ℎ 1 2 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥 18(cid:95)(cid:93)17(cid:28)(cid:94)(cid:93)2023·(cid:306)(cid:239)(cid:373)(cid:374)·(cid:101)(cid:133)(cid:134)(cid:135)(cid:94)(cid:102)(cid:103)(cid:104)(cid:13) ( )=ln + ( >0)(cid:95) 𝑎 (1)(cid:283)(cid:332)(cid:141) = ( )(cid:54)(cid:138)( (1))(cid:139)(cid:172) (cid:375)(cid:155)(cid:140)(cid:38)(cid:114) (cid:46)(cid:213) 𝑓 (cid:194)𝑥 𝑥−𝑎 𝑥 𝑎 (2)(cid:114)(cid:104)(cid:13)𝑦( )𝑓(cid:54)𝑥(cid:342)(cid:173)(1,1e),𝑓(cid:56)(cid:46)(cid:253)(cid:138)(cid:244)𝑥(cid:13)(cid:95) 𝑎 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)𝑓(cid:110)𝑥 (cid:93)1(cid:94)(cid:114)(cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:115)(cid:13)(cid:38)(cid:112)(cid:113)(cid:115)(cid:13)(cid:46)(cid:144)(cid:145)(cid:22)(cid:124)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:121)(cid:36)(cid:62)(cid:194) (cid:93)2(cid:94)(cid:111) ( )=0(cid:38)(cid:114)(cid:121) = (cid:38)(cid:28)(cid:376)(cid:255)(cid:256) = (cid:172)(1,e)(cid:46)(cid:360)(cid:377)(cid:3)(cid:174)(cid:38)(cid:88)(cid:122)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:38)(cid:129)(cid:273)(cid:253)(cid:138)(cid:310)(cid:54)(cid:123)(cid:15)(cid:38) ′ (cid:125)(cid:120)(cid:274)(cid:275)𝑓(cid:59)𝑥(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:253)(cid:138)(cid:244)𝑥(cid:13).𝑎 𝑥 𝑎 (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:121) ( )=ln + ( >0)(cid:123)(cid:124)(cid:282)(cid:143)(0,+ )(cid:38) 𝑎 𝑓 𝑥 𝑥−𝑎 𝑥 𝑎 ∞ 1 ( )= = (cid:38) 2 2 𝑎 𝑥−𝑎 ′ 𝑓 (cid:257)(cid:143)𝑥 = 𝑥− ( 𝑥 )(cid:54)(cid:138) 𝑥 ( (1))(cid:139)(cid:172)x(cid:375)(cid:155)(cid:140)(cid:38)(cid:266) (1)=0(cid:95) (cid:128)(cid:129)𝑦(1)𝑓=𝑥 =10,𝑓(cid:38)(cid:107)(cid:121) =1(cid:95)(cid:348)(cid:313)(cid:314) =𝑓 1(cid:259)(cid:122)(cid:21)(cid:22)(cid:95) ′ 𝑓 1−𝑎 𝑎 𝑎 (cid:93)2(cid:94)(cid:111)(cid:93)1(cid:94)(cid:103) ( )= (cid:38)(cid:260) ( )=0(cid:38)(cid:121) = (cid:38) 2 𝑥−𝑎 ′ ′ (cid:235) < (cid:58)(cid:38) ( ) 𝑓 < 𝑥 0(cid:38)(cid:235) 𝑥 > (cid:58) 𝑓 (cid:38)𝑥 ( )>0(cid:38) 𝑥 𝑎 ′ ′ (cid:93)𝑥i(cid:94)(cid:235)𝑎0< 𝑓 𝑥1(cid:58)(cid:38) (𝑥1,e)𝑎(cid:38) (𝑓)>𝑥0(cid:38)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,e)(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:95) ′ (cid:128)(cid:129) ( )>𝑎(≤1)=0(cid:38)𝑥(cid:128)∈(cid:129)(cid:104)(cid:13)𝑓( 𝑥)(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,e)(cid:56)𝑓 (cid:86)𝑥 (cid:253)(cid:138)(cid:194) (cid:93)ii(cid:94)𝑓(cid:235)𝑥1<𝑓 0(cid:95) ′ ′ (cid:104)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:342)𝑎(cid:173)( )(cid:56)(cid:230)(cid:231)(cid:236)𝑥(cid:261)𝑎(cid:38)(cid:54)(cid:342)𝑓(cid:173)𝑥( e)(cid:56)(cid:230)(cid:231)𝑎(cid:236)(cid:237)𝑥 (cid:95) 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 1,𝑎 𝑎, (cid:266) (1)=0(cid:38)(cid:105) ( )< <0(cid:38)(cid:234) (e)= + (cid:95) e 𝑎 𝑓 𝑓 𝑎 𝑓(1) e 𝑓 1−𝑎 (cid:235) (e)= + >0(cid:38)(cid:125)1< < (cid:58)(cid:38)(cid:104)(cid:13) ( )(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,e)(cid:56)(cid:243)(cid:90)(cid:244)(cid:253)(cid:138)(cid:194) e e 𝑎 𝑓 1−𝑎 𝑎 e −1 𝑓 𝑥 (cid:235) (e)= + 0(cid:58)(cid:38)(cid:125)(cid:235) 2(cid:95) 1 2 (cid:106)(cid:107)(cid:21)(cid:108)(cid:109)𝑥(cid:110)(cid:93)𝑥1(cid:94)(cid:114)(cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:115)(cid:104)(cid:13)(cid:38)(cid:83)(cid:28) >0(cid:49) <0(cid:33)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:255)(cid:256)(cid:38)(cid:28)(cid:269)(cid:114)(cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:342)(cid:173)(cid:194) 1 ln 1 ln𝑎 𝑎 (cid:93)2(cid:94)(i)(cid:254)(cid:252)(cid:28)(cid:368)(cid:120)(cid:121) = (cid:38)(cid:260) ( )= (cid:38)(cid:290)(cid:64)(cid:115)(cid:13)(cid:267)(cid:329)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:230)(cid:231)(cid:232)(cid:38)(cid:114)(cid:59)(cid:104)(cid:13)(cid:46)(cid:200)(cid:213)(cid:38)(cid:125)(cid:120)(cid:114)(cid:59) + 𝑥 + 𝑥 (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:194)(ii) (cid:197)(cid:302)(cid:170)𝑥 < 𝑎 (cid:38)(cid:105) 𝑔 0𝑥< < 𝑥 1< (cid:38)(cid:28) [2,+ )(cid:49) (1,2)(cid:33)(cid:315)(cid:316)(cid:317)(cid:255)(cid:256)(cid:38)(cid:235) (1,2 𝑎 ) 1 2 1 2 2 2 2 (cid:58)(cid:38) ( )= ( ) ( 𝑥) (0𝑥< <1)(cid:38)𝑥(cid:290)(cid:64)(cid:115)(cid:13)𝑥(cid:267)(cid:329)(cid:104)𝑥(cid:13)∈(cid:46)(cid:230)(cid:231)∞(cid:232)(cid:38)𝑥(cid:125)(cid:120)∈ (cid:51)(cid:329) + >2(cid:38)(cid:83)(cid:111)𝑥(cid:327)(cid:25)∈(cid:197)(cid:285) 1 2 (cid:116)(cid:125)𝑝(cid:120)𝑥(cid:121)(cid:51).𝑔 𝑥 −𝑔 2−𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 ln(e ) 1 ln ln (cid:106)(cid:107)(cid:36)(cid:126)(cid:127)(cid:110)(cid:93)1(cid:94)(cid:111)(cid:21)(cid:22)(cid:121) ( )= = (cid:38) (0,+ )(cid:38)(cid:105) ( )= (cid:38) 2 𝑥 + 𝑥 𝑥 ′ (cid:111) ( )=0(cid:38)(cid:107)(cid:121) =1(cid:95) 𝑓 𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑥 𝑥∈ ∞ 𝑓 𝑥 −𝑎𝑥 ′ (cid:296)𝑓(cid:219)𝑥 0(cid:38) 𝑥 (cid:283) >𝑎0≠(cid:38)(cid:105)(cid:235)0< <1(cid:58)(cid:38) ( )> ( )(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:235) >1(cid:58)(cid:38) ( )< ( )(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:194) ′ ′ (cid:283)𝑎<0(cid:38)(cid:105)(cid:235)0< 𝑥<1(cid:58)(cid:38) 𝑓( 𝑥)< 0,𝑓( 𝑥)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38)(cid:235) 𝑥>1(cid:58)(cid:38) 𝑓( 𝑥)> 0,𝑓( 𝑥)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:95) ′ ′ (cid:320)𝑎(cid:56)(cid:38)(cid:235) >0(cid:58)(cid:38)𝑥 ( )(cid:54)(cid:342)𝑓(cid:173)𝑥(0,1)0(cid:180),𝑓(cid:230)𝑥(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:54)(cid:342)(cid:173)𝑥(1,+ )(cid:180)𝑓 (cid:230)𝑥(cid:231)(cid:236)0(cid:261),𝑓(cid:194)𝑥 (cid:235) <0(cid:58)𝑎(cid:38) ( )(cid:54)(cid:342)𝑓 (cid:173)𝑥 (0,1)(cid:180)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38)(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,+ )(cid:180)(cid:230)∞(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:95) 𝑎 𝑓ln𝑥(e ) 1 ln ∞ (cid:93)2(cid:94)(cid:93)i(cid:94)(cid:111) =1(cid:38)(cid:121) = (cid:38) 𝑥 + 𝑥 𝑎𝑥 𝑥 𝑎 1 ln (cid:170) ( )= (cid:38)(cid:111)(1)(cid:121) ( )(cid:54)(cid:342)(cid:173)(0,1)(cid:180)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:237)(cid:38)(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,+ )(cid:180)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) + 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 ∞ (cid:146) 1 = (1)=1(cid:38)(cid:235) >1(cid:58)(cid:38) ( )>0(cid:38)(cid:266)(cid:235) + (cid:58)(cid:38) ( ) (cid:38) e 𝑔 0,𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥→ ∞ 𝑔 𝑥 →0 1 ln ln(e ) (cid:128)(cid:129)(cid:235)0< <1(cid:58)(cid:38)(cid:142)(cid:127) = (cid:243)(cid:33)(cid:244)(cid:197)(cid:287)(cid:46)(cid:112)(cid:38)(cid:125)(cid:142)(cid:127) =1(cid:243)(cid:33)(cid:244)(cid:197)(cid:287)(cid:46)(cid:112)(cid:38)(cid:130) (cid:46)(cid:247)(cid:213)(cid:248)(cid:249)(cid:192) + 𝑥 𝑥 (0,1)(cid:95) 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎𝑥 𝑎 ln 1 ln 1 (cid:93)ii(cid:94)(cid:197)(cid:302)(cid:170) < (cid:38)(cid:105)0< <1< (cid:38)(cid:266) 1 = 2 (cid:95) 1 2 1 2 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (cid:107)(cid:119)(cid:90)(cid:10) (cid:235) [2,+ )(cid:58)(cid:38) 2+ 2> 2 4>2(cid:38)(cid:125) 2+ 2>2(cid:194) 2 1 2 2 1 2 𝑥 ∈ ∞ 𝑥 𝑥 𝑥 ≥ 𝑥 𝑥(cid:235) (1,2)(cid:58)(cid:38) (0,1)(cid:95) 2 2 𝑥 ∈ 2−𝑥 ∈ ln 1 ln( ) 1 (cid:170) ( )= ( ) ( )= + ,0< <1, 𝑥 2−𝑥 (cid:105) 𝑝 ( 𝑥 )= 𝑔 l 𝑥 n −𝑔 ln(2−𝑥) > l 𝑥 n 𝑥 l − n( 2 ) − = 𝑥 − ln 2−𝑥 ( )2 𝑥 1 >0, 2 ( )2 2 2 2 𝑥 2−𝑥 𝑥 2−𝑥 − 𝑥−1 + ′ (cid:128) 𝑝 (cid:129)𝑥 ( )(cid:54) − (cid:342)𝑥 (cid:173) − ( 2 0 − ,1 𝑥 )(cid:180)(cid:230) − (cid:231)𝑥(cid:236) − (cid:237)(cid:38)𝑥 − 𝑥 (cid:105) (𝑝)𝑥< (1)=0(cid:38)(cid:125) ( )< ( )(cid:38) (cid:128)𝑝(cid:129)𝑥( 𝑝 )> ( )=𝑔 𝑥( ),𝑔 2−𝑥 1 1 2 (cid:146) 𝑔 2(0−,1𝑥) 𝑔 >𝑥 1, 𝑔>𝑥 ( )(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,+ )(cid:180)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:38) 1 1 2 (cid:128)𝑥(cid:129)∈ <,2−(cid:38)𝑥(cid:125) 𝑥+ 1>,𝑔2(cid:38)𝑥 ∞ 1 2 1 2 (cid:146) 2−𝑥 (cid:38)(cid:128)𝑥(cid:129) 2+𝑥 2>𝑥 2 (cid:38) 1 2 1 2 1 2 (cid:130)𝑥2 2≠+𝑥2 2> 2𝑥+ 2𝑥+2 𝑥 𝑥=( + )2>4(cid:38)(cid:128)(cid:129) 2+ 2>2(cid:38)(cid:121)(cid:51)(cid:95) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (cid:107)(cid:119)𝑥(cid:100)(cid:10)𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (cid:170) ( )= ( ) 1 = 1 ln ( ln )(cid:38) (0,+ )(cid:38) + 𝑥 ℎ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑥 −𝑥 1− 𝑥 𝑥∈ ∞ ln 2 (cid:105) ( )= +ln =ln 0(cid:38) 2 2 − 𝑥 𝑥 −1 ′ (cid:128) ℎ (cid:129)𝑥 ( )(cid:54)𝑥(cid:342)(cid:173)(0, 𝑥 + ) 𝑥 (cid:180) ⋅ (cid:230)𝑥(cid:231)(cid:236) ≥ (cid:237)(cid:38) (cid:146) (1ℎ)𝑥=0(cid:38) ∞ (cid:128)(cid:129) ℎ ( )= ( ) 1 <0(cid:38)(cid:125) ( )< 1 (cid:95) 1 1 1 1 1 ℎ 𝑥 𝑔 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 (cid:146) ( )= ( )(cid:38)(cid:128)(cid:129) ( )< 1 (cid:38) 2 1 2 1 𝑔 𝑥 1 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 𝑔 𝑥 (cid:146) >1, > ( )(cid:54)(cid:342)(cid:173)(1,+ )(cid:180)(cid:230)(cid:231)(cid:236)(cid:261)(cid:95) 2 1 𝑥 𝑥 1 1,𝑔 𝑥 ∞ (cid:128)(cid:129) > (cid:38)(cid:125) >1(cid:38) 2 1 2 1 (cid:146) 𝑥 (cid:38) 𝑥 (cid:128)(cid:129) 𝑥2𝑥 + 2>2 >2(cid:38)(cid:121)(cid:51)(cid:95) 1 2 1 2 1 2 𝑥 ≠𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥