双曲线的定义与方程题集(教师版)_高中三年全科资料_高中_学而思高中数学（暑假衔接）面授升高..高二.高三_学而思面授班升高二暑期讲义+题集

双曲线的定义与方程【题集】 1. 双曲线的定义 1. 设定点 、 ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是（ ）． A. 双曲线或两条射线 B. 双曲线的一支 C. 双曲线 D. 双曲线的一支或一条射线 【答案】B 【解析】由于 ，即 ， 所以 点轨迹是双曲线的一支， 故选 ． 【标注】【知识点】求点的轨迹；双曲线的定义 2. 已知定点 、 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是（ ）． A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的右支 D. 双曲线的左支 【答案】C 【解析】∵定点 、 ，动点 满足： ， ∴动点 的轨迹为双曲线的右支，且 ， ， ∴ ， ∴动点 的轨迹方程为∶ ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的定义 3. 已知 ， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 一条射线 D. 不存在 【答案】B 【解析】 ， ，动点 满足 ， 因为 ，则点 的轨迹满足双曲线定义，是双曲线的一支． 1故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的定义 4. 、 是定点， ，动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 【答案】D 【解析】 如图，当 不在线段 、 所在直线上而在线段 、 上（不含端点）时，显然有 不满足条件， 当 在 的延长线上时， 满足 ， ∴ 的轨迹是以 为起点的一条射线． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的定义 【素养】数学抽象 5. 已知 ， ， ，当 和 时，点 轨迹分别为（ ）． A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条射线 C. 双曲线一支和一条直线 D. 双曲线一支和一条射线 【答案】D 【解析】双曲线一支和一条射线，故选 ． 【标注】【知识点】求点的轨迹 2. 双曲线的标准方程 6. 双曲线 的焦点坐标是（ ）． 2A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】双曲线 ，其中 ， ， ∴ ， ∴双曲线的焦点坐标为 和 ， ∴正确答案是 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 7. 双曲线 的焦点坐标是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】∵双曲线 ， ∴ ， ， ， 且焦点在 轴上， ∴ ，焦点坐标为 ， ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义 8. 已知双曲线 ，则双曲线 的焦点坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由双曲线 可知，焦点落在 轴上， 所以 ， ， 则 ， 所以焦点坐标是 ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 39. 双曲线 的焦距是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】双曲线中： ； ， ， 则 ，焦距为 ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 10. 设 分别是双曲线 的左，右焦点，点 在双曲线上，且 ，则 （ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】由双曲线 ，可得 ， 分别是双曲线 的左、右焦点， 点 在双曲线上，且 ， 当 在双曲线的左支时，则 ， 当 在双曲线的右支时，则 ， 综上 或 ． 故 选： ． 【标注】【知识点】双曲线的定义 11. 若双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，且 ，则 等于（ ）． A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 点 在双曲线 上，且 ， ， ， ． 由 ，知： 或 ． 故选 ． 4【标注】【知识点】双曲线的定义 12. 已知左、右焦点分别为 ， 的双曲线 上一点 ，满足 ，则 （ ）． A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】左、右焦点分别为 ， 的双曲线 上一点 ， ， ， ， ， 满足 ，则 ， 若 ，则 或 （舍去）． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的定义 13. 点 是以 ， 为焦点的双曲线 上的一点，且 ，则 （ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】∵点 是以 ， 为焦点的双曲线 上的一点， ∴ ， ， ∵ ， ∴当 在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知 ，则 ， 当 在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可知 ，则 ， 综上， 或 ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的定义 14. 动点 与点 、 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 5【答案】D 【解析】由题意知，轨迹方程为双曲线的一部分； 其中双曲线的焦点为 ，且在 轴上，又知 ， 从而知此双曲线的方程为 ； 又 ， 故 点在该双曲线的下半支上，即 ，故选D． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 15. 已知两定点 ， ，曲线上的点 到 、 的距离之差的绝对值是 ，则该曲线的方 程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知， 的轨迹是以 ， 为焦点，以实数轴长为 的双曲线， 且 ， ， ， 所以双曲线方程为： ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 16. 已知双曲线 的一个焦点为 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵焦点为 ， ∴ ， ∵双曲线中 ， ∴ ， ∴ ． 故选 选项． 6【标注】【知识点】双曲线的标准方程 17. 双曲线 的焦距是 ，则 的值是 ． 【答案】 【解析】∵双曲线 的焦距是 ，∴ ， 若焦点在 轴上，将双曲线 变形为 ， ， ， ， ， 若焦点在 轴上，将双曲线 变形为 ， ， ， ， ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 18. 已知双曲线 ，焦点在 轴上，若焦距为 ，则 等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意，双曲线 ，焦点在 轴上， 则有 ，解可得 ， 又由其焦距为 ，即 ， 则有 ， 解可得 ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 19. 已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 ， ，则 ． 【答案】 7【解析】由题得椭圆的焦点为 和 ，所以 ，所以 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程 20. 若双曲线 与 有相同的焦点，则实数 ． 【答案】 【解析】双曲线 与 有相同的焦点， 所以 ，解得 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 21. 已知双曲线 的焦点在 轴上，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知得： ， ∴ ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 22. 已知方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据题意，方程 表示焦点在 轴上的双曲线， 则有 ，即可得 ， 则 的取值范围为 ； 故答案为： ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 23. 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 的取值范围为 ． 8【答案】 【解析】∵方程 表示焦点在 轴上的双曲线， ∴ ．解得 ． ∴ 的取值范围为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 24. 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵ 表示焦点在 轴上的双曲线， ∴ 解得 ． 故答案为： ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 25. 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知 ， ∴ 中 ． 故选 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 26. 若方程 表示双曲线，则 的范围是 ． 【答案】 【解析】由题意知，若 表示双曲线， 则 ，即 ． 9故答案为： ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 27. 若方程 表示双曲线，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使方程 表示双曲线， 需 或 ， 解得 或 ， 故选： ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 28. 已知双曲线的焦点在坐标轴上，且 ， ，则它的标准方程是 ． 【答案】 或 【解析】 由 ，解得 ， ， 所以双曲线方程为 ， ． 故答案为： 或 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 29. 已知双曲线的一个焦点坐标为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设双曲线方程为 ， ∵双曲线一个焦点坐标为 且经过点 ， 10∴ ， ∴ ， ． 双曲线标准方程： ． 【标注】【知识点】双曲线的基本量求解 30. 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ，则双曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】∵椭圆的焦点为 ， ，∴ ，设双曲线方程为 ，则 ， 解得 ，故双曲线的方程为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 【素养】数学运算 31. 与椭圆 共焦点且过点 的双曲线方程是 ． 【答案】 【解析】∵双曲线与椭圆 共焦点， ∴ ， 则双曲线为 ， ∵过点 ， ∴ ， 即双曲线方程为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 32. 与双曲线 有相同焦点，且经过点 的双曲线的标准方程是 ． 11【答案】 【解析】设所求双曲线方程为 （ ） ∵双曲线过点 ， ，解得 或 （舍去）， ∴所求双曲线方程为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 33. 与双曲线 有相同焦点，且经过点 的双曲线方程． 【答案】 ． 【解析】设所求双曲线方程为： （ ）， ∵双曲线过点 ，∴ ， ∴ 或 （舍）， ∴所求双曲线方程为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 34. 已知双曲线过 ， 两点，双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【解析】方法一：若焦点在 轴上，设双曲线的标准方程为 ， ∵点 ， 在双曲线上， ∴ 解之，得 ， ． 若焦点在 轴上，设双曲线的标准方程为 ． ∵点 ， 在双曲线上， ∴ ，解之，得 ， ，舍去． 12∴所求双曲线的标准方程为 ． 方法二：设所求双曲线的方程是 ，用待定系数法求． 将点 ， 两点代入上述方程，得到 ． 解得： ，故所求双曲线的标准方程为 ． 【标注】【知识点】双曲线的标准方程 【素养】数学运算 13