文档内容
圆
一、 课堂目标
1．掌握圆的标准方程及其特点．
2．掌握圆的一般方程及其特点．
3．掌握判断直线与圆、点与圆位置关系的方法．
【备注】目标解读：
关联知识：立体几何、圆锥曲线．
本讲解读：本讲的重点是圆的标准方程及其特点，几何法判断直线与圆，点与圆的位置关
系；难点是圆的一般方程及其特点．
能力素养：数学运算、数学抽象．
二、 知识引入
情境引入：
生活中的圆
1情景引入：
“南昌之星”摩天轮是目前世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣
江市民公园，是南昌市标志性建筑，该摩天轮总高度为 ，转盘直径为 ，比位于英国泰晤士河
边的 高的“伦敦之眼”摩天轮还要高，成为目前世界上最高的摩天轮．
思考：
在初中我们如何定义圆的？
【备注】【教师可见】
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
三、 知识讲解
1. 圆的定义
圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆．
注意：
1．平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
2．当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．
23．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2. 圆的方程
圆的标准方程
已知圆心 及圆的半径rr，如何确定圆的方程？
点 是 上任意一点，则有： ，
圆上所有点的集合 .
．
两边平方得： ．
定义：把 称为圆心为 ，半径长为 的圆的方程，把它叫做圆的标准方
程．
圆的标准方程特点
特点：
1．明确给出了圆心和半径．
2．三个独立条件 确定一个圆的方程．
特别地，若圆心为 ，则圆的方程为 ．
例题
1. 以点 为圆心，半径 的圆的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
3【解析】由题可知，圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 以点 为圆心，且经过点 的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】 ，
所以所求圆的方程为 ．
故答案为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 圆心为 且过点 的圆的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵圆心为 且过点 ，
∴圆的半径 ，
4则圆的方程为 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的标准方程问题
例题
4. 已知圆 ，则其圆心和半径分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】根据 的圆心为 ，半径为 ，可知圆 ，则
其圆心和半径分别为 ， ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
5. 圆 的圆心和半径分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】由题易知圆心为 ，半径 ．
【标注】【素养】直观想象
【知识点】圆的标准方程问题
圆的一般方程
5圆的标准方程 展开得：
，
整理得：
．
任何一个圆的方程都是二元二次方程．
结论：任何一个圆的方程可以写成下面形式：
．
方程： ．
圆的一般方程性质
特点：
(1) 和 项的系数相等且都不为零；
(2)没有 这样的二次项；
(3) 表示以 为圆心， 为半径的圆；
(4) 当 时，方程①只有实根 ， ，
方程①表示一个点 ；
(5)当 时，方程①没有实根，因而它不表示任何图形．
例题
6. 求过三点 ， ， 的圆的方程．
【答案】 ．
【解析】圆心在 的中垂线 上，也在 的中垂线 上，
所以圆心坐标为两条中垂线的交点 ，
又因为圆过了 ，所以半径等于 ，
∴圆的方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
62． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 过三点 ， ， ， ， ， 的圆的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
例题
8. 圆 的圆心坐标和半径分别为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】把圆 的方程化为标准方程得： ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 圆 的半径为（ ）．
7A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆 变形得： ，
∴圆的半径为 ．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
【素养】数学运算
10. 圆 的圆心坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，圆心坐标为 ．故选D．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题
【素养】数学运算
3. 判断直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断的方法有两种：
代数法
将直线方程与圆的方程联立成方程组，利用消元法消去一个元后，得到关于另一个元的一元二次方程，
求出 的值，然后比较判别式 与 的大小关系，
①若 ，则直线与圆相离；
②若 ，则直线与圆相切；
③若 ，则直线与圆相交．
几何法
利用圆心到直线的距离dd和圆的半径 的大小关系：
8① 相交，
② 相切，
③ 相离．
例题
11. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心
【答案】C
【解析】圆心 在直线 上，即直线与圆相交且过圆心．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 直线 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【答案】B
【解析】圆心到直线 的距离为： ，
∴相切．
故选 ．
9【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
13. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交且直线过圆心 B. 相切
C. 相交但直线不过圆心 D. 相离
【答案】D
【解析】已知圆心 ，半径 ，
∴直线与圆心距离 ，
∴直线和圆位置关系为相离．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的相离问题
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
14. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交且过圆心
【答案】B
【解析】由圆的方程得：圆心 半径 ，
10∵圆心到直线 的距离 ，
∴直线与圆相切．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题；点到直线的距离公式
15. 直线 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
【答案】B
【解析】圆心 到直线的距离，
，
说明两者相交，且直线 不经过 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题
4. 点与圆的位置关系
几何法
①当点 到圆心的距离大于圆的半径，则点 在圆外；
②当点 到圆心的距离小于圆的半径，则点 在圆内；
③当点 到圆心的距离等于圆的半径，则点 在圆上．
即 点 在圆外； 点 在圆内； 点 在圆上．
代数法
圆的标准方程 ，
11①若点 在圆上，则 ；
②若点 在圆外，则 ；
③若点 在圆内，则 ．
反之，也成立．
说明：判断点与圆的位置关系时通常采用代数法．
例题
16. 若圆 的圆心为 ，半径为 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法判断
【答案】C
【解析】 ,
∴在圆外．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 若直线 与圆 有两个不同的交点，则点 与圆 的位置关系是（
）．
A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定
【答案】C
12【解析】圆心 到直线 的距离 ，即 ，故点 与圆 外．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
思路梳理
本题所考察的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18. 已知圆 以点 为圆心，半径等于 ，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 无法判断
【答案】B
【解析】由题意可知，圆 ，
∴把点 代入圆 ，
则 ，
故点 在圆上．
故选 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
19. 如果直线 与圆 没有交点，则点 与圆的位置关系是（ ）．
A. 点 在圆外 B. 点 在圆上 C. 点 在圆内 D. 不确定
【答案】A
【解析】∵直线 与圆 有两个不同的交点，
∴圆心 到直线 的距离小于半径，
即 ，
∴ ，故点 在圆外．
故选 ．
13【标注】【知识点】圆与圆的位置判断
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
20. 已知两点 ， ，以线段 为直径的圆的方程是（ ）．
A. B. C. D.
14【答案】D
【解析】由题可知，圆心为线段 的中点 ，
半径为 ，所以圆的方程为 ．
故选D．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
21. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心
【答案】B
【解析】 ，
圆心 ，半径： ，
，
，
∴相切．
故选 ．
【标注】【素养】逻辑推理；数学运算
【知识点】直线与圆的位置判断
22. 圆 的半径为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原方程化为圆的标准式为 ，所以半径 ．故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
【素养】数学运算
1516
