文档内容
抛物线
一、 课堂目标
1．掌握抛物线的定义及四种标准方程．
2．理解抛物线标准方程中参数 的作用，能够利用 进行标准方程与焦点坐标以及准线方程的自由转
化．
3．掌握抛物线的一系列几何性质，能够实现抛物线的几何性质与抛物线的标准方程之间的自由转化，
并由其几何性质解决相关问题．
【备注】目标解读：
关联知识：椭圆、双曲线．
本讲解读：本讲的重点是掌握抛物线的定义、四种标准方程以及抛物线的一系列几何性
质；难点是利用参数 对标准方程与焦点坐标及准线方程的自由转化．
能力素养：本讲主要培养学生数学运算、数学建模和逻辑推理的能力．
二、 知识引入
椭圆与双曲线的复习
椭圆与双曲线的复习
（1）椭圆
平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定
点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
（2）双曲线
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合）叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
探究
探究：
在画板上画一条直线 ，使 与画板左侧的边线平行；再在直线 外画一个定点 （如下图）．
1取一把丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线 垂直相交于点 ，在丁字尺的另一端取一点 ．将一条
长度等于 的细绳，一端固定在点 ，另一端固定在点 ，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后
上下平移丁字尺，笔尖滑动画出的曲线是什么？
由上图，我们可以得到笔尖滑动画出的曲线是部份抛物线．那么本节课我们就来学习抛物线．
生活中常见的抛物线
生活中常见的抛物线
2三、 知识讲解
1. 抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点 叫做抛物线的焦
点，定直线 叫做抛物线的准线．
【备注】【教师可见】
注意括号内的限制条件，定点 不在定直线上，否则动点 的轨迹将不是抛物线而是直
线．
例题
1. 若点 到直线 的距离比到点 的距离小 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】D
【解析】点 到直线 的距离比到点 的距离小 ，即点 到直线 的距离与到点
的距离相等，根据抛物线的定义可知，点 的轨迹是抛物线．
故选 ．
【标注】【知识点】求点的轨迹
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 到直线 与到定点 （ ， ）的距离相等的点的轨迹是（ ）．
A. 椭圆 B. 圆 C. 抛物线 D. 直线
【答案】C
【解析】
3动点 到定点 ( ， ）的距离与到定直线 的距离相等，所以 的轨迹是以点 为焦
点，直线 为准线的抛物线，
故选： ．
【标注】【知识点】求点的轨迹；抛物线的定义
2. 抛物线的标准方程
下面我们根据抛物线的定义来求它的标准方程．
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，以直线 为 轴，线段 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系
，如下图：
设 ，则焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ．设点 是抛物线上任
意一点，点 到直线 的距离为 ，由抛物线的定义可知，点 在抛物线上的充要条件是 ．因
为 ，所以上述条件转化为坐标表示，就是
．
将上式两边平方并化简，得 ．
上面的方程叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点在 轴的正半轴上且坐标为 ；它的
准线方程是 ，其中 是焦点到准线的距离．
上面我们讨论的情形是定点（焦点 ）在定直线（准线 ）的右侧，因而得到的抛物线的标准方程是
．
同理定点与定直线还会有其他三种位置关系，我们在此直接将标准方程给出：
（1）焦点在 轴负半轴上：
4焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向左的抛物线；
（2）焦点在 轴正半轴上：
焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向上的抛物线；
（3）焦点在 轴负半轴上：
焦点坐标 ；准线方程 ；标准方程 ；图象开口向下的抛物线．
【备注】【教师可见】
（1）求解抛物线的标准方程，可以先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述
四种标准方程中的一种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点
的坐标，求解出参数 带回原方程即可；
（2）利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程
读出焦点坐标和准线方程．如抛物线 标准化之后为 ，相当于 ，故
焦点坐标为 ，准线方程为 ；
（3）就顶点附近的形状来说，抛物线与双曲线很相似，但是抛物线绝对不是半支双曲线，
二者的图形在遥远的地方就显示出了很大的差别，以标准方程为 的抛物线
为例，当 逐渐增大时，抛物线向右延伸愈加平缓；而对于标准方程为
的双曲线来说，随着 的增大，曲线向渐近线的方向延伸，显
然后期双曲线要比抛物线开阔得多．
例题
3. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】焦点坐标为 ， ，准线方程为 ，焦点到准线距离为 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
54. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离是 ，那么 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则焦点到准线的距离为 ，
根据题意可得 ，故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 抛物线 的焦点到其准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的交点到其准线的距离是： ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
例题
6. 抛物线 的准线方程为 ．
【答案】
【解析】 ， ．
∴ ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
6思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 抛物线 的准线方程是 ．
【答案】
【解析】方法一：因为抛物线 ，则 ，即 ，
所以准线方程为 ．
故答案为 ．
方法二：∵抛物线的方程为 ，
∴抛物线以原点为顶点，开口向右．
由 ，可得 ，可得抛物线的焦点为 ，准线方程为 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
8. 抛物线 的准线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，
∴ ，
∴其准线方程是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
例题
9. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
7A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线 ，即 ，
∴ ， ，
∴焦点坐标为 ，选择 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 抛物线 的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵抛物线方程 的焦点坐标为 ，
∴抛物线 的焦点坐标是 ．故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
11. 抛物线 的焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛物线方程化为标准方程为：
， ．
抛物线开口向下，
8抛物线 的焦点坐标为 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
例题
12. 若抛物线的准线方程为 ，则抛物线的标准方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵准线方程为 ，
∴ ， ，
∴抛物线方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 准线为 的抛物线的标准方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：
抛物线焦点在 轴上，且开口向左，
故设 ，则 ，
∴ ，
∴ ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
93. 抛物线的几何性质
下面我们研究标准方程为 的抛物线的一系列几何性质：
范围
因为 ，故由上述方程可知抛物线上任意一点 满足 ，因此抛物线严格位于 轴右侧；
而且当 增大时， 也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无线延伸，开口向右．
对称轴
以 代替 ，抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形；抛物线的对称
轴简称为抛物线的轴．
顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由 ，故抛物线的顶点为坐标原点．
10离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用 表示．根据抛物线的定义可
知， ．
抛物线方程的四种形式对应的几何性质
设抛物线的焦点到准线的距离为 ，则抛物线方程的四种形式对应的几何性质如下表：
11例题
14. 对于抛物线 上任意一点 ，点 都满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
设 ，由 得 ，
故 恒成立，则 ， ．故 的取值范围是
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
15. 抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点 ，则抛物线的方程是 ．
【答案】 或
【解析】抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是 轴，并且经过点 ，
设它的标准方程为 ，
∴ ，解得 ，
12∴ ．
抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是 轴，并且经过点 ，
设它的标准方程为 ，
∴ ，解得： ,
∴ ．
故答案为： 或 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
16. 顶点在原点，以坐标轴为对称轴且过点 的抛物线方程是 ．
【答案】 或
【解析】①当抛物线开口向上时，设方程为
将 代入得，
∴ ．
②当抛物线开口向左时，设方程为
将 代入得
所以 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
17. 顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为 ．
【答案】 或
【解析】解：由于点 在第二象限，
可设抛物线的方程为 或 ， ，
13代入 ，可得 或 ，
解得 或 ，
则抛物线的方程为 或 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
例题
18. 下图所示为抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 ．水面下降 后，水面宽为
（ ）．
A. B. C. D.
【备注】【注意】得到抛物线解析式为 ，再令 ，得到 ，所以水面宽为
米.
【答案】B
【解析】如图，
以拱顶为原点建立直角坐标系，
设抛物线方程为 ，
由已知，点 在抛物线上代入，
解得 ．
【标注】【知识点】抛物线的定义
14思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 米时，量得水面宽为 米，当水面下降 米后，水面的宽
为 米．
【答案】
【解析】建立数学模型， ，代入 ，得 ，
水面下降 米，即将抛物线向上平移 米，
，即 ，当 时，
有 ，所以水面宽为 米．
【标注】【知识点】抛物线的定义
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
15五、 出门测
20. 抛物线 的焦点坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ，∴ ，∴焦点为 ．
【标注】【知识点】抛物线的基本量求解
21. 抛物线 的准线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由抛物线方程为 可知，准线方程为 ，故选 ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
22. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线关于 轴对称，顶点在原点 ，且过点 ，则该抛物线
的方程是 ．
16【答案】
【解析】由已知，设抛物线方程 过点 ，
，
，
∴ ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
23. 一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶 时，水面宽 ．若水面下降 ，则水面宽度为 ．
【答案】
【解析】如图所示，建立直角坐标系，
设抛物线的方程为 ，
∵当水面离拱顶 时，水面宽 ，
∴ ，
代入抛物线方程可得 ，
解得 ，
∴抛物线的标准方程为： ，
设 ，代入抛物线方程可得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】抛物线的标准方程
17
