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空间向量与立体几何【题集】
1. 空间向量的直角坐标运算
空间向量的坐标运算
1. 设 ， ， ，若 ，则 点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设点 的坐标为 ；
则 ，
，
则由 ，
得 ， ， ，
解得， ， ， ，
所以 选项是正确的．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
2. 已知 ， ，若 ，则实数 ， 的值分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】由 ， 且 ，
∴ 解得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
3. 已知向量 ， ，且 ，那么 的值是
A. B. C. D.
1【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ．
∴ ，∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
空间向量平行和垂直的坐标表示
4. 已知向量 ，则下列向量中与 平行的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】两向量平行，则对应坐标或比例,
∵ ,
∴ 与 平行．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
5. 已知两个向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ，
∴存在实数 使得 ，
∴ ，
解得 ， ， ，
则 ．
故选： ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
26. 已知向量 ， ，其中 ．若 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 知存在 ，使 ，即 ．
∴ ．解得 ．故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
7. 以下四组向量中，互相平行的是（ ）．
（ ） ， ；
（ ） ， ；
（ ） ， ；
（ ） ， ．
A. （ ）（ ） B. （ ）（ ） C. （ ）（ ） D. （ ）（ ）
【答案】D
【解析】选项 中，对应坐标不成比例，故此两个向量不平行，
选项 中有： ，
选项 中 与 向量平行，
选项 ，事实上对应坐标不成比例，故此两个向量不平行，
以下四组向量中，互相平行的是（ ）（ ）．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
8. 若向量 ， ，则向量 与 （ ）．
A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 以上都不对
【答案】C
3【解析】∵向量 ，
，
则 与 平行．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
9. 已知 ， ，若 和 相互垂直，则 ．
【答案】
【解析】
，
所以 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示；空间向量线性运算的坐标表示
两个向量夹角与模长的坐标计算公式
10. 已知向量 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
11. 已知向量 ， ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
4【解析】 ， ，
．
故选： ．
【标注】【知识点】空间向量线性运算的坐标表示
12. 若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ， ，
， ．
故选： ．
【标注】【知识点】向量的模；空间向量线性运算的坐标表示
13. 若 ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】 ， ， ，
，
，
故答案为： ．
【标注】【知识点】空间向量的线性运算（非坐标）；空间向量线性运算的坐标表示
14. 若 ， ，且 ，则实数 的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，
5又因为 ，所以 ，解得 ，故选 ．
【标注】【知识点】空间向量的数量积及其坐标表示
15. 已知向量 ， ，则 与 的夹角为 ．
【答案】
【解析】
设 与 的夹角为 ，则 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】反三角函数；空间向量的数量积及其坐标表示
2. 直线的方向向量
16. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“ ”）．
1. 直线的方向向量是唯一确定的．（ ）
2. 平面的单位法向量是唯一确定的．（ ）
3. 若两平面的法向量平行，则两平面平行．（ ）
4. 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（ ）
5. 若 ，则 所在直线与 所在直线平行．（ ）
6. 若空间向量 平行于平面 ，则 所在直线与平面 平行．（ ）
【答案】××✓✓××
【标注】【知识点】向量法解决异面直线所成角问题；直线的方向向量与平面的法向量；向量法
解决空间中的平行问题
17. 若 ， 在直线 上，则直线 的一个方向向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：直线 的一个方向向量 ，
6又∵ ，
∴ 是直线 的一个方向向量．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；空间向量的线性运算（非坐标）
18. 直线 的一个方向向量是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为 ，
∴直线 的一个方向向量，
或 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
19. 经过点 且方向向量为 的直线的点方向式方程是 ．
【答案】
【解析】∵过点 ，方向向量 ，
∴直线方程为： ，
转化为点方向式方程，得： ．
【标注】【知识点】向量的概念；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式
方程
3. 平面的法向量
平面法向量的求解步骤
20. 点 ， ， ，平面 的一个法向量为（ ）．
A. B. C. D.
7【答案】C
【解析】设 为平面 的法向量，则
，
即 ，
解得
不妨取 ，则 ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量
21. 已知平面 上的两个向量 ， ，则平面 的一个法向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】显然 与 不平行，
设平面 的一个法向量为 ，则
∴ 令 ，得 ， ，
∴ ．
【标注】【知识点】直线的方向向量与平面的法向量；空间向量的数量积及其坐标表示
直线与平面垂直的判定定理的向量证明
22. 已知平面 的法向量为 ，直线 与平面 相交但不垂直，则向量 的坐标可以是
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 选项： ，则 面 ，不符；
选项： ，则 面 ，不符；
选项： ，则 面 ，不符；
选项： ，且 与 不平行，符合．
8故选： ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的平行问题；直线的方向
向量与平面的法向量
23. 如图所示，正三棱柱（底面为正三角形的直三棱柱） 的所有棱长都为 ， 为
的中点．求证： 平面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】
如图所示，取 的中点 ，连接 ．因为 为正三角形，
所以 ．
因为在正三棱柱 中，
平面 平面 ，
所以 平面 ．
取 的中点 ，连 ，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建
立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
设平面 的法向量为 ， ， ．因为
， ，
故 ，
9令 ，则 ， ，故 为平面 的一个法向量，而
，所以 ，所以 ，
故 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；直线的方向向量与平面的法向量
24. 在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，
求证： 平面 ．
【备注】【教师可见】
请老师带领学生，着重用方法一练习本题.
【答案】证明见解析．
【解析】方法一：设正方体的棱长为 ，如图，建立空间直角坐标系，则 ， ,
， ， ，
∴ ，
，
．
∴ ．
,
∴ ， ．
又 ，
∴ 平面 ．
10方法二：设 ， ， ，则 ，如图，连接 ，
则
．
∵ ，
∴
，
∴ ，即 ．
同理 ．
又 ，
∴ 平面 ．
【标注】【知识点】建立空间直角坐标系；向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决空间中的
平行问题；空间向量的数量积及其坐标表示
用法向量证明平面与平面垂直
25. 平面 、 的法向量分别为 ， ，若 ，则 等于 ．
【答案】
11【解析】 知， ．即 ，解得 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题
26. 已知平面 的法向量是 ，平面 的法向量是 ，且
，则实数 的值为 ．
【答案】 或
【解析】 ，
整理得： ，
解得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；直线的方向向量与平面的法向量
27. 已知：在正方体 中， 、 分别是 、 的中点．求证：平面 平
面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系 ．
令 ，
则有 ， ， ， ， ， ．
设 ， 分别是平面 ，平面 的法向量，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，
12令 ，得 ．同理可得 ．
所以 ，知 ．
所以平面 平面 ．
【标注】【知识点】向量法解决空间中的垂直问题；向量法解决二面角问题；直线的方向向量与
平面的法向量
28. 如图，在正三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 上的点，且
， ．求证：平面 平面 ．
【答案】证明见解析．
【解析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ，
，
， ， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
由 ， 得 ，
解得 ，
令 ，得 ，
∴平面 的一个法向量为 ，
13由题意可知，平面 的一个法向量为 ，
∴ ，∴平面 平面 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】向量法解决二面角问题
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