圆锥曲线60条核心二级结论+证明_高中三年全科资料_高中三年全科资料_数学

03
圆锥曲线 60 条核心二级结论及证明
▍椭圆 21 条核心二级结论及证明
2b2
【结论1】如图,过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径,MN 其长为
a
b2 2b2
【证明】将xc带入椭圆方程,解得y ,从而得到MN 
a a
【结论2】椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点,距离的最大值为ac,距离的最小值为ac.
x2 y2
【证明】设Px ,y ,因为Px ,y 在椭圆上,所以满足 0  0 1,以椭圆的左焦点为例,该点到左焦点的距离
0 0 0 0 a2 b2
d   x 0 c 2  y 0 2 ,因为y 0 2 b2     1 x a 0 2 2     ,代入原式化简得d  a c     x 0  a c 2     2  a c    x 0  a c 2     ,又a x 0 a,所
以当x a时,距离最小d ac,当x a时,距离最大d ac.
0 0
sin
【结论3】P是椭圆异于长轴端点一点,已知FPF ,PFF ,PF F ,则离心率e
1 2 1 2 2 1 sinsin
sin sin sin 1
【证明】对于PFF ,由正弦定理得    ,
1 2 FF PF PF 2R
1 2 2 1
c 2c FF 2Rsin sin
所以e   1 2  
a 2a PF PF 2R(sinsin) sinsin
1 2
【结论4】如图,F,F 为椭圆的两个焦点,P(x ,y )为椭圆上任意一点,则 PF aex ,PF aex ,(椭圆焦
1 2 0 0 1 0 2 0
点在x轴)； PF aey ,PF aey ,(椭圆焦点在y轴)
1 0 2 0
【证明】设Px ,y ，所以 PF 2  x c 2  y2  x c2 b2 
b2
x2 
a2 b2
x2 2cx c2 b2,整理得
0 0 1 0 0 0 a2 0 a2 0 0PF 2 
c2
x2 2cx a2 e2x2 2eax a2  aex 2
1 a2 0 0 0 0 0
因为ax a,所以aex aeaac0,所以
0 0
PF aex ,因为 PF  PF 2a,所以 PF aex
1 0 2 1 2 0
x2 y2
【结论5】如图,F,F 为椭圆  1的两个焦点,P为椭圆上任意一点,则当点P为椭圆短轴的端时,FPF
1 2 a2 b2 1 2
最大.
2
 PF  PF 
【证明】因为 PF
1
 PF
2
2a,F
1
F
2
2c ,所以 PF
1
 PF
2
„

1 2 

a2(当 PF
1
 PF
2
时取等),由余弦定
 2 
理知cosFPF 
PF
1
2  PF
2
2  F
1
F
2
2

 PF
1
 PF
2
2 2PF
1
PF
2
 F
1
F
2
2

4a2 4c2
1
4b2
1
1 2
2 PF PF 2 PF PF 2 PF PF 2 PF PF
1 2 1 2 1 2 1 2
2b2
a2
112e2(当 PF
1
 PF
2
时取等),所以当 PF
1
 PF
2
时,点P为椭圆短轴的端点时F
1
PF
2
最大.
x2 y2
【结论6】P为椭圆  1上异于长轴端点的点,F,F 为两个焦点,则FPF 称作焦点三角形.若
a2 b2 1 2 1 2
 2b2
FPF ,则S b2tan .通过余弦定理得: PF  PF 
1 2 F 1 PF 2 2 1 2 1cos
【证明】如图,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限,为P(x,y).
由余弦定理知 FF 2  PF 2  PF 2 2 PF  PF cos 4c2①.
1 2 1 2 1 2
2b2
由椭圆定义知 PF  PF 2a②.则②2①得 PF  PF  .
1 2 1 2 1cos
1 1 2b2 
故S  PF  PF sin  sinb2tan .
F 1 PF 2 2 1 2 2 1cos 2
x2 y2
【结论7】P是椭圆
a2

b2
1上的任意一点,F
1
和F
2
是椭圆的两个焦点,则 PF
1
 PF
2
的取值范围是

b2,a2
2b2
【证明】根据结论6可知 PF  PF  ,当P在左右顶点时,cos1,故 PF  PF b2,当P在上下顶点
1 2 1cos 1 2
a2 2c2
时,夹角最大,故cos取得最小值,由几何关系和余弦定理可得cos ,可得到 PF  PF a2,则
a2 1 2
PF  PF 的取值范围是b2,a2
1 2  
x2 y2  
【结论8】P是椭圆
a2

b2
1上的任意一点,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,则PF
1
PF
2
取值范围是

b2 c2,a2 c2

   
【证明】设Px ,y .,F c,0,F c,0，PF (cx ,y ),PF (cx ,y ),PF PF c2 x 2  y 2,又
0 0 1 2 1 0 0 2 0 0 1 2 0 0
x2 y2 b2   b2 c2  
a
0
2

b
0
2
1得y
0
2 b2 
a2
x
0
2,所以PF
1
PF
2
c2 x
0
2 b2 
a2
x
0
2 
a2
x
0
2 b2 c2,x
0
2

0,a2

,故PF
1
PF
2
的
取值范围是b2 c2,a2 c2
 
【结论9】椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线L的距离之比是常数e(0,1)的点的轨迹叫做椭圆
PF a2
(如下图),即 e.定点F 叫焦点,定直线叫准线.焦点分为左焦点和右焦点,准线分为左准线x 和右准
d c
a2
线x .注意:左焦点对应左准线,右焦点对应右准线.
c
x2 y2
【结论10】如图,F 是椭圆  1的左焦点,AB是过焦点的弦且倾斜角为,点A在x轴上方,则
a2 b2
b2 b2 x2 y2 b2 b2
|AF| ,|BF| .当F 是椭圆  1的右焦点时,|AF| ,|BF| .
accos accos a2 b2 accos accos
b2 b2
注意：正负也可通过弦的长短决定,|AF| ,|BF| 无需分左右焦点.
accos accos【证明】以左焦点为例,设左准线l交x轴于点P,过点A作AM  x轴于M ,作AN l于N,设d为点A到准线l
a2 a2
的距离,其中|PF| c,|MF||AF||cos|,则d |AN||PF||FM | c|AF|cos.
c c
b2
由e |AF| 得|AF|   a2 c|AF|cos  e b2 e|AF|cos,因此 AF  a  b2 .同理
 
d  c  a 1ecos accos
b2
|BF| .
accos
x2 y2
【结论11】若AB是经过椭圆  1焦点的一条弦,其中A,B分别是直线与椭圆的两个交点,则
a2 b2
1 1 2a
 的定值为
|AF| |BF| b2
b2 b2 1 accos 1 accos
【证明】根据结论10焦点弦公式|AF| ,|BF| .所以  ,  ,即
accos accos |AF| b2 |BF| b2
1 1 2a
 
|AF| |BF| b2
x2 y2
【结论12】若Ax ,y ,Bx ,y 是椭圆  1上两个不重合的点,线段AB的中点为Px ,y ,
1 1 2 2 a2 b2 0 0
b2x b2 y2 x2 a2x a2
则k   0 ,k k  (点差法)；椭圆方程为  1时,k   0 k k  .
AB a2y AB OP a2 a2 b2 AB b2y AB OP b2
0 0
x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2  y2
【证明】设Ax ,y ,Bx ,y 且x  x ,则 1  1 1① 2  2 1②;①-②得 1 2  1 2 ,所以
1 1 2 2 1 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
y y b2 x x  y  y b2 x x  y  y b2 1
1 2  1 2 ,所以k  1 2  1 2 .又k  1 2 , 所以k   ,所以
x x a2 y  y  AB x x a2 y y  OP x x AB a2 k
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 OP
b2
k k  (定值).
AB OP a2x2 y2 b2
【结论13】椭圆  1长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为
a2 b2 a2
y y
【证明】A(a,0),B(a,0),设Px ,y ,则k  0 ,k  0
0 0 PA x a PB x a
0 0
k k  y 0 2 又因为y2 b2  b2 x2  b2  a2 x2  ,所以k k  b2
PA PB x2 a2 0 a2 0 a2 0 PA PB a2
0
x2 y2
【结论14】设A,B是椭圆  1上关于原点对称的两点,点P为该椭圆上不同于A,B的任一点,若直线
a2 b2
b2
PA,PB的斜率分别为k ,k ,则k k  .
1 2 1 2 a2
y  y y  y
【证明】设Ax ,y ,Px ,y , 则Bx ,y .所以k k  0 1  0 1
1 1 0 0 1 1 AP BP x x x x
0 1 0 1
x2 y2
 1  1 1
y2  y2 a2 b2 y2 y2 b2 b2
 0 1 由 得 0 1  .所以k k  为定值.
x2 x2 x2 y2 x2 x2 a2 AP BP a2
0 1 0  0 1 0 1
 a2 b2
x2 y2 b2
【结论15】若l是椭圆  1不垂直于对称轴的切线,M 为切点,则k k 
a2 b2 l OM a2
【证明】设Mx ,y ,根据下一条结论,过点Mx ,y 的切线 l 方程为
0 0 0 0
x
0
x

y
0
y
1,所以k 
b2x
0 ,又因为k 
y
0 ，故 k k 
b2
a2 b2 l a2y
0
OM x
0
l OM a2
x2 y2 x x y y
【结论16】在椭圆  1 上一点Px ,y 处的切线方程为 0  0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
【证明】设所求的切线方程为yy kxx ,代人椭圆方程得b2x2  a2 kxkx  y 2 a2b2,即
0 0 0 0
 k2a2 b2  x2 2ka2kx  y xa2kx  y 2 b20①,因为直线与椭圆相切,所以方程①有相等的两个实数
0 0  0 0 根,因此4k2a4 kx 0 y 0 2  4a2  k2a2 b2   kx 0  y 0 2 b2  0.化简得k2  a2 x 0 2  2kx 0 y 0 b2  y 0 2 0②,
因为点Px ,y 在椭圆上,故b2x2 a2y2 a2b2,方程②的判别式 4x2y2 4  a2 x2  b2 y2 
0 0 0 0 1 0 0 0 0
 
4x2y2 4 a2b2 b2x2 a2y2 x2y2 0.故方程②有相等的两个实数根,且其根
0 0 0 0 0 0
x y b2x y b2x y b2x b2x x x y y
为:k  0 0  0 0  0 0  0 .则切线方程为yy  0 xx ,即 0  0 1.
a2 x2 a2b2 b2x2 a2y2 a2y 0 a2y 0 a2 b2
0 0 0 0 0
x2 y2 x x y y
【结论17】椭圆  1外一点Px ,y 所引两条切线的切点弦方程是 0  0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
x x y y
【证明】设Px ,y ,Ax ,y ,Bx ,y ,根据上一条结论,过椭圆上一点A的切线方程为 1  1 1,同时直线
0 0 1 1 2 2 a2 b2
x x y y

1 0  1 0 1
过点Px ,y ,所以
x
1
x
0 
y
1
y
0 1,同理可得
x
2
x
0 
y
2
y
0 1,可以得到


a2 b2
,直线AB分别过点
0 0 a2 b2 a2 b2 x
2
x
0 
y
2
y
0 1
 a2 b2
x x y y
Ax ,y ,Bx ,y ,满足上述方程组,所以直线AB的方程为 0  0 1.
1 1 2 2 a2 b2
x2 y2
【结论18】在椭圆  1内一点Px ,y ,过点P作椭圆的弦AB,过A,B作椭圆的切线,则两条切线的交
a2 b2 0 0
x x y y
点M 的轨迹方程为直线 0  0 1.
a2 b2
xx yy
【证明】设Px ,y , Mx,y根据上一条结论,过椭圆外一点Mx,y的切线方程AB为  1,同时直线
0 0 a2 b2xx yy xx yy
过点Px ,y ,所以 0  0 1,因为Px ,y 为定点,点Mx,y为动点,且满足 0  0 1,所以交点
0 0 a2 b2 0 0 a2 b2
x x y y
M 的轨迹方程为直线 0  0 1.
a2 b2
x2 y2 x x y y x2 y2
【结论19】以椭圆  1内一点Px ,y 为中点的弦所在的直线方程为 0  0  0  0 .
a2 b2 0 0 a2 b2 a2 b2
b2x
【证明】设过点Px ,y y 0根据点差法结论k   0 所以
0 0 0 AB a2y
0
b2 x
以P为中点的弦的直线方程为 yy   0 xx ,整理得
0 a2 y 0
0
x x y y x2 y2
0  0  0  0 (y0).当y 0时,以Px ,y 为中点的弦
a2 b2 a2 b2 0 0 0
x x y y x2 y2
所在的直线方程为xx 也适合上式.故以Px ,y 为中点的弦所在的直线方程为 0  0  0  0 .
0 0 0 a2 b2 a2 b2
a2 
【结论20】直线l过焦点F
2
(c,0)与椭圆相交于A,B两点,点P
  c
,0
 
(准线与x轴的交点), 则
APF BPF ,即k k 0
2 2 PA PB
【证明】当AB与x轴重合时,k k 0；当AB不与x轴重合时,设直线AB为xmyc,Ax ,y ,Bx ,y 
PA PB 1 1 2 2
k PA k PB  x  y 1 a2  x  y 2 a2  my  y c 1  a2  my  y c 2  a2  cmy c 1 y 1 b2  cmy c 2 y 2 b2  2  c c 2 m m y y 1  y 2 b2   c  b c 2 m  y y 1   b y 2 2  
1 c 2 c 1 c 2 c 1 2
xmyc
   2mcb2 b4
联立x2 y2 得到即 b2m2 a2 y2 2mcb2yb2c2 a2b2 0则y  y  ,y y  ，
  1 1 2 b2m2 a2 1 2 b2m2 a2
a2 b2
2mc2b4 cb22mcb2
2c2my y cb2y  y   0，所以k k 0,APF BPF
1 2 1 2 b2m2 a2 b2m2 a2 PA PBx2 y2
【结论21】过椭圆  1(ab0)上任意不同两点A,B作椭圆的切线,如果切线垂直且相交于P,则动点
a2 b2
P的轨迹为圆x2  y2 a2 b2.(蒙日圆)
【证明】若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时,可得点P的坐标是(a,b),或(a,b)满足要求.当两条互
相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时,设点P的坐标为x ,y x a,且y b,因此设过
0 0 0 0
x2 y2
点P的切线方程为yy kxx (k  0).由  a2  b2 1 可得  a2k2 b2  x2 2ka2kx  y x
0 0 0 0
 yy kxx 
 0 0
a2 kx y 2 a2b2 0.因为直线与椭圆相切,所以其判别式的值为0,得  x2 a2  k2 2x y k y2 b2 0
0 0 0 0 0 0
 
y2 b2
x2 a2 0 .因为k ,k 是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以k k  0 .由此得
0 PA PB PA PB x2 a2
0
k k 1 x2 y2 a2b2,进而可得x2  y2 a2 b2.
PA PB 0 0
▍双曲线 19 条核心二级结论及证明
2b2
【结论1】如图,过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径,长为
a
【证明】将xc带入双曲线方程,解得 y
b2
,从而得到 MN 
2b2
a a
x2 y2
【结论2】P为双曲线  1左上一点,若F 是左焦点,则PF 的取值范围是[c a,),若F 是右焦点,则
a2 b2
PF 的取值范围是[ca,).(在左右顶点处取得最值)
【结论3】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长,即b.
b
【证明】双曲线的渐近线方程y x,焦点坐标F (c,0),
2
a
bc bc
点与直线距离公式得d   b
a2 b2 c【结论4】如图,F,F 为双曲线的两个焦点,P(x ,y )为双曲线上任意一点,则
1 2 0 0
PF  ex a ， PF  ex a .(焦点在x轴)
1 0 2 0
PF  ey a ， PF  ey a .(焦点在y轴)
1 0 2 0
【证明】设Px ,y , PF 2 x c2  y2 x c2 
b2
x2 b2 
a2 b2
x2 2cx c2 b2
0 0 1 0 0 0 a2 0 a2 0 0
PF 2 
c2
x2 2cx a2 e2x2 2eax a2  aex 2,因为x a或ax ,所以无法判断正负，所以
1 a2 0 0 0 0 0 0 0
PF  aex ,因为 PF  PF 2a,所以 PF  ex a
1 0 2 1 2 0
x2 y2
【结论5】F,F 为双曲线  1的两个焦点,M 是双曲线上的动点,若FMF ,则
1 2 a2 b2 1 2
b2
S    2b2
MF 1 F 2  b2cot .通过余弦定理可得 MF  MF 
tan 2 1 2 1cos
2
【证明】由余弦定理可知 FF 2  MF 2  MF 2 2 MF  MF cos.由双曲线定义||MF ||MF ||2a,可得
1 2 1 2 1 2 2 1
MF 2  MF 2 2 MF  MF 4a2.
1 2 2 1
所以 4c2 2 MF  MF 4a2 2 MF  MF cos MF  MF 
2b2
,则
2 1 1 2 1 2 1cos
 
b22sin cos
S  1 MF  MF sin 1  2b2sin  2 2  b2 b 2cot  .
MF 1 F 2 2 1 2 2 1cos 2sin2  tan  2
2 2
x2 y2

【结论6】P是双曲线  1上的任意一点,F ,F 是双曲线的焦点,则 PF  PF 的取值范围是b2, .
a2 b2 1 2 1 2 
【证明】由结论5可知, PF  PF 
2b2
,在双曲线中FPF 的范围为0,,故cos1,1,则
1 2 1cos 1 2

PF  PF 的取值范围是b2,
1 2 x2 y2  
【结论7】P是双曲线  1上的任意一点,F ,F 是双曲线的左右焦点,则PF PF 的取值范围是
a2 b2 1 2 1 2

b2,

   
【证明】Px ,y ,F c,0,F c,0,PF (cx ,y ),PF (cx ,y ),PF PF c2 x 2  y 2
0 0 1 2 1 0 0 2 0 0 1 2 0 0
x2 y2 b2   b2 c2 
又 0  0 1得y2  x2 b2,所以PF PF c2 x 2  x2 b2  x2 b2 c2,x2a2, ,故
a2 b2 0 a2 0 1 2 0 a2 0 a2 0 0 
  
PF 1 PF 2 的取值范围是  b2, .
【结论8】双曲线的第二定义:平面内到定点F 的距离与到定直线l(定点F 在定直线l外)的距离之比为常数
e(其中e1)的点的轨迹是双曲线.常数e是双曲线的离心率.定点F 是双曲线的焦点,定直线l是双曲线相应于
定点F 的准线.
x2 y2 a2
(1) 对于双曲线  1(a0,b0),左焦点F(c,0)对应的准线方程为x ;
a2 b2 1 c
a2
右焦点F (c,0)对应的准线方程为x .
2
c
y2 x2 a2
(2) 对于双曲线  1(a0,b0),下焦点F(0,c)对应的准线方程为 y ;
a2 b2 1 c
a2
上焦点F (0,c)对应的准线方程为y .
2
c
x2 y2
【结论9】如图,F 是双曲线  1的右焦点,过焦点的弦倾斜角为,交双曲线同一支于A,B两点,点A在
a2 b2
b2 b2
x轴上方,则|AF| ,|BF| .
accos accos
b2 b2
当F 是双曲线的左焦点,则|AF| ,|BF|
accos accos
b2 b2
注意：正负也可由弦的长短决定|AF| ,|BF| ,不必区分左右焦点.
accos accos【证明】以右焦点为例,设右准线l交x轴于点P,过点A作AM  x轴于M ,作AN l于N,设d为点A到准线l
a2 a2
的距离,其中 |PF|c ,|MF||AF||cos|,则d |AN||PF||FM |c |AF|cos.
c c
b2
由双曲线第二定义e
|AF|
得|AF|

  c
a2
|AF|cos

  e
b2
e|AF|cos,因此 AF  a 
b2
.
d  c  a 1ecos accos
b2
同理|BF| .
accos
x2 y2
【结论 10】若 AB 是经过双曲线  1焦点的一条弦,其中 A, B 分别是直线与双曲线的两个交点,则
a2 b2
1 1 2a
 的定值为
|AF| |BF| b2
b2
【证明】根据结论9知 AF  a 
b2
,|BF|
b2
故
1

1
的定值为
2a
1ecos accos accos |AF| |BF| b2
x2 y2
【结论11】若Ax ,y ,Bx ,y 是双曲线的方程为  1上两个不重合的点,线段AB的中点为Px ,y ,
1 1 2 2 a2 b2 0 0
b2x b2 y2 x2 a2x a2
则k  0 ,k k  ；当双曲线的方程为  1(ab0)时,k  0 ,k k  .
AB a2y AB OP a2 a2 b2 AB b2y AB OP b2
0 0
x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2  y2
【证明】设Ax ,y ,Bx ,y 且x  x ,则 1  1 1① 2  2 1②；①-②得 1 2  1 2 ,所以
1 1 2 2 1 2 a2 b2 a2 b2 a2 b2
y
1
 y
2 
b2 x
1
x
2

,所以k 
y
1
 y
2 
b2 x
1
x
2

.又k 
y
1
 y
2 ,所以k 
b2

1
,所以k k 
b2
x x a2 y  y  AB x x a2 y  y  OP x x AB a2 k AB OP a2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 OP
(定值).
x2 y2 b2
【结论12】双曲线  1长轴的两个端点与除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为 .
a2 b2 a2【证明】两顶点A(a,0),B(a,0),设Px ,y ,
0 0
y y y2
则k  0 ,k  0 ,k k  0
PA x a PB x a PA PB x2 a2
0 0 0
b2 b2
 
b2
又因为y2  x2 b2  x2 a2 ,所以k k 
0 a2 0 a2 0 PA PB a2
x2 y2
【结论13】设A,B是双曲线  1上关于原点对称的两点,点P为该双曲线上不同于A,B的任一点,若直
a2 b2
b2
线PA,PB的斜率分别为k ,k ,则k k  .
1 2 1 2 a2
【证明】设Ax ,y ,Px ,y ,则Bx ,y .
1 1 0 0 1 1
y y y  y y2y2
所以k k  0 1 0 1  0 1 .
AP BP x x x x x2 x2
0 1 0 1 0 1
x2 y2
 1  1 1
a2 b2 y2  y2 b2 b2
由 得 0 1  .故k k  为定值.
x2 y2 x2 x2 a2 AP BP a2
0  0 1 0 1
 a2 b2
x2 y2 b2
【结论14】若l是双曲线  1不垂直于对称轴的切线,M 为切点,则k k 
a2 b2 l OM a2
【证明】设Mx ,y ,根据下一条结论,过点Mx ,y 
0 0 0 0
x x y y b2x
的切线l方程为 0  0 1,所以k  0 ,又因为
a2 b2 l a2y
0
k 
y
0 ，故k k 
b2
OM x
0
l OM a2
x2 y2 x x y y
【结论15】双曲线  1上一点Px ,y 处的切线方程是 0  0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
【证明】设所求的切线方程为yy kxx ,代人双曲线方程得b2x2  a2 kxkx  y 2 a2b2,即
0 0 0 0
 b2 k2a2  x2 2ka2kx  y xa2kx  y 2 b20①,因为直线与椭圆相切,所以方程①有相等的两个实数
0 0  0 0 根,因此4k2a4 kx 0 y 0 2  4a2  b2 k2a2   kx 0  y 0 2 b2  0.化简得k2  x 0 2 a2  2kx 0 y 0 b2  y 0 2 0②,
因为点Mx ,y 在椭圆上,所以b2x2 a2y2 a2b2,方程②的判别式 4x2y2 4  x2 a2  b2 y2  4x2y2 
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
  x y b2x y b2x y b2x
4 a2b2 b2x2 a2y2 x2y2 0.故方程②有相等的两个实数根为:k  0 0  0 0  0 0  0 .则
0 0 0 0 x2 a2 b2x2 a2b2 a2y2 a2y
0 0 0 0
b2x x x y y
切线方程为y y  0 xx ,即 0  0 1.
0 a2y 0 a2 b2
0
x2 y2 x x y y
【结论16】双曲线  1 外一点Px ,y 所引两条切线的切点弦方程是 0  0 1.
a2 b2 0 0 a2 b2
x x y y
【证明】设Px ,y ,Ax ,y ,Bx ,y ,根据上一条结论,过双曲线上一点A的切线方程为 1  1 1,同时直
0 0 1 1 2 2 a2 b2
x x y y

1 0  1 0 1
线过点Px ,y ,所以
x
1
x
0 
y
1
y
0 1,同理可得
x
2
x
0 
y
2
y
0 1,可以得到


a2 b2
,直线AB分别过点
0 0 a2 b2 a2 b2 x
2
x
0 
y
2
y
0 1
 a2 b2
x x y y
Ax ,y ,Bx ,y ,满足上述方程组,所以直线AB的方程为 0  0 1.
1 1 2 2 a2 b2
x2 y2
【结论17】在双曲线  1内一点Px ,y ,过点P作双曲线的弦AB,过A,B作双曲线的切线,则两条切
a2 b2 0 0
x x y y
线的交点M 的轨迹方程为直线 0  0 1.
a2 b2xx yy
【证明】设Px ,y , Mx,y根据上一条结论,过双曲线外一点Mx,y的切点弦方程AB为  1,同时
0 0 a2 b2
xx yy xx yy
直线过点Px ,y ,所以 0  0 1,因为Px ,y 为定点,点Mx,y为动点,且满足 0  0 1,所以交
0 0 a2 b2 0 0 a2 b2
x x y y
点M 的轨迹方程为直线 0  0 1.
a2 b2
x2 y2 x x y y x2 y2
【结论18】以双曲线  1 内一点Px ,y 为中点的弦所在的直线方程为 0  0  0  0 .
a2 b2 0 0 a2 b2 a2 b2
b2x
【证明】设过点 Px ,y y 0 根据点差法结论 k  0 所以以 P 为中点的弦的直线方程为
0 0 0 AB a2y
0
b2 x x x y y x2 y2
y y   0 xx ,整理得 0  0  0  0 (y0).当 y 0时,以Px ,y 为中点的弦所在的直线方程
0 a2 y 0 a2 b2 a2 b2 0 0 0
0
x x y y x2 y2
为xx 也适合上式.故以Px ,y 为中点的弦所在的直线方程为 0  0  0  0 .
0 0 0 a2 b2 a2 b2
x2 y2
【结论19】过双曲线  1(ab0)上任意不同两点A,B作双曲线的切线,如果切线垂直且相交于P,则动
a2 b2
点P的轨迹为圆x2  y2 a2 b2.(蒙日圆)(双曲线ab时,轨迹不存在)
【证明】证明过程可参照椭圆
▍抛物线 20 条核心二级结论及证明
【结论1】过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点，连接这两交点的线段称为抛物线的通径，
它的长为2p
p
【证明】将x 带入抛物线方程 y2 2px(p0) ,解得yp,从而得到通径长为2p
2【结论2】抛物线方程为y2 2px(p0),过(2p,0)的直线与之交于A,B两点,则OAOB.反之也成立.
【证明】设Ax ,y ,Bx ,y ,直线 AB 的方程为xkym,联立方程得
1 1 2 2
xkym
 ,整理得 y2 2pky2pm0 ,所以y  y 2pk,y y 2pm.
y2 2px 1 2 1 2
 
又以 AB 为直径的圆过原点, 则 OAOBx x  y y m2 2pm0,解得
1 2 1 2
m2p.所以xky2p.故直线
AB
过定点(2p,0).
▍抛物线焦点弦性质
如图,AB为抛物线y2 2px(p0)的焦点弦,Ax ,y ,Bx ,y ,焦点
1 1 2 2
 p  p
F ,0,准线l:x ,准线与x轴交点为P，作ACl,BDl且
 2  2
M ,N分别为线段AB,CD的中点,R为MN 与抛物线的交点,则有以
下性质（性质3-13）
【结论3】|AB| x x  p
1 2
p p
【证明】根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,可得|AF|x  ,|BF| x  ,故
1 2
2 2
|AB||AF||BF| x x  p
1 2
【结论4】AB为抛物线y2 2px(p0)的焦点弦,设Ax ,y ,Bx ,y ,则y y p2,x x 
p2
1 1 2 2 1 2 1 2
4
p p2
【证明】如图,当AB的斜率不存在时,依题意x x  ,所以x x  .当AB的斜率存在时,设为k,则
1 2 2 1 2 4
 p  p 2 k2p2 p2
AB:ykx ,与y2 2px联立得k2 x  2pxk2x2 (k2 2)px 0.所以x x  . 因为
 2  2 4 1 2 4
y2 y2
x  1 ,x  2 ,所以y2y2  p4  y y p2,但y y 0,所以y y p2.
1 2p 2 2p 1 2 1 2 1 2 1 2
p
另证:设直线AB的方程为:xmy ,与y2 2px联立,得y2 2pmy p2 0,故y  y 2pm,y y p2.综
2 1 2 1 2
p2
上可知:x x  ,y y p2.
1 2 1 2
4p p 2p
【结论5】|AF| ,|BF| ,|AB|  (为AB的倾余角)
1cos 1cos sin2
【证明】设准线l交x轴于P点,过点A作AM  x轴于M ,作AC l于C .设
d为点A到准线l的距离,于是 |AF||AC|.其中|PF| p,|MF||AF||cos|,
p
故|AC||PF||FM | p|AF|cos,|AF| p|AF|cos,故|AF| .
1cos
p 2p 2p
同理|BF| ,所以|AB||AF||BF|  .
1cos 1cos2 sin2
1 1 2
【结论6】   (定值)
|AF| |BF| p
p p 1 1 2
【证明】根据结论5得|AF| ,|BF| 可得  
1cos 1cos |AF| |BF| p
p p2
【结论7】S S  y y 
AOB COD 4 1 2 2sin
【证明】根据结论4可得,y  y 2pm,y y p2,所以
1 2 1 2
y y   y  y 2 4y y  4p2m2 4p2
1 2 1 2 1 2
cos2
p2 1
p p2 m2 1 sin2 p2
故S S  y  y   
AOB COD 4 1 2 2 2 2sin
【结论8】三个垂直CF FD，NF  AB,AN BN
【证明】
 p   p     
C  ,y ,D  ,y 得FC p,y ,FDp,y ,FCFD p2 y y ,
 2 1   2 2  1 2 1 2
   p y  y 
根据上条结论y y p2,得FCFD0,故CF FD设N  , 1 2 ,得
1 2  2 2 
  y  y     y2 y2
FN   p, 1 2 ,BAx x ,y  y ,FNBApx x  1 2 ,
 2  1 2 1 2 1 2 2
  y2 y2
因为y2 2px ,y2 2px 代入FNBApx x  1 2  0,故NF  AB
1 1 2 2 1 2
2
 p y  y    p y  y    p y  y 
N  , 1 2 ,NA x
1
 , 1 2 ,NB x
2
 , 2 1 ,
 2 2   2 2   2 2   p p2 2y y y2y2 p2
NANBx x  x x   1 2 1 2 ,因为y2 2px ,y2 2px ,x x  ,y y p2代入原式化
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 4 4 4
 
简得NANB0,故AN  BN
【结论9】线段MN 被抛物线平分,即R为线段MN 的中点
y  y y  y 2
【证明】R点的纵坐标为 1 2 ,将纵坐标代入抛物线方程得到 1 2 2px ，因为y2 2px ,y2 2px ,化
2 4 1 1 2 2
x x  p x x  p p x x  p CABD x x  p
简得x 1 2 ,故 NR  1 2   1 2 , MN   1 2 ,故R为线段MN 的中点
4 4 2 4 2 2
1 1
【结论10】|RF| |MN| |AB|
2 4
【证明】结合结论8和结论9NF  AB可知△MNF 为直角三角形,
1
R为线段MN 的中点即为斜边中点,故|RF| |MN|,又因为
2
1 1 1 1
|MN| CABD AB ,故|RF| |MN| |AB|
2 2 2 4
【结论11】A,D,O三点共线；B,C,O三点共线
y y 2p  p 
【证明】k OA  x 1 ,因为y 1 2 2px 1 ,则k OA  x 1  y ,因为D  - 2 ,y 2   ,所
1 1 1
2y
以k - 2 因为y y -p2,化简得k k ,A,D,O三点共线.
OD p 1 2 OA OD
【结论12】角平分线结论 ①APF BPF . ②CF平分AFP,DF平分BFP
【证明】过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D.因为
CP AF CP CA
AC //PF //BD,故  ,而AF CA,BF DB,故  ,
DP FB DP DB
CP DP
即  .而ACPBDP90,则有ACP∽BDP,所以
CA DB
CPADPB,即APF BPF .
证明②：因为AC  AF ,所以ACF AFC ,因为AC//PF,所以
ACF CFP,所以AFC CFP,故CF 平分AFP.同理可得DF平分BPF【结论13】四个相切圆(均可通过上述结论证明)
①以AB为直径的圆必与准线相切 ②以CD为直径的圆与AB相切于F
③以BF 为直径的圆与y轴相切 ④以AF 为直径的圆与y轴相切
【结论14】过直线ym(m0)上但在抛物线x2 2py外(即抛物线准线所在区域)一点Mx ,m向抛物线引两
0
x x 2m
条切线,切点分别为A,B,则直线AB必过定点N(0,m),x  A B 且有k k  .
0 2 AB MN p
延伸：过直线xm(m0)上但在抛物线y2 2px外(即抛物线准线所在区域)一点Mx ,y 向抛物线引两条切
0 0
y  y p
线,切点分别为A,B,则直线AB必过定点N(m,0),y  A B 且有k k  .
0 AB MN
2 2m
 x2   x2 
【证明】因为点A,点B在抛物线上，根据条件设Ax , 1 ,Bx , 2 ,显然x x ,M x ,m.由x2 2py 得
  1 2p     2 2p   1 2 0
y
x2
, 因此y 
x
,所以k 
x
1,k 
x
2 .所以直线MA的方程为ym
x
1xx ,直线MB的方程为
MA MB 0
2p p p p p
y m x 2 xx  .所以 x 1 2 m x 1 x x ① x 2 2 m x 2  x x ② 由①②得 x 1 x 2 x x x 因此
p 0 2p p 1 0 2p p 2 0 2 1 2 0
x2 x2
x x 2m 2  1 x x x 2m
x 0  1 2 2 .k MN  x ， k  2p 2p ,因为x 0  1 2 2 ,所以k AB  p 0 ，故有k AB k MN  p .
0 AB x x
2 1【结论15】抛物线的弦中点问题
p
(1)设抛物线y2 2px(p0)的弦为AB,弦AB的中点为Cx
0
,y
0
,则k
AB

y
.
0
p
(2)设抛物线y2 2px(p0)的弦为AB,弦AB的中点为Cx
0
,y
0
,则k
AB

y
.
0
x
(3)设抛物线x2 2py(p0)的弦为AB,弦AB的中点为Cx ,y ,则k  0 .
0 0 AB p
x
(4)设抛物线x2 2py(p0)的弦为AB,弦AB的中点为Cx ,y ,则k  0 .
0 0 AB p
【证明】以y2 2px(p0)为例,设Ax ,y ,Bx ,y 且x  x ,则y2 2px (p0)① y 2 2px (p0)②
1 1 2 2 1 2 1 1 2 2
y  y 2p y  y 2p p
①-②得y2  y2 2px x ,所以 1 2  ,所以k  1 2   .同理点差法可证.
1 2 1 2 x x y  y  AB x x 2y y
1 2 1 2 1 2 0 0
【结论16】切线斜率结论
p
抛物线y2 2px(p0)上一点Ax ,y 处切线的斜率若存在即为k  .
0 0 y
0
p
抛物线y2 2px(p0)上一点Ax ,y 处切线的斜率若存在即为k  .
0 0 y
0
x
抛物线x2 2py(p0)上一点Ax ,y 处切线的斜率若存在即为k  0 .
0 0 p
x
抛物线x2 2py(p0)上一点Ax ,y 处切线的斜率若存在即为k  0 .
0 0 p
y2 2px
【证明】以 y2 2px(p0) 为例，联立抛物线与直线方程  得
 y y
0
kxx
0

k2x2   2ky 2k2x 2p  xk2x 2 2kx y  y 2 0,直线与抛物线相切,故令0 ，化简得 2x k2 2y k  p0 ,
0 0 0 0 0 0 0 0
y p
解k  0  ,同理可证,求导可证明
2x y
0 0
【结论17】过抛物线y2 2px(p0)上的点Px ,y 的切线方程是y y pxx .
0 0 0 0
【证明】通过结论17可知斜率,进而带入直线方程化简可得到结论
【结论18】过抛物线y2 2px(p0)外一点Px ,y 所引两条切线的切点弦方程是y y pxx .
0 0 0 0
【证明】设Px ,y ,两切点Ax ,y ,Bx ,y 根据上一条结论,过抛物线线上一点A的切线方程为
0 0 1 1 2 2y y pxx ,同时直线过点Px ,y ,所以y y  px x ,同理可得y y  px x ,可以得到
1 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2
y y  p  x x 
 1 0 0 1 ,直线AB分别过点Ax ,y ,Bx ,y ,满足上述方程组,所以直线AB的方程为
 y
2
y
0
 p  x
0
x
2
 1 1 2 2
y y pxx .
0 0
【结论19】过抛物线y2 2px(p0)内一点Px ,y ,过点P作抛物线弦AB,过A,B作抛物线的切线,则两条切
0 0
线的交点M 的轨迹方程为直线y y pxx .
0 0
【证明】设Px ,y , Mx,y根据上一条结论,过双曲线外一点Mx,y的切点弦方程AB为yy pxx,同
0 0
时直线过点Px ,y ,所以yy  px x,因为Px ,y 为定点,点Mx,y为动点,且满足yy  px x,
0 0 0 0 0 0 0 0
所以交点M 的轨迹方程为直线y y pxx .
0 0
【结论 20】设圆锥曲线 C 的焦点 F 在 x 轴上,过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点,若
  1 1
AF FB(0),则e 1k2 ,即|ecos| .(椭圆,双曲线,抛物线均适用,抛物线e1)
1 1
【证明】如图所示,过A,B分别作准线的垂线,垂足为A,B ,过B作BC  AA ,垂足为C .由圆锥曲线的第二定义
1 1 1
|AF| |BF| |AF||BF| 
可知 AA  , BB  ,从而得|AC| AA  BB  ,又因为|AF| |AB|,
1 e 1 e 1 1 e 1
1 1  1 
|BF| |AB|,所以|AC|   |AB|,在RtABC中,|BC| k|AC|.由勾股定理知
1 e1 1
1 1 1
|AB|2|AC|2 |BC|2,可得e  1k2  .若倾斜角为,则e 1tan2 ,即|ecos|  .
1 1 1