文档内容
直线方程（2）
一、 课堂目标
1．掌握两条直线之间的平行和垂直关系．
2．掌握两条直线的交点坐标的求法．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线之间的距离公式．
【备注】目标解读：
关联知识：直线的方程．
本讲解读：本讲的重点是两条直线的平行与垂直关系，以及点到直线的距离公式及两条平
行直线之间的距离；难点是理解点到直线的距离公式的推论过程．
能力素养：主要培养数学运算、数学建模、逻辑推理的能力．
二、 知识引入
【问题探究】
对于两条直线 ，倾斜角分别为 ，斜率分别为 ，如果 ，那么：
（1） 之间是什么关系？
（2） 之间是什么关系？
【备注】当两条直线 时，它们的倾斜角相等，即 ，所以 ，即 ．
三、 知识讲解
1. 两条直线的位置关系
两条直线平行
1直线 ，
（1）若 ，则 ，且 ．
反之也成立，当 时， ．
（2）若 与 重合，则 ，且 ．
若直线的斜率不存在，则两条直线都垂直于 轴，两条直线也平行．
对于两条直线的一般式方程： ，
利用上面的结论可以推出：
（1）平行的条件： 且 或 ；
（2）重合的条件： ， ， 或 ．
例题
1. 已知直线 ， ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】两直线平行，斜率相等且不能重合，
， ，
∴ ．
知识点：直线平行的条件．
【标注】【知识点】直线的平行；判定两条直线的位置关系
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
2. 已知直线 与直线 平行，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵直线 与直线 平行，
∴ ，解得 ．
2故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行；判定两条直线的位置关系
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
3. 如果直线与直线 平行，那么直线的斜率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线 的斜率为 ，两直线平行斜率相等，故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
4. 已知直线 与直线 平行，则 的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线 与直线 平行，则 ，
解得 ．故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行；判定两条直线的位置关系
例题
5. 经过坐标原点且与直线 平行的直线方程是 ．
【答案】
【解析】设与直线 平行的直线为 ，
3∵直线经过坐标原点 ，
∴将 代入 ，得 ，
故经过坐标原点且与直线 平行的直线方程是 ．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
6. 过点 且与直线 平行的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设经过点 直线的方程为 ，则有 ，解得 ，
即直线的方程为 ，故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行
例题
7. 已知直线 与直线 平行，则 的值为 ．
【答案】
【解析】若两直线平行，则 ，解得 ，当 时，两直线重合，故 ．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
43． __________________________________
练习
8. 若直线 与直线 平行，则 （ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】∵直线 与直线 平行，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，两直线重合，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】直线的平行；判定两条直线的位置关系
两条直线垂直
如图，当两条直线的倾斜角为 时，若 ，则 ，即
，所以 ．
若斜率都存在的两条直线 ，则 ．
反之也成立．
若一条直线的斜率不存在，则当另一条直线的斜率为零时，它们互相垂直．
对于两条直线的一般式方程： ，
利用上面的结论可以推出：
5两条直线垂直的条件：
例题
9. 若直线 与直线 垂直，则 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为两直线垂直，
所以由两直线的位置关系公式，有： ，解得： ，
所以 的值为 ，
所以本题正确答案应选择 项．
故选： ．
【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
10. 若直线 和 互相垂直，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】垂直得 ，
∴ ．
故选 ．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的垂直
11. 直线 与直线 垂直，则 ．
6【答案】
【解析】∵直线 与 垂直，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的垂直
例题
12. 过点 且与直线 垂直的直线方程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，
直线 的斜率为 ，
设所求的直线的斜率为 ，
则 ，可得 ，
且过点 ，即 ，
整理可得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】根据直线的位置关系求直线的方程
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
13. 过点 且与直线 垂直的直线方程为 ．
【答案】
7【解析】设与直线 垂直的直线方程为 ，
把点 代入可得： ，解得 ．
可得要求的直线方程为： ，
故答案为： ．
【标注】【知识点】直线的垂直；判定两条直线的位置关系
2. 直线的交点坐标与距离公式
两条直线的交点坐标
由两条直线平行，斜率相等，可知：当两条直线的斜率不相等时，它们相交．
则对于直线的一般式方程： ，
相交的条件为： 或 ．
联立两条直线的方程 ，解二元一次方程组即可得到交点坐标．
例题
14. 直线 与直线 的交点是 ．
【答案】
【解析】解：由题知 ，
解得 ．
【标注】【知识点】两直线交点坐标
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
15. 直线 与 的交点坐标是（ ）．
A. B. C. D.
8【答案】A
【解析】联立直线方程解得交点坐标为 ．
【标注】【知识点】两直线交点坐标
例题
16. 已知直线 ，直线 ，若 与 的交点在 轴上，则 的值为 ．
【答案】
【解析】两直线交点在 轴上，当 时， 上此时 ．
代入此点至 ，解得 ．
【标注】【知识点】两直线交点坐标
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
17. 两条直线 和 的交点在 轴上，则 的值是（ ）．
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】令 ，联立解方程组得出 ，即可求得 ．
【标注】【知识点】两直线交点坐标
两点间的距离公式
9如图，已知 ， ，求两点的距离 ．
分别过 作 轴， 轴的平行线，交于点 ，则 ， ，由
可知：
例题
18. 已知 ， ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据两点间距离公式： ．
【标注】【知识点】两点间距离公式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
19. 在直角坐标系中，点 ， ， ， ，则 ， 两点间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，点 ， ， ， ，则
．
10【标注】【知识点】两点间距离公式
例题
20. 已知点 和 ，且 ，则 等于（）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】由 ，解得
或 ．
【标注】【知识点】两点间距离公式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
21. 已知点 ， ，且 ，则 的值为（ ）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】 ，解得 或 ．
【标注】【知识点】两点间距离公式
点到直线的距离公式
点 到直线的距离，是指点 到直线的垂线段 的长，其中 点为垂足．
11那么如何求点 到直线 的距离呢？
可以按照以下步骤求解：
（1）求出已知直线 的斜率；
（2）由 的斜率求出过点 且与 垂直的直线 的斜率，并求出直线 的方程；
（3）联立直线 与 的方程，解得交点 的坐标；
（4）利用两点间距离公式求出 ，则 即为点 到直线 的距离．
所以，点 到直线 的距离公式为：
．
例题
22. 点 到直线 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据点到直线的距离公式得 ．
故选 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
23. 点 到直线 的距离 ．
12【答案】
【解析】由点到直线的距离公式可得 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
例题
24. 点 到直线 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线 ，
由点到直线距离公式可知 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
25. 点 到直线 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线可化为 ,则根据点到直线距离公式 ；故选 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
26. 已知点 到直线： 的距离为 ，则 等于（ ）．
A. B. C. D.
13【答案】C
【解析】由点到直线距离公式 ，
两边平方并化简得 ，
∴ 或 ，
又∵ ，
∴ ，
故选 ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
【素养】数学运算
两条平行直线之间的距离公式
两条平行直线之间的距离，是指夹在两条平行直线之间的公垂线段的长．
已知两条平行直线 ，
如何求它们之间的距离呢？
可以按照以下步骤：
（1）在直线 上任取一点 ；
（2）求出点 到直线 的距离，即为两条平行直线之间的距离．
： ， ： 之间的距离为 ，则 ．
例题
27. 两直线 与 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
14【答案】B
【解析】由两平行线的距离公式可知 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
28. 平行线 与 之间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两平行线 与 ，故它们之间的距离为 ，
故选 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
例题
29. 平行直线 与 的距离是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵两平行直线 与 间的距离是 ，
，即 ，
∴两平行直线 与 间的距离是 ．
故选： ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
15思路梳理
本题所考查的知识点：
1． __________________________________
2． __________________________________
3． __________________________________
练习
30. 直线 与直线 间的距离为 ．
【答案】
【解析】将 化为 ，
则 与 为两条平行线，
由平行线的距离公式可知 ．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
四、 思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
【备注】
五、 出门测
31. 已知两条直线 ： ， ： ，若 ，则 .
16【答案】
【解析】因为 ，所以有 ，即 ．
故答案为： ．
【标注】【知识点】判定两条直线的位置关系；直线的平行
32. 与直线 垂直且过点 的直线 的方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵与 垂直，
∴ 斜率为 ，排除 、 ．
∵过 点，则排除 ．
故选 ．
【标注】【知识点】直线的垂直
33. 求点 ， 的距离 ．
【答案】
【解析】 ．故答案为 ．
【标注】【知识点】两点间距离公式
34. 点 到直线 的距离为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由点到直线的距离公式可得： ．
【标注】【知识点】点到直线的距离公式
35. 已知直线 ， ，则 之间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
17【答案】B
【解析】在 上任取一点 ，两条平行线间的距离就等于点 到直线 的距离，为
．
【标注】【知识点】两平行直线之间的距离
18
