文档内容
空间向量与立体几何
一、 课堂目标
1．掌握空间向量的坐标表示及相关运算．
2．掌握运用直线的方向向量证明直线平行的方法．
3．掌握平面的法向量的求解步骤以及运用法向量平行垂直问题．
【备注】目标解读：
关联知识：平面向量、立体几何．
本讲解读：本讲的重点是空间向量的坐标表示以及相关运算、平面法向量的求法，难点是
空间法向量的求法并利用法向量证明平行垂直问题．
能力素养：数学运算、直观想象．
二、 知识引入
复习回顾
平面向量基本定理：
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 ,
，使 . ( ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .)
平面向量的坐标表示：
, , ,
在空间中，能得到类似的结论
空间向量基本定理：
1如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
都叫做基向量．
思考
在平面直角坐标系中我们用坐标表示平面向量，那空间向量如何表示呢？
平面向量坐标表示 空间向量坐标表示
三、 知识讲解
1. 空间向量的直角坐标运算
空间向量的直角坐标表示
建立空间直角坐标系 ，分别沿 轴， 轴， 轴的正方向引单位向量 ，
这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 ，
这个基底叫做正交单位基底，单位向量 都叫做坐标向量．
在空间直角坐标系中，已知任一向量 ，
根据空间向量分解定理，
存在唯一实数组 ，使 ，
分别为向量 在 方向上的分向量，
有序实数组 叫做向量 在此直角坐标系中的坐标．
上式可简记为 ．
于是，我们在空间向量集合的元素与三元有序实数组集合的元素之间建立了一一对应的关系，即：
．
空间向量的坐标运算
2平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 ，
设 ，
类比
→
；
推广
；
．
类比
设 ， 设 ，
→
推广
根据向量的减法运算法则，我们还能得到：
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
例题
1. 若向量 ，向量 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量 ，向量 ，
∴
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
33． __________________________________
2. 已知向量 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵向量 ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
3. 已知点 ， 的坐标分别为 ， ，则向量 的相反向量的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
向量 的相反向量为 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 已知 ， ，则 （ ）．
4A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：待定系数法，设 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ．
∴ ∴
即 ．
方法二：
．
【标注】【素养】数学运算
空间向量平行和垂直的坐标表示
平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示
设 ，
设 ， ，
（1） （1）
类比
， ，
→
； ；
推广
（2） （2）
．
．
例题
5. 知 ，则下列向量与 共线的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
5【解析】设 与 共线，由共线的判定知，
当 时， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
6. 已知向量 ， ，若 ，则 ； ，则 ．
【答案】 ;
【解析】若 ，则存在 使 ，
∴ ，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，当 时， ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示；空间向量
的线性运算（非坐标）
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
63． __________________________________
练习
7. 下列每对向量具有垂直关系的是（ ）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】因为 ，所以选C．
【标注】【知识点】空间向量的平行与垂直
8. 已知 ， ，如果 与 为共线向量，则（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】B
【解析】因为 与 为共线向量，所以 ，解得： ， ，故答案选B
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示；平面向量数量积运算（非坐标）
两个向量夹角与模长的坐标计算公式
设 ， ，则
， ．
．
例题
9. 已知 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，所以 ．
7【标注】【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10. 已知空间向量 ， ，那么 ( )．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 已知向量 ， ，那么 ．
【答案】
【解析】∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】空间向量的模长与夹角
82. 直线的方向向量
思考：如何确定空间中点的位置？
【备注】【教师可见】
注意：此部分需要老师给学生讲解演示！！！
确定平面内点的位置，通常采用两个方法 —— “ 平面直角坐标系内的坐标 ” 或 “ 该点
相对于某一已知点的方向及距离 ” . 那么，空间内呢？
在空间，我们也可以用 “ 该点的空间直角坐标系内的坐标 ” 或 “ 在空间中该点相对
于某一已知点的方向及距离 ” 来描述 .
两个词 —— “ 方向 ”、“ 距离 ”，给我们什么启示？
在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合 .
位置向量
已知向量 ，和一个定点 ( 也叫基点 )，作 则点 的位置被唯一确定了，向量 称作点 的
位置向量 .
如果 点 ( 也可以称为基点 ) 给定，我们就可以用不同的位置向量表示空间内的不同的点了.
空间中直线的方向向量
我们知道，在平面内一条直线可以由一个点和一个方向来确定，在空间确定一条直线也是如此 . 也就是
说，在空间经过一个点和一个方向有且只有一条直线 .
给定点 和一个向量 ，则点 和方向 确定直线 .
9向量 称为该直线的方向向量 .
用向量法证明直线与直线平行
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则
或 与 重合
也可写成
或 与 重合
例题
12. 若两不重合直线 和 的方向向量分别为 ， ，则 与 的位置关系
是（ ）．
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
【答案】A
【解析】 ，所以 ．
故选 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
101． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 若两条直线的方向向量分别为 和 ，则两直线所成的角为 ．
【答案】
【解析】由 ，
得两直线所成角为 ．
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题
3. 平面的法向量
平面的法向量概念
概念：已知平面 ，如果向量 的基线与平面 垂直，则 叫做平面 的法向量或说向量 与平面 正交
.
特点：
（1）由平面的法向量的定义可知，平面 的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面 共面的所有
向量 .
（2）由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的 . 模为1的法向
量，叫做单位法向量.记作 ，显然 .
11平面法向量的求解步骤
1．设向量：设平面的法向量为 ；
2．选向量：在平面内选取两不共线向量 、 ；
3．列方程组：由 列出等式；
4．解方程组：解由 得到的方程组；
5．赋非零值：取其中一非零值（常取 ）；
6．得结论：得到平面的一个法向量 .
例题
14. 对“一个平面的法向量”的以下描述中，错误的是（ ）．
A. 一个平面有无数个法向量 B. 平面的所有法向量共线
C. 其单位法向量只有一个 D. 其单位法向量有两个
【答案】C
【解析】A 选项：一个平面有无数个法向量，正确；
B 选项：平面的所有法向量共线，正确；
C 选项：其单位法向量只有一个，不正确；
D 选项：其单位法向量有两个，正确．
故选 C .
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 已知点 ， , ，则平面 的一个法向量为（ ）．
A. B. C. D.
12【答案】B
【解析】设 为平面 的法向量，则
，
即 ，
解得
不妨取 ，则 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16.
已知点 ， ， ，平面 的一个法向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 为平面 的法向量，则
，即 ，
解得： ，
不妨取 ，则
．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
直线与平面垂直的判定定理的向量证明
13由平面法向量的定义可知，平面 的一个法向量垂直于平面共面的所有向量 .
由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行 .
由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理 .
例题
17. 如图所示，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
．
（ 1 ）求证： 平面 ．
【备注】【教师可见】
注意：解答题建系之前需要证明三条轴两两垂直，才能建系。老师需要讲解给学生！！！
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）
取 中点 ，连结 ，过 在平面 上作 ，
∵平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ ，
∴ ，
分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系如图，
则有 ， ，
设 ，
14则有 ，
，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故 平面 ．
（ 2 ）
，设平面 的法向量为 ，
由 ， ，
得 ，
取 ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决异面直线所成角问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18.
15如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形，其中 ，
， ， ， 为棱 上的点，且 ．
（ 1 ）求证： 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）
．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ） 1 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）由（ ）知平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
∵ ， ，
16∴ ，即 ，
不妨设 ，得 ，
∵ ，
∴二面角 的余弦值为 ．
（ 3 ）
设 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
∴ ，
解得 ，即 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题；向量法解决二面角问题；向量法解决空间中
的垂直问题
用法向量证明平面与平面平行
设 ， 分别是平面 的法向量，则有 或 与 重合 .
用法向量证明平面与平面垂直
设 ， 分别是平面 的法向量，则有
17例题
19. 设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则
．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
∴存在实数 使得 ．
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的平行问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
20. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ．
18（ 1 ）证明：平面 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析．
（ 2 ）
．
【解析】（ 1 ）如图，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建系，
设 ，则 ， ， ， ， ， ．
设 ，为平面 的法向量，
则 即 ，而 ，
，则可得 ，则 ，
同理可得平面 的法向量 ， 可得 ，
故平面 平面 ．
（ 2 ）设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，而 ，
，则可得 ，
则 ，同理可得平面 的法向量 ，
则 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决二面角问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
191． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 设 ， 分别是平面 ， 的法向量， ．当 时，
与 的位置关系为 ;当 时， 与 的位置关系为 ．
【答案】 ; 或重合
【解析】 ， 分别是平面 ， 的法向量， ．
当 时， ，
；
当 时， ，
或重合．
故答案为： ； 或重合．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的平行问题
22. 已知：在正方体 中， 、 分别是 、 的中点．求证：平面 平
面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 ．
令 ，
则有 ， ， ， ， ， ．
设 ， 分别是平面 ，平面 的法向量，
20则 ， ，
所以 ，
所以 ，
令 ，得 ．同理可得 ．
所以 ，知 ．
所以平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决二面角问题；直线的方向向量与
平面的法向量
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
23. 请类比平面向量的坐标表示以及相关运算，表示下面空间中向量的运算．
21已知空间中的向量可表示为 ， ，求：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
（ 4 ） ．
（ 5 ） ．
（ 6 ） ．
【答案】（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ 4 ）
（ 5 ）
（ 6 ）
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示
24. 如图，在三棱柱 中， 面 ， ， 为 的中点， 为
的中点， ， ．
（ 1 ）求证 平面 ．
【答案】（ 1 ）证明见解析.
（ 2 ）证明见解析.
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
22则 ， ， ，
， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）
取 的中点 ，则 ，
由（ ）可知 ，即 ，
∵ 不包含平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 3 ）设 ，平面 的法向量 ，
∵ ， ，
∴ ，
取 ，得 ，
又 是平面 的法向量，
∵二面角 的大小是 ，
∴ ， ，
解得 ，
∴在棱 上存在点 ，使得二面角 的大小为 ，此时 ．
【标注】【知识点】直线和平面垂直的判定；线面垂直的证明问题；直线和平面平行的判定；向
量法解决二面角问题
【素养】直观想象
25.
23如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形， ，求
证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】设 ，
以 为原点，分别以 ， 所在直线为 轴， 轴，以过点 垂直于 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ， 可得，
，
即 ，
令 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ， 可得，
，
即 ，
令 ，可得 ．
24因为 ，
所以 ，
所以平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；直线的方向向量与平面的法向量；向量法解
决二面角问题
25
