文档内容
空间向量
一、 课堂目标
1．掌握空间直角坐标系的画法以及空间点的坐标的找法．
2．理解空间向量的概念并掌握其表示方法．
3．能够在具体图形中完成空间向量的线性运算并正确使用运算律．
【备注】目标解读：
关联知识：平面向量、立体几何．
本讲解读：本讲的重点是空间向量的线性运算，坐标表示以及数量积；难点是空间向量的
基本定理．
能力素养：数学运算、直观想象．
二、 知识引入
情境引入
如何确定空中飞行的飞机的位置？
怎样确切的表示室内灯泡的位置？
1问题引入
数轴上的点 ，用代数的方法怎样表示呢？
数轴上的点 ，可用与它对应的实数 表示．
平面直角坐标平面上的点 ，怎样表示呢？
平面直角坐标平面上的点 ，可用一对有序实数 表示．
数轴上的点
数轴上的点可用用唯一的一个实数 表示．
2平面直角坐标系中的点
平面中的点可以用有序实数对 来表示．
知识探究
数轴上的点 的坐标用一个实数 表示，它是一维坐标 ；
平面上的点 的坐标用一对有序实数 表示，它是二维坐标 ．
猜想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？
平面直角坐标系是由两条相互垂直的数轴组成，请大家想一想：怎样建立一个空间直角坐标系？空间直
角坐标系由几条数轴组成呢？其相对位置关系如何？
【备注】【教师可见】
三条交于一点且两两互相垂直的数轴．
三、 知识讲解
1. 空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立
① 在空间取定一点 (原点)；
② 从 出发引三条两两垂直的直线(坐标轴)；
3③ 选定某个长度作为单位长度．
作图时一般使 ， ．
为坐标原点，
轴， 轴， 轴叫坐标轴，
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面.
分别为 平面 、 平面 、 平面 ．
空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中，设点 为空间的一个定点，
过点 分别作垂直于 轴 、 轴、 轴的平面，垂足为 、 、 ．
设点 、 、 在 轴 、 轴、 轴上的坐标分别为 、 、 ，
那么点 就对应唯一确定的有序实数组 ．
反之， 对应唯一的点 ．
4过 点作 面的垂线，垂足为 点．
点 在坐标系 中的坐标 、 依次是 点的横坐标 、纵坐标．
再过 点作 轴的垂线，垂足 在 轴上的坐标 就是 点的竖坐标．
即： 点坐标为 ．
例题
1. 如图所示，把棱长为 的正方体放在空间直角坐标系中，则点 的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把棱长为 的正方体放在空间直角坐标系中，
则点 的坐标为 ．
5故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正
方体），期中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子，建立空间直角坐标系 后，图中最上层中心
的钠原子所在位置的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】用图可知该点的横坐标为 ，纵坐标为 ，竖坐标为 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
空间中点的坐标
有序实数组 叫做点 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 其中 叫做点 的横坐标， 叫
做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标．
归纳：
1 .坐标轴上的点
轴上的点纵坐标、竖坐标为 ．例如： 点坐标记为 ；
6轴上的点横坐标、竖坐标为 ．例如： 点坐标记为 ；
轴上的点横坐标、纵坐标为 ．例如： 点坐标记为 ．
2.坐标平面内的点
平面上的点竖坐标为 ．例如： 点坐标记为 ；
平面上的点横坐标为 ．例如： 点坐标记为 ；
平面上的点纵坐标为 ．例如： 点坐标记为 ．
例题
3. 点 在空间直角坐标系中的位置是（ ）．
A. 轴上 B. 平面上 C. 平面上 D. 第一象限内
【答案】C
【解析】∵点 的纵坐标为 ，
∴此点是 平面上的点，
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
7思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
4. 空间直角坐标系中，下列点在 轴上的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】空间直角坐标系中，
轴上的点的坐标为 ，
∴ 、 、 、 四个点在 轴上的是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
5. 在空间直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意得，
点 关于 轴对称后 轴方向坐标不变，而其余坐标轴方向的坐标变为原来的相反数，
因此原来 ，关于 轴对称后的坐标就为 ，故答案为 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
思路梳理
本题所考察的知识点：
81． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 平面内点的坐标的特点是（ ）．
A. 坐标是 B. 坐标和 坐标都是
C. 坐标是 D. 坐标， 坐标和 坐标不可能都是
【答案】A
【解析】在空间直角坐标系中， 平面是水平的平面，
该平面内的点的坐标满足竖坐标 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
7. 在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在空间直角坐标系中点 关于 轴对称则 值不变， ， 互为相反数．
∴ 关于 轴对称坐标是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
空间两点中点坐标公式
设点 ，点 ，则线段 的中点 的坐标如何？
【备注】【教师可见】
推导过程请参考平面中两点中点坐标公式．
9例题
8. 在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 的中点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由中点坐标公式得 中点坐标是 ，
即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 已知点 与点 ，则 的中点坐标为 ．
【答案】
【解析】设 ， 中点坐标 ，
由 ， 可得
∴ ， 中点坐标为 ．
【标注】【知识点】中点公式
空间两点距离公式
设点 ，点 ，则线段 的距离如何求解？
10【备注】【教师可见】
推导过程请参考平面中两点距离公式.
例题
10. 已知空间直角坐标系中点 ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】向量法求空间距离；空间中两点间的距离
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
11. 在空间直角坐标系中，设 ， ， ， 的中点为 ，则 等于 ．
【答案】
【解析】 ，∴ ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
12. 已知点 ， ，则坐标原点 到 中点的距离为 ．
11【答案】
【解析】点 ， ，线段 的中点坐标 ．则坐标原点 到 中点的距离
．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
13. 在空间直角坐标系中，已知 ， ， 是 的中点，则点 到坐标原点的距离
为 ．
【答案】
【解析】在空间直角坐标系中， ， ，
是 的中点，则点 ，
到坐标原点的距离为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离；向量法求空间距离
2. 空间向量的有关概念
空间向量
1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．向量的大小做向量的长度或模长．
3．空间向量的表示法：
几何方法：用有向线段表示；
字母表示法：用一个字母表示，如 ，若向量的起点是 ，终点是 ，可记作 ，其模记为 或 ．
空间向量的有关概念
1．零向量：长度为 的向量叫做零向量，记为 ．
2．单位向量：模长为1的向量称为单位向量．
3．相等向量：方向相同且模长相等的向量称为相等向量．在空间中，同向且等长的有向线段表示同一
向量或相等向量．
4．相反向量：与向量 长度相同而方向相反的向量，为 的相反向量，记为 ．
例题
1214. 给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
②若空间向量 ， ，满足 ，则 ；
③在正方体 中，必有 ；
④若空间向量 ， ， 满足 ， ，则 ；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定
有起点相同，终点相同，故①错；
根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②错；
根据正方体 中，向量 与 的方向相同，模也相等，应有 ，故③
正确；
命题④显然正确；
空间中任意两个单位向量模均为 ，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
不正确的命题有 个，
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量的概念
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 在长方体 中， ， ， ，以长方体的八个顶点中的两点为起点
和终点的向量中．
13（ 1 ）单位向量共有多少个？
（ 2 ）试写出模为 的所有向量．
（ 3 ）试写出与 相等的所有向量．
（ 4 ）试写出 的相反向量．
【答案】（ 1 ） 个．
（ 2 ） ， ， ， ， ， ， ， ．
（ 3 ） ， 及 ．
（ 4 ） ， ， ， ．
【解析】（ 1 ）模为 的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ，所以单位向量共
有 个．
故答案为： 个．
（ 2 ）由于这个长方体的左右两个面上的对角线长均为 ，因此模为 的向量为 ， ，
， ， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ， ， ， ， ．
（ 3 ）与向量 相等的向量有 ， 及 ．
故答案为： ， 及 ．
（ 4 ）与向量 的相反向量为 ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ．
【标注】【知识点】空间向量的概念
3. 空间向量的线性运算
线性运算法则
1．空间向量的加减运算法则
（1）平行四边形法则
14（2）三角形法则
2．空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数 与空间向 的乘积 仍然是一个向量．
（1） 方向
当 时， 与向量 方向相同；
当 时， 与向量 方向相反；
当 时， 是零向量．
（2）大小
的长度是 的长度的 倍．
运算规律
1．空间向量的加法运算规律
加法交换律： ；
加法结合律： ．
2．空间向量数乘运算规律
（1）分配律： ； ；
（2）结合律 ．
例题
16. 在空间四边形 中， 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，
，
15．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 如图，在平行六面体 中， 为 的中点，设 ， ， ，则
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据向量的三角形法则得：
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
163． __________________________________
练习
18. 已知 ， ， ， 为空间中四点，化简 ．
【答案】
【解析】方法一：（利用相反向量的关系转化为加法运算）
．
方法二：（利用向量的减法运算法则求解）
．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
19. 如图，在正方体 中，点 ， 分别是面对角线 与 的中点，若 ，
， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）
174. 空间向量基本定理
如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
．任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
【备注】【教师可见】
由上述定理可知，如果三个向量 不共面，则 的线性组合 能生
成所有的空间向量，这时 叫做空间的一个基底，记作 ，其中 都
叫做基向量．
据此，任意三个不共面的空间向量都可以构成空间的一个基底．
例题
20. 已知点 在平面 内，对空间任意一点 ，有 ，则 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
又点 在平面 内，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量基本定理
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知 、 、 三点不共线， 为平面 外的一点， ，且 与 、 、 四
点共面，则 的值为（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
18【答案】B
【解析】∵ 、 、 三点不共线， ，且 与 、 、 四点共面，
∴ ，解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量共面问题
5. 空间向量的数量积
两个向量的夹角
已知两个非零向量 ，在空间中任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹
角，记作 （ ）．
，则称 与 互相垂直，记作 ．
异面直线成角
把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角），叫做两条异面直线所成的角．如
果所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直．
空间向量的数量积
空间中的两个向量 ，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积
叫做两个空间向量 的数量积．
例题
22. 如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于 ，点 、 、 分别是 、 、 的中点，则下
列向量的数量积等于 的是（ ）．
A. B. C. D.
19【答案】C
【解析】 ，故 错；
，故 错；
，故 错，只有 正确．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 下列说法中错误的是（ ）．
① ，则 或 ；② ；③ ，
A. ①、② B. ①、③ C. ②、③ D. ①、②、③
【答案】D
【解析】∵ 时， ，
∴当 时不能得出 或 ；
∴①是错误的．
∵ 是数量，所以 为一个向量，并且此向量与 共线；虽然 也是一个向量，
但它与 共线；
∴ 不一定与 相等；
∴②是错误的．
∵ ， （ 为向量 与 的夹角）；
∴当且仅当 时， 才成立；
∴③是错误的．
∴本题三种说法均不正确．
故选∶D﹒
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
20四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
24. 已知空间两点 ， ，则线段 的长度为（ ）．
A. B. C. D.
21【答案】A
【解析】空间两点 ， ，
则线段 的长度为
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间中两点间的距离
25. 在长方体 中， （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，
长方体 中，
．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示；空间向量的线性运算（非坐标）
26. 给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律： ；
22④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．
请将正确的说法序号填在横线上： ．
【答案】①③④
【解析】①若两个向量共起点，则这两条向量所在直线相交，
∵两条相交直线确定唯一一个平面，
∴这两个共起点的向量共面，故①正确；
② 相等向量指的是方向，长度均相等的两个向量，
∴相等长度的两条有向线段不是相等向量，故②错误；
③ 空间向量相加满足结合律，
∴ ，故③正确；
④由多边形法则，若干首尾相连的向量相加得到的向量，
等于由起始向量起点，指向末尾向量终点的向量，故④正确；
综上所述，①③④是正确的．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量的概念
23
