文档内容
专题 04 二元一次方程组
【考点1】二元一次方程(组)的定义★
【考点2】二元一次方程的解★
【考点3】解二元一次方程组★★
【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★
【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★
【考点6】构造二元一次方程组求解★★
【考点7】二元一次方程组相同解问题★★
【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★
【考点9】二元一次方程的应用★★★
知识点 1：二元一次方（组）
1.二元一次方程
（1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次
方程．
（2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次
方程的解．
2.二元一次方程组
（1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两
个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解．
知识点2：解二元一次方程组
解二元一次方程组的方法：
（1）消元思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组
转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知
数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想．
（2）代入消元法
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另
一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简
称代入法．
（3）加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分
别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元
法，简称加减法.
知识点3：二元一次方程（ 组）的应用
二元一次方程组的应用的解题步骤
1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等
关系；
2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数；
3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等
步
量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的；
骤
4．解方程组；
5．检验：检验方程的根是否符合题意；
6．作答：检验后作出符合题目要求的答案．
【考点1】二元一次方程(组)的定义★
1．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x+5=3 y B．xy=2
1
C．x2−y=5 D．x+ =4
y
2．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一
次方程组的是（ ）A．{x+3z=8) B．{2x+y=5) C．{ x2=1 ) D．{−2x+y=6)
x−z=1 y+z=7 x+3 y=10 xy=4
3．（24-25八年级上·福建三明·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（）
{ x+y=3, )
{x−y=5,) { xy=2, ) {x−5 y=15,)
A． B． 1 1 1 C． D．
x=6+z; − = ; x+y=1; 3x+y=8.
x y 3
4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若 是关于x，y的二元一次方程，
2x|k)+(k−1)y=3
则k的值为 ．
【考点2】二元一次方程的解★
{ x=a )
1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知 是二元一次方程y−x+8=0的一个解，
y=3a
那么a的值是（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程x+2y=7的正整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{ x=2 )
3．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）若 是方程x+ay=3的一个解，则a的值
y=−1
为 ．
【考点3】解二元一次方程组★★
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）解方程组：
{ x−y=2 ) {5x−3 y=8)
(1) （用代入消元法） (2) （用加减消元法）
3x+2y=16 5x+2y=3
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程组：
{ 3s−t=5 ) {2x+3 y=12①)
(1) (2)
5s+2t=12 3x+4 y=17②
{ x−2y=2 )
3．（23-24七年级下·福建福州·期中）解方程组： ．
2x+3 y=184．（23-24八年级上·山东济南·期末）解方程组：
{ y=2x−5 ) {5x−6 y=4 )
(1) ； (2) ．
3x+2y=4 2x−3 y=−1
【考点4】二元一次方程组的特殊解法★★★
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于
x
，
y
的方程组{a
1
x+b
1
y=c
1
)的解是
a x+b y=c
2 2 2
{x=4)，则关于
x
，
y
的方程组{a
1
(x−1)−b
1
y=−c
1
)的解是（ ）
y=5 a (x−1)−b y=−c
2 2 2
{x=−3) {x=5) {x=−3) { x=5 )
A． B． C． D．
y=−5 y=5 y=5 y=−5
{2x−y=10)
2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）已知方程组 ，则x+y= ．
x+4 y=−4
3．（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在
{ x+2y=5① )
黑板上写下一个方程组 ．
2x+5 y=9②
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为2(x+2y)+y=9，③
把①代入③，得10+y=9，解得y=−1．
把y=−1代入①，解得x=7．
{ x=7 )
∴方程组的解为 ．
y=−1
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请
{ x−2y=3 ①)
你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
3x−5 y=8 ②4．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组¿时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，
计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：
②−①得：4x+4 y=4，即x+y=1．③
③×15得：15x+15 y=15．④
{x=−1)
①−④得：y=2，代入③得x=−1．所以这个方程组的解是 ．
y=2
(1)请你运用慧慧的方法解方程组¿
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组¿的解是_______．
【考点5】二元一次方程组的错解复原问题★★★
{ax+5 y=c)
1．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于x，y的方程组 时，甲把
4x−by=1
{x=4)
方程组中的a看成了−8，求得的解为 ；乙看错了方程组中的b，求得的解为
y=3
{x=−3)
．
y=−1
(1)求正确的a，b，c的值；
(2)求原方程组的解．
{ax+5 y=15①)
2．（22-23八年级上·四川达州·期末）甲、乙两人在解方程组 时，甲看错
4x=by−2②
{x=2) {x=5)
了方程①中的a，解得 ，乙看错了方程②中的b，解得 ，求原方程组的
y=1 y=4
正确解．3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）在解方程组¿时，由于粗心，甲同学看错了方程组中
{x=4) {x=1)
的a，而得到解为 ，乙同学看错了方程组中的b，而得到解为 ，求原方
y=3 y=4
程组的解．
【考点6】构造二元一次方程组求解★★
1．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）对有理数x、y，定义新运算x⊗y=ax+by+5，其
中a，b为常数，已知1⊗2=10，(−2)⊗2=7．
(1)求a，b的值；
(2)如果x=−3，x⊗y=−18，求y的值．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我们定义一个新运算：a※b=4a−3b−1，如
5※6=4×5−3×6−1=1．已知x※ y=2,x※2y=−1，分别求出x和y的值．
3．（24-25八年级上·陕西铜川·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：
x☆y=ax+by−3，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，
例如2☆1=2a+b−3．若2☆3=6，1☆(−1)=−1．求2☆(−2)的值．
【考点7】二元一次方程组相同解问题★★
{ x+y=3, )
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于x,y的二元一次方程组 与关于
mx+ny=8
{ x−y=1, )
x,y的二元一次方程组 有相同的解，则m−n的值为 ．
mx−ny=4
{2x−3 y=3)
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）关于x、y的二元一次方程组 ，和
ax+by=1{3x+2y=11)
关于x、y的二元一次方程组 的解相同，求2a−b的值．
ay−bx=3
{ 3x−y=5 )
3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组 和
4ax+5by=−22
{2x+3 y=−4)
有相同解，求(a−b) 2024的值．
ax−by=8
4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知方程组¿和方程组¿的解相同．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求a，b的值．
{ax−by=5) {ax+by=3)
5．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）如果方程组 与 有相同的解，
4x−y=9 2x+3 y=1
求a，b的值．
【考点8】已知二元一次方程组的解的情况求参★★★
1．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组¿时，解得
¿，则Δ代表的数是（ ）
A．5 B．1 C．−1 D．3
2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知方程组¿的解满足x+y=4，则k= ．
{ 3x+y=3k )
3．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于x，y的二元一次方程组 的
x−5 y=2−k
解满足x−y=6，则k的值为 ．
{x+2y=2a+1)
4．（23-24七年级上·安徽·单元测试）若关于x、y的二元一次方程组 的
x−y=6
解满足x与y互为相反数，则a的值是
【考点9】二元一次方程的应用★★★
1．（21-22七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二
家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多
你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，
乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A． B．{x+9=2(y−9))
¿
y+9=x−9
{x+9=2y) { x−9=2y )
C． D．
y+9=x y+9=x−9
2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能
源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销
售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需85万元；购进3辆A
型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需90万元．
(1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均
购买），请你设计出符合要求的购买方案．
(3)销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.2万元．假如这些新
能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和
3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求
这个两位数．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，
某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为
b元/辆，该专卖店一月份前两周销售情况如下：
A型车销售量 B型车销售量
总利润（元）
（辆） （辆）
第一周 10 12 2240第二周 20 15 3400
(1)求a，b的值．
(2)若第三周某天A型车和B型车的总利润为680元，请问这天A型车和B型车各卖出了
多少辆．
5．（23-24七年级下·全国·课后作业）某种杂志每册售价4元，邮购该种杂志的邮寄费和优
惠方式如下：
邮购册数 1~99 100以上（含100）
邮寄费 总书价的10% 免费邮寄
优惠方式 不优惠 优惠10%
两次邮购这种杂志共200册，总计金额784元，两次各邮购杂志多少册？
1．（24-25七年级上·山东东营·期末）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号
航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取
得了圆满成功！小明和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．
下面是两位同学的对话：
小明：我买了1件甲种飞船模型和2件乙
种飞船模型，共花了55元．
小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙
种飞船模型，共花了95元．
(1)求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
(2)若小星计划正好用200元零花钱购买以上两种飞船模型，且每种都有购买，请通过
计算说明有多少种购买方案．2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，
计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜
有以下运输信息：
甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量
2辆 3辆 42吨
3辆 4辆 58吨
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？
(2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类
蔬菜：
①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案；
②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，
最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？
3．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共
700件，准备在“双十二”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元．
(1)网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答）
(2)该网店的A种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，
厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2
个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10
个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两
种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答）一、单选题
1．（23-24七年级下·广西河池·期末）由2x−y=2，可以得到用x表示y的式子是（ ）
A．y=2x+2 B．y=−2x−2 C．y=2x−2 D．y=−2x+2
{x=1)
2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）已知 是关于x，y的方程3x−my=1的一个解，
y=2
则m的值为（ ）
A．−1 B．1 C．3 D．5
3．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，其
中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．
木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量
长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为
（ ）
{ y−x=4.5 ) { y−x=4.5 )
A． B．
x−0.5 y=1 0.5 y−x=1
{x+y=4.5) {x+y=4.5)
C． D．
y−x=1 x−y=1
4．（24-25八年级上·山西太原·期末）学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问
{5m+6n=32.8 )
题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组 的
11m−7n=24.7
解是{m=3.8)，在不解方程组的情况下，求方程组{5(x−1)+6(y+2)=32.8 )的解，
n=2.3 11(x−1)−7(y+2)=24.7
{x=4.8)
小明经过思考后得到 ，小明这样解方程的思想是（ ）
y=0.3
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．换元思想 D．方程思想
5．（24-25八年级上·重庆·期末）七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品
重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重x千克，每件乙商品重y千克，根据
题意可列方程组为（ ）{ 7x+8 y=48 ) { 8x+7 y=48 )
A． B．
6x+y=7 y+x 6x−y=7 y−x
{ 7x+y=48 ) { 7x+8 y=48 )
C． D．
7x−y=8 y−x 7x+y=8 y+x
6．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如果关于x，y的二元一次方程组
{ x−2y=k )
的解x，y满足x−y=7，那么k是（ ）
3x−4 y=2k−1
A．15 B．−15 C．14 D．−14
二、填空题
7．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）若关于x、y的二元一次方程组¿的解满足x−y=1，
则a的值为 ．
8．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明用8个相同的长方形（长是acm，宽是bcm）分
别拼出了两种图形：图①是一个正方形，且中间留下了一个边长是2cm的正方形小洞，
图②是一个大长方形．根据题意，可列出关于a，b的二元一次方程组为 ．
9．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）在方程2x−3 y=8中，用x的代数式表示y，得
．
三、解答题
10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解方程组：
(1)¿； (2)¿．
11．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x,y的二元一次方程组，如果方程组的解x,y
满足x−y=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题：
{ y=2x−4, )
(1)方程组 的解x与y是否具有“邻好关系”，请说明理由；
3x+2y=13
{2x+y=5k+1,)
(2)方程组 的解x与y具有“邻好关系”，求k的值．
x+2y=4k+212．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）“靖州杨梅”——湖南省靖州县特产，全国农产品
地理标志．靖州杨梅已有上千年的栽培史，以色泽呈乌、酸甜适度、果大核小、品质
优良、营养丰富而著称．《靖州乡土志》诗云：“木洞杨梅尤擅名，申园梨栗亦争鸣，
百钱且得论摊买，恨不移根植上京．”目前，靖州杨梅主要分为台梅和乌梅两种．某
水果商为了解靖州杨梅的市场销售情况，购进台梅和乌梅两种进行试销．在试销中，
水果商将两种杨梅搭配销售，若购买台梅4千克，乌梅3千克，共需192元；若购买
台梅3千克，乌梅4千克，共需172元．
(1)求台梅和乌梅每千克各多少元？
(2)一顾客用不超过2600元购买这两种杨梅共100千克，要求台梅尽量多，他最多能购
买台梅多少千克？
13．（24-25七年级上·福建三明·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用
天平和一些物品探究等式的基本性质，现有一架天平和2个10克的砝码，如何称出乒
乓球和纸杯的单个质量？
【操作探究】下面是“实践小组”的探究过程：
准备物品： 15个大小相同的乒乓球（质量相同） 15个大小相同的纸杯（质量相
同）． ① ②
（1）探究过程：
天平左边 天平右边 天平状态
记录 8个乒乓球和1个10克的砝码 14个一次性纸杯 平衡
Ⅰ
记录 4个乒乓球 2个一次性纸杯和1个10克的砝码 平衡
Ⅱ【解决问题】
通过上述两次探究过程，求乒乓球和纸杯的单个质量．
【拓展设计】
（2）“实践小组”继续探究，得到下表：
天平左边 天平右边 天平状态
记录Ⅲ 乒乓球m个和一次性纸杯2个 一次性纸杯n个和2个10克砝码 平衡
请你探究m，n的值．
