第一章 空间向量与立体几何全章综合测试卷（提高篇）
【人教A版（2019）】
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023秋·河北保定·高二统考期末）在以下命题中：
①三个非零向量⃗a，⃗b，⃗c不能构成空间的一个基底，则⃗a，⃗b，⃗c共面；
②若两个非零向量⃗a，⃗b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则⃗a，⃗b共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若⃗OP=2⃗OA−⃗2OB−⃗2OC，则P，A，B，C四点共面
④若 ， 是两个不共线的向量，且 ，则 构成空间的一个基底
⃗a ⃗b ⃗c=λ⃗a+μ⃗b(λ,μ∈R,λ,μ≠0) {⃗a,⃗b,⃗c}
⑤若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是
{⃗a,⃗b,⃗c} {⃗a+⃗b,⃗b+⃗c+2⃗a,⃗c+⃗a}
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体
表面上运动，则⃑PM⋅⃑PN的最大值为( )
A．4 B．12 C．8 D．6
3．（5分）（2023春·江苏徐州·高二统考期中）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF
的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且
CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a，其中0<a<2√2．则MN的长的最小值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司√2
A．√2 B．2√2 C．3√2 D．
2
4．（5分）（2023春·浙江温州·高二校联考期中）点A在线段BC上（不含端点），O为直线BC外一点，
2 1
且满足⃗OA−a⃗OB−2b⃗OC=0⃗，则 + 的最小值为（ ）
3a+4b a+3b
9 9 8 8
A． B． C． D．
7 5 7 5
5．（5分）（2023春·高二课时练习）设空间两个单位向量⃗OA=(m,n,0),⃗OB=(0,n,p)与向量
π
⃗OC=(1,1,1)的夹角都等于 ，则cos∠AOB=（ ）
4
2−√3 2+√3
A． B．
4 2
2−√3 2+√3 2−√3 2+√3
C． 或 D． 或
4 4 2 2
6．（5分）（2023春·高二课时练习）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，
AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD．若PA=AD=AB=kBC(0<k<1)，则( )
1
A．当k= 时，平面BPC⊥平面PCD
2
1
B．当k= 时，平面APD⊥平面PCD
2
C．对任意k∈(0,1)，直线PA与底面ABCD都不垂直
D．存在k∈(0,1)，使直线PD与直线AC垂直
7．（5分）（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A B C D 的表面
1 1 1 1
上一个动点，则以下不正确的是（ ）
A．当P在平面BCC B 上运动时，四棱锥P−A A D D的体积不变
1 1 1 1
[π π]
B．当P在线段AC上运动时，D P与A C 所成角的取值范围是 ,
1 1 1 3 2
学科网（北京）股份有限公司C．使直线AP与平面ABCD所成的角为45o的点P的轨迹长度为π+4√2
D．若F是A B 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B CD 时，PF长度的最小值是
1 1 1 1
√5
8．（5分）（2023秋·四川遂宁·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体ABCD−A B C D 中，P为线
1 1 1 1
段B D 上动点（包括端点）．
1 1
2√3
①三棱锥P−A BD中，点P到面A BD的距离为定值
1 1 3
②过点P且平行于面A BD的平面被正方体ABCD−A B C D 截得的多边形的面积为2√3
1 1 1 1 1
③ 直线 与面 所成角的正弦值的范围为[√3 √6]
PA A BD ,
1 1 3 3
④当点P为B D 中点时，三棱锥P−A BD的外接球表面积为11π
1 1 1
以上命题为真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·高二单元测试）已知空间向量⃗m=(−1,2,5),⃗n=(2,−4,x)，则下列选项中正确的是
（ ）
A．当⃗m⊥⃗n时，x=2 B．当⃗m//⃗n时，x=−10
√10−2
C．当|⃗m+⃗n|=√5时，x=−4 D．当x=√10时，cos⟨⃗m,⃗n⟩=
6
10．（5分）（2023·全国·高二专题练习）在自然界中，金刚石是天然存在的最硬的物质．如图1，这是组
成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全
相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中
间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有AE＝BE＝CE
＝DE，若正四面体ABCD的棱长为4，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司8√6
A．|⃗DE|＝ B．⃗EA＋⃗EB＋⃗EC＋⃗ED=0⃗
9
C．⃗AE⋅⃗BC＝0 D．⃗AC⋅⃗AE＝8
11．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体ABCD−A B C D ，以正方体中心O为
1 1 1 1
球心的球O与正方体的各条棱相切，点P为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
√2
A．球O在正方体外部分的体积为 π−1
3
[ 1 7]
B．若点P在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则⃗PA⋅⃗PB∈ − ,
4 4
2√2
C．若点P在平面ABCD下方，则直线AP与平面A B C D 所成角的正弦值最大为
1 1 1 1 3
1
D．若点P､M､N在球O的正方体外部（含正方体表面）运动，则⃗PM⋅⃗PN最小值为−
4
12．（5分）（2023春·福建莆田·高二校考期中）正方体ABCD−A B C D 的棱长为1，M为侧面
1 1 1 1
A A D D上的点，N为侧面CC D D上的点，则下列判断正确的是（ ）
1 1 1 1
√5 √2
A．若BM＝ ，则M到直线A D的距离的最小值为
2 1 4
B．若B N⊥AC ，则N∈CD ，且直线B N//平面A BD
1 1 1 1 1
√3
C．若M∈A D，则B M与平面A BD所成角正弦的最小值为
1 1 1 3
√3
D．若M∈A D，N∈CD ，则M，N两点之间距离的最小值为
1 1 3
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知空间三点坐标分别为A(1,1,1)，B(0,3,0)，
C(−2,−1,4)，点P(−3,x,1)在平面ABC内，则实数x的值为 ．
√10
14．（5分）（2023春·高二课时练习）已知向量⃗a=(1,1,0)，⃗b=(m,0,2)，cos⟨⃗a,⃗b⟩=− ，若向量
10
⃗a+k⃗b与2⃗a+⃗b所成角为钝角，则实数k的范围是 .
学科网（北京）股份有限公司15．（5分）（2023春·江苏常州·高二校联考期中）一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰
直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，
AE，CF，AC，若点P满足 且 ，则 的最小值为 .
⃗DP=x⃗DA+ y⃗DC+z⃗DF x+ y+z=1 |⃗EP| 4√3
16．（5分）（2022·贵州贵阳·统考一模）如图，在正方体ABCD−A B C D 中，点E在BD上，点F在
1 1 1 1
B C上，且BE=CF.则下列四个命题中所有真命题的序号是 .
1
①当点E是BD中点时，直线EF//平面DCC D ；
1 1
②当DE=2EB时，EF⊥BD；
③直线EF分别与直线BD，B C所成的角相等；
1
π
④直线EF与平面ABCD所成的角最大为 .
6
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，E，F分别是上底面
A′C′和侧面CD′的中心，求下列各式中x，y的值：
学科网（北京）股份有限公司（1） → ( → → → )
AC′=x AB+BC+CC′
（2） → → → →
AE=A A′+x AB+ y AD
（3） → → → →
AF=AD+x AB+ y A A′
18．（12分）（2023春·四川成都·高二校联考期中）已知空间向量 ， ，
⃗a=(1,0,1) ⃗b=(2,−1,0)
⃗c=(λ+4,−λ,λ)．
(1)若 ，求 ；
(⃗a+⃗b) //⃗c λ
(2)若k⃗a+⃗b与2⃗a−⃗b相互垂直，求k．
19．（12分）（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是DD 、DB的中点，G在棱
1
1
CD上，且CG= CD，H是C G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
3 1
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：EF⊥B C；
1
(2)求cos<⃑EF,⃑C G>；
1
(3)求FH的长．
20．（12分）（2023秋·广东广州·高二校考期末）如图1，边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=120°，E，
O，F分别是AB，BD，CD的中点.现沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，连接AC，如图2.
(1)求cos∠EOF；
(2)若过E，O，F三点的平面交AC于点G，求四棱锥A−OEGF的体积.
21．（12分）（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱ABC−A B C 中，底面是边长为2的
1 1 1
等边三角形，CC =2,D,E分别是线段AC,CC 的中点，C 在平面ABC内的射影为D.
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：A C⊥平面BDE；
1
(2)若点F为棱B C 的中点，求点F到平面BDE的距离；
1 1
(3)若点F为线段B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角F−BD−E的余弦值的取值范围.
1 1
22．（12分）（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台ABCD−A B C D 中，上､下底面均是正方形，
1 1 1 1
且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A B =4,E､F分别为DC､BC的中点，上下底面中心的连线O O垂直
1 1 1
于上下底面，且O O与侧棱所在直线所成的角为45∘.
1
(1)求证：BD ∥平面C EF；
1 1
(2)求点A 到平面C EF的距离；
1 1
3√22
(3)边BC上是否存在点M，使得直线A M与平面C EF所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
1 1 22
BM的长；若不存在，请说明理由.
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