文档内容
双曲线的定义与方程
一、 课堂目标
1．掌握双曲线的定义并推导双曲线的标准方程．
2．掌握双曲线标准方程的两种形式，能够借助于方程判断双曲线的焦点位置及求解三个参量的数值．
二、 知识引入
复习回顾
复习回顾
平面内与两定点 的距离的和等于常数 ，的点的轨迹是椭圆．
即
想一想：平面内与两定点 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？
实验
用拉链画双曲线的实验
取一条拉链，拉开它的一部分；
取一张白纸，在纸上任选两点 ；
在拉链拉开的两边上取不对称两点，分别固定在点 上；
把笔尖放在拉头点 处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．
若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？
1实验的结果
实验的结果
（1）动点在运动过程中满足 ，其运动轨迹是双曲线的右
支；
（2）若拉链被固定的两点互换，则动点满足 ，其运动轨
迹是双曲线的左支．
生活中的双曲线
生活中的双曲线
2三、 知识讲解
1. 双曲线的定义
通过上面的实验，我们可以得出双曲线的定义：
平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹（或集
合）叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．则点 在双曲线上
的充分必要条件是 ，即 ．
问题1
问题1：定义中为什么要强调差的绝对值呢？
理由：（1）当 时，点 的轨迹是双曲线的右支；
3（2）当 时，点 的轨迹是双曲线的左支．
问题2
问题2：
（1）若 ，则轨迹是什么？
答：轨迹是以 或 为端点的两条射线．
（2）若 ，则轨迹是什么？
答：此时轨迹不存在．
（3）若 ，则轨迹是什么？
答：轨迹是线段 的垂直平分线．
例题
1. 到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
4A. 椭圆 B. 线段 C. 双曲线 D. 两条射线
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 若点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
3. 已知 ， ， ，当 和 时，点 的轨迹为（ ）．
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线
C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
4. 动点 到定点 的距离比它到定点 的距离少 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 两条射线
5. 平面内到两定点 、 的距离之差的绝对值等于 的点 的轨迹（ ）．
A. 椭圆 B. 线段 C. 两条射线 D. 双曲线
6. 动点 到点 及点 的距离之差为 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线
2. 双曲线的标准方程
5焦点在x轴上
双曲线的焦距 ，双曲线上任意一点 满足 ，求 点的轨迹
方程．
以过焦点 ， 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系 ，此时，焦点
， 的坐标分别为 ， ．
设
即
化简：
，设
则上式化为： ，我们称其为焦点在 轴上且关于原点对称的双曲线的标准
方程．
焦点在y轴上
同样，如果双曲线的焦点在 轴上，则上下焦点分别为 ， ，此时将上述标准方程中的
互换就可以得到它的方程 ，其中 ．
这就是焦点在 轴上且关于原点对称的双曲线的标准方程．
例题
7. 是双曲线 上一点， ， 分别是双曲线左右焦点，若 ，则 （
）．
A. B. C. 或 D. 以上答案均不对
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
8. 已知双曲线 上一点 到它的一个焦点的距离等于 ，那么点 到另一个焦点的距离等
于 ．
思路梳理
6本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
9. 若双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 上，且 ，则
等于（ ）．
A. B. C. D.
10. 设双曲线 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若 ，则
．
例题
11. 双曲线 的焦点坐标为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
12. 双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
13. 双曲线 的焦距是 ，则 的值是（ ）．
A. B. C. D.
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
73． __________________________________
练习
14. 双曲线方程为 ，则它的右焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
15. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则 ．
例题
16. “ ”是"方程 表示双曲线"的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
17. 若方程 表示双曲线，则 的取值范围为 ．
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
18. 是方程 表示双曲线的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
19. 若 表示双曲线，则 的取值范围是 ．
例题
20. 已知 的顶点 ， ， ，则顶点 的轨迹方程是 ．
8思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知点 和点 ，动点 满足 ，则点 的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
五、 出门测
22. 已知点 ， ，在满足下列条件的平面内，动点 的轨迹为双曲线的是（ ）．
A. B. C. D.
23. 在双曲线 （焦距为 ）中， 满足（ ）．
A. B. C. D.
24. 双曲线 的左焦点的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
25. 在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦距是 ．
26. 若双曲线 的焦点在 轴上，则 的取值范围是 ．
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