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基本不等式【题集】
1. 均值不等式的总结
【备注】将所有题目中的函数二字去掉，对f(x)这个符号简单说一下等同于y
1. 若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，
由基本不等式得： ．
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ 有最小值为： ，
故答案为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
2. 已知 ，函数 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵ ，函数 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
故函数 的最小值是 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
3. 已知 ，那么 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
1【解析】
由均值不等式得 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
4. 下列不等式正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项 、 只在 为正时成立．
选项 只有 均为正时成立．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
5. 已知 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
，当且仅当 ，即
时等号成立．
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
【素养】数学运算
6. 若 ， ， ，则 的最大值是 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，又∵ ，
∴ ，等号成立，
当且仅当 和 同时成立，
即等号成立当且仅当 ， ，
∴ ，
∴ 的最大值是 ．
2故答案为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
7. 若 ，则函数 的最小值是 ，取到最小值时， ．
【答案】 ;
【解析】
由均值不等式， ，
取等条件为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
8. 设 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】原式 ，
，
则最大值为 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
2. 均值不等式的常见形式----倒数和形式
9. 若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵ ，
∴ ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
310. 当 时，函数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，
∴
，
当且仅当 即 时取等号，
故答案为： ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
11. 已知 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 的最大值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式求最值
12. 已知 ，则不等式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
∴不等式 的最小值为 ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
13. 求函数 的最小值，并求出取得最小值时的 值．
4【答案】 ．
【解析】∵ ， ，∴
，
当且仅当 ，即 时取到等号．∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【标注】【素养】数学运算
14. 若 ，则代数式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 ，
，
(当 时等号成立)，
故答案为： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
15. 函数 的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，
当且仅当 即当 时取“ ”，
∴ 的最小值为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
16. 已知 ，则函数 有最 值为 ，此时 .
5【答案】小 ; ;
【解析】
，
此时 ， ．
【标注】【知识点】基本不等式成立的条件
17. 求 的最小值．
【答案】 ．
【解析】 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．所以 的最小值是 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式成立的条件
18. 若 ，则代数式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
原式 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
19. 已知 ，则 的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，则 ，当
且仅当 时取等号． 的最小值为 ．
故选： ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的实际应用
620. 设 ，则函数 的最大值是 ．
【答案】
【解析】 ，
令 ， ，则 ．
则 ，即 有最小值 ，
对于 ，
由 ，可得 ，
即的最大值为 ．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值
21. 已知 ，则 有最 值为 ．
【答案】大 ;
【解析】由 ，知 ．
∴ ．
当且仅当 即 时取等．
∴ ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用
【素养】逻辑推理
22. 设 ，则代数式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
( )，
当且仅当 时等号成立，
．
【标注】【知识点】基本不等式的概念；利用基本不等式求最值
723. 求代数式 的最小值为 ．
【答案】
【解析】
．
【标注】【知识点】利用基本不等式求最值；基本不等式的概念
24. 已知 ，则函数 的最大值是 ．
【答案】
【解析】已知 ，则 ， ，
∴
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最大值是 ．
【标注】【知识点】基本不等式的概念
25. 设 ， ， ，求证： ．
【答案】证明见解析．
【解析】 ，
，
，
∴ ．
【标注】【知识点】利用基本不等式证明其它不等式；基本不等式的概念
26. 设 ， ， ，求证： ．
8【答案】证明见解析．
【解析】 ，
，
，
∴ ．
【标注】【知识点】基本不等式的实际应用；利用基本不等式证明其它不等式
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