文档内容
基本不等式
学习目标
1.理解基本不等式的概念，掌握基本不等式的证明过程与结论；
2.掌握并理解基本不等式中的重要不等式链；
3.掌握并理解常见基本不等式的解法，能够正确分析并使用常数代换法、换元法、消元法等。
考试数据
知识模块 考点 新高考卷 模考频次（频率）
基本不等式 18
常见不等式的解法 18
不等式 山东&海南2020-11
不等式的性质 10
证明不等式的基本方法 5
注：模考数据来自于2021年搜集自济南、南京、苏州、广州、深圳、重庆、武汉七所分校的35套优质
试卷.
高频考点
1.基本不等式的常见解法，如常数代换法、换元法等；
2.基本不等式与其他知识点综合。
难点
1.基本不等式的证明，需要运用数形结合的思想；
2.基本不等式链的证明与应用。
易错点
1.在运用方法时，要注意“1”的整体代换及几个“=”必须保证同时成立；
2.证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式。
一、 基本不等式的概念
11. 基本不等式
如果 ， ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
其中 ，叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数.
2. 均值不等式
对于任意实数 ， ，当且仅当 时，等号成立．
“ 一正”：不等式中的各项必须都是 正数，在 异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进
行转化，再运用均值不等式；
“ 二定”：求积 最大值时，应看 和 是否是定值；求和 最小值时，看 是否
为定值；
“ 三相等”：只有具备了均值不等式中等号成立的条件，才能使代数式取到最大或最小值．否则不
能通过均值不等式求最值．
经典例题
1. 下列不等式一定成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调基本不等式的应用．
（2）本题关键的解题步骤： 中可以直接用赋值法； 中需要注意 的范围； 中注意
结合对数函数性质，可以拓展到底数的另一种情况； 中结合绝对值不等式分析解决．
（3）本题的易错点：分类讨论有所重漏，对数成立的条件考虑不完整，计算错误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：三角函数的值域，对数函数性质．
【答案】D
【解析】① ，当 时， ，∴ 不恒成立；
② ，当 ， 时， ，∴
不恒成立；
③∵ ，∴当 时， ， ，∴
不恒成立；
④当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立．
2【标注】【知识点】基本不等式的概念
巩固练习
2. 若正实数 ， 满足 ，则（ ）．
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最大值 D.
有最小值
【答案】C
【解析】∵正实数 ， 满足 ．
∴ ，
故 有最小值 ，故 不正确．
由基本不等式可得 ．
∴ ，故 有最大值 ，故 不正确．
由于 ．
∴ ，故 有最大值为 ，故 正确．
∵ ，
故 有最小值 ，故 不正确．
故选： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
3. 不等式链
若 ， ，则 .当且仅当 时，等号成立.其中
和 分别叫做 ， 的调和平均数和平方平均数.
【备注】 温馨提示
上述不等式链内涵丰富，在实际的运用中相对于基本不等式更为广泛，但它们都是在
基本不等式的基础上拓展而来的，也都可以由基本不等式(重要不等式)加以证明.一般来
说，以下四组不等式可以作为基本不等式(重要不等式)的应用形态：
① ， ；
② ， ；
3③ ；
④ ， .
经典例题
3. 若 ， ，且 则（ ）．
A. B.
C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：强调基本不等式链的应用．
（2）本题关键的解题步骤：不等式链的证明过程需要记牢，可以运用均值不等式．
（3）本题的易错点：均值不等式的运用失误．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意题目给出的条件， 与 不能相等，继而可以拓
展到可以相等的情况．
【答案】B
【解析】∵ ， ，且 ，
∴ ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】二元不等式链的应用
巩固练习
4. 已知 ， ， ， ， ，则 ， ， 的大小关系（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
又∵ ，
故选 ．
4【标注】【知识点】比较法；利用基本不等式证明其它不等式；基本不等式的实际应用
5. 在平面直角坐标系 中， 、 是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点
）于 、 两点．若 、 两点的纵坐标分别为正数 、 ，且 ，则 的最大值为
（ ）．
A. B. C. D. 不存在
【答案】B
【解析】角 和角 一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设 在第一象限，则 在第二象限，
根据题意可得 ， ，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
平方可得， ，当且仅当 时，取等号，
∴ ，当且仅当 时，取等号，
故当 时， 取得最大值为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】计算任意角的三角函数值；和差角公式化简求值综合运用；利用基本不等式
求最值
4. 知识总结
1.基本不等式： 如果 ， ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
2.均值不等式：对于任意实数 ， ，当且仅当 时，等号成立．常用口诀：一
正，二定，三相等.
3.不等式链：若 ， ，则
二、 基本不等式的应用
基本不等式常用于判断有条件的不等关系、比较代数式的大小等.一般地，结合所给代数式的特
5征，将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化)，使其中的不等关系明晰即可解决
问题.
1. 常规配凑法
经典例题
6. 已知 ，则函数 的最大值是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，配凑法．
（2）本题关键的解题步骤：把 的范围与分母 的范围结合起来计算，确定本题具体
范围，再运用基本不等式．
（3）本题的易错点：分母不能为 ．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，保证基本不等式正确使用．
【答案】
【解析】已知 ，则 ， ，
∴
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最大值是 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
7. 已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，配凑法．
（2）本题关键的解题步骤：首先根据分母配凑基本不等式的形式，并且正确使用不等式公
式，最后结合参数进行解决．
（3）本题的易错点：分母不能为 ，题目条件规定的范围．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：恒成立问题的转换讨论；注意“一正”的概念，保证基
本不等式正确使用．
【答案】A
【解析】不等式 化为：
6．
∵ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号．
∵不等式 对一切 恒成立，
∴ ，
计算得出 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
巩固练习
8. 已知 ， 都是非负实数，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ， 都是非负实数，且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
当且仅当 ， 时取等号，
则 ．
【标注】【知识点】二元不等式链的应用；基本不等式的实际应用
9. 若关于 的不等式 对于一切 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对 ，都有 成立．
而 （当且仅当 时
取等号）．
7故 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
2. 常数代换法
经典例题
10. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，常数代换法，也叫做
的代换．
（2）本题关键的解题步骤：由于原式子等于 ，可以直接与所求式子相乘，从而让式子变
成齐次式，方便使用均值定理．
（3）本题的易错点：分母不能为 ，注意开根．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，保证基本不等式正确使用．
【答案】
【解析】∵ ， ，且 ，
∴
，
当且仅当 且 ，即 时取等号．
因此 的最小值为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；倒数和形式；利用基本不等式求最值
11. 已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，常数代换法，也叫做
的代换．
（2）本题关键的解题步骤：先根据所求式子把等式配凑好，再把式子化为等于 的等式，
再直接与所求式子相乘，从而让式子变成齐次式，方便使用均值定理．
8（3）本题的易错点：配凑形式与所求的分母不平，注意开根．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，保证基本不等式正确使用．
【答案】
【解析】正数 ， 满足 ，
即有 ，
则
，
当且仅当 时，取得最小值 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
12. （多选）已知 ， ，且 ，则（ ）．
A. B. C. D.
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，常数代换法，也叫做
的代换．
（2）本题关键的解题步骤：由于原式子等于 ，可以直接与所求式子相乘，从而让式子变
成齐次式，方便使用均值定理； 中需要注意合理运用指数不等式； 中需要注意合理运
用对数不等式．
（3）本题的易错点：分母不能为 ，对数成立条件，注意开根．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，等号成立条件，保证基本不等式
正确使用．
【答案】ACD
【解析】 选项：∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 且 ，即 ， 时等号成立，故 正确；
选项：∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立，故 错误；
9选项：∵ ， ，
∴ ，
当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立，故 正确；
选项：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，故 正确．
故选 、 、D。
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
巩固练习
13. 若正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ， ， ，可得 ，
所以
．
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
此时 取得最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
14. 若 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在等式 两边同时除以 ，得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
所以， 的最小值为 ．
10故选： ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值
15. （多选）已知实数 ， ， ，则下列说法中，正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D. 存在 ， ，使得直线 与圆 相切
【备注】注意：在 中，注意结合直线与圆的知识分析解决，点到直线的距离公式，可以顺带延申
复习。
【答案】BC
【解析】 选项：当 ， 时， ，
故 错误；
选项：由 知 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 正确；
选项： ，
令 ， ，
因为 ，
故 关于 对称，
故只需研究 的情况即可．
．
令 ，
则 ．
易知 在 上单调递减．
因为 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且 时， ， 单调递增，
11时， ， 单调递减，
因为 时， ，
且 ，故 ， ，
所以当 时， ， 单调递增，
所以 ，
故 正确；
选项：由 代入直线方程得 ，
直线过定点 ，
∵ ，
则定点在圆内，
故不存在 ， ，使直线与圆相切．
故 错误．
故选 、C。
【标注】【知识点】对数的运算；圆的切线的相关问题；利用基本不等式求最值
3. 换元法
经典例题
16. 已知 ， ，且满足 ，则 的取值范围是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，换元法．
（2）本题关键的解题步骤：根据所求式子进行整体换元，数形结合，把方程问题转换为函
数与 轴有交点问题，也可以转换为方程有解问题，再根据判别式求出范围．
（3）本题的易错点：注意新元范围．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：此题主要使用韩式值域的知识，为均值不等式的实
际应用．
【答案】 ，
【解析】令 ，则
∴
即： （ ）
则关于 的一元二次方程（ ）有解，
∴ ，
12∴ ， ，
即 的取值范围为 ， ．
【标注】【知识点】用换元法求值域；利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
巩固练习
17. 若实数 满足 ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
18. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】令 ， ，则由已知得 ， ，且 ．
，
当且仅当 ， 时等号成立，此时 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】已知等式关系求最值
4. 消元法
经典例题
1319. 若 ， ，且 ，则 的最大值为 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，消元法．
（2）本题关键的解题步骤：法一直接使用基本不等式，构造成所求式子整体；法二是运
用的消元法，把 换成 的形式，带入所求式子中．
（3）本题的易错点：分母不能为 ，注意开平根．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，保证基本不等式正确使用．
【答案】
【解析】方法一：∵ ，
∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
∴ ，即 ，
故答案为 ．
方法二：由题意得 ，
，
由二次函数的性质得 ．
故答案为 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】定轴定区间求值域；已知等式关系求最值
巩固练习
20. （多选）已知实数 ， 满足 （ )，下列结论中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】 选项：实数 ， 满足 （ ），
，当且仅当 时取等号．
故 选项正确．
14选项：
，当且仅当 取等号．
故 选项不正确．
选项：∵ ，∴ （ ， ），
．
故 选项不正确．
选项： ， 令 ，（ ）， ，
可得 时，函数 （ ）取得极小值，即最小值．
，
∴ ，即 ．
故 选项正确．
故选 、D。
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
5. 和、积、平方三量减元
经典例题
21. 若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
【备注】（1）选本题的目的和作用的说明：巩固基本不等式的常用方法，和、积三量减元．
（2）本题关键的解题步骤：首先使用基本不等式，再进行整体换元，需要注意新元的范
围；法一法二的方法相同，只是换元的情况不同，建议把根号整体换元．
（3）本题的易错点：容易一开始去使用常数代换．
（4）本题需要注意的地方以及难点.：注意“一正”的概念，等号成立的条件，保证基本不等
式正确使用．
【答案】
【解析】方法一：由条件利用基本不等式可得 ，
令 ，即 ，可得 ，
15即得到 可解得 ， ，
又注意到 ，故解为 ，
所以 ．
故答案应为： ．
方法二：已知 ，即 ，令 ，即
，
解得 ，当且仅当 ， ，即 ， 时取到最小值．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
巩固练习
22. 已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：
，整理得
，
即 ，又 ，∴ ．
故选 ．
方法二：
对 两边加 分解因式得
，
∴ ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故选 ．
方法三：
依题意，得 ，
当且仅当 ，
即 时，等号成立，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ 的最小值是 ．
故选 ．
16【标注】【知识点】基本不等式的概念
23. 若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
即 ，
，
∴ ，
当且仅当 ，即 时取到最大值， ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
6. 其他背景相关
24. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 的面积为 ，若 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】
由 ，可得： ，
，
，
当且仅当 时取等号，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【标注】
17【知识点】正余弦定理综合求解边角；余弦定理；三角形面积公式；利用基本不等式求最值；基本
不等式的实际应用
25. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
又∵ ，
∴ ，
由正弦定理得， ．
由余弦定理得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】和差角公式化简求值综合运用；两角和与差的正弦；余弦定理；利用基本不
等式求最值；基本不等式成立的条件
26.
已知 ， ， ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，则 的最小值是（
）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵ ， ， ， 成等差数列， ， ， ， 成等比数列，
根据等差数列和等比数列的性质可知：
， ，
18∴ ．
当且仅当 时取“ ”．
故选 ．
【标注】【知识点】等比中项；等差中项；利用基本不等式求最值
【素养】逻辑推理；数学运算
7. 知识总结
常见不等式的解决方法：
导图总结
你学会了吗？画出导图总结本节课所学吧！
【备注】
出门测
（1）出门测目的是检测学生本讲学习效果；
（2）时间控制在15分钟以内．
27. 已知 ， ，且 ，则 的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ， ，且 ，
19∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
此时， 的最大值是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
28. 若 ，且 ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
29. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ．
．
令 ，
当且仅当 ， 时取等号．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
30. 函数 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
20【解析】 ，
，
当且仅当 时，等号成立．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
31. 已知 ， 为正数， ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
32. 已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
，
，
当且仅当 即 等号成立，
此时 ， 可以取到最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
2122
