文档内容
双曲线的性质
一、 课堂目标
1．从范围，对称性，顶点，渐近线，离心率几个角度出发研究并掌握双曲线的基本性质．
2．能够实现双曲线的标准方程和双曲线的几何性质之间的灵活转化．
二、 知识引入
复习回顾（一）
双曲线的定义：平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点
的轨迹（或集合）叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
复习回顾（二）
椭圆的简单的几何性质
1那么这节课我们利用研究椭圆的几何性质的方法来研究双曲线的几何性质．
三、 知识讲解
已知双曲线 的标准方程为 ，
下面我们利用上述方程来研究双曲线的一些几何性质．
1. 范围
由方程 可知，双曲线 上任意一点的坐标 都适合不等式
，即 ，解得 或 ．
因此双曲线 位于两条直线 和 所夹平面区域的外侧，如下图：
2例题
1. 已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
2. 若方程 表示的是双曲线，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. 或 D.
2. 对称性
类似于对椭圆对称性的讨论，可知双曲线 是以 轴， 轴为对称轴的轴对称图形；也是以原点为对称中
心的中心对称图形．这个对称中心叫做双曲线的中心．
3. 顶点
标准方程中，令 ，可知双曲线 与 轴有两个交点，分别是 和 ．令
，得 ，这个方程没有实数根，说明双曲线 与 轴没有公共点．
如下图：
3双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．双曲线 的顶点是 和 ，这两个顶
点是双曲线两支中相距最近的点．线段 叫做双曲线的实轴，它的长度等于 ．同时在 轴上作点
， ，线段 叫做双曲线的虚轴，它的长度等于 ．相应地， 和 分别是双曲线的
实半轴长和虚半轴长．
例题
3. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的 倍，则实数 的值是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 双曲线 的实轴长是（ ）．
A. B. C. D.
例题
5. 与双曲线 有相同焦点，且经过点 的双曲线的标准方程是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
46. 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ，则双曲线的方程为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
7. 与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是 ．
4. 渐近线
下面研究双曲线与一对相交直线 的位置关系．
由于双曲线与 都是关于原点呈中心对称的，因此我们把注意力集中在第一象限即可．
此时双曲线方程可等价变形为 ，
，这说明在第一象限内，双曲线 上的任意一点 总是位于直
线 的下方．
如图：
过 作直线 的垂线 ，根据点到直线的距离公式， 点到直线 的距离
，
单独考察分母 ，当 时， 随着 的增大而增大，故 随着
的增大而减小，故有当 越来越大时， 越来越接近于 ．
这说明当 从双曲线的右顶点沿着第一象限的路径向右上方移动时，点 与直线 越来越接近．
由此可见，此双曲线的右支向右上方无限延伸时，它总在直线 下方，且与直线 越来越
接近，但不会相交（根据对称性，其它三个象限也有同样的状况），我们称这种微妙的关系为“渐
5近”．把直线 叫做双曲线的渐近线．
例题
8. 双曲线 的一条渐近线的方程为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 双曲线 的两条渐近线的方程为 ．
10. 双曲线 的渐近线方程是（ ）．
A. B. C. D.
例题
11. 双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 双曲线 的顶点到其渐近线的距离等于（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
6练习
13. 双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）．
A. B. C. D.
例题
14. 若双曲线的渐近线方程为 ，一个焦点是 ，则双曲线的方程是 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的一个焦点坐标为 ，
求双曲线的方程（ ）．
A. B. C. D.
5. 离心率
双曲线的焦距与实轴的比 ，叫做双曲线的离心率．由 ．
由关系式 ．
因此 越大， 也越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭变得开
阔．最终结论就是：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
例题
16. 双曲线 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
7练习
17. 双曲线 的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
例题
18. 已知双曲线 （ ）的离心率是 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 已知双曲线 的离心率为 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
例题
20. 若双曲线 一条渐近线方程为 ，则该双曲线离心率为（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
例题
822.
已知双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 已知双曲线 ， 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程是（ ）．
A. B. C. D.
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
24. 若双曲线 （ ）的一个焦点为 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. D.
25. 已知点 在以坐标原点为对称中心，以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的标
准方程为（ ）．
A. B. C. D.
26. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，则此双曲线的一个焦点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
27. 双曲线 的离心率是 ，渐近线方程是 ．
28. 已知双曲线 （ ）的一个焦点是 ，则其渐近线的方程为 ．
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