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圆【题集】
1. 圆的方程方程
圆的标准方程
1. 已知⊙ 的圆心 ，半径为 ，则⊙ 的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为☉ 的圆心为 ，半径为 且圆的标准方程 ，
所以圆的方程为 ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 圆心在 上，半径为 的圆的标准方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵圆心在 上，半径为 ，
根据圆的标准方程得： ．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
3. 写出下列各圆的标准方程．
（ 1 ）圆心在原点，半径为 ．
（ 2 ）圆心为 ，半径为 ．
（ 3 ）圆心为 且过原点．
【答案】（ 1 ） ．
1（ 2 ） ．
（ 3 ） ．
【解析】（ 1 ）设圆的标准方程为 ．
因为圆心在原点，半径为 ，所以 ， ， ，所以圆的标准方程为
．
（ 2 ）设圆的标准方程为 ．
因为圆心为 ，半径为 ，所以 ， ， ，所以圆的标准方程为
．
（ 3 ）设圆的标准方程为 ．
因为圆心为 且过原点，所以 ， ，
，所以圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
4. 写出下列圆的标准方程：
（ 1 ）圆心在 ，半径长是 ．
（ 2 ）圆心在 ，且经过点 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
5. 根据下列条件求圆的标准方程：
（ 1 ）过两点 ， ，且圆心在直线 上．
（ 2 ）圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ．
【答案】（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）方法一：设所求圆的标准方程为 ，
2依题意，有 ，
即 ，解得 ，
故所求圆的标准方程为 ．
方法二：直线 的斜率 ，
所以线段 的垂直平分线 的斜率为 ，
线段 的中点横坐标和纵坐标分别为 ， ，
因此直线 的方程为 ，即 ，
又因为圆心在直线 上，所以圆心是这两条直线的交点，
联立方程，得 ，
解得 ，
所以圆心坐标为 ，设圆心为 ，
则半径长 ，
所以所求圆的标准方程为 ．
方法三：设圆心为 ，
因为圆心在直线 上，
所以可设圆心 的坐标为 ，
又因为 ，
所以
，
解得 ，
所以圆心坐标为 ，半径长 ，
故所求圆的标准方程为 ．
（ 2 ）方法一：设圆的标准方程为 ，
则有 ，解得 ，
所以圆的标准方程为 ．
方法二：过切点且与 垂直的直线为 ，与 联立可求得
圆心坐标为 ，
3则半径 ，
所以所求圆的标准方程为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题；圆的切线的相关问题
圆的一般方程
6. 将圆 平分的直线是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将圆的方程化为标准方程得： ，
可得出圆心坐标为 ，
将 ， 代入 选项得： ，故圆心不在此直线上；
将 ， 代入 选项得： ，故圆心不在此直线上；
将 ， 代入 选项得： ，故圆心在此直线上；
将 ， 代入 选项得： ，故圆心不在此直线上，
则直线 将圆平分．
故选 ．
【标注】【知识点】直线与圆的位置判断
7. 若方程 表示圆，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方程 表示一个圆，
则 ，
∴
故答案为 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
8. 若方程 表示圆，则 的取值范围是（ ）.
A. 或 B. C. D.
4【答案】D
【解析】由二元二次方程表示圆的条件，有 ，解之可得
.
【标注】【知识点】圆的方程的判定
9. 若 表示一个圆的方程，则 的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵方程 表示圆的方程，∴ ，即
．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的方程的判定
10. 在平面直角坐标系中，经过三点 ， ， 的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】数形结合，
易得，圆心为 ，半径为 ，
故 ，即 ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
11. 已知平面上三个定点 、 、 ．
（ 1 ）求点 到直线 的距离．
（ 2 ）求经过 、 、 三点的圆的方程．
5【答案】（ 1 ）
．
（ 2 ） ．
【解析】（ 1 ）由 ， ，得到直线 的斜率为 ，
∴ 的方程为 ，即 ，
∴点 到直线 的距离为：
．
（ 2 ）设所求圆的方程为 ，
将 ， ， 三点坐标代入方程可得：
，
解得 ，
∴圆的方程为 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式；圆的一般方程问题
12. 判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程：
（ 1 ） ．
（ 2 ） ．
【答案】（ 1 ）不表示圆．
（ 2 ）标准方程为： ．
【解析】（ 1 ）原方程可化为 ，此方程不表示任何曲线，故不表示
圆．
（ 2 ）原方程可化为 ．
①当 时，方程表示点 ，不表示圆；
②当 时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆，标准方程为：
．
【标注】【知识点】圆的一般方程问题；圆的标准方程问题
13. 将下列圆方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
6（ 1 ）
（ 2 ）
【答案】（ 1 ） ， ；
（ 2 ） ， ；
【解析】（ 1 ）圆心坐标为 ， ，半径为 ．
故答案为： ， ； ．
（ 2 ）圆心坐标为 ， ，半径为 ．
故答案为： ， ； ．
【标注】【知识点】圆的标准方程问题
2. 判断直线与圆的位置关系
14. 圆 的圆心到直线 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆方程化为标准方程 ，所以圆心 ，到直线的距离
．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】点到直线的距离公式
15. 已知直线 与圆 相切，则 ．
【答案】
【解析】由题意得，圆心 到直线 的距离 ，即 ，
解得 ．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
716. 直线 与圆 相切，则 的值为（ ）．
A. ， B. C. D.
【答案】D
【解析】利用圆心到直线的距离等于半径，可得 ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题
17. 直线 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 取决于 的值
【答案】A
【解析】由题意：圆的方程为 ，
圆心到直线的距离 ，
∵ ，
∴直线与圆的位置关系为相交．
故选 ．
【标注】【知识点】圆的弦长的相关问题
【素养】数学运算
18. 圆 的切线中有一条是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的半径为 ，圆心的横坐标为 ，故圆与 轴相切，
即 为圆的一条切线，故选C．
【标注】【知识点】圆的切线的相关问题
【素养】数学运算
819. 直线 与圆 相切，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵直线 与圆 相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题
20. 圆 与直线 的位置关系是（ ）．
A. 相离 B. 相交或相切 C. 相交 D. 相交，相切或相离
【答案】B
【解析】直线 恒过 ，代入圆 ，
可得 在圆上，故直线和圆相交或相切．
故选 ．
【标注】【素养】数学运算
【知识点】圆的切线的相关问题
【知识点】圆的弦长的相关问题
21. 圆心为 且与直线 相切的圆的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆心为 ，设圆方程为 ，
圆与 相切，故圆心到 的距离为 ，解得 ，
故方程为 ．
9【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆的方程
3. 点与圆的位置关系
22. 点 在圆 的内部，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】圆 即 ，
∴ ，
解得 ．
【标注】【知识点】点与圆的位置关系问题
23. 点 与圆 的位置关系是( )
A. 圆内 B. 圆外 C. 圆上 D. 不能确定
【答案】B
【解析】解：圆心坐标为 ，半径 ．
则 ，
则点 在圆外，
故选：B．
【标注】【素养】数学运算
【素养】直观想象
【知识点】直线与圆的位置关系
【知识点】圆的标准方程问题
【思想】数形结合思想
24. 若直线 与 相交，则点 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定
【答案】C
【解析】根据条件可得，圆心与直线的距离
10即 ，即
所以点 在圆外．
故选 ．
【标注】【知识点】已知直线和圆的位置关系求参数；点到直线的距离公式
25. 若直线 与圆 无交点，则点 与圆 的位置关系是（ ）．
A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不能确定
【答案】B
【解析】∵ 与 无交点，
∴圆心 到 的距离大于半径，
故 ．
∴ ，
∴点 在圆内．
【标注】【知识点】直线与圆的相离问题；点到直线的距离公式
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