文档内容
基本不等式
一、 课堂目标
1．理解均值不等式的推导过程和含义．
2．能够利用均值不等式解决简单的求解最值问题．
【备注】关联知识：不等式的性质．
本讲解读：本讲重点是掌握均值不等式的含义及三个使用前提；难点是凑配均值不等式以
及利用均值不等式进行证明．
能力素养：主要培养逻辑推理、数学运算能力．
二、 知识引入
如图，在正方形 中有 个全等的直角三角形，设直角三角形两条直角边的长分别为 ，则正方
形的边长为 ．
四个直角三角形的面积和为
正方形的面积为
则有 ，即
当 时，正好 ，即 ．
这个例子跟我们今天学习的内容有直接关系，一起来学习吧．
三、 知识讲解
11. 均值不等式的推导
对于给定的两个正数 ，我们把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均
数．
对于正数 来说，算术平均数是 ，几何平均数是 ，此时算术平均数大于几何平均数；
对于正数 来说，算术平均数是 ，几何平均数是 ，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成
立．
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）．
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式．
2. 均值不等式的总结
【备注】将下面所有题目中的函数二字去掉，对f(x)这个符号简单说一下等同于y
（1）对于任意实数 ，有 ，当且仅当 时，等号成立．
（2）如果 是正数，那么 ，当且仅当 时，有等号成立．此结论又称均值不等式或
基本不等式．
关于均值不等式的几点说明：
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，
再运用均值不等式；
“二定”：求和 的最小值时，看积 是否为定值；求积 的最大值时，看和 是否是定值．
“三相等”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值．否则不能通
过均值不等式求最值．
例题
1. 不等式 成立的条件是（ ）．
A. ， B. 、 非负 C. D.
【答案】D
2【解析】因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以选D．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若 ，则代数式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，
当且仅当， ，即 时取等．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值 ，
3故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
例题
4. 已知函数 ， ，则 取最小值时对应的 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
故 ．
故选 选项．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 已知函数 （ ），那么当 取得最小值时， 值是 ．
【答案】
【解析】函数 （ ），
可得 ，当且仅当 时，取等号．
故答案为： ．
4【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念；基本不等式成立的条件
例题
6. 如果 ，那么 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由均值定理， ，故选D．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】
∵ ，∴ ，当 ，
即 时，可取到等号．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
例题
8. 已知 ， ，且 ，那么 的最大值是 ．
【答案】
【解析】
5由已知条件并结合基本不等式可得 ，当且仅当 时取等号，所以
的最大值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】
，
当且仅当 时，等号取得．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
10. 已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，且 ，
则 ．
则 ，
当且仅当 ，即 ， 时， 取得最大值 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
6例题
11. 设 ，那么 有（ ）．
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
【答案】A
【解析】 ，
∵ ，
∴ ，即 的最大值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 求 的最大值．
【答案】 ．
【解析】∵ ，
∴ ，
∴ ，
．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
13. 当 时， 的最大值为 ．
【答案】
7【解析】∵ ，
∴ ，
，
，
∴ 的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
3. 均值不等式的常见形式----倒数和形式
形如 （给定定义域）的形式，
【方法】：
其中第二步配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值，其和有最小值”的指导
下产生的（仍然要注意检验能否取等，即方程 的实数解是否在给定定义域内）．
例题
14. 已知 ，函数 的最小值是 ．
【答案】
【解析】因为 ， 所以 ，当
时，等号成立， 故最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 若 ，则 的最小值是 ．
8【答案】
【解析】 时， ，
，
当且仅当 时，“ ”成立，
取得最小值 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；利用基本不等式求最值
16. 已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 ，
又 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
例题
17. 函数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
由均值不等式可知， ，
当且仅当 时取等号， ．
故选： ．
9【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18.
已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，则 ，
当且仅当 时取等号．
故答案为 ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件；基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
19. 函数 的最大值为 ，此时 的值为 .
【答案】 ;
【解析】 ， ,
当且仅当 时， 取得最大值， ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
例题
20. 已知： ， ， ，求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ ， ， ，
10∴ ，即 ，
同理： ， ，
三个同向不等式相加得 ，
∴ ．
【标注】【知识点】利用基本不等式证明其它不等式；基本不等式的实际应用
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】 ，同理可得其他，再相加即可．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
22.
已知 、 是正实数，求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】∵ 、 是正实数，
∴ ， （当且仅当 时，取“ ”号），
两式相加得 ，
即 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式证明其它不等式
11四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
23. 已知 ,则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
∵ ，∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号
所以 的最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
24. 当且仅当 时，函数 取得最小值．
【答案】
【解析】
，
当且仅当 ，即 时．
12等号成立．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
25. 已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
则 的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
26. 若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
则 ，
当且仅当 时取等号．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
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