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基本不等式
一、 基本不等式的概念
1. 基本不等式
如果 ， ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
其中 ，叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数.
2. 均值不等式
对于任意实数 ， ，当且仅当 时，等号成立．
“ ”：不等式中的各项必须都是 ，在 时不能运用均值不等式，在同负时可以先
进行转化，再运用均值不等式；
“ ”：求积 最大值时，应看 是否是定值；求和 最小值时，看 是
否为定值；
“ ”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值．否则
不能通过均值不等式求最值．
经典例题
1. 下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
2. 若正实数 ， 满足 ，则（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D.
有最小值
3. 不等式链
若 ， ，则 .当且仅当 时，等号成立.其中
1和 分别叫做 ， 的调和平均数和平方平均数.
经典例题
3. 若 ， ，且 则（ ）．
A. B.
C. D.
巩固练习
4. 已知 ， ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系（ ）．
A. B. C. D.
5. 在平面直角坐标系 中， 、 是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点
）于 、 两点．若 、 两点的纵坐标分别为正数 、 ，且 ，则 的最大值为
（ ）．
A. B. C. D. 不存在
4. 知识总结
1.基本不等式： 如果 ， ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
2.均值不等式：对于任意实数 ， ，当且仅当 时，等号成立．常用口诀：
.
3.不等式链：若 ， ，则
二、 基本不等式的应用
基本不等式常用于判断有条件的不等关系、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特
征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决
问题.
1. 常规配凑法
经典例题
26. 已知 ，则函数 的最大值是 ．
7. 已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
8. 已知 ， 都是非负实数，且 ，则 的最小值为 ．
9. 若关于 的不等式 对于一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） ．
A. B. C. D.
2. 常数代换法
经典例题
10. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
11. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
12. （多选）已知 ， ，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
巩固练习
13. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
14. 若 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
15. （多选）已知实数 ， ， ，则下列说法中，正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D. 存在 ， ，使得直线 与圆 相切
3. 换元法
经典例题
16. 已知 ， ，且满足 ，则 的取值范围是 ．
3巩固练习
17. 若实数 满足 ，则 的最大值是 ．
18. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
4. 消元法
经典例题
19. 若 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
巩固练习
20. （多选）已知实数 ， 满足 （ )，下列结论中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 和、积、平方三量减元
经典例题
21. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
巩固练习
22. 已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
23. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
6. 其他背景相关
24. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 的面积为 ，若 ，则
的最大值为 ．
25. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
则 的最小值为 ．
26.
已知 ， ， ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则 的最小值是（
）．
A. B. C. D.
47. 知识总结
常见不等式的解决方法：
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
出门测
27. 已知 ， ，且 ，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
28. 若 ，且 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
29. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
30. 函数 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
31. 已知 ， 为正数， ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
32. 已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
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