文档内容
直线方程（1）
一、 课堂目标
1．掌握直线的倾斜角和斜率的概念和计算公式．
2．掌握直线的倾斜角和斜率之间的关系．
3．掌握直线的点斜式、斜截式和一般式的方程．
【备注】目标解读：
关联知识：正切函数、一次函数．
本讲解读：本讲的重点是直线的倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式；难点是直线
方程几种形式的互化．
能力素养：主要培养数学运算、数学建模、逻辑推理的能力．
二、 知识引入
【情景引入】
哪个山坡较陡？你的依据是什么？
【备注】可以根据山坡与平地所成的角度来判断
1对于坡的陡峭程度，除了可以用角度来衡量之外，还可以用上面的坡度（比）来衡量它的倾斜程度．
这里的角度在数学中叫倾斜角，坡度（比）叫斜率．
三、 知识讲解
1. 直线的倾斜角和斜率
（1）直线的倾斜角
定义： 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．
我们规定，与 轴平行或重合的直线的倾斜角为零．
因此直线的倾斜角 ．
（2）直线的斜率
当 时，把 的正切值 叫做直线的斜率．
当 时，直线的斜率 不存在．
由直线的倾斜角求斜率
由前面引入中的坡度（比）我们知道，当直线的倾斜角为 （ ）时，把 的正切值 叫做
直线的斜率．
当 时，直线的斜率 不存在．
例题
1. 下列命题：
①任一条直线都有倾斜角；
②任一条直线都有斜率；
③若直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 ；
2④直线的斜率为 ，则直线的倾斜角为 ；
⑤直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
正确的命题序号是 ．
【答案】①
【解析】命题①正确；
而倾斜角为 的直线没有斜率，故命题②③错误；
若直线的斜率为 ， ， 但 不是直线的倾斜角，故④错误；
直线的斜率是在倾斜角 的条件下定义的，
所以，直线的倾斜角存在，其斜率不一定存在，并且由正切函数的单调性可知，
如图，
当直线的倾斜角 时，倾斜角越大斜率越大，斜率从 增大到 ；当
时，倾斜角越大斜率也越大，斜率从 增大并趋近于 ，但是当 时，
倾斜角越大斜率不一定越大，故⑤错误．
故答案为：①．
【标注】【知识点】倾斜角计算
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 在下列三个命题中，正确的共有（ ）．
3①直线的倾斜角的取值范围是 ；
②坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；
③若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 ．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】A
【解析】由于这些的倾斜角取值范围为 ，故①错误；
由于和 轴垂直的助学贷倾斜角为 ，故此直线没有斜率，故②错误；
若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率不一定为 ，如 时， 不存在，故③错
误；
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理
【知识点】斜率随倾斜角的变化规律
例题
3. 已知直线 的倾斜角为 ，则直线 的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 可知代入 ，
可得 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】斜率计算
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
4练习
4. 若直线的倾斜角为 ,则直线的斜率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】斜率计算
由两点求直线斜率
如图，已知平面上两点 , ,过点 、 分别作 轴、 轴的平行线，交于点 ．
则由 可知， ．
这就是过两点 , 的直线的斜率．
【备注】还可以带领学生探究一下当 直线的倾斜角为钝角的情况，也满足这个公式
例题
5. 已知直线经过点 和点 ，则直线 的斜率为（ ）．
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】 ．
故选 ．
5【标注】【素养】数学运算
【知识点】斜率计算
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
6. 若直线经过点 ， ，则直线 的倾斜角的大小为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
直线的斜率为： ，
因为 ．
所以直线的倾斜角为： ．
故选择 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】倾斜角计算
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 已知直线 经过点 和 ，则它的倾斜角是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，∴ ，∴ ．
6【标注】【素养】数学运算
【知识点】倾斜角计算
8. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角，直角，还是钝角．
（ 1 ） 、
（ 2 ） 、
（ 3 ） 、
（ 4 ） 、
【答案】（ 1 ） ，锐角
（ 2 ） ，钝角
（ 3 ） 不存在，直角
（ 4 ） ，倾斜角是
【解析】（ 1 ）直接运用斜率的坐标计算公式．
，∴倾斜角是锐角．
故答案为： ，锐角．
（ 2 ） ，∴倾斜角是钝角．
故答案为： ，钝角．
（ 3 ） 不存在，∴倾斜角是直角．
故答案为： 不存在，直角．
（ 4 ） ，∴倾斜角是 ．
故答案为： ，倾斜角是 ．
【标注】【知识点】斜率计算
例题
9. 过点 和 的直线的斜率等于 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【标注】【知识点】倾斜角和斜率的概念
7思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
10. 已知点 ， ，如果直线 的倾斜角为 ，那么实数 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线 的斜率 ，解得 ．
【标注】【知识点】斜率计算
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
11. 若经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ．
， ．
故选： ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】斜率计算
82. 直线的方程
直线的点斜式方程
求经过定点 ，斜率为 的直线方程．
在直线上另取一点 ，由两点的斜率公式可得：
，整理得
则 叫做直线的点斜式方程．
注意：
点斜式方程的使用前提是已知一定点坐标和斜率，所以不适合斜率不存在的直线（即与 轴平行或重合
的直线）．
例题
12. 过点 且斜率为 的直线方程为 ．
【备注】结果写成 的形式，不要写成一般式
【答案】
【解析】过点 且斜率为 的直线方程为 ，即 ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 若直线 通过点 ，且斜率是 ，则直线 的方程是 ．
【备注】结果写成 的形式，不要写成一般式
【答案】
9【解析】若直线 通过点 ，且斜率是 ，
则由点斜式可知直线 的方程是 ，即 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式方程
直线的斜截式方程
若直线经过 轴上一定点 ， ，且斜率为 的直线方程为：
即
这叫做直线的斜截式方程．
其中 轴上的点 ， 的纵坐标叫做直线在 轴上的截距，所以直线的斜截式方程是由斜率与 轴上的
截距确定．
例题
14. 直线斜率为 且在 轴上的截距为 的直线方程为 ．
【答案】
【解析】直线方程为 ．故答案为 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的斜截式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 在 轴上截距是 的直线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线在 轴截距为 ，则过 ，
10故可设方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的斜截式方程
直线的两点式方程
现在给出两个点的坐标 , ,如何求直线 的方程？
由 , 可以求出直线的斜率 ,再根据直线的点斜式方程
可得
变形之后可得
这就是过两点 , 的直线方程，叫直线方程的两点式．
当 时，直线垂直于 轴，方程为 ；
当 时，直线垂直于 轴，方程为 ．
例题
16. 过 ， 两点的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直线的两点式方程得 ．整理得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的两点式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
1117. 求过两点 ， 的直线的方程．
【备注】结果用两点式表示，不要用一般式
【答案】 ．
【解析】略
【标注】【知识点】直线的两点式方程；直线的斜截式方程；直线方程的五种形式的联系和使用
范围的区别
直线的截距式方程
当直线分别过坐标轴上的两点 , 时，由直线的两点式方程可得
，化简为
这叫做直线的截距式方程．
其中直线与 轴的交点的横坐标 叫做直线在 轴上的截距，直线的截距式方程就是由直线在两个坐标轴
上的截距确定的，所以叫做截距式方程．
例题
18. 在 轴和 轴上的截距分别为 ， 的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由直线的截距式方程可得 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的截距式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 直线 在 轴上的截距是（ ）．
12A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线 中，
令 ，解得 ，
∴直线 在 轴上的截距为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的截距式方程
直线的一般式方程
直线的方程都可以化为关于 、 的二元一次方程的形式：
( 、 不同时为 )
这就是直线的一般式方程．
直线方程的五种形式的区别和联系
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
是直线上一定
点斜式 不垂直于 轴
点， 是斜率
是斜率， 是直线在
斜截式 不垂直于 轴
轴上的截距
是直线
两点式 不垂直于 轴和 轴
上两定点
是直线在 轴上的非零
不垂直于 轴和 轴，且
截距式 截距， 是直线在 轴上
不过原点
的非零截距
一般式 为系数 任意位置的直线
（ ）
例题
1320. 下列说法的正确的是（ ）．
A. 经过定点 的直线的方程都可以表示为
B. 经过定点 的直线的方程都可以表示为
C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为
D. 经过任意两个不同的点 ， 的直线的方程都可以表示为
【答案】D
【解析】A 选项：当直线的斜率不存在时，经过定点 的直线不可以用方程
表示，故 不正确；
B 选项：当直线的斜率不存在时，经过定点 的直线不可以用方程 表示，故 不
正确；
C 选项：当直线和 轴垂直或者与 轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程 表
示，故 不正确；
D 选项：斜率有可能不存在，截距也有可能为 ，但都能用方程
表示，故 正确．
故选 D .
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式方程；直线的
截距式方程；直线的两点式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
21. 经过点 ，倾斜角是 的直线方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】倾斜角为 ，
∴直线斜率 ．
∴已知斜率及通过一点根据点斜式 ．
14即 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
22. 直线 经过点 ，倾斜角为 ，则直线 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由直线 的倾斜角为 可知直线 的斜率 ，
又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
综上所述，答案选择： ．
【标注】【知识点】直线的点斜式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的
一般式方程；斜率计算
例题
23. 倾斜角是 ，且在 轴上截距是 的直线 方程为 ．
【答案】
【解析】由倾斜角为 可知，斜率 ，
所以直线方程 .
故答案为： ．
【标注】【知识点】斜率计算；直线的斜截式方程；直线方程的五种形式的联系和使用范围的区
别
15思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
24. 倾斜角为 ，在 轴上的截距为 的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】倾斜角为 ，在 轴上的截距为 的直线的斜率等于 ，
在 轴上的截距等于 ，由斜截式求得直线方程为 ，即 ，
故选 ．
【标注】【知识点】直线的斜截式方程
例题
25. 直线 的倾斜角是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
直线 可化为： ，
斜率 ，
设直线倾斜角为 ， ，
则有 ，
解得， ．
故选 ．
【标注】【知识点】倾斜角计算；直线的斜截式方程
思路梳理
16本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
26. 直线 的倾斜角是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 即 ， ， ．
故选 ．
【标注】【知识点】倾斜角计算；直线的斜截式方程
例题
27. 若直线过点 和点 ，则该直线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为直线过点 和点 ，
所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为 ，
整理得 ，
故选 ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的点斜式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
173． __________________________________
练习
28. 经过 ， 的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得直线的斜率为 ，先写点斜式
，
化为一般式可得： ．
故选： ．
【标注】【知识点】直线方程的五种形式的联系和使用范围的区别；直线的两点式方程；直线的
一般式方程
例题
29. 在 轴和 轴上的截距分别是 、 的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线在 轴、 轴上的截距分别为 、 ，
则直线的截距式方程为 ，即 ．
【标注】【知识点】直线的截距式方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
30. 经过两点 ， 的直线方程是（ ）．
18A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由直线方程的截距式可得直线方程为： ，
即 ，
故选 ．
【标注】【知识点】直线的两点式方程
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
31. 已知点 ， ，直线 的斜率为 ，那么 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
19【解析】 ，解得 ．
【标注】【知识点】斜率计算
32. 若直线过点 ， ，则此直线的倾斜角的大小为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵点 ， ，
∴直线的斜率 ．
∴直线的倾斜角 满足 ，
∵ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】斜率计算
33. 倾斜角为 ，在 轴上的截距为 的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为 ，所以满足条件的直线方程为 ，
即 ．故选D．
【标注】【知识点】直线的斜截式方程
34. 已知直线 过定点 ，且倾斜角为 ，则直线 的一般式方程为 ．
【答案】
【解析】∵直线 的倾斜角为 ，∴斜率 ，
又直线 过点 ，
∴直线 的方程为 ，即
故答案为： ．
20【标注】【知识点】斜率计算；直线的点斜式方程
35. 已知点 ， ，则直线 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由截距式可得 ，化为 ，故选 ．
【标注】【知识点】直线的两点式方程
21
