文档内容
基本不等式
一、 课堂目标
1．理解均值不等式的推导过程和含义．
2．能够利用均值不等式解决简单的求解最值问题．
二、 知识引入
如图，在正方形 中有 个全等的直角三角形，设直角三角形两条直角边的长分别为 ，则正方
形的边长为 ．
四个直角三角形的面积和为
正方形的面积为
则有 ，即
当 时，正好 ，即 ．
这个例子跟我们今天学习的内容有直接关系，一起来学习吧．
三、 知识讲解
1. 均值不等式的推导
对于给定的两个正数 ，我们把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均
数．
对于正数 来说，算术平均数是 ，几何平均数是 ，此时算术平均数大于几何平均数；
1对于正数 来说，算术平均数是 ，几何平均数是 ，此时算术平均数仍然大于几何平均数；
上面两例的结果是巧合还是必然呢？我们从一般角度来研究一下：
设 ，
，当且仅当 ，即 时，等号成
立．
我们将上面的结论称为均值不等式（均值定理）．
均值不等式的语言表述为：
两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
这个不等式在证明不等式，求函数最值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式．
2. 均值不等式的总结
（1）对于任意实数 ，有 ，当且仅当 时，等号成立．
（2）如果 是正数，那么 ，当且仅当 时，有等号成立．此结论又称均值不等式或
基本不等式．
关于均值不等式的几点说明：
“一正”：不等式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，
再运用均值不等式；
“二定”：求和 的最小值时，看积 是否为定值；求积 的最大值时，看和 是否是定值．
“三相等”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值．否则不能通
过均值不等式求最值．
例题
1. 不等式 成立的条件是（ ）．
A. ， B. 、 非负 C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若 ，则代数式 的最小值为 ．
思路梳理
2本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 已知 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
例题
4. 已知函数 ， ，则 取最小值时对应的 的值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 已知函数 （ ），那么当 取得最小值时， 值是 ．
例题
6. 如果 ，那么 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 若 ，则 的最小值是 ．
3例题
8. 已知 ， ，且 ，那么 的最大值是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
10. 已知 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
例题
11. 设 ，那么 有（ ）．
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 求 的最大值．
13. 当 时， 的最大值为 ．
3. 均值不等式的常见形式----倒数和形式
形如 （给定定义域）的形式，
【方法】：
其中第二步配凑是关键，这一步配凑是在均值定理中“两个正数的乘积为定值，其和有最小值”的指导
下产生的（仍然要注意检验能否取等，即方程 的实数解是否在给定定义域内）．
4例题
14. 已知 ，函数 的最小值是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 若 ，则 的最小值是 ．
16. 已知 ，则 的最小值是 ．
例题
17. 函数 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18.
已知 ，则 的最小值为 ．
19. 函数 的最大值为 ，此时 的值为 .
例题
20. 已知： ， ， ，求证： ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
52． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 求证： ．
22. 已知 、 是正实数，求证： ．
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
23. 已知 ,则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
24. 当且仅当 时，函数 取得最小值．
25. 已知 ，则 的最小值为 ．
26. 若 ，则 的最大值为 ．
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