文档内容
全称量词与存在量词
一、 课堂目标
1．掌握命题的概念．
2．理解全称量词与存在量词的概念．
3．掌握全称量词命题与存在量词命题的否定．
【备注】目标解读：
关联知识：集合、推理与证明．
本讲解读：本讲的重点是命题的概念、全称量词与存在量词的概念，难点是掌握全称量词
命题与存在量词命题的否定．
能力素养：数学运算、逻辑推理．
二、 知识引入
下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？
（1）若直线 ，则直线 和直线 无公共点；
（2）2+4=7；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）若 ，则 ；
（5）两个全等三角形的面积相等；
（6）3能被2整除．
【备注】以上均为陈述句，并且可以判断真假．
(1)(3)(5)正确；(2)(4)（6）错误．
三、 知识讲解
1. 命题
命题的定义
1一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的
语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．
命题的表示
一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如： ， ， ， ．
【备注】【教师可见】
（ ）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问
句、祈使句、感叹句都不是命题．
（ ）一个命题要么是真的，要么是假的，但不能同时既真又假，也不能模棱两可、无法判
断其真假．
（ ）要判断一个命题是真命题，需进行论证，而要判断一个命题是假命题，只需举出一个
反例即可．
（ ）在数学或其他科学技术中，还有一类陈述句也经常出现，如：“每一个不小于 的偶数
都是两个奇素数之和（哥德巴赫猜想）”“在2020年前，将有人登上火星”等，虽然目前还不
能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假，
人们把这一类猜想仍算为命题．
例题
1. “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这 句
诗中，哪句可作为命题（ ）．
A. 红豆生南国 B. 春来发几枝 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思
【答案】A
【解析】因为命题是能判断真假的语句，它必须是陈述句，所以首先我们要凭借语文知识判断这
句诗哪句是陈述句，然后再看能否判定其真假．“红豆生南国”是陈述，意思是“红豆生长在中国南
方”，这在唐代是事实，故本语句是命题；“春来发几枝”中的“几”是概数，无法判断其真假，故不
是命题；“愿君多采撷”是祈使句，所以不是命题；“此物最相思”是感叹句，故不是命题．
故选 ．
【标注】【知识点】命题的判断
【素养】逻辑推理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
22． __________________________________
3． __________________________________
2. 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
（ ）一个数不是合数就是质数．
（ ）大角所对的边大于小角所对的边．
（ ）若 是有理数，则 ， 也都是有理数．
（ ）求证 ，方程 无实根．
【答案】（ ）是假命题
（ ）是假命题
（ ）是假命题
（ ）不是命题
【解析】（ ）是假命题， 既不是合数，也不是质数．
（ ）是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中．
（ ）是假命题，如 ， 都是无理数，但 是有理数．
（ ）不是命题．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】命题的真假判断；命题的判断
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 下列语句不是命题的有（ ）．
① ；②与一条直线相交的两直线平行吗？③ ；④ ．
A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
【答案】C
【解析】① ，无法判断真假，故①不是命题；
3②由命题的概念知，命题不能是疑问句，故②不是命题；
③ ，这个语句不成立，因为这个语句能判断真假，故③是命题；
④ ，无法判断真假，故④不是命题．
故选 ．
【标注】【知识点】命题的判断
4. 判断下列命题的真假．
（ 1 ）两个无理数的乘积一定是无理数．
（ 3 ）若 ，则方程 无实数根．
（ 4 ）已知 ， ， ， ，若 且 ，则 ．
【答案】（ 1 ）假命题．
（ 2 ）真命题．
（ 3 ）真命题．
（ 4 ）假命题．
（ 5 ）真命题．
【解析】（ 1 ）假命题，反例： ．
（ 2 ）略．
（ 3 ）真命题，因为 时， ，方程无实根．
（ 4 ）假命题，如 ， ， ， ，即为反例．
（ 5 ）略．
【标注】【知识点】针对不等式变形判断正误；命题的真假判断
2. 量词
全称量词与全称量词命题
全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，用符号“ ”表示．
全称量词命题：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
全称量词命题的符号记法：将含有变量的语句用 ， ， ， ⋯表示，变量 的取值范围用 表
示．
4那么，全称量词命题“对 中任意一个 ，有 成立．”可用符号简记为： ， ，读作“对任意
属于 ，有 成立”
【备注】【教师可见】
（1）全称量词命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题．也可称为特称命题．
（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等等．
（3）一个全称量词命题可以包含多个变量．如 ， ， ．
（4）在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略．例如，棱柱是多面体，它指的是
“所有的棱柱都是多面体”．
在判断某命题是否为全称量词命题时要特别注意．
例题
5. 下列命题中为全称命题的是（ ）．
A. 有些实数没有倒数 B. 矩形都有外接圆
C. 存在一个实数与它的相反数的和为 D. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行
【答案】B
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 下列命题不是全称量词命题的是（ ）．
A. 所有自然数的平方是正数 B. 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等
C. 对任意实数 ，存在实数 ，使 D. 有些质数是奇数
【答案】D
【解析】 中命题可改写为：任意的自然数的平方都是正数，故 是全称量词命题；
中命题可改写为：任意的正方形的四条边都相等，故 是全称量词命题；
中命题可改写为：任意的 ，存在实数 ，使 ，故 是全称量词命题；
5中命题可改写为：存在质数是奇数，故 是存在量词命题不是全称量词命题．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
7. 下列命题是全称量词命题的是（ ）．
A. 存在 ，使 B. 所有 的倍数都是偶数
C. 有一个实数 ，使 D. 有的三角形是等边三角形
【答案】B
【解析】对于 ， ， 中，分别含有特称量词”有一个”，”有的”，”存在”，
故 ， ， 都是特称量词命题；
对于 ，含有全称量词”所有”，故 是全称量词命题．
故选： ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
存在量词与存在量词命题
存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
存在量词命题：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
存在量词命题的符号记法：存在量词命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为 ，
，读作“存在一个 属于 ，使 成立”．
例题
8. 下列命题为存在性命题的是（ ）
A. 偶函数的图象关于 轴对称 B. 正四棱柱都是平行六面体
C. 不相交的两条直线是平行直线 D. 存在大于等于 的实数
【答案】D
【解析】含有存在量词的命题叫做存在性命题，故“存在实数大于等于 ”是存在性命题
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
6思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 下列命题中是存在量词命题的是（ ）．
A. ， B. ，
C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等
【答案】B
【解析】 含有全称量词 ，为全称量词命题；
含有特称命题 ，为存在量词命题，满足条件；
隐含有全称量词所有，为全称量词命题；
隐含有全称量词所有，为全称量词命题．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
10. 下列语句是特称量词命题的是（ ）．
A. 整数 是 和 的倍数 B. 存在整数 ，使 能被 整除
C. 若 ，则 D. ，
【答案】B
【解析】对于 ，不能判断真假，不是命题；
对于 ，是若 则 式命题；
对于 ，是全称量词命题；
对于 ，命题：存在整数 ，使 能被 整除，含有特称量词“存在”．
故 是特称量词命题．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
例题
711. 用符号“ ”，“ ”表达下列命题：
（ 1 ）实数的平方大于等于 ；
（ 2 ）存在一个实数 ，使 ；
（ 3 ）存在一对实数对，使 成立．
【答案】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ，使 ．
（ 3 ） ， ， ，使 成立．
【解析】（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ，使 ．
（ 3 ） ， ， ，使 成立．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（ 1 ）任意实数 都有， ；
（ 2 ）存在实数 ， ．
【答案】（ 1 ） ， ；假命题；
（ 2 ） ， ；假命题．
【解析】（ 1 ） ， ；假命题；
（ 2 ） ， ；假命题．
【标注】【知识点】定轴定区间求值域；全称量词与存在量词
例题
813. 命题“ ， ”是 命题．（选填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】当 时，
∴命题“ ， ”是真命题．
故答案为：“真”．
【标注】【知识点】命题的真假判断
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
14. 用量词符号“ ， ”表示下列命题，并判断下列命题的真假．
（ 1 ）存在一对实数 ， ，使 成立；
（ 2 ）有理数 的平方仍为有理数；
（ 3 ）实数的平方大于 ．
【答案】（ 1 ） , ， ；真命题；
（ 2 ） ， ；真命题；
（ 3 ） ， ；假命题．
【解析】（ 1 ）暂无
（ 2 ）暂无
（ 3 ）暂无
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；实数指数幂运算；针对不等式变形判断正误
3. 全称量词命题与存在量词命题的否定
命题的否定
9对命题 加以否定，得到一个新的命题，记作 ，读作“非 ”或“ 的否定”．
如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．
【备注】逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”
等抽象而来．
可以用“非”来定义集合 在全集 中的补集： ．
全称量词命题的否定
全称量词命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题 , ，
它的否定 ， ．
全称量词命题的否定是存在量词命题．
【备注】【教师可见】
对上述法则，我们可以这样理解：要否定全称量词命题“ ， ”，只需在 中找到一
个 ，使得 不成立．亦即“ ， ”成立．
例题
15. 全称命题“所有被 整除的整数都是奇数”的否定是（ ）
A. 所有被 整除的整数都不是奇数 B. 所有奇数都不能被 整除
C. 存在一个被 整除的整数不是奇数 D. 存在一个奇数，不能被 整除
【答案】C
【解析】对“所有”的否定是“存在一个”．因此，“所有被 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一
个被 整除的整数不是奇数”，选C．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
16. 全称命题“ ， 有一个正因数”的否定是 ．
10【答案】 ， 没有正因数．
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以全称命题“ ， 有一个正因数”的否定是：
， 没有正因数．
故答案为： ， 没有正因数．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 命题“ ， ”的否定是 ．
【答案】 ， ．
【解析】命题“ ， ”的否定是 ， ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；全称量词与存在量词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18. 命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）．
A. 对任意 ，都有 B. 不存在 ，都有
C. 存在 ，使得 D. 存在 ，使得
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，
11所以命题“对任意 ，都有 ”的否定为“存在 ，使得 ”．
故选 ．
【标注】【知识点】逻辑联结词；全称量词与存在量词
19. 已知：命题 ， ，则命题 是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】命题 ， ，
则命题 是： ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；逻辑联结词
存在量词命题的否定
存在量词命题的否定：一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：
存在量词命题 ， ，
它的否定 ， ．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
【备注】【教师可见】
对上述法则，我们可以这样理解：要否定存在量词命题“ ， ”，需要验证对 中
的每一个 ，均有 不成立．也就是命题“ ， ”成立．
例题
20. 命题“存在实数 ，使 ”的否定是（ ）．
A. 对任意实数 ，都有 B. 不存在实数 ，使
C. 对任意实数 ，都有 D. 存在实数 ，使
【答案】C
【解析】对结论进行否定的同时对量词进行相应改变，原命题的否定应为：对任意实数 ，都有
．
故选 ．
12【标注】【知识点】全称量词与存在量词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
21. 若命题“ ， ”的否定是（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】在否定含有全称两次和存在量词的命题时，全称量词和存在量词互相转换，
同时否定结论．
故命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；逻辑联结词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
22. 命题“ ， ”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】特称命题的否定是全称命题，所以，命题“ ， ”的否定是 ，
．
故选： ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定
13思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 命题“存在实数 ，使 ”的否定是（ ）．
A. 对任意实数 ，都有 B. 对任意实数 ，都有
C. 不存在实数 ，使 D. 存在实数 ，使
【答案】B
【解析】“存在实数 ，使 ”的否定满足前不否后否，
则其否定为“对任意实数 ，都有 ”．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；全称量词命题与存在量词命题的否定
24. 设命题 , ,则 为（ ）．
A. , B. , C. , D. ,
【答案】C
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知 ： ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
例题
25. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
（ ） ： ， 不是 的根；
（ ） ：有些质数是奇数；
（ ） ： ， ；
14【答案】（ ） ： ， 是 的根，真命题．
（ ） ：每一个质数都不奇数，假命题．
（ ） ： ， ，假命题．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；命题的真假判断；全称量词与存在量
词
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
26. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
（ 1 ） ， ．
（ 2 ） ， ．
【答案】（ 1 ）真， ， ．
（ 2 ）假， ， ．
（ 3 ）真，任意一个偶数都不是素数．
（ 4 ）假，存在实数的绝对值不是正数．
（ 5 ）假，存在面积相等的两个三角形不是全等三角形．
（ 6 ）假，有些奇数不是质数．
（ 7 ）真， 不是 的倍数且不是 的倍数
（ 8 ）真， 不是质数或 不是偶数．
【解析】（ 1 ）真， ， ．
（ 2 ）假， ， ．
（ 3 ）真，任意一个偶数都不是素数．
（ 4 ）假，存在实数的绝对值不是正数．
（ 5 ）假，存在面积相等的两个三角形不是全等三角形．
（ 6 ）假，有些奇数不是质数．
（ 7 ）真， 不是 的倍数且不是 的倍数
15（ 8 ）真， 不是质数或 不是偶数．
【标注】【知识点】命题的真假判断
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
27. 下列四个命题中，其中为真命题的是（ ）．
A. ， B. ， C. ，使 D. ，
【答案】C
【解析】A 选项： ， 恒成立，故 错误；
B 选项： ， 恒成立，故 错误；
C 选项： ，使 成立，故 正确；
D 选项：∵ ，解得 ， ， ，故 错误；
故选 C .
【标注】【知识点】全称量词与存在量词；命题的概念
1628. 命题“ ， ”的否定是 ．
【答案】 ，
【解析】“ ， ”的否定是：
， ．
故答案为 ， ．
【标注】【知识点】全称量词与存在量词
29. 已知命题 ： ， ，写出命题 的否定： ．
【答案】 ，
【解析】∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，
∴命题 ： ， ，的否定是： ， ．
故答案为： ， ．
【标注】【知识点】全称量词命题与存在量词命题的否定；全称量词与存在量词
17
