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第一章 空间向量与立体几何章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体 中，棱长为2，且E是棱AB中点，则
的值为( )
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示
由正四面体的性质可得：
可得：
是棱 中点
故选：
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．（2020·宜昌高二期末）已知 （2，1，﹣3）， （﹣1，2，3）， （7，6，λ），若P，
A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得 共面，
，
，解得 .
故选:B.
3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底 中基向量与基底 基向量对应相等
【答案】C
【解析】 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以 错.
项，空间基底有无数个, 所以 错.
项中因为基底不唯一，所以 错.
故选 .
4．（2020·全国高二课时练习）若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则(
)
A． B． C． D． 与 相交
【答案】C
【解析】∵直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故选C．
5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体 中， 分别为 ， 的
中点， 为侧面 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系． 设正
方体的棱长为 ，则 ， ∴ ．
则 ． ∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ,故选
A．6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱 中， ，则CD与平面
所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， 面积为
7．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 、
的中点， 为棱 上的一点，且 ，设点 为 的中点，则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
则M（2，λ，2），D（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
1
＝（﹣2，0，1）， ＝（0，2，0）， ＝（0，λ，1），
设平面DEF的法向量 ＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得 ＝（1，0，2），
1∴点M到平面DEF的距离为：d＝ ，N为EM中点，所以N到该面的距离为
1
故选：D．
8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系 中， ， ，
，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
由点 在直线 上，可得存在实数 使得 ，
即 ，可得 ,
所以 ,
则 ，
根据二次函数的性质，可得当 时，取得最小值 ，此时 .
故选：C.
二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，
是 的中点，则（ ）
A． B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 与 不垂直，故A错误；
，设平面 的一个法向量为 ，则
由 ，得 ，所以 ，
不妨取 ，则 ，
所以 ，
同理可得设平面 的一个法向量为 ，
故不存在实数 使得 ，故平面 与平面 不平行，故B错误；
在长方体 中， 平面 ，
故 是三棱锥 的高，
所以 ，
故C正确；
三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，
故外接球的半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，故D正确.
故选：CD.
10．（2020·福建厦门。高二期末）正方体 中，E、F、G、H分别为 、BC、CD、
BB、 的中点，则下列结论正确的是（ ）A． B．平面 平面
C． 面AEF D．二面角 的大小为
【答案】BC
【解析】由题可知， 在底面上的射影为 ，而 不垂直 ，
则 不垂直于 ，则选项 不正确；
连接 和 ，E、F、G、H分别为 、BC、CD、BB、 的中点，
可知 ，所以 平面 ，
则平面 平面 ，所以选项 正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则各点坐标如下：
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，得平面 的法向量为 ，
所以 ，所以 平面 ，则 选项正确；
由图可知， 平面 ，所以 是平面 的法向量，
则 .
得知二面角 的大小不是 ，所以 不正确.
故选：BC.
11．（2020·江苏通州。高二期末）设 ， ， 是空间一个基底，则( )
A．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则 ＋ ， ＋ ， ＋ 一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】对于A选项， 与 都垂直， 夹角不一定是 ，所以A选项错误.对于B选项，根据基底的概念可知 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面.
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
对于D选项，由于 ， ， 是空间一个基底，所以 ， ， 不共面.假设 ＋ ， ＋ ， ＋ 共面，
设 ，化简得 ，即 ，所以 ， ，
共面，这与已知矛盾，所以 ＋ ， ＋ ， ＋ 不共面，可以作为基底.所以D选项正确.
故选：BCD
12．（多选题）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到
位置，连结 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 与平面 所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角 的大小为 时，
D．存在某个位置，使得 到平面 的距离为
【答案】BC【解析】
如图所示：
A项：取 的中点 ，连结 、 ，
因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ,
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，
所以 在平面 的射影为 ，
即 与平面 所成角，
，三角形 是等腰三角形，
当 时， 与平面 所成角为 ，故A错误；
B项：当 时，取 的中点 ，
可得 ， ，故 平面 ， ，故B正确；
C项：因为四边形 是菱形， 是线段 的中点，
所以 ， ，
因为 是平面 与平面 的交线，
所以 即平面 与平面 所成角，
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C正确；D项：因为 ，所以如果 到平面 的距离为 ，
则 平面 ， ， ， ，
，则 ，显然不可能，故D错误，
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·重庆大足。高二期末（理））若 ， ， ，则
___________．
【答案】3.
【解析】因为 ， ， 所以
所以 故答案为：3
14．（2020·四川省南充市白塔中学）已知平面 的一个法向量 ， ， ，且
，则直线 与平面 所成的角为______．
【答案】
【解析】设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
∴直线 与平面 所成的角为 ．故答案为： ．15．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考）二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个
二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知 ， ， ， ，则该二面角
的大小为________．
【答案】
【解析】由条件，知 ， ， .
.
∴ ，又∵ ，∴ ，∴二面角的大小为 .
故答案为： .
16．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点 在平面 上，三条棱
都在平面 的同侧，若顶点 到平面 的距离分别为 ， ，则顶点 到平面 的
距离是______.
【答案】
【解析】如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，
则点 到平面 距离为 ，①
点 到平面 距离为 ，②
由①②可得 ，
所以 到平面 的距离为 .
故答案为: .
四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）
17．（2020·全国高二）如图， ，原点 是 的中点，点 的坐标为 ， ， ，点 在平
面 上，且 ， ．（1）求向量 的坐标．
（2）求 与 的夹角的余弦值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）过 作 于 ，
则 ， ，
所以 的坐标为 ，
又因为 ，所以 ．
（2）依题设有 点坐标为 ，所以 ， ，
则 与 的夹角的余弦值为 ．18．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1，
．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
【答案】（1） ； ；（2） ．
【解析】（1） ，
因为 ，同理可得 ，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ．
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
19．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在长方体 中， ， ，
、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
在长方体 中， ， ， 、 分别是 、 的中点，
，1， ， ，1， ， ，0， ，
平面 的法向量可设为 ，1， ， ，
平面 ， 平面 ．（2） ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，1， ，
， ，
， ，
，
平面 ．
20．（2020·四川内江）如图，在直棱柱 中， ， ， ，
， .
（1）证明：面 面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】（1）证明： 平面 ， 平面 ，∴ .
又∵ ，且 ， 平面 ，
∴ 平面 .
又∵ 平面 ，
∴面 面 .
（2）易知 、 、 两两垂直，
以A为坐标原点， 、 、 所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立如图的空间直角坐标系，
设 ，则相关各点的坐标为
， ， ， ，
， ， .
从而 ， .
∵ ，∴
解之得 或 （舍去）.，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，即
令 ，则 .
同理可求面 的法向量为 .
∴ .
又∵二面角 是锐二面角，
∴二面角 的余弦值为 .
21．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为线段
的中点，已知 ， ．（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）
证明：连接 交 于点 ，连接
, ,四边形 是平行四边形，
是 中点，又 为线段 的中点，
,又 平面 ， 平面
直线 平面（2） 平面 ,作 ,建立如图所示空间直角坐标系
由已知 ，
得 , , ,
,
设平面 的法向量
, ，不妨取
所以直线 与平面 所成角的正弦值为
22．（2019·河西。天津市新华中学高三月考）如图，已知梯形 中， ， ，
，四边形 为矩形， ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
（3）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）
【解析】（1）证明： 四边形 为矩形， ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ．
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，2， ，
设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，得 ，
又 ， ，则 ，
又 平面 ， 平面 ；
（2）解：设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
，
即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；（3）解： 点 在线段 上，设 ， ， ，
，0， ，2， ， ， ，
又 平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，
，即 ，
， ， ．
， ， ，则 ，
的长为 ．
