第第一一讲讲 乘乘法法公公式式与与因因式式分分解解 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 11
第第二二讲讲 不不等等式式的的含含义义与与解解法法 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 55
第第三三讲讲 基基本本不不等等式式 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙1100
第一章 函数的基础 第第四四讲讲 元元素素与与集集合合 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙1166
第第五五讲讲 集集合合的的关关系系与与运运算算 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙2222
第第六六讲讲 逻逻辑辑用用语语 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙2288
第第一一章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙3344
第第七七讲讲 函函数数概概念念与与有有界界性性 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙3366
第第八八讲讲 函函数数单单调调性性及及其其应应用用∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙4433
第二章 函数的共性 第第九九讲讲 函函数数奇奇偶偶性性及及其其应应用用∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙4477
第第十十讲讲 函函数数对对称称性性∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙5522
第第二二章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙5577
第第十十一一讲讲 一一次次函函数数及及其其变变换换 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 5599
第第十十二二讲讲 反反比比例例函函数数与与一一次次分分式式函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 6666
第第十十三三讲讲 对对勾勾函函数数和和二二次次分分式式型型函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 7722
第三章 函数的变换
第第十十四四讲讲 二二次次函函数数及及其其变变换换 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 7799
第第十十五五讲讲 函函数数零零点点与与分分段段函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙8866
第第三三章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 9944第第一一讲讲 乘乘法法公公式式与与因因式式分分解解
模模块块一一 整整式式的的乘乘法法公公式式
课堂精讲
在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘
法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主
要学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完
全平方公式。
平方差公式 a2-b2=a-b
1
(a+b)
完全平方公式 a±b 2=a2±2ab+b2
例1 化简： 9-4 5
解：原式= 5+4 5+4
=
( 5)2+2×2× 5+22
= (2- 5)2
=2- 5 = 5-2．
高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研
究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变
形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复
杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中,我们将拓
展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。
由于 a+b 3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)
=a3+3a2b+3ab2+b3
于是有：
完全立方和公式 a+b 3=a3+3a2b+3ab2+b3
将完全立方和中的b换成-b,得到完全立方差公式:
完全立方差公式 a-b
由完全立方和公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2 =
a3+b3,即 (a+b)[(a+b)2 —3ab]=a3+b3于是有：
立方和公式 a3+b3=a+b
3=a3-3a2b+3ab2-b3
(a2-ab+b2)
仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立
方差公式的由来。
立方差公式 a3-b3=a-b (a2+ab+b2)
例2 计算下列代数式
(1)(4+m)(16−4m+m2)
1 1 (2) m− n
5 2
1 1 1 m2+ mn+ n2
25 10 4
解：(1)原式=43+m3=64+m3
1
(2)原式= m
5
3 1
− n
2
3 1 1
= m3− n3
125 8
以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a
+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
于是有:
三项和平方公式
a+b+c 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
将上式中的c全部换成-c得到如下公式:
a+b-c 2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc
1 例3 计算：x2− 2x+
3
2
1 解：原式= x2+(− 2x)+
3
2
1
=(x2)2+(− 2x)2+
3
看不出来的可以借
助完全平方公式求解
2 1
+2x2(− 2)x+2x2×
3
1
+2× ×(− 2x)
3
8 2 2 1 =x4−2 2x3+ x2− x+
3 3 9[练3]计算：
随堂练习
(1)(a+2)(a−2)(a4+4a2+16)
[练1]若x+y=6，x2+y2=20，x-y等于 ( D )
(2)(x2+2xy+y2)(x2−xy+y2)2
A.2 B. -2 C. 4 D.±2
解：(1)原式=(a2−4)(a4+4a2+42)
解：∵x+y=6，x2+y2=(x+y)2-2xy=20，
=(a2)3−43=a6−64
∴2xy=62-20=16，∴xy=8，
(2)原式=(x+y)2(x2−xy+y2)2=[(x+y)(x2−xy
∴(x-y)2=x2+y2-2xy=20-2×8=4，
+y2)]2
∴x-y=±2
=(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6
[练2]若a2-ab=7-m，b2-ab=9+m，则a-b的
1
[练4]已知x2−3x-1=0，求x3+ 的值．
值为 ( D ) x3
1
A.2 B. ±2 C. 4 D.±4 解：∵x2−3x=1=0 ∴x≠0 ∴x+ =3
x
1
解：将题目中的两个式子相加， 原式=x+
x
得a2-ab+b2-ab=16，即(a-b)2=16，
∴a-b=±4，故选：D．
2
1
x2−1+
x2
1 =x+
x
1 x+
x
2 −3
=3(32−3)=18
4.十字相乘法分解二次三项式
模模块块二二 因因式式分分解解
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分
解因式的方法叫做十字相乘法。
课堂精讲
举例： 3x2+11x+10=0
一拆：拆出二次项
1.因式分解的概念
x 2
与常数项的因式
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因
3x 5
二判：交叉相乘和为
式分解，也叫分解因式。 ∵5x+6x=11x
一次项可用该方法
∴ 3x2+11x+10=0 三书写：横向书
(x+2)(3x+5)=0 写拆出的式子
2.提公因式法分解因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个
5.主元法分解因式
相同的因式就叫做公因式。把ma+mb+mc=m
形如Ax2+By2+Cx+ Dy +E的代数式可以采
(a+b+c).的分解方法称为提公因式法。 用主元法进行分解。
3.公式法分解因式 m2-k2+5m+3k+4 主元法分解因式
将m作主元，k作常数
利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式
=m2+5m- k2+3k+4
m (-k+4)
=m2+5m+(-k+4)(k+1)
分解的方法称为公式法分解因式。 m (k+1)
例4 已知ab=-2，a-3b=5，求a3b-6a2b2+9ab3． =(m-k+4)(m+k+1) (-k+4+k+1)m=5m
解：a3b-6a2b2+9ab3=ab(a2-6ab+9b2)
6.双(长)十字相乘法
=ab(a-3b)2，
形如Am2+Bmk+Ck2+Dm+ Ek +F的代数
∵ab=-2，a-3b=5，
式的因式分解。
∴原式=-2×52=-50．步骤:①运用十字相乘法分解前的二次三项式;
②在这个十字相乘图右边再画一个十
字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右
端，使这两因数与含k的项交叉之积的和等于原多项
式中含k的一次项Ek,同时这两个因数与含m的项
的交叉之积的和等于原多项式中含m的一次项Dm.
m2-2mk-8k2-m- 14k-6 m -4k -3
=(m-4k-3) (m+2k+2) m 2k 2
7.试根待定系数法
对于一元三次代数式Ax3+Bx2+Cx+ D先将
B C D
其化简为系数为1的形式：Ax3+ x2+ x+
A A A
3
[练6]利用十字相乘法分解因式：
(1)x2+(a+2)x+2a (2)x2-(3+t)x+3t
解：(1)∵2a=2×a,1×a+1×2=a+2，
∴x2+(a+2)x+2a=(x+2)(x+a).
(2)∵3t=(-3)×(-t),1×(-t)+1×(-3)=-(3+t)，
∴x2-(3+t)x+3t=(x-3)(x-t).
[练7]分解因式：
(1)xy-1+x-y
(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6
(3)x3-3x2+4.
解：⑴xy-1+x-y=xy+x-1-y=x(1+y)-(1
+y)=(x-1)(y+1);
⑵2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2-xy+2x)+
(2xy-y2+2y)-6x+3y-6
。
=x(2x-y+2)+y(2x-y+2)-3(2x-y+2)=(2x
D
若上述代数式有有理根，则：± 所有因数中有一个 -y+2)(x+y-3).
A
必是方程的根。 ⑶x3-3x2+4=x3+1-3(x2-1)=(x+1)(x2-x+
1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x2-4x+4)
①10的因子±1，±2，±5代
入原式可得：x=2时 =(x+1)(x-2)2.
原式=0，得因式:(x-2)
x3-9x+10
[练8](2021春•邯郸高一期中)已知在底面半径为3、
②待定系数设出剩余因式
=(x-2)∙ (x2+ax-5) 将式子展开，与原式对比 母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱。
可得：a=2
=(x-2)∙(x2+2x-5) ③检查一元二次代数式
(1)求圆柱的体积；
能否继续因式分解
(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与
例5(2022•湖南模拟改编)设x3+ax+b=0，下列
(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的
条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ( D )
高；若不存在，请说明理由。
A.a=-3，b=2 B. a=-3，b=-2
解：(1)如图，已知OA=3，PA=5，BC=2，
C. a=-4，b=3 D.a=1，b=2
圆锥的高OP= 52-32=4，∵BC=2，
解：A中，方程为(x-1)(x2+x-2)=0，即(x-1)2
1
∴BC= OP，又OP⊥OA，BC⊥OA，
(x+2)=0，可得方程有两个根1，-2，不符合题意， 2
B中，方程为(x-2)(x2+2x+1)=0，即(x+1)2 ∴AB= 1 OA= 3 ，则OB= 3 ，
2 2 2
(x-2)=0，可得方程有两个根-1，2，不符合题意C
3
故圆柱的体积V=π×
中，方程为(x-1)(x2+x-3)=0，即(x+1)2 2
(x-2)=0，可得方程有三个根，不符合题意
D中，方程为(x+1)(x2-x+2)=0，x2-x+2=0
无解，可得方程有一个根，符合题意
随堂练习
[练5]分解因式x3-1
解：x3-1=(x-1)(x2+x+1)
2 9π
×2= ．
2
(2)假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底
h 3-r
面半径为r，则 = ，
OP OA
h 3-r 3
即 = ，∴r=3- h，
4 3 4
3
则π×3- h
4
P
C
2 9π
×h= ，
2 O A
B
整理得(h2-6h+4)(h-2)=0，
解得h=2或h=3± 5，∵h=3+ 5>4，
故不符合题意，舍去，故存在另外一个内接的圆柱与
(1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为3- 5．[巩固5]分解因式：
课后提升
(1)x3+9+3x2+3x；
[巩固1]分解因式
(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6
(1)x2+3x+2 (2)x2+2x-15.
解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x
解：(1)因为2=2×1且1×1+1×2=3，
+3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)．
所以x2+3x+2=(x+2)(x+1)；
(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+
(2)因为-15=5×(-3)且1×(-3)+1×5=2，
所以x2+2x-15=(x+5)(x-3)．
5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+
2)(x+y-3)．或
[巩固2]已知a+b=7，ab=-2．求：
2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-
(1)a2+b2的值； (2)(a-b)2的值．
解：(1)∵a+b=7，ab=-2， 5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+(-4)=49． =(2x-y+2)(x+y-3)．
∴a2+b2=53．
[巩固6]如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九
(2)∵a+b=7，ab=-2，∴(a-b)2=a2+b2-2ab=
块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边
a2+b2-(-4)=53+4=57． 长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等
小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)
[巩固3]分解因式： (1)用含m、n的代数式表示图中所有裁
(1)x3+2x2-5x-6 (2)x3-2x2-15x+16 剪线(虚线部分)的长度之和；
解：(1)原式=(x3+x2)+(x2-5x-6) (2)观察图形，可以发现代数式2m2+
=x2(x+1)+(x+1)(x-6) 5mn+2n2可以因式分解为_____；
=(x+1)(x2+x-6) (3)若每块小长方形的面积为10cm2，四
=(x+1)(x-2)(x+3)． 个正方形的面积和为58cm2，试求m+n
(2)当x=1时，x3-2x2-15x+16=0，
∴原式=(x-1)(x2-x-16)
[巩固4]把下列各式分解因式：
(1)x2-(a+b)x+ab
(2)(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a.
解：(1)由题意x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)；
(2)由题意，得(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a
=(|x+y|-3)(|x+y|-a)
4
2的值。
解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为
2m+2n +22m+n =6m+6n=6m+n cm.
(2)2m2+5mn+2n2可因式分解m+2n 2m+n ，
故答案为m+2n 2m+n .
(3)依题意：2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29.
∵m+n 2=m2+2mn+n2，
∴m+n
m
n m
n
m
2=29+20=49.第第二二讲讲 不不等等式式的的含含义义与与解解法法
以a>0为例：
模模块块一一 一一元元二二次次不不等等式式
Δ>0 Δ=0 Δ>0
课堂精讲
初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程 y>0 x 1 x 2 x x 0 x x
与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与
x<x 1 或x>x 2 x≠- b 全体实数
2a
二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与x
轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与x轴交点
y<0 x 1 x 2 x x 0 x x
的横坐标。今天我们将探寻二次函数、二次方程与
x <x<x 无解集 无解集
一元二次不等式的关系。 1 2
我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系： 例1 解不等式：3+2x-x2≥0
kx+n>0的解集表示的是一次函数y=kx+n在x
解：不等式化为x2-2x-3≤0，(x+1)(x-3)≤0
令(x+1)(x-3)=0，x =-1,x =3
轴上方时对应的自变量取值范围的集合。 1 2
令y=x2-2x-3，作出函数草图:
由此，我们可以知道:任意一个一元不等式，其 -1 3 x
∴ 不等式的解集是{x|-1<x<3}；
含义是：
不等式>0的解集表示不等式对应的函数在x
3.成立与恒成立
轴上方时对应自变量取值范围的集合；不等式<0的
根据上面解一元二次不等式的方法，我们可知：
解集表示不等式对应的函数在x轴下方时对应自变 a>0
ax2+bx+c>0恒成立的条件是
量取值范围的集合。 Δ<0
a<0
ax2+bx+c<0恒成立的条件是
Δ<0
1.一元二次不等式
4.一元二次不等式的代数解读
形如：ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式称为一
若一个一元二次不等式能进行因式分解，则可
元二次不等式。
以根据“ 同号得正，异号得负”的原则，将其转化为
一元一次不等式组求解。
2.一元二次不等式的解法
(1)令ax2+bx+c=0，计算：△=b2-4ac
当Δ>0时，解出方程两根：x,x ；
例2 解不等式x2+x-6>0
1 2
解：不等式左边可以因式分解，根据“ 正正(负负)得
(2)令y=ax2+bx+c，作出函数草图；
正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组
(3)根据不等式的含义翻译不等式，读取解集。
原不等式可以化为：(x+3)(x-2)>0，
注：作草图时只需画x轴。很多学生作函数草图
x+3<0 x<-3 x+3>0 x>-3
或
习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应 x-2<0 x<2 x-2>0 x>2
∴原不等式的解是x<-3或x>2．
先画抛物线，再根据题意加x轴和y轴
5随堂练习
[练1]解下列不等式
(1) 2x2-x-1>0 (2) 6x2+5x<4
解：(1) 不等式可化为(2x+1)(x-1)>0
1
∴ 不等式的解是 xx<- 或x>1 2
6
．
(2) 不等式可化为(2x-1)(3x+4)<0，
4 1
∴ 不等式的解集是 x- <x<
3 2
；
[练2]讨论不等式x2−x−a(a−1)>0的解集。
原不等式可以化为：(x+a−1)(x−a)>0
1
解：①若a>−(a−1)即a> 则x>a或x<1−a
2
1 1
②若a=−(a−1)即a= 则x−
2 2
[练5](2021秋•惠州高一期末)已知不等式(1-a)x2
-4x+6>0的解集是-3<x<1．
(1)求常数a的值；
(2)若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为
全体实数，求m的取值范围。
解：(1)∵不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是
{x|-3<x<1}，
∴-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的解，
把x=1代入方程得(1-a)-4+6=0，
解得a=3．
(2)若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，
即3x2+mx+3≥0的解集为R，
∴△=m2-36≤0，解得-6≤m≤6，
∴m的取值范围是[-6，6]．
2
>0 ，
1
x≠ ,x∈R
2
1
③若a<−(a−1)即a<
2
则x<a或x>1−a
[练6](2021秋•泸州高一期末)
已知函数y=2x2-2ax+1．
[练3]已知对于任意实数x，kx2-2x+6恒为正数，求
(1)若y<b的解集为-1<x<2，求a，b的值；
实数k的取值范围。
(2)解关于x的不等式y>a+1-x．
解：显然k=0时，kx2-2x+6=-2x+6不恒为正
解：(1)∵f(x)<b的解集为{x|-1<x<2}
数，不合题意，于是： k
(-
>
2)
0
2-4k⋅6<0
⇒k>
6
1 ． ⇔2x2-2ax+1-b<0的解集{x|-1<x<2}
a=1
∴1-b ，∴a=1，b=5，
=-2
2
(2)关于x的不等式f(x)>a+1-x
⇔2x2-2ax+1⇔2x2-(2a-1)x-a>0，
[练4]已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解是x<
1
令2x2-(2a-1)x-a=0，则x=a或x=- ，
2
2或x>3，求不等式bx2+ax+c>0的解。
1 1
①当a=- 时，则x≠- ，
2 2
解：由不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解为x<2或
1 1
②当a>- 时，则x>a或x<- ，
a<0 2 2
x>3可知：
，
ax2+bx+c=0的两根是2和3 1 1
③当a<- 时，则x>- 或x<a，
b c b c 2 2
∴- =5， =6，即 =-5， =6．
a a a a 1 1 综上，当a=- 时，解集为 xx≠-
2 2
由于a<0，∴不等式bx2+ax+c>0
b c
可变为： x2+x+ <0，
a a
即-5x2+x+6<0,整理，得5x2-x-6>0,
6
∴不等式bx2+ax-c>0的解是x<-1，或x> ．
5
，
1 1
当a>- 时，解集为{x|x>a或x<- }，
2 2
1 1
当a<- 时，解集为{x|x>- 或x<a}．
2 2模模块块二二 分分式式型型不不等等式式
课堂精讲
1.分式不等式
ax+b
形如 <0的不等式称为分式不等式。
cx+d
2.分式不等式的解法
将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需
要注意分式有意义的条件：分母不为0。
转化方法：
ax+b
<0 (ax+b)(cx+d)<0
cx+d
ax+b
>0 (ax+b)(cx+d)>0
cx+d
(ax+b)(cx+d)≤0
ax+b
≤0
cx+d
cx+d≠0
(ax+b)(cx+d)≥0 ax+b
≥0
cx+d cx+d≠0
x−3
例3 解不等式： ≤0．
x+7
解：∵两个式相除异号，那么这两个式相乘也异号，
∴可将分式不等式直接转化为整式不等式求解。
(x−3)(x+7)≤0
x−3
∵ ≤0⇔ ⇔−7<x≤3
x+7
x+7≠0
∴原不等式的解集是x|−7<x<3
7
随堂练习
[练7]解下列不等式
2x-3 1
(1) <0 (2) ≤3
x+1 x+2
解：(1)原不等式可化为：(2x-3)(x+1)<0
3 3 ⇒-1<x< ，∴不等式解集 x-1<x<
2 2
.
1
（2）原不等式可化为： -3≤0
x+2
-3x-5 3x+5
≤0⇒ ≥0
x+2 x+2
(3x+5)(x+2)≥0
5
x<-2或x≥-
3
x+2≠0
5 ∴原不等式的解集为 xx<-2或x≥-
3
．
x+3
[练8]解不等式： ≥0
x2-x+1
1
解：∵ x2-x+1=x-
2
2 3
+ >0，
4
原不等式可化为：x+3≥0⇒x≥-3，
∴原不等式的解集为{x|x≥-3}．
找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找
模模块块三三 简简单单高高次次不不等等式式（（选选讲讲））
“线”在x轴下方的区间。
注：因式(x-x)n中，n为奇数时，曲线在x 点
1 1
课堂精讲
处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 点处不穿过数
1
1.高次不等式： 轴，归纳为“奇穿偶不穿”。
定义：形如(x-x)(x-x )⋅⋅⋅(x-x )>0(<0)
1 2 n
的形式的不等式称之为高次不等式。 例4 解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；
f(x) 解：①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2，1，3，
变形：分式 >0(<0)可转化出高次不等式。
g(x)
②令x=0，y=(0-1)(0+2)
(0-3)>0，即x=0时函数值为
2.数轴穿根法求解高次不等式 -2 0 1 3 x
正，图像画在x轴上方，由奇穿偶
1 将不等式化为(x-x)(x-x )⋅⋅⋅(x-x )
1 2 n
不穿知：在x=-2时，（x+2）1的次数为1次是奇
>0(<0))，并将各因式x的系数化“+”；
数，∴图像会穿过根x=-2，同理图像也会穿过x=1
2 求根，并在数轴上表示出来；
和x=3。由图可不等式解集{x|-2<x<1或x>3}
3 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点；
4 若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”，则[练11]解不等式
随堂练习
3
(1)x-2<
x
[练9]解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0
x3-1
(2) ≥0
解：①检查各因式中x的符号均正； (x+2)(x-3)
x2-2x-3
②求得相应方程的根为：-1，2，3 解：(1) <0x(x+1)(x-3)<0
x
③在数轴上表各根并穿线，每根穿一次如下图：
x<-1或0<x<3，
∴原不等式的解集为{x|x<-1或0<x<3}．
∴不等式的解集为：{x|-1<x<2或2<x<3}.
(x-1)(x2+x+1)
[练10]解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)≤0 (2) ≥0
(x+2)(x-3)
解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2≤0； (x+2)(x-1)(x-3)≥0
x≠-2且x≠3
②求得相应方程的根为：-2(二重)，-1，3；
③在数轴上表示各根并穿线，如图：
∴原不等式的解集为{x|-2<x≤1或x>3}．
④∴原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}．
课后提升
[巩固1]解下列不等式：
(1) x2-2x-8<0 (2) x2-4x+4≤0
(3) x2-x+2<0 (4)x2-x-6≥0
解：(1) 不等式可化为(x+2)(x-4)<0
∴ 不等式的解集是{x|-2<x<4}．
(2) 不等式可化为(x-2)2≤0
∴ 不等式的解集是{2}．
1 (3) 不等式可化为x- 2
8
[巩固3]已知对于任意实数x，kx2-2x+k恒为正数，
求实数k的取值范围。
解：显然k=0时，不合题意，于是：
k>0 k>0
(-2)2-4k2<0 k2-1>0
k>0
k>1
k<-1或k>1
1
[巩固4]已知不等式ax2+bx+1>0的解为- <x
2
1
< ，求a和b的值，并解不等式bx2-5x-a≤0．
3
2 + 7 <0，所以无解． 1 1 4 解：题意- 和 是方程ax2+bx+1=0的两根，
2 3
(4)不等式可化为(x+2)(x-3)≥0 1 1 b 1 1 1
方法1：韦达定理：- + =- ，- × =
∴ 不等式的解集是{x|x≤-2或x≥ 2 3 a 2 3 a
解得a=-6，b=-1．
[巩固2]解下列不等式
方法2：直接代入方程得：
5 2x-1
(1) >1 (2) ≥3 1 x x+2 a×-
2 5-x 解：(1) >0⇒x(x-5)<0⇒0<x<5，
x
∴原不等式的解集为{x|0<x<5}．
2x-1 x+7
(2) -3≥0⇒ ≤0⇒-7≤x<-2，
x+2 x+2
∴原不等式的解集为{x|-7≤x<-2}．
2 1 +b×-
2
+1=0
1
a×
3
2 1
+b×
3
a=-6 得 ， b=-1
+1=0
∴ 不等式bx2-5x-a≤0为x2+5x-6≥0，
解得x>1或x<-6．∴ 不等式解集为{x|x>1或
x<-6}[巩固5](2021秋•顺义区高一期末)
已知不等式ax2-5x+2<0．
(1)若1是不等式的一个解，求a的取值范围；
1
(2)若ax2-5x+2<0的解集是 <x<2，求不
2
等式-ax2+(2a+3)x-6<0的解集。
解：(1)不等式ax2-5x+2<0的解集是M，
由1∈M，∴a⋅12-5⋅1+2<0，解得a<3；
∴a的取值范围是(-∞,3)．
1
(2)若M={x <x<2
2
9
，
1
则 和2是方程ax2-5x+2=0的两个根，
2
1 5
+2=
2 a
由根与系数的关系知 ，解得a=2，
1 2
×2=
2 a
∴不等式-ax2+(2a+3)x-6<0，
即为：-2x2+7x-6<0，
3
∴2x2-7x+6>0，解得x< 或x>2，
2
3
∴不等式的解集为{x|x< 或x>2}．
2
[巩固6]已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0．
(1)当a>0时，解关于x的不等式；
(2)当2≤x≤3时，不等式ax2-x+1-a≤0恒
成立，求实数a的取值范围。
解：(1)ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax+a-1)≤
1-a
0，当a>0时，不等式化为(x-1)x-
a
≤0，
1-a 1 1-a
① 当 >1，即0<a< 时，1≤x≤ ，
a 2 a
1-a 1
② 当 =1，即a= 时，解不等式得x=1，
a 2
1-a 1 1-a
③ 当 <1，即a> 时，得 ≤x≤1．
a 2 a
1 1-a
综上：当0<a< 时，不等式解集为 x1≤x≤
2 a
1
当a= 时，不等式的解集为{x|x=1}，
2
1 1-a
当a> 时，不等式的解集为{x ≤x≤1
2 a
．
(2)由题意不等式ax2-x+1-a≤0化为a(x2-1)≤x
-1，当x∈[2，3]时，x-1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，∴
1 1
原不等式可化为a≤ 恒成立，设f(x)= ，x∈
x+1 x+1
1
[2，3]，则f(x)的最小值为f(3)= ，∴a的取值范围是
4
1
-∞，
4
[巩固7]已知f(x)=ax2+bx+c．
(1)当a=-1，b=2，c=4时，求f(x)≤1解集；
(2)当f(1)=f(3)=0，且当x∈(1,3)时，f(x)≤1
恒成立，求实数a的最小值．
解：(Ⅰ)当a=-1，b=2，c=4时，f(x)=-x2+2x
+4，
则f(x)≤1即x2-2x-3≥0，
∴(x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1，或x≥3．
所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}；
(Ⅱ)因为f(1)=f(3)=0，
所以f(x)=a(x-1)(x-3)，f(x)=a(x-1)(x-3)
1
≤1在x∈(1,3)恒成立，即-a≤ 在x
(x-1)(3-x)
∈(1,3)恒成立，
(x-1)+(3-x)
而0<(x-1)(3-x)≤
2
．
2
=1，当且
仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号．
1
∴ ≥1，
(x-1)(3-x)
所以-a≤1，即a≥-1．
所以a的最小值是-1；
(Ⅱ)或解：f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒
成立，
即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立．
令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax2-4ax+3a-1=
a(x-2)2-a-1．
①当a=0时，g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立，符
合；
②当a>0时，易知在x∈(1,3)上恒成立，符合；
③当a<0时，则-a-1≤0，所以-1≤a<0．
综上所述，a≥-1所以a的最小值是-1．第第三三讲讲 基基本本不不等等式式
模模块块一一 基基本本不不等等式式
课堂精讲
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要
作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等
式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面
就来研究这个问题。
由完全平方公式：a-b
10
3.基本不等式的变形应用
应用条件：一正、二定、三相等
变式一：a+b≥2 ab，用求a+b的最小值。
变式二：a2+b2≥ab，用于求ab积的最大值。
1
例1 当x>0时，求x+ 的最小值。
x
1 1
解：∵x>0，∴x+ ≥2 x∙ =2
x x
1
2=a2+b2-2ab 当且仅当x= 时取等，即x=1时等号成立， x
1
我们知道,平方具有非负性，所以上面的代数式 ∴x+ 的最小值的是2
x
满足：a2+b2-2ab≥0 a2+b2≥2ab，该不等式
在数学中具有重要的作用，我们把：a2+b2≥2ab中a 随堂练习
a+b
和b代换为 a和 b，可得： ≥ ab. 4
2 [练1](2021秋•阎良区高一期末)函数y=x+
x-1
(x>1)的最小值是 ( C )
1.基本不等式
A.3 B. 4 C. 5 D.6
a+b
对于任意两个正实数a，b有： ≥ ab，当 4
2 解：∵x>1，∴x-1>0，∴y=x+
x-1
a+b
且仅当a=b时，等号成立。我们称不等式 ≥
2 4 4
=x-1+ +1≥2 (x-1)∙ +1=5
a+b x-1 x-1
ab为基本不等式，也称均值不等式。其中 叫
2 当且仅当x-1= 4 即x=3时取等号，
x-1
a，b的算术平均值， ab叫做a，b的几何平均值。
4
∴函数y=x+ (x>1)的最小值是5，
x-1
[练2](2021秋•高要区校级期中)若x>1，则函数y=
2.基本不等式的几何解释
9
x+ 的最小值为 ( B )
作一圆，直径为AB，过C作垂线，连接AC、BC x-1
a+b A.6 B. 7 C. 8 D.9
设AD=a，BD=b，则圆的半径OH=
2
9 9
由ΔACD~ΔBCD可得： AD = CD 解：∵x>1，x-1>0∴x+ x-1 =x-1+ x-1
CD BD
9
CD2=AD⋅BD，∴CD= ab +1≥2 (x-1)⋅ +1=7当且仅当x=4取等
(x-1)
由图可得不等式：OH≥CD恒成立，当且仅当 1
[练3]设x>0，则3-3x- 的最大值是 ( D )
x
CD=OH，即OA=OB时取等号。
A.3 B. 3-2 2
H
C C. -1 D.3-2 3
1 1 1
解：∵x>0，∴3x+ ≥2 3x⋅ =2 3，当且仅当3x= ，
x x x
A D O B 3 1 1
即x= 时等号成立．∴3-3x- =3-3x+
3 x x
≤3-
2 3[练4]当直线在x轴上和y轴上的截距(直线与坐标轴 [练5](2020•新课标Ⅱ改编)ΔABC中角A,B,C所对
的交点离原点的距离)分别为a,b时，直线的解析
边为a，b，c。已知：A=120°,a=3，求ΔABC周
x y
式可以用 + =1表示。已知直线l过点P(1
a b 长的取值范围。
,2),与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O
解：由题意A=120°，a=3，可知：三角形ABC在以a
为坐标原点。
25 为弦长的圆上运动。如图所示，L=a+b+c
(1)若ΔOAB的面积为 ，求直线l的方程；
4
(2)求ΔOAB的面积的最小值。 其中:(b+c)2=b2+c2+2bc
x y
解：(1)由题意设直线l: + =1(a,b>0) 由均值不等式可知：b2+c2≥2bc
a b
1 2
a + b =1 a=5 a= 5 ∴(b+c)2=b2+c2+2bc≥4bc,当且仅当b=c时取
则 ，解得 5 或 4 ，
1 25 b=
S= 2 ab= 4 2 b=10 等，即△ABC为等腰△时周长可以取到最大值，此时：
∴直线l:x+2y-5=0或8x+y-10=0； a
2 a
由图可得： =sin60°⇒b= = 3,
(2)∵1= 1 + 2 ≥2 1 ⋅ 2 ， b 2sin60°
a b a b
A
∴ab≥8， ∴L max =3 3, A
由△构成条件：b+c>a
∴S= 1 ab≥4，此时a=2，b=4， B C
2
∴2 3<L≤3 3,
∴ΔABC面积最小值为4，此时直线l:2x+y=4
上面的例题，利用代入消元的方法，消去了一个
模模块块二二 构构造造法法解解决决二二元元最最值值
未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对
课堂精讲
其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二
由模块一的知识,我们知道了：在任意的正二项 元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有
式中，我们可以通过套用基本不等式来解决正二项
可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类
式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代
改写二元代数式的方法。
数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式
的最值呢？
1.数字“1”的构造
题目给定二元变量关系mx+ny=t时，我们可
例2(2022春•渝中区校级月考)已知正实数x，y满
m n
足xy+2x-2=0，则4x+y的最小值是 ( B ) 以将不等式化为： x+ y=1．然后在问题所涉
t t
A.2 B. 4 2-2 及的二元代数式中构造“1”,再将上面改写的“1”代
C. 4 3-2 D.6 入化简，会出现： ax + cy 分子分母倒置的形式，再
by dx
解：∵正实数x，y满足xy+2x-2=0，
使用均值不等式即可求最值。
2
∴xy=2-2x，∴y= -2， ax cy ax cy 2ac
x + ≥2 ⋅ = (出现定值)。
by dx by dx bd
2 2
∴4x+y=4x+ -2≥2 4x⋅ -2=4 2-2，当
x x
2 2
且仅当4x= ，即x= 时取“=”
x 2
11例3(2021秋•凉州区期末)已知ab>0，a+b=1，则
1 1
+ 的最小值为 ( D )
a b
A.0.5 B. 1 C. 2 D.4
1 1
解：∵ab>0，a+b=1，∴a>0，b>0， + =
a b
1 1
+
a b
12
b a
(a+b)= + +2≥2+2=4，
a b
b a 1
(当且仅当 = ，即a=b= 时，等号成立)
a b 2
2.结构化构造
通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的
二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写。
4 1 例4 若正实数x，y满足x+y=1，则 + 的 x+1 y
9
最小值为 2
解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1 +y=2，
4 1 x+1
+ =
x+1 y
+y 4 1
∙( + )
2 x+1 y
1 4y x+1 1 9
= (1+4+ + )≥ (5+2 4)= ，当
2 x+1 y 2 2
1 2
且仅当x= ，y= 取等号。
3 3
3.初识成立与恒成立
我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对
于成立与恒成立的翻译如下：
设词 结论
恒成立 a≤h(x)
min
a≤h(x)
有解 a≤h(x)
max
成立 a≤h(x)
max
恒成立 a≤h(x)
max
a≥h(x)
有解 a≤h(x)
min
成立 a≤h(x)
min
例5(2021秋•兰山期中)已知a>0，b>0，a+2b=
ab，若2a+b≥2m2-9恒成立，则m的最大值 ( C )
A.1 B. 2 C. 3 D.7
1 2 解：2a+b=(2a+b) +
b a
随堂练习
1 4 [练6]已知正实数x，y满足x+y=2，则 + 的最
x y
小值为 ( A )
9
A. B. 5 C. 9 D.10
2
1 4 1 1 4
解： + = +
x y 2 x y
2b 2a =5+ +
a b
2b 2a 2b 2a 1 2 ≥5+2 ⋅ =9，当且仅当 = 且 +
a b a b b a
=1，即a=b=3时取等号，2a+b≥2m2-9恒成立，则
(2a+b) ≥2m2-9，∴9≥2m2-9，得-3≤m≤3
min
( x + y ) =
1 y 4x
1+ + +4
2 x y
1 y 4x
≥ 5+2 ⋅
2 x y
9
=
2
1 2 [练7]已知x>0，y>0，2x+y=2，则 + 的最小
x y
值是 ( C )
A.1 B. 2 C. 4 D.6
1 2 1 2 解： + = +
x y x y
1 y 4x (2x+y)× = + +4
2 x y
×
1 1 1
≥(2 4+4)× =4，当x= ，y=1取等 2 2 2
2 [练8](2021秋•湛江期末)已知a>0，b>0，且 +
a
1
=1，则2a+b的最小值是 ( B )
b
A.8 B. 9 C. 10 D.11
2 1
解：2a+b=(2a+b) +
a b
2b 2a
= + +5，∵a>0，b>
a b
2b 2a 2b 2a 2b 2a
0，∴ >0, >0，∴ + ≥2 ⋅ =4
a b a b a b
[练9](2021秋•城厢区校级期中)已知m>0，n>0，
1 2
m+n=1，则 + 的最小值为 ( C )
m n+1
5
A.1 B. + 2
2
3 10
C. + 2 D.
2 3
1 2 1
解：∵m+n=1，∴m+(n+1)=2，则 + = [m+
m n+1 2
1 2
(n+1)] +
m n+1
1 n+1 2m
= 1+2+ +
2 m n+1
1
≥ (3+
2
3 2 2)= + 2，当且仅当m=2 2-2，n=3-2 2时
2
1 4
[练10]设a>0，b>0， + =2，则使得a+b≥m
a b
恒成立，求m的取值范围是 ( C )
A.(-∞,9) B. (0，1]
9
C. -∞,
2
D.(-∞，8]
1 1 4
解：a+b= (a+b) +
2 a b
1 b 4a
= 5+ +
2 a b
1 b 4a
≥ 5+2 ⋅
2 a b
9
= ，当且仅当 b = 2,a =
2
3
时取“=”，若使得a+b≥m恒成立，则m的取
2
9 9
值范围是m≤ ，即-∞，
2 2
．故选：C．2 1
[练11]若x>0，y>0，且 + =1，x+2y>m2+
x y
7m恒成立，则实数m的取值范围是 ( A )
A.-8<m<1 B. m<-8或m>1
C. m<-1或m>8 D.-1<m<8
2 1 解：x + 2y = (x + 2y) +
x y
13
4y x = 4 + + ≥ 4 +
x y
4y x
2 ⋅ =8，当且仅当x=2y=4时等，若x+2y>m2+7m
x y
恒成立，必有m2+7m<8，得-8<m<1．
[练12](2021秋•滨海新区校级期中)设x+y=6(x>
1 1 0,y>0)，且 + 的最小值为m．
x+1 y
(1)求m；
(2)若关于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集为
全体实数，求a的取值范围。
解：(1)∵x+y=6(x>0,y>0)，∴(x+1)+y=7，
1 1 1 1 ∴ + = +
x+1 y x+1 y
1 [ ( x + 1 ) + y ] × =
7
y x+1
+ +2
x+1 y
1 1 4
× ≥(2 1+2)× = ，当且仅当
7 7 7
y x+1 5 7 4
= ，即x= ，y= 时取等号，∴m= ．
x+1 y 2 2 7
(2)关于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集R⇔关于
4
x的不等式ax2-ax+ ≥0的解集R，
7
4
①当a=0时， ≥0恒成立，
7
a>0
16
②当 16 时，则0<a≤ ，
△=a2- a≤0 7
7
16
综上，a的取值范围为 0，
7
m
[练13]已知函数y=x+ (m>0)．
x-1
(1)若m=1，求当x>1时函数的最小值；
(2)当x<1时，函数有最大值-3，求m的值。
1 1
解：(1)m=1时，y=x+ =x-1+ +1． x-1 x-1
∵x>1，∴x-1>0．
1 1
∴y=x-1+ +1≥2 (x-1) +1=3．
x-1 x-1
1
当且仅当x-1= ，即x=2时取等号．
x-1
∴当x>1时函数的最小值为3．
(2)∵x<1，∴x-1<0．
m m
∴y=x-1+ +1=-1-x+
x-1 1-x
．
+1≤
m -2 (1-x) +1=-2 m+1．
1-x
m
当且仅当1-x= ，即x=1- m时取等号．
1-x
即函数的最大值为-2 m+1，∴-2 m+1=-3,解
得：m=4．
(2)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并
模模块块三三 基基本本不不等等式式解解决决应应用用题题
求出最低成．
课堂精讲 解：(1)年产量为x，年利润为z万元，根据题意得：
x2
初中阶段我们学习了用函数方法解决实际生活 z=16x- 10 -30x+4000
中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学
习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。
例6 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150
吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产
x2
量(吨)之间的函数关系式近似地表示为y= -
10
30x+4000．问：
(1)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨
时，可获得最大利润？并求出最大利润；
x2 1
=- +46x-4000=- (x- 10 10
230)2+1290，(150≤x≤250)，
当x=230时，z =1290(万元)，
max
x2
(2)年产量为x吨时，每吨的平均成本为W万元，为y= -
10
y x 4000 1 40000
30x+4000．∴W= = -30= x+
x 10 x 10 x
-
30，(150≤x≤250)，
40000
∵x+ ≥2 40000=400(x=200等号成立)
x
1
∴x=200时，W = ×400-30=10． 最小 10
年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．随堂练习
[练14]在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量
y(千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时)
920υ
之间的函数关系为：y= (υ>0)．
υ2+3υ+1600
(1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，
车流量最大？最大车流量为多少?
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小
时，则汽车的平均速度应在什么范围内?
920υ 920
解：(1)y= =
υ2+3υ+1600 1600
3+v+
v
14
[练15]某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与
k
年促销费用m万元(m≥0)满足：x=3-
m+1
(k为常数)，不搞促销，该产品年销售量是1万件。
已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每
生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每
件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5
倍(成本为固定投入和再投入)。
(1)求产品利润y与年促销费用m的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?
920
≤ ，
83 解：(1)当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2，
2 8+16x
1600 ∴x=3- ；每件产品售价为1.5×
当且仅当v= ，即v=40时，上式等号成立， m+1 x
v
8+16x
920 ∴y=x 1.5×
∴y = (千辆/时)． x
max 83
920
当v=40km/h时，车流量最大，约为 千辆/时
83
920υ
(2)由条件得 >10，
υ2+3υ+1600
整理得v2-89v+1600<0，
即(v-25)(v-64)<0，解得25<v<64，
∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，
则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h
-(8+16x+m)
2
=4+8x-m=4+83-
m+1
-m
16
=- +(m+1)
m+1
+29(m≥0)．
16
(2)∵利润函数y=- +(m+1)
m+1
+29，
16
∴当m≥0时， +(m+1)≥2 16=8，
m+1
16
∴y≤-8+29=21，当且仅当 =m+1，即m=
m+1
3(万元)时，y =21(万元)．
max
∴厂家促销费用投入3万元时，利润最大为21万
课后提升
2 1
[巩固1](2021秋•南阳期中)设x>0，y>0， +
x y
=1，则2x+y的最小值为 ( C )
A.7 B. 8 C. 9 D.10
2 1 解：2x + y = (2x + y) +
x y
2y 2x = 5 + + ≥ 5 +
x y
2x 2y 2x 2y 2 ⋅ =9，当且仅当 = ，即x=y=3时取等号．
y x y x
[巩固2](2021秋•桐庐县校级月考)已知x>0，y>
1 1 0，且x+2y=1，则 + 的最小值是 ( B )
x y
A. 2+1 B. 3+2 2
C. 2-1 D.3-2 2
1 1 1 1 解： + = +
x y x y
2
[巩固3](2021秋•湖北月考)若正实数m，n满足
m
1
+ =1，则2m+n的最小值为 ( D )
n
A.4 2 B. 6 C. 2 2 D.9
2 1
解：2m + n = (2m + n) +
m n
2y x (x+2y)=3+ + ≥3+
x y
2y x 2y x 2 ⋅ =3+2 2，当且仅当 = ，x= 2y时等
x y x y
2m 2n
= + + 5 ≥
n m
2m 2n 2m 2n 2 ⋅ +5=9，当且仅当 = ，即m=n=3取等
n m n m
1 9 [巩固4]设a>0，b>0， + =1，若不等式a+b≥
a b
m恒成立，则实数m的取值范围是 ( B )
A.(-∞，8] B. (-∞，16]
C. (-∞，7] D.[16，+∞)
1 9
解：a+b=(a+b) + a b
9a b
=1+ + +9≥10 b a
9a b +2 ⋅ =16，当且仅当b=3a，a=4，b=12，上
b a
式取得等号，由a+b≥m恒成立，可得m≤(a+b) min
=16，1
[巩固5]若实数x+2y=4x>1,y>
2
15
1
，则 +
x-1
1
的最小值为 ( D )
2y-1
1 4
A. B. 1 C. D.2
2 3
解：令m=x-1,n=2y-1，∴m+n=2，∴ 1 + 1 = 1
m n 2
1 1 ( m + n ) + m n 1 m n = 1+ + +1 2 n m ≥
1 m n
2+2 ⋅
2 n m
x-1 2y-1
=2，当且仅当 = 且x+2y
2y-1 x-1
=4即y=1，x=2时取等号
2 1
[巩固6]已知x>0，y>0，且x+2y=1， + ≥m2
x y
+7m恒成立，则实数m的取值范围是 ( A )
A.-8≤m≤1 B. m≤-8或m≥1
C. -1≤m≤8 D.m≤-1或m≥8
2 1 2 1
解： + =(x+2y) +
x y x y
4y x
= + +4≥4+2 4=
x y
4y x 1 2 1
8(当 = 即x=2y= 时取等)∵不等式 + ≥m2+
x y 2 x y
7m成立，∴m2+7m≤8，得-8≤m≤1．
2 3
[巩固7]设x>0，y>0，设 + =1，若3x+2y>
x y
m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ( C )
A.{x|x≤-6或x≥4}
B. {x|x≤-4或x≥6}
C. {x|-6<x<4}
D.{x|-4<x<6}
2 3
解：3x+2y= +
x y
4y 9x
(3x+2y)= + +12≥
x y
4y 9x 4y 9x 2 3
2 ⋅ +12=24，当且仅当 = 且 + =
x y x y x y
1，即x=4且y=6时等号成立．又∵3x+2y>m2+
2m恒成立，m2+2m<24，解得m∈(-6,4)．
5 1
[巩固8](1)x< ，求y=4x-2+ 的最大值
4 4x-5
x2+2
(2)求函数y= (x>1)的最小值。
x-1
1 1 解：(1)y=4x-2+ =- (5-4x)+
4x-5 5-4x
x2-6x+3 m
[巩固9]函数y = ,y = ,x>0
1 x 2 x
(1)求y 的最大值与最小值；
1
(2)当1≤x≤5时，y ≥y 恒成立，求实数m的取
1 2
值范围。
x2-6x+3 3 解：(1)∵x>0，∴f(x)= =x+ -6≥
x x
2 3-6，当且仅当x= 3时取等号，
∴函数f(x)的值域为[2 3-6，+∞)．
(2)当x∈[2，5]时，f(x)≥g(x)恒成立，即x2-6x+
3≥m，x∈[2，5]恒成立，
又x2-6x+3=(x-3)2-6≥-6，
∴-6≥m，即实数m的取值范围为(-∞，-6]．
[巩固10]某旅游公司在相距为100km的两景点间开
设了一个游船观光项目。游船最大时速为50km/h，
游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游
船速度为20km/h时，燃料费用为每小时60元。其它
费用为每小时240元，单程的收入为6000元。
(1)当游船以30km/h航行时，旅游公司单程获得
的利润是多少？(利润=收入-成本)
(2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利
润最大，最大利润是多少？
解：(1)设游船的速度为v(km/h)，旅游公司单程获得
的利润为y(元)，
∵游船的燃料费用为每小时k∙v2元，依题意k∙202=
3
60，则k= ．(2分)
20
3 100 100
∴y=6000- v2∙ +240∙
20 v v
+3
1
≤-2 (5-4x)⋅ +3=-2+3=1，当且仅当x=
5-4x
x2+2 1 时 ，f (x) 取得最大值 1；(2) ∴ y = =
x-1
(x-1)2+2(x-1)+3 3
= ( x - 1 ) + + 2 ≥
x-1 x-1
3
2 (x-1)⋅ +2=2 3+2， 当且仅当x=1+ 3
x-1
时，y取得最小值2 3+2．
=6000-15v
24000 - (0<v≤50)．
v
v=30km/h时，y=4750元；(5分)
24000 24000 (2)y=6000-15v- ≤6000-2 15v∙
v v
24000
=4800，当且仅当15v= ，即v=40时，取等号．
v
∴旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/h，
最大利润是4800元．第第四四讲讲 元元素素与与集集合合
2.常用数集
模模块块一一 集集合合的的概概念念与与表表示示
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
课堂精讲
记 法 N N∗或N Z Q R
+
◎情境1，说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，
例1 判断下列各组能否构成一个集合,说明理由。
我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词。
(1)所有著名的数学家；
♦问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口
(2)全校身高超过185cm的部分女生；
令，eg:“高一（1）班全体学生，集合！”这里所谈到的
(3)方程x2-1=0的所有实数根；
“集合”有什么特点？“高一（1）班的高个子男生，集
(4)大于-5的所有负数．
合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？
解：（1）不能，集合具有确定性，“著名的数学家”无明
♦设计意图：让学生理解集合中元素的特征:确定性。
确标准，故不能构成一个集合
(2)不能，集合具有确定性，“部分女生”无明确范围，
故不能构成一个集合．
◎情境2,请仿照下列叙述，介绍你初中毕业的学校
(3)能，x2-1=0的解为x=±1，有确定的范围，符合
及班级情况：我来自第三十一中学初三（2）班，全班
集合的要求，故能构成一个集合．
共有学生45人，其中男生22人，女生23人。 (4)能，大于-5的所有负数即-5<x<0，有确定的
♦问题：情景中的“学校”“班级”“男生”“女生”等概 范围，符合集合要求，故能构成集合．
念有什么共同的特征？
3.自然语言法描述集合
♦设计意图：通过对这些概念，感知集合含义：“一定
定义：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自
范围内可以确定的，不同对象的全体”。
然语言法。
典例：云南昆明海拔1000m以上的山有五华山、
◎情境3:高一（1）班全体同学参加校运会进场方阵.
盘龙区长虫山、西山区西山、金殿、碧鸡山∙∙∙
♦问题：同学们会通过变换方阵展示高一（1）班风采。
方阵变换前后，高一（1）班同学只是位置改变了是吗？
4.图示法（Veen图）表示集合
♦设计意图：通过同班同学位置的改变，让学生理解
定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内
集合中元素的特征：无序性。
部表示集合，这种图称为 Veen图。
1.元素与集合的概念 A
A B
1,2,3,4
元素：一般地，把研究的对象统称为元素，常用小
写拉丁字母a，b，c，…表示.
集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)
5. 列举法表示集合
.用大写拉丁字母A、B、C…表示.
定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括
集合中元素具有的特性：确定性、无序性、互异性。
号“
16
”括起来表示集合的方法叫做列举法。典例：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为
太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋
17
；
“方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集
合可以表示为1,2 。
◎使用列举法时，需要注意以下几点：
(1)元素间用“，”分隔开并且元素不能重复；
(2)元素无顺序，如集合1,3,5,7 与集合3,1,5,7
表示同一个集合；
(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元
素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规
律表述清楚后才能用省略号。
4.描述法表示集合
定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中
所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示
为x∈A|P(x) ，这种表示集合的方法称为描述法。
典例：不等式x-7<3的解集x∈R|x-7<3 ；
奇数集x∈Z|x=2k+1,k∈Z 或x∈Z|x=2k-1,k∈Z ；
q
有理数集可以表示为Q= x∈Z|x=
p
,p,q∈Z,p≠0
◎使用描述法时要注意一下几点：
(1)若集合中x属于自然数集时，可以简写，即
x∈R|x>1 可以写为x|x>1 ;
(2)写简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、
集合图形等；
(3)不能出现未被说明的字母，如x∈Z|x=2m
中m未被说明，故元素是不确定的；
(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如
“x∈Z|x=2m ,m∈N”不符合要求，应将“m∈N”
写进“ ”中，即x∈Z|x=2m,m∈N ；
(5)多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元
素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2
例2 用适当的方法表示下列集合．
2x-3y=14 (1)方程组 的解集；
3x+2y=8
2x-3y=14 x=4
解：
，得
，故解集为{(4,-2)}；
3x+2y=8 y=-2
(2)1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
解：集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x=
3k+2，k∈N且x<1000}．
(3)直角坐标平面上第二象限内的点构成的集合；
解：集合的代表元素是点(x,y)，用描述法表示为{(x
,y)|x<0且y>0}
(4)所有三角形构成的集合．
解：集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{
三角形}．
5.数集与点集
(1)对于集合A=x|x2+x-1=0
．
，A中的元素是
方程x2+x-1=0的解，A即方程的解构成的集合；
不等式型的数集在分析问题时，借助数轴进行分析。
(2)对于集合N= x,y |2x-y+4=0 ，N中的元
素为直线2x-y+4=0上的所有的点构成的集合；
点集在分析时，可以借助平面直角坐标系进行分析。
随堂练习
[练1（] 多选）下列各组不能构成集合的是 ( BC )
A.数学必修一课本中所有的难题；
B. 本班16岁以下的全体同学；
C. 方程x-4的所有解；
D. 2的近似值的全体．
解：A不能，集合具有确定性，而“难题”无法确定具体范
围，不构成集合．B能，能确定具体范围，且元素之间可
区分，满足集合要求，能构成集合．C能，x-4解为x=
4，是确定的，能组成集合．D不能，集合具有确定性，对
“近似”的精确度没有明确，不能组成集合[练2]下列四组对象中能构成集合的是 ( D ) [练6]用描述法表示下列集合：
A.昆明八中学习好的学生 (1){2，4，6，8，10，12}；
1 2 3 4 5
B. 在数轴上与原点非常近的点 (2){ ， ， ， ， }；
3 4 5 6 7
C. 很小的实数 (3)正偶数集；
D.倒数等于本身的数 (4)被3除余2的正整数组成的集合；
解：∵集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习 (5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；
好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符 解：(6){1，22，32，42，…}．
合确定性；∴A，B，C错误，对于D，符合集合的定义，D (1){x∈N|2≤x≤12，且x是偶数}；
正确，故选：D．
(2){x|x=
n
，n∈N且1≤n≤5}；
n+2
[练3]下面四个说法中错误的是 ( CD ) (3){x∈N*|x=2k，k∈Z}
A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} (4){x∈N*|x=3n+2，n∈Z}；
B. 由1，2，3组成集合可为{1，2，3}或{3，2，1} (5){(x,y)|x∙y=0，x∈R，y∈R}；
C. 方程x2-2x+1=0的所有解的集合是{1，1} (6){x|x=n2，n∈N*}．
D.0与{0}表示同一个集合
解：10以内质数的集合是{2，3，5，7}，故A正确；
由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同
一集合，故B正确； [练7]已知集合A={x|x2-2x+k>0}，
方程x2-2x+1=0的所有解的集合是{1}，C错
(1)当k=-3时，求集合A；
由集合的表示方法知0不是集合，故D错误
(2)若A=R，求实数k的取值范围。
x+y=3
[练4]下列集合表示 解集的是 ( C )
x-y=1 解：(1)k=-3时，由x2-2x-3>0
A.{2，1} B. {x=2，y=1} 得(x-3)(x+1)>0，
C. {(2,1)} D.{(1,2)} ∴x<-1或x>3，
解：∵ x+y=3 ∴ x=2 ∴A={x|x<-1或x>3}．
x-y=1 y=1
(2)依题意x2-2x+k>0对一切实数x恒成立，
则方程组
x+y=3 的解集的是{(2,1)}选：C．
x-y=1 则△=(-2)2-4k<0，…(6分)解得k>1，
[练5]用另一种方法表示下列集合 即实数k的取值范围是(1,+∞)．
(1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}；
(2){0，1，4，9，16，25，36，49}；
(3){平面直角坐标系中第二象限内的点}．
解：(1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}={(3,2)，(6,0)，
(0,4)}；(2){0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=n2，n∈
N，0≤n≤7}；
(3){平面直角坐标系中第二象限内的点}={(x,y)|x<
0，y>0}．
18模模块块二二 元元素素与与集集合合的的关关系系
课堂精讲
1.元素与集合的关系
关系 概 念 记 法 读 法
a是集合A的元素，就说a a属于集
属 于 a∈A
属于集合A 合A
a不是集合A中的元素，就 a不属于
不属 a∉A
于 说a不属于集合A 集合A
例3 设集合A={x|x<2}，则 ( D )
A.2∈A B. 3⊆A
C. 3∉A D. 3∈A
解：∵A中元素范围为(-∞,2)，则AC错误，D正确，
而选项B，符号⊆表示集合与集合的关系，∴B错，
2.元素的特性
性质 含 义 示 例
对于任意一个元素，要么
确定 它属于某个指定集合，要 集合A=1,2,3
性 么它不属于该集合，二者
必居其一
19
，则1∈
A，4∉A
同一个集合中的元素是互 方程x2-2x+1=0的
互异 根构成的集合只有一个
不相同的，相同的元素只
性 元素1，不出现两个重复
出现一次 的1
集合中的元素没有先后顺
无序 序，任意改变集合中元素 集合1,2
性 的排列顺序，它们仍然表
示同一集合
和2,1
随堂练习
1
[练1]给出关系：① ∈R；② 2∈Q；③|-3|∈N；④
2
|- 3|∈Z；⑤0∉N，正确的有几个 ( B )
A.1 B. 2 C. 3 D.4
1
解：① ∈R，正确；② 2∈Q，错误；③|-3|∈N，正
2
确；④|- 3|∈Z，错误；⑤0∉N，错误，正确2．
[练2]下列关系中正确的是 ( C )
A. 2∉R B. 0∈N*
1
C. ∈Q D. π2∈Z
3
解：A. 2∈实数，∴A错；B.N*是正整数集，可知0
1 ∉N*，∴B错,C. 是有理数，∴C正确；D. π2=π
3
是无理数，Z是正整数集，∴D错；故选：C．
[练3]已知集合M={a，2a-1，2a2-1}，若1∈M，则
M中所有元素之和为 ( C )
A.3 B. 1 C. -3 D.-1
解：若a=1，则2a-1=1，不满足集合的互异性，舍
去．若2a-1=1，则a=1，不满足集合的互异
性，舍去．若2a2-1=1，则a=-1，或a=1，由(1)可
知a=1不合题意，当a=-1时，2a-1=-3，此时M
={-1，-3，1}，故M中∴元素之和为-3．故选：C．
[练4]A=1,2,3
是同
一个集合
例4A={x，x2}(x∈R)，若1∈A，则x= -1
解：集合A={x，x2}(x∈R)，∵1∈A，即x=1或x2
=1，得x=1或x=-1当x=1时，违背集合互异性
例5 若2∈{1，a2+1，a+1}，则a= ( D )
A.2 B. 1或-1
C. 1 D.-1
解：2∈{1，a2+1，a+1}，则a+1=2或a2+1=2，∴
a=1或-1，当a=1时，a2+1=a+1，不合异性，舍
去；当a=-1时，a+1=0，a2+1=2，合题，a=-1
，集合B=zz=x-y,x,y∈A ，则
集合B中元素的个数为 ( B )
A.4 B. 5 C. 6 D.7
解：∵A=1,2,3 ，B=zz=x-y,x∈A,y∈A ，∴
x=1,2,3，y=1,2,3当x=1时，x-y=0,-1,-2当x
=2时，x-y=1,0,-1当x=3时，x-y=2,1,0即x
-y=-2,-1,0,1,2，即B=-2,-1,0,1,2 共5个元素
[练5]已知集合P={-1，2a+1，a2-1}，若0∈P，则
实数a的取值集合为 ( C )
1
A. - ,-1
2
B. {-1，1}
1
C. - ,1
2
1
D. - ,-1,1
2
解：由于集合P={-1，2a+1，a2-1}，0∈P，∴2a+1
1 1
=0或a2-1=0，∴a=- 或a=±1；当a=- 时，a2
2 2
3
-1=- ，满足条件；当a=1时，2a+1=3，满足条件；
4
当a=-1时，2a+1=-1，与元素的互异性矛盾，舍去；[练6]用符号“∈”或“∉”填空
(1) 0 ∈ N， 5 ∉ N， 16 ∈ N；
(2) 2- 3 + 2+ 3 ∈ {x|x=a+ 6b，a
∈Q，b∈Q}．
解：(1)∵0是自然数，∴0∈N；∵ 5不是自然数，∴ 5
∉N；∵ 16=4是自然数，∴ 16∈N；
(2)∵( 2- 3+ 2+ 3)2=2- 3+2+ 3+2=6，
∴ 2- 3+ 2+ 3= 6=0+1× 6，故 2- 3+
2+ 3∈{x|x=a+ 6b，a∈Q，b∈Q}．
b
[练7]含有三个实数的集合既可表示为{b, ,0}，也可
a
表示为{a，a+b，1}，则a+b值为 0 。
b
解：∵集合{b， ，0}={a，a+b，1}，
a
b
由于 中a≠0，∴a+b一定等于0，即a+b=0，a=
a
b
-b；∴ =-1，在后一种表示的集合中有一个元素是1，
a
只能是b，∴b=1，∴a=-1，∴a+b=0，故答案为：0。
[练8]已知集合A=xax2-3x+2=0
20
，若A中至少
9
-∞,
有一个元素，则a的取值范围是 8
解：A中至少有一元素，则ax2-3x+2=0至少有一解
当a=0时，方程ax2-3x+2=0等价为-3x+2=0，即
2
x= ，满足条件．
3
9
当a≠0，判别式Δ=9-8a≥0，解得a≤ 且a≠0．
8
9 9
综上，a的取值范围为a≤ ，即a∈-∞,
8 8
[练9]设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x．
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若-2也是集合A的一个元素，求实数x．
解：
[练10]已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}．
(1)集合A中的方程无解，求实数a的取值范围；
(2)若A是单元素集，求a的值及集合A．
解：(1)若A=∅，则集合A无真子集，
这时关于x的方程ax2-3x+2=0无实数解，
9
则a≠0，且△=9-8a<0，解得a> ；
8
(2)若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分
为两种情况：
2 2
①a=0时，-3x+2=0，x= ，A={ }；
3 3
②a≠0时，则△=9-8a=0，
9 4
解得a= ，A={ }；
8 3
[巩固2]A={x∈Z|-1<x<3}元素个数是 ( C )
课后提升
A.1 B. 2 C. 3 D.4
[巩固1]下面给出的选项中，能组成集合的是 ( D )
解：∵集合A={x∈Z|-1<x<3}={0，1，2}，∴集
A.高一某班个子较高的同学
合A中元素的个数是3．故选：C．
B. 比较著名的科学家
C. 无限接近于4的实数 [巩固3]设集合A={x|x>2}，则 ( B )
D.到一个定点的距离等于定长的点的全体 A.3∉A B. 5∈A
解：选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标
C. 2∈A D.0∈A
准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组
解：∵集合A={x|x>2}，∴3∈A，A错误； 5∈A，
成集合．故选：D．
B正确；2∉A，C错误；0∉A，D错误．[巩固4]若集合{x|ax2-x+1=0}中只有一个元素，
则实数a的值为 ( D )
1 1
A. B. 0 C. 4 D.0或
4 4
解：分类讨论(1)当a=0时，方程的解为x=1，符合
1
题意；(2)当a≠0时，由△=1-4a=0得a= ．
4
[巩固5]根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国
∈ A，美国 ∉ A，印度 ∈ A；
(2)若A=x|x2=x
21
，则-1 ∉ A；
(3)若A=x|x2+x-6=0 ，则3 ∉ A；
(4)若A=x∈N|1≤x≤10 ，则8 ∈ A，
9.1 ∉ A．
[巩固6]方程的解集为x∈R|2x2-3x-2=0
[巩固9]集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，a∈R．
1 (1)若 ∈A，用列举法表示A；
2
(2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集
合B．
1 1
解：(1)∵ ∈A，∴ 是方程ax2+2x+1=0的根，
2 2
1 1
∴a( )2+2× +1=0，解得a=-8．∴方程为
2 2
-8x2+2x+1=0．
1 1 1 1
∴x = ，x =- ，此时A=- ,
1 2 2 4 4 2
，用列
1
{- ,2}
举法表示为 2
1 1
解：2x2-3x-2=0得x=- 或x=2，故{- ,2}
2 2
[巩固7]已知集合B={a，a2，2}，1∈B，则实数a的
值为 -1
解：∵1∈B，B={a，a2，2}，∴a2=1，解得a=±1，a
=1时，不满足元素互异性，∴a=-1．
[巩固8]用列举法表示下列集合：
(1)A={x|x(x2-4)=0，x∈R}；
x+y=5
(2)B={(x,y)| }；
2x-y=1
(3)C={x∈N|-3≤2x+1<5}．
解：(1)由x(x2-4)=0解得x=0，或x=±2，则A=
{0，-2，2}；
x+y=5
(2)由
，解得x=2，y=3，则B={(2,3)}；
2x-y=1
(3)由-3≤2x+1<5，解得-2≤x<2，x∈N，则C
={0，1}．
．
1
(2)若a=0，则方程为2x+1=0，x=- ，A中仅有 2
一个元素；
若a≠0，A中仅有一个元素，则△=4-4a=0，即a
=1，方程有两个相等的实根x =x =-1．故所求集
1 2
合B={0，1}．
[巩固10]已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．
(1)若1∈A，用列举法表示A；
(2)当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的
集合B．
解：A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．
(1)当1∈A时，ax2+2x+1=0的实数根为1，
∴a+2+1=0，解得a=-3；
∴方程为-3x2+2x+1=0，
1 1
解得x=1或x=- ；∴A={1，- }；
3 3
1 (2)当a=0时，2x+1=0，解得x=- ，
2
1
A={- }；
2
当a≠0时，若集合A只有一个元素，
由一元二次方程ax2+2x+1=0
判别式△=4-4a=0，解得a=1；
综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素
∴a的值组成的集合B={0，1}．第第五五讲讲 集集合合的的关关系系与与运运算算
模模块块一一 集集合合的的关关系系
课堂精讲
◎情境1观察集合：E为第一中学高二(5)班全体女
生组成的集合，F为这个班全体同学组成的集合．
♦问题：集合F都包含集合E的元素吗？
♦设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集
合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。
◎情境2我们知道，实数可以比较大小，如1<2．类
比实数比较大小，集合是否也可以“比较大小”呢？
♦问题1:数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部
代表集合，这种图称为Veen图。集合A=1,2,3
22
，
B=1,2,3 ,C=1,2,3,4 ，把A、B、C用韦恩图表
示如下，你能说出集合A与B，C之间的关系吗？
♦问题2:已知集合A=x|x>0 ,B=x|x>-1
B A 或 B(A)
特别提醒：
♦“A是B的子集”含义是：A的任何一个元素都是
B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B．
♦当A不是B的子集时，我们记作“A⊈(或B⊉)”，
读作：“A不包含于B”(或“B不包含A”)．
2.集合相等
若集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是
集合A的子集(B⊆A)，则此时两集合元素一样，那
么就说集合A与集合B相等，记作A=B．
3.真子集
若A⊆B且A≠B，就说集合A真包含于集合B
(或集合B真包含集合A)，那么集合A是集合B的
真子集，记作A⊊B或(B⊋A)．
， B A
尝试用数轴表示集合A、B，你能说出集合A与集合
B之间的关系吗？
4.空集
定义：不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示
♦设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的关系有初步的感知。
的真子集，空集本身没有真子集。
例1 已知集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=
1.子集
2n，n∈N*}，则 ( A )
一般地，两个集合A，B，若集合A中任意一个元
A.A⊆B B. B⊆A
素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 C. A∩B=∅ D.A=B
解：集合A={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，16，…}，
含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B
B={x|x=2n，n∈N*}={2，4，6，8，10，12，14，
⊇A)读作“A含于B”(或B包含A)． 16，…}，所以A⊆B．故选：A．例2 下列各组中M、P表示同一集合的是 ( C ) [练5]已知集合A={2，4，a2}，B={2，a+6}，若B⊆
A.M={3，-1}，P={(3,-1)}； A，则a= ( C )
B. M={(3,1)}，P={(1,3)}；
A.-3 B. -2 C. 3 D.-2或3
C. M={y|y=x2-1}，P={t|t=x2-1}；
解：因为B⊆A，若a+6=4，则a=-2，a2=4，集合
D.M={y|y=x2-1}，P={(x,y)|y=x2-1}
A中的元素不满足互异性，舍去；若a+6=a2，则a=
解：在A中，M={3，-1}是数集，P={(3,-1)}是点
集，二者不是同一集合，A错；在B中，M={(3,1)}，P
3或-2，因为a≠-2，所以a=3．故选：C．
={(1,3)}表示不同点，B错；在C中，M={y|y=x2-
[练6]已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
1}=[-1，∞)，P={t|t=x2-1}=[-1，+∞)，故C
(1)若A只有一个元素，求a值，并求出这个元素；
正确；在D中，M={y|y=x2-1}是数集，P={(x,y)
|y=x2-1}是一条抛物线，D错。选C.
(2)若A是空集，求a的取值范围；
(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
随堂练习 解：(1)若A中只有一个元素，
则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
[练1]下列集合与集合A={1，3}相等的是 ( C )
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，x=
A.(1,3)
1
- ，
B. {(1,3)} 2
当a≠0，此时△=4-4a=0，得：a=1，此时x=-1
C. {x|x2-4x+3=0}
(2)若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解
D.{(x,y)|x=1，y=3}
此时△=4-4a<0，解得：a>1.
解：∵{x|x2-4x+3=0}={1，3}，∴与集合A={1，
(3)若A中至多只有一个元素，
3}相等的是{x|x2-4x+3=0}．故选：C．
则A为空集，或有且只有一个元素，
[练2]若集合M={x|x≤6}，a= 5，则下面结论中正
由(1)(2)得满足条件的a的范围是：a=0或a≥1.
确的是 ( A )
[练7]已知y=x2-2mx+1，m为常数。
A.{a}⊂M B. a⊂M
(1)若y≤0的解集为空集，求m的取值范围．
C. {a}∈M D.a∉M
(2)若A={x|1≤x≤2}是B={x|x2-2mx+1
解：∵集合M={x|x≤6}，a= 5，∴{a}⊂M
≤0}的子集，求m的取值范围。
[练3]设集合P={y|y=x2+1)，M={x|y=x2+1}，
解：(1)∵y≤0的解集为空集，
则集合M与集合P的关系是 ( D )
∴△=(-2m)2-4<0，
A.M=P B. P∈M C. M⊊P D.P⊊M
解得：-1<m<1，∴m的取值范围为：(-1,1)．
解：∵y=x2+1≥1，即P={y|y≥1}，M={x|y=x2
(2)设函数f(x)=x2-2mx+1，
+1}=R，∴P⊊M，故选：D．
∵A是B的子集，
[练4]若A={1，2}，B={(x,y)|x∈A，y∈A}，则集 △=(-2m)2-4>0
∴f(1)≤0 ，
合B的子集个数为 ( C )
f(2)≤0
A.4 B. 8 C. 16 D.32 解得：m≥ 5 ，
4
解：∵A={1，2}，∴B={(x,y)|x∈A，y∈A}={(1 5
∴m的取值范围为：[ ，+∞)．
4
,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，∴集合B子集个数为24=16
23模模块块二二 集集合合的的运运算算
课堂精讲
我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是
否也有类似的运算呢？
观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说
出集合A与集合B之间的关系吗？
(1)A=1,3,5
24
，B=1,3,4,6 ，C=1,3,4,5,6
(2)A=x/x是有理数
，B=x/x是无理数
,
C=x/x是实数
在上述两个问题中，集合A，B与集合C之间都
具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或
属于集合B的元素组成的。
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元
素组成的集合，称为集合A与B的并集,记作A∪B
（读作“A并B”），即A∪B={x
3.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组
成的集合称为集合A与B的交集,记作A∩B（读
作“A交B”），即A∩B={x
x∈A或x∈B}
A B
A⋃B
例3 若集合M={-2，-1，1}，集合N={0，1}，则M
∪N等于 ( A )
A.{-2，-1，0，1} B. {-2，-1，1}
C. {-2，-1，0} D.{1}
解：∵M={-2，-1，1}，N={0，1}，∴M∪N=
{-2，-1，0，1}．故选：A．
2.并集的性质
A∪A=A A∪∅=A
A∪B=A B⊆A
若x∈(A∪B)，则x∈A或x∈B.
A∪B=∅x ∉A且x ∉B
0 0
x∈A且x∈B}
A A∩B B
例4 已知集合A={x|2x-1>5}，B={3，4，5，6}，
则A∩B= ( D )
A.∅ B. {3}
C. {3，4，5，6} D.{4，5，6}
解：由题意：∵集合A={x|2x-1>5}={x|x>3}，
B={3，4，5，6}，∴A∩B={4,5,6}．故选：D．
4.交集的性质
A∩A=A A∩∅=∅
A∩B=A A⊆B.
若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B
例5(2021•荔湾区校级模拟)已知集合A={(x，y)|x
+ay-a=0}，B={(x，y)|ax+(2a+3)y-1=
0}．若A∩B=∅，则实数a= ( A )
A.3 B. -1
C. 3或-1 D.-3或1
1×(2a+3)-a×a=0
解：若A∩B=∅，则
，得a=3
1×(-1)+a×a≠0
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的
范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由
自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的
研究范围扩充到实数。在不同范围研究同一个问
题，可能有不同的结果。例如：方程 x-2 x2-3
=0的解集，在有理数范围内只有一个解2，即:
x∈Q/x-2 x2-3 =0 =2
在实数范围内有三个解：2， 3，- 3，即:
x∈R/x-2 x2-3 =0 =2, 3,- 3 5.全集
一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所
有元素，那么就称这个集合为全集 ，通常记作U．
6.补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补
集，简称为集合A的补集，记作∁ A，即:
U
∁ A={x
U
25
[练3](2021•湖北模拟)设集合A={x|x2-16<0}，B
={x|x2-5x-6≤0}，则A∪B= ( C )
A.{x|-1≤x<4} B. {x|-1≤x≤4}
C. {x|-4<x≤6} D.{x|-4≤x≤6}
解：由题意：∵A={x|-4<x<4}，B={x|-1≤x≤
6}，∴A∪B={x|-4<x≤6}．故选：C．
[练4](2021•5月份模拟)集合A={x∈N|x2-2x≤
0}，B={-1，0，1，2}，则A∪B= ( B )
x∈U且x∉A}
A.{0，1，2} B. {-1，0，1，2}
U
A C. {1，2} D.{-1，0，1}
∁ U A 解：由题意：A={x∈N|0≤x≤2}={0，1，2}，
B={-1，0，1，2}，∴A∪B={-1，0，1，2}．
例6 集合A={x|1<x≤2}，那么∁ A= ( D )
R
A.(-∞，1)∪(2，+∞) B. (-∞，1]∪[2，+∞)
[练5](2021•河北模拟)集合M={x|0<x<4}，N=
C. (-∞,1)∪[2，+∞) D.(-∞，1]∪(2,+∞) {x| x-1<2}，则M∩N= ( D )
解：∵集合A={x|1<x≤2}，∴∁ A=(-∞，1]∪(2
R A.(0，4) B. [1，5) C. (0，5) D.[1，4)
,+∞)．故选：D．
解：由题意：∵M={x|0<x<4}，N={x|1≤x<5}，∴
M∩N=[1，4)．故选：D
随堂练习 [练6](2021•新高考Ⅱ)全集U={1，2，3，4，5，6}，A
[练1](2021•北京卷)已知集合A={x|-1<x<1}， ={1，3，6}，B={2，3，4}则A∩∁ B= ( B )
U
B={x|0≤x≤2}，则A∪B= ( B )
A.{3} B. {1，6}
A.{x|0≤x<1} B. {x|-1<x≤2}
C. {5，6} D.{1，3}
C. {x|1<x≤2} D.{x|0<x<1}
解：∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，6}，B={2，
解：∵A={x|-1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，∴A∪B
3，4}，∴∁ B={1，5，6}，A∩∁ B={1，6}．
U U
={x|-1<x<1}∪{x|0≤x≤2}={x|-1<x≤2}
[练7](2021•毕节市模拟)已知全集U=N，集合A=
[练2](2021•汕头二模)已知全集为实数集R，集合A
x-3
x ≥0，x∈N
={x|(x+1)(2-x)≥0}，则∁ A= ( B ) x-1
R
A.{x|-1≤x≤2}
B. {x|x<-1，或x>2}
C. {x|x≤-1，或x≥2}
D.{x|-1<x<2}
解：由题意：∵集合A={x|(x+1)(2-x)≥0}={x|-1
≤x≤2}，∴∁ A={x|x<-1或x>2}．
R
，则∁ A= ( B )
U
A.{2} B. {1，2}
C. {2，3} D.{0，1，2}
x-3
解：由 ≥0，得x<1或x≥3，∴A={x|x<1
x-1
或x≥3，x∈N}，U=N，则∁ A={x|1≤x<3，x∈
U
N}={1，2}[练8]设集合A={2，3，5}，B={x∈Z|x2-6x+m<
0}，A∩B={3}，则A∪B= ( C )
A.{2，3，4} B. {1，2，3，4，5}
C. {2，3，5} D.{2，3，4，5}
解：∵A∩B={3}，B={x∈Z|x2-6x+m<0}，∴3是x2-
6x+m<0的解，2，5不是x2-6x+m<0的解，故△>0，又
∵y=x2-6x+m的图象关于x=3对称，∴B={x∈Z|x2-
6x+m<0}={3},A∪B={2，3，5}
[练9]已知集合A={x|2≤x≤3}，集合B={x|a<x
<a+4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
解：A={x|2≤x≤3}，B={x|a<x<a+4}，
要使A∩B=∅，需满足a≥3或a+4≤2，
即a≥3或a≤-2，
∴实数a的取值范围是(-∞，-2]∪[3，+∞)．
x-2
[练10]已知A= x <0 x+3
26
，B= xax-1=0 ，
且A∩B=B，求实数a的取值范围.
x-2 解：A=x <0,x∈R x+3 =x|-3<x<2 ，
因为A∩B=B，所以B⊆A，当B=∅时，ax-1=0
无解，得a=0；
当B≠∅时，B=xax-1=0 1 = a ，由B⊆A得
1 1 1
-3< <2，解得a<- 或a> ，
a 3 2
1
综上：a的取值范围是-∞,-
3
1
∪ ,+∞
2
∪0
[练11]设全集是R，集合A=xx2-2x-3>0
.
，B=
x1-a<x<2a+3 ．
(1)若a=1，求∁ R A ∩B；
(2)问题：已知_____，求实数a的取值范围。
从下面的三个条件中选一个填在上面进行解答。
①A∩B=B ②A∪B=R ③A∩B=∅
解：(1)A= x x<-1或x>3 ，
∴∁ R A =x-1≤x≤3 ．若a=1，则B=
x0<x<5 ，所以∁ R A ∩B=x0<x≤3 ．
(2)选①：A∩B=B，则B⊆A．
2
当B=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤- ；
3
1-a<2a+3 1-a<2a+3
当B≠∅时，则有
或
，
2a+3≤-1 1-a≥3
2
a的取值范围是-∞,-
3
．
选②：A∪B=R，由于Bx1-a<x<2a+3
1-a<-1
有 ，得a>2，a的取值范围2,+∞ 2a+3>3 ．
选③：A∩B=∅，B=x1-a<x<2a+3 ，
2
当B=∅时，则有1-a≥2a+3，即a≤- ；
3
1-a<2a+3
2 当B≠∅时，则有1-a≥-1 得- <a≤0综上
3
2a+3≤3
述，所求实数a的取值范围是-∞,0 ．
[巩固2](2021•河南模拟)已知集合A={x|x2+x-6
课后提升
≤0}，B={x|1-x≤2}，则A∩B= ( D )
[巩固1]设集合A={x|x2-2x-3≤0}，B={x|1≤x
A.[-3，-1] B. [-3，1]
≤3}，则 ( A )
C. [1，2] D.[-1，2]
A.A⊇B B. A=B
解：由题意：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥-1}，
C. A⊆B D.A∩B=∅
∴A∩B=[-1，2]．故选：D．
解：设集合A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤
3}，B={x|1≤x≤3}，则A集合包含B集合的所有
元素，B集合是A集合的子集且是真子集，故A⊇B，
[巩固3](2021•北仑区校级模拟)已知A={1，2，3，4，5，6}，B={y|y<3}，则A∩∁ B= ( C )
R
A.{1，2，3，4，5，6} B. {1，2}
C. {3，4，5，6} D.{4，5，6}
解：由题∵B={y|y<3}，∴∁ B={y|y≥3}，又A=
R
{1，2，3，4，5，6}，则A∩∁ B={3,4,5,6}．故选：C．
R
[巩固4]设集合M={x|2x-x2≥0}，N={x|x<a}，
若M⊆N，则实数a的取值范围是 ( B )
A.a<2 B. a>2 C. a≥2 D.a≤2
解：由已知可得M=[0，2]，N=(-∞,a)，因为M⊆
N，则只需a>2，故选：B．
[巩固5]集合A={x|x2+x-6≤0}，B={x|1-x≤
2m}，且A∩B={x|-1≤x≤2}，则m= ( D )
A.2 B. 0 C. -1 D.1
解：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥1-2m}，A∩
B={x|-1≤x≤2}，∴1-2m=-1，解得m=1．
[巩固6](2021•B卷模拟)设全集为R，A={x|y=
x-1}，B={y|y= x-1}，则B∩∁ A= ( A )
R
A.[0，1) B. [0，1]
C. {0} D.∅
解：由题意：A=[1，+∞)，∁ A=(-∞，1)，B=[0，
R
+∞)，则B∩∁ A=[0，1)．故选：A．
R
[巩固7](2021•广州二模)已知集合P={x|-3≤x≤
1}，Q={y|y=x2+2x}，则P∪(∁ Q)= ( D )
R
A.[-3，-1) B. [-1，1]
C. (-∞，-1] D.(-∞，1]
解：∵集合P={x|-3≤x≤1}，Q={y|y=x2+2x}
={y|y=(x+1)2-1}={y|y≥-1}，∴∁ Q={y|y<
R
-1},则P∪(∁ Q)={x|x≤1}=(-∞,1]．
R
[巩固8]集 合 A = x|-2≤x≤5
27
， B =
x|m+1<x<2m-1 ，若 B ⊆ A，则 m 的范围是
-∞,3
个，求实数a的取值范围为 (-1,1)．
解：∵A的子集只有一个，∴A=∅，∴方程x2+2ax+1
=0无解，∴△=4a2-4<0，解得-1<a<1，∴实数a
的取值范围为(-1,1)．
[巩固10]设全集U=R，集合A=x|-1≤x<3
解：题意得：当 B=∅时，m+1≥2m-1，即m≤2.当
m+1<2m-1
B≠∅时，m+1≥-2 ，得2<m≤3.综上m≤3
2m-1≤5
[巩固9]若集合A={x|x2+2ax+1=0}的子集只有一
，.B=
x|2x-4≥x-2
(1)求B及∁ (A∩B)； U
(2)若集合C={x|2x+a>0}，满足B∪C=C，
求实数a的取值范围。
解：(1)∵B=x|2x-4≥x-2 =xx≥2 ，
∴A∩B=x2≤x<3 ，
∴C UA∩B =x|x<2或x≥3 .
(2)由B∪C=C得B⊆C，
a
又因为C= x|2x+a>0}=xx>-
2
a
所以- <2，
2
解得a>-4.所以实数a的取值范围是a>-4
[巩固11]集合A={x|-3≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤
2m-1}．
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时
成立，求实数m的取值范围。
解：(1)∵B⊆A，
∴①B=∅时，m+1>2m-1，解得m<2；
m≥2
②B≠∅时，m+1≥-3，解得2≤m≤4，
2m-1≤7
综上，实数m的取值范围为(-∞，4]；
(2)由题意知，A∩B=∅，
①B=∅时，m<2；
m≥2 m≥2
②B≠∅时，
或
，得m>
m+1>7 2m-1<-3
6
∴实数m的取值范围为(-∞，2)∪(6，+∞)．第第六六讲讲 逻逻辑辑用用语语
模模块块一一 充充要要条条件件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推
课堂精讲
理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作
在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一
p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条
般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断
件。如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能
真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命
推出结论q，记作p q．此时，我们就说p不是q
题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多
的充分条件，q不是p的必要条件。
命题可以写成“若p，则q”或“如果p，那么q”等形
式。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。本 ♦唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的
结果不唯一，则必要性不成立。
节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考
eg:x=1⇒x
察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数
学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条
件和充要条件。
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？
哪些是假命题？
(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四
边形是菱形；
(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3)若x2-4x+3=0，则x＝１；
(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b
在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结
论q，所以它们是真命题。在命题(2)(3)中，由条件p
不能得出结论q，所以它们是假命题。
28
=1，x =1⇒x=±1，则x=1是x
=1的充分不必要条件。
♦不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式
成立，反之不成立(小可推大，大不可推小)
例1 设p:x> 2，q:x2>2，p是q成立的 ( B )
A.充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解：q:x2>2，解得x> 2或x<- 2；若p:x> 2
成立，则q:x2>2成立，反之，若q:x2>2成立，则p:
x> 2未必成立；即p是q成立的充分不必要条件，
故选：B。
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它
们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分
别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则两个三角形周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝０有两个不 [练4](多选)若x2-x-2<0是-2<x<a的充分
相等的实数根，则ac<0；
不必要条件，则实数a的值可以是 ( BCD )
(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集．
A.1 B. 2 C. 3 D.4
将命题“若p，则q”中的条件p 和结论q 互换，
就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原 解：由x2-x-2<0，解得-1<x<2.∵x2-x-2<
命题的逆命题。 0是-2<x<a的充分不必要条件，∴(-1,2)
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的 (-2，a)，∴a≥2.∴实数a的值可以是2,3,4.
逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命
[练5]一元二次方程ax2+2x+1=0，(a≠0)有一个
题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真
正根和一个负根的充分不必要条件是 ( C )
命题.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均
A.a<0 B. a>0
是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件， C. a<-1 D.a>1
我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.
解：ax2+2x+1=0，(a≠0)有一个正根和一个负根
1
的充要条件是x ×x = <0，即a<0，
1 2 a
随堂练习 而a<0的一个充分不必要条件是a<-1故选：C。
[练1]设a，b，c 是实数，则“a> b”是“ac2>bc2”的 [练6]x∈R，则“|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的 ( A )
( B )
A.充分不必要条件
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.不充分也不必要条件
解：由“ac2>bc2” ⇒ “a>b”，反之不成立，例如c= C. 充要条件
0时，“a>b”是“ac2>bc2必要不充分条件。故选：B。 D.既不充分也不必要条件
[练2]“|x-1|<2”是“x<3”的 ( A ) 解：|x-2|<1，得1<x<3，x2+2x-3>0，得x<-3
A.充分不必要条件 或x>1，“1<x<3”成立，则“x<-3或x>1”成立，而
B. 必要不充分条件 “x<-3或x>1”成立，“1<x<3”不一定成立，所以
C. 充要条件 “|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的充分不必要条件.
D.既不充分也不必要条件
[练7]“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的一个
解：由|x-1|<2，可得-1<x<3，∵{x|-1<x<
充分不必要条件是 ( A )
3}{x|x<3}，∴“|x-1|<2”是“x<3”的充分不
1 1
A.m<- B. m≤
4 4
必要条件．
1
C. m> D.m<4
[练3]已知p：x≥k，q：(x+1)(2-x)<0，如果p是q 4
的充分不必要条件，则实数k的范围是 ( B ) 解：若一元二次方程x2+x+m=0”有实数解，
A.[2，+∞) B. (2，+∞) 则判别式△=1-4m≥0，解得m≤ 1 。
4
C. [1，+∞) D.(-∞，-1] ∴ “一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的一个充
解：由q：(x+1)(2-x)<0，得x<-1或x>2，又p 分不必要条件是m<- 1 ，故选：A。
4
是q的充分不必要条件，k>2，即k的范围是(2，+∞)
29[练8]已知集合A={x|m-1<x<m2+1}，B= [练9]已知集合A={x|2-a≤x≤2+a}，B={x|x
{x|x2-4<0}。 ≤1或x≥4}。
(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围； (1)当a=3时，求A∩B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实 (2)若a>0，且“x∈A”是“x∈∁ B”的充分不必要
R
数m的取值范围。 条件，求实数a的取值范围。
解：(1)集合A={x|m-1<x<m2+1}，B={x|x2- 解：(1)当a=3时，集合A={x|2-a≤x≤2+a}=
4<0}=(-2,2)。 {x|-1≤x≤5}，
由A∩B=∅，可能有以下几种情况： B={x|x≤1或x≥4}，∴A∩B={x|-1≤x≤1或4
A=∅，则m-1≥m2+1，m2-m+2≤0，解集为空 ≤x≤5}；
集，此种情况不可能； (2)∵若a>0，且“x∈A”是“x∈∁ B”的充分不必要
R
A≠∅时，可能m2+1≤-2，或2≤m-1，解得：m∈ 条件，
∅，或m≥3。 A={x|2-a≤x≤2+a}(a>0)，∁ B={x|1<x<
R
综上可得：实数m的取值范围是[3，+∞)。 4}，
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 2-a>1
∴A⊊∁ B，则 2+a<4解得0<a<1。故a的取值
-2≤m-1 R
则A⊊B，∴ ，等号不能同时成立，
a>0
m2+1≤2
范围是：(0,1)。
解得：-1<m≤1，∴实数m的取值范围是(-1，1]。
3.全称量词与存在量词
模模块块二二 逻逻辑辑用用语语
(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意
课堂精讲
一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表
1.命题
示.含有全称量词的命题，叫做全称命题。
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈
述语句叫做命题。分类:真命题、假命题．命题的真
(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至
假即为语句描述内容的对与错。形式“: 若p，则q．”
少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号
2.四种命题 “∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题。
原命题：若p则q 逆命题：若q则p
否命题：若¬p则¬q 逆否命题：若¬q则¬p
(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
1 全称命题p：∀x∈Μ,p(x)，它的否定¬p：
真 真 真 真
真 假 假 真 ∃x ∈Μ,¬p(x ).其否定是特称命题。
0 0
假 真 真 假
2 特称命题p：∃x ∈Μ,p(x ),它的否定
假 假 假 假 0 0
¬p：∀x∈Μ,¬p(x).其否定是全称命题。
30随堂练习
[练14]给出下列四个命题中：
①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题。
[练10]下列命题为真命题的是 ( B )
②命题“若x2-4x+3=0，则x=3”的逆否命题
A.∃x ∈R，使x2<0 B. ∀x∈R，有x2≥0
0 0
为：“若x≠3，则x2-4x+30≠0”。
C. ∀x∈R，有x2>0 D.∀x∈R，有x2<0
③“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
解：∵x∈R，∴x2≥0，∴∀x∈R，有x2≥0，故选：B。
④关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为
[练11]下列命题是真命题且是全称量词的是 ( D ) R，则m≤4。
其中所有正确命题的序号是 ②③④ 。
A.对∀a，b∈R，都有a2+b2-2a-2b+2<0
解：对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和
B. 菱形的两条对角线相等
结论都否定，正确；对于③，若x>1，则|x|>0。若|x|
C. ∃x∈R，x2=x
>0，则x不一定大于1；对于④，f(x)=|x+1|+|x-
D.一次函数在定义域上是单调函数 3|表示数轴上点x到-1和3的距离之和。
解：A中含有全称量词“∀”，∵a2+b2-2a-2b+2= [练15]已知命题p：∃x∈R，m+1
(a-1)2+(b-1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述
上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对
角线不一定相等，∴B是假命题，C是存在量词命题。
[练12]若命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0“是
假命题，则实数m的取值范围是 ( C )
A.(-∞，3] B. [-1，+∞)
C. [-1，3] D.[3，+∞)
解：命题“∀x∈[0，3]，有x2-2x-m≠0 “是假命题
则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 “成立是
真命题，故m=x2-2x=(x-1)2-1。
由于x∈[0，3]，所以m∈[-1，3]。故选：C。
[练13]已知命题p:∃x∈R，ax2+x+1≤0，若命题p
是假命题，则a的取值范围为 ( C )
1 1
A.a< B. a≥
4 4
1 1
C. a> D.a> 或a=0
4 4
解：命题p:∃x∈R，ax2+x+1≤0的否定为¬p:∀x
∈R，ax2+x+1>0，∵命题p是假命题，∴¬p:∀x
∈R，ax2+x+1>0为真命题。当a=0时，不成立，
a>0 1
则
，即a> 。故选：C。
△=1-4a<0 4
31
x2+1 ≤0，命
题q：∀x∈R，x2-mx+1>0恒成立.若p∧q为
假命题，则实数m的取值范围为 ( B )
A.m≥2 B. m≤-2或m>-1
C. m≤-2或m≥2 D.-1<m≤2
解：当命题p为真时，m+1≤0，解得m≤-1；
当命题q为真时，Δ=m2-4×1×1<0，解得-2<
m < 2 ，当 命 题 p 与 命 题 q 均 为 真 时 ，则 有
m≤-1
⇒-2<m≤-1.命题p∧q为假命题，
-2<m<2
则命题q与命题p至少有一个为假命题.所以此时m
≤-2或m>-1.故选：B.
[练16]已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+
3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B
≠∅”为假命题，求实数a的取值范围.
解：命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则其
否定命题“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题
当a<0时，集合A={x|0≤x≤a}=∅，符合A∩B
=∅，当a≥0时，∵m2+3>0，所以∀m∈R，A∩B
=∅得a<m2+3对于∀m∈R恒成立，所以a<
m2+3 =3，则0≤a<3，综上，a的范围为a<3. min[巩固5](2022春•新罗区校级月考 )已知集合A=
课后提升
2x+1
{x <1
[巩固1]下列命题是假命题的是 (3) 。 x-1
(1)命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题
是“若x2-3x+2=0，则x=1”
(2)若命题p:∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p:∃x∈
R，x2+x+1=0
(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
(4)“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
解：(1)命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是
“若x2-3x+2=0，则x=1”，正确；(2)若命题p:∀x∈
R，x2+x+1≠0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1=0，正确；
(3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题，是假命题；(4)
x2-3x+2>0，得x>2或x<1。∴ “x>2”是“x2-
3x+2>0”的充分不必要条件。
[巩固2](2022•呼和浩特一模)集合A={x|x≥0}，B
={x|x-2>0}，则x∈A是x∈B的 ( B )
A.充分不要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分他不要条件
解：A={x|x≥0}，B:x-2>0，得x>2，即B=(2
,+∞)．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．
[巩固3](2022•天津模拟)设x∈R，则“x≤3”是“x2
≤3x”的 ( B )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：∵x2≤3x，∴0≤x≤3，∵[0，3]⊊(-∞，3]，
∴x≤3是x2≤3x的必要不充分条件，
[巩固4](2022•岳阳楼区校级一模)“x=2022”是“x2
-2022x+2021=0”的 ( D )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解：由x2-2022x+2021=0，解得：x=2021或x=1，故
“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的既不充分也不
必要条件，
32
，B={x|(x-1)(2x+m)<0}．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m
的取值范围．
2x+1 x+2
解：(1)由 <1，得 <0，得-2<x<1．
x-1 x-1
∴A={x|-2<x<1}，
当 m = 1 时，B = {x|(x - 1) (2x + 1) < 0} =
1
x- <x<1 2 ，
∴A∪B={x|-2<x<1}；
(2)∵ “x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A，
m
若- >1，即m<-2，此时不符合题意，舍去；
2
m
若- =1，即m=-2，B=∅，符合题意；
2
m m
若- <1，即m>-2，则B={x- <x<1
2 2
，∴
m
-2≤- <1，解得-2<m≤4．
2
综上所述，m∈[-2，4]．
[巩固6](2021秋•番禺区校级期中)已知命题P:∃x
∈R，使x2-4x+m=0为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设A={x|3a<x<a+4}为非空集合，若x∈
A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范
围．
解：(1)由题意，得关于x的方程x2-4x+m=0无实
数根，
所以△=16-4m<0，解得m>4，
即B=(4,+∞)；
(2)因为A={x|3a<x<a+4}为非空集合，
所以3a<a+4，即a<2，
因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，则a<2且3a≥4，
4
即 ≤a<2，
3
4
综上所述，实数a的取值范围为 ，2 3 ．5
[巩固7](2021秋•三门峡期末)已知p: ≥2，q:
x+1
x2-mx-2m2≤0，其中m>0．
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得¬p是q的必要条件？若存
在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
5 2x-3
解：(1)由 ≥2得 ≤0，故有p:-1<x≤
x+1 x+1
3 ．由x2-mx-2m2≤0得(x-2m)(x+m)≤0，
2
即q:-m≤x≤2m．若p是q的充分条件，则p⇒q
-m≤-1,
成立，即 3 得m≥1；
2m≥ ,
2
3 3
(2)因为p:-1<x≤ ，所以¬p:x≤-1或x> ．
2 2
若¬p是q的必要条件，则q⇒¬p成立，
3
则2m≤-1或-m> ，
2
显然这两个不等式均与m>0矛盾，故不存在的m．
[巩固8]设命题p：对任意x∈0,1
33
，不等式2x-2≥
m2-3m恒成立；命题q：存在x∈-1,1 ，使得不
等式x2-x-1+m≤0成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m
的取值范围.
解：(1)对于命题p：对任意x∈0,1 ，不等式2x-2≥
m2-3m恒成立，而x∈0,1 ，有2x-2 =-2，∴ min
-2≥m2-3m，∴1≤m≤2，
所以p为真时，实数m的取值范围是1≤m≤2；
(2)命题q：存在x∈-1,1 ，使得不等式x2-x+m-
1≤0成立，只需x2-x+m-1
[巩固9]p:∃x ∈R，使得ax2-2x -1>0成立；q：方
0 0 0
程x2+(a-3)x+a=0有两个不相等正实根；
(1)写出¬p；
(2)若命题¬p为真命题，求实数a的取值范围；
(3)若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
求实数a的取值范围．
解：(1)p:∃x ∈R，使得ax2-2x -1>0成立；∴¬p
0 0 0
∀x∈R，ax2-2x-1≤0成立．
(2)a≥0时ax2-2x-1≤0不恒成立．
a<0 a<0 由
，即
，解得a≤-1．
△≤0 4+4a≤0
∴实数a的取值范围：(-∞，-1]．
(3)设方程x2+(a-3)x+a=0两个不相等正实根为
x 、x ．
1 2
△>0 (a-3)2-4a>0
命题q为真⇔x +x >0 ⇔(3-a)>0 解得 1 2
xx >0 a>0
1 2
0<a<1．
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一
真一假
a>-1
①当p真q假时，则
得-1<a≤0或a
a≤0或a≥1
≥1
a≤-1
②当p假q真时，则
无解；
0<a<1
∴实数a的取值范围是-1<a≤0或a≥1
≤0， min
1 5
而x2-x+m-1=(x- )2+m- ，∴(x2-x+m
2 4
5 5 5
-1) =- +m，∴- +m≤0，m≤ ，
min 4 4 4
5
即命题q为真时，实数m的取值范围是m≤ ，依题
4
意命题p,q一真一假，
m2
若p为假命题， q为真命题，则 5 ，得m<1；
m≤
4
1≤m≤2
5
若q为假命题， p为真命题，则 5 ，得 <m
m> 4
4
5
≤2，综上，m<1或 <m≤2.
4第第一一章章 章章末末总总结结
1.本章内容让我们接触了集合的基本概念与逻辑用语的基本学习，这些内容将在接下来的函数学习中对函数性
质的数学描述起到关键的作用；另外是初中和高中阶段的一个灰色知识：整式乘法公式的拓展和因式分解的方
法，这些技能将在后面对于解析函数的分析与研究起到事半功倍的作用；而基本不等式则向我们介绍了关于二
元最值的求解方法和技巧。请将本章内容作一个简单的归纳总结。
代数的变形 乘法公式
因式分解
集合的引入
解：函数的基础
定义函数的基础
逻辑用语
初等不等式的解法：函数、方程、不等式的关系引入
函数最值的求解基础：基本不等式
2.完成以下知识填空
平方差公式：a2-b2=a-b
基 础
乘法公式
34
(a+b)
完全平方和：a+b 2=a2+2ab+b2 a-b 2=a2-2ab+b2
三项和平方：
a+b+c 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
b换成-b
a-b+c
联系：(a+b)2=(a−b)2+4ab
b换成-b
完全立方和：
a+b
2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
3=a3+3a2b+3ab2+b3
立方和公式：
a3+b3= a+b (a2-ab+b2)
x-4
3.(2021秋•沧州期末)已知集合A=x ≤0
x-1
，B={x|a+1≤x≤2a}．
(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若B∩∁ A=∅，求实数a的取值范围．
R
解：(1)当a=2时，A=(1，4]，B=[3，4]，则A∪B=(1，4]．
(2)由B∩∁ A=∅，得B⊆A，
R
当B=∅时，a+1>2a，解得a<1；
2a≥a+1
当B≠∅时，2a≤4 解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围为(-∞，2]．
a+1>14.利用基本不等式的知识解决下列问题：
4
(1)已知x>3，求 +x的最小值；
x-3
1 3
(2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求 + 的最小值．
x y
2 1
(3)已知正实数x，y满足x+y=2，若不等式 + ≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围。
x 2y
4 4 4
解：(1)∵x>3，∴x-3>0，∴ +x= +(x-3)+3≥2 ×(3-x)+3=4+3=7，
x-3 x-3 3-x
4 4
当且仅当 =3-x，即x=5时取等号，∴ +x的最小值为7．
3-x x-3
x y
(2)∵x，y∈R+，x+y=4，可得 + =1，
4 4
1 3 1 1 3
∴ + = (x+y) +
x y 4 x y
35
1 y 3x
=1+ +
4 x y
1 y 3x 3
≥1+2× ⋅ =1+ ．
4 x y 2
1 3 3
当且仅当y= 3x，即x=2( 3-1)，y=2(3- 3)时取“=”号．即 + 的最小值为1+ ．
x y 2
2 1 1 2 1
(3)∵ + = +
x 2y 2 x 2y
1 5 2y x
(x+y)= + +
2 2 x 2y
1 5 2y x
≥ +2 ⋅
2 2 x 2y
9
= ，
4
2 2 1 9 2 1
当且仅当x=2y= 时， + 有最小值 ，由不等式 + ≥m2+4m恒成立，
3 x 2y 4 x 2y
9 9 1 9 1
∴ ≥m2+4m恒成立，∴- ≤m≤ ，故实数m的取值范围 - ，
4 2 2 2 2
；
5.第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行．主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，
并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C(万
k
元)，隔热层厚度为x(厘米)，两者满足关系式：C= (0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源
2x+5
消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元．记W为15年的总费用．(总费用=隔热层的建造成本费用
+使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用)
(1)求W关于x的表达式；
(2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用W最小，并求出最小值．
k 30
解：(1)依题意，当x=0时，C=6，∴6= ，∴k=30故C(x)=
5 2x+5
30 450
f(x)=4x+ ∙15+10=4x+ +10,(0≤x≤10)
2x+5 2x+5
450 450
(2)f(x)=4x+ +10=(4x+10)+
2x+5 2x+5
450 450
=2(2x+5)+ ≥2 2(2x+5)∙ =60
2x+5 2x+5
450
当且仅当2(2x+5)= ，即当x=5时取得最小值，
2x+5
∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．第第七七讲讲 函函数数概概念念与与有有界界性性
2.函数三要素
模模块块一一 函函数数的的概概念念
由前面函数的定义可知，两个变量关系要构成
课堂精讲
函数关系，需要具备以下三个要素:定义域、对应关
系f、值域。
初中阶段，我们学习了函数的概念与简单的函
函数定义域的约束常常有以下几类较为重要：
数。初中阶段函数的定义：一般的，在一个变化过程
1 分式的分母不能为零；
中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确
2 对数的真数大于零；
定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x
3 根号下被开方数大于等于零。
称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
④零指数幂的底数不能为0
大家思考：由初中定义出发，y=1是函数吗？
3.函数的有界性(第一性质)
1.函数的概念
高等数学中对函数有界性有严格的定义。中学
设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的
阶段，我们为了研究函数性质的便捷性，把定义域、
对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在
值域、渐近线的约束通称为函数的有界性。
集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么
称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记
4.区间概念(a，b为实数，且a<b)
作：y=f(x)，x∈A。其中所有输入值x组成的集合
定义 名称 符号 数轴表示
A叫作函数y=f(x)的定义域。所有输出值y组成
的集合叫作函数y=f(x)的值域。
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
a b x
例1 下列图象中，可作为函数图象的是②③⑤⑥．
y ① y ② ③ y {x|a<x<b} 开区间 (a，b) a b x
x x 半开半
x
{x|a≤x<b} [a，b)
闭区间 a b x
y ④ y ⑤ y ⑥
半开半
{x|a<x≤b} (a，b]
闭区间 a b x
x x x
解：对于①④中存在一个x的值，y有两个值与之对 其他区间的表示：
应，所以不是函数图象，②③⑤⑥符合函数定义．
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a}
区间 (-∞，+∞) [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a]
36例2 求下列函数的定义域。
x+12
(1)y= - 1-x
x+1
1
(2)y= 2x2-3x-2+ .
4-x
x+1≠0， x≠-1，
解：(1)由 得 ∴定义域为{x|x
1-x≥0， x≤1.
2x2-3x-2≥0，
≤ 1 且 x ≠ -1}． (2) 由 4-x≥0， 得 x ≤
4-x≠0，
1 1
- 或2≤x<4，∴定义域为-∞，-
2 2
37
x
解：A.y=20=1，定义域为R，y= =1，(x≠0)，定义域不相
x
x|x|
同，不是同一函数；B.y= =|x|，两函数对应法则不同，C.
x
由x2+x≥0得x≥0或x≤-1，即定义域为(-∞，-1]∪[0，
+∞)，由 x≥0 得 x≥0 ，得x≥0，两函数定义域不相
x+1≥0 x≥-1
同，不是同一函数．D.y= 3(t+1)3=t+1，两函数的定义域
和对应法则相同，是同一函数；
[练3]下列四个命题
(1)f(x)= 有意义；
∪[2,4)．
(2)f(x)表示的是含有 的代数式
例3 下列选项中能表示同一个函数的是 ( B ) (3)函数y=2x(x∈N)的图象是一直线；
x2-1
A.y=x+1与y=
x-1 (4)函数y= 的图象是抛物线，
B. y=x2+1与s=t2+1
其中正确的命题个数是 ( D )
C. y=2x与y=2x(x≥0)
A.1 B. 2 C. 3 D.0
D.y=(x+1)2与y=x2
解：因为命题(1)中，函数的定义域为空集，因此表达式无意
解：A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不
义，命题错误；命题(2)中，当 为常函数，f(x)是不
是同一个函数；B，虽然变量不同，但定义域和对应关
含有 的代数式，命题错误；命题(3)中，函数
系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系
的图象是由离散的点组成的，不是直线，命
相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D，
虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
题错误；命题(4)中，作出函数y= 的图象如图
所示，不是一条抛物线，命题错误.故选：D
随堂练习
x-2
[练4]函数f(x)= 的定义域为 ( B )
x2+1
[练1]下列对应关系中A到B的函数的是 ( B )
A.(-1，2]
A.A⊆R，B⊆R，x2+y2=1
B. [2，+∞)
B. A={-1,0,1}，B={1,2}，f：x→y=|x|+1
1 C. (-∞,-1)∪[1，+∞)
C. A=R，B=R，f：x→y=
x-2
D.(-∞,-1)∪[2，+∞)
D.A=Z，B=Z，f：x→y= 2x-1
x-2 x-2
解：A，x2+y2=1可化为y=± 1-x2，显然对任意x
解：f(x)=
x2+1
，令
x2+1
≥0，得x-2≥0，解得
∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定 x≥2，所以f(x)的定义域为[2，+∞)．选：B．
义；B，符合函数的定义；C,2∈A，在此时对应关系无
2x+1，x≥0，
意义，故不符合函数的定义；D，-1∈A，但在集合B [练5]已知函数f(x)=
3x2，x<0，
且f(x
0
)=3，则
中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
实数x 的值为 ( C )
0
[练2] 下列各组函数中表示同一函数的是 ( D )
A.-1 B. 1
x
A.y=20与y= 1
x C. -1或1 D.-1或-
3
x|x|
B. y=±1与y=
x 解：当x 0 ≥0时，f(x 0 )=2x 0 +1=3，所以x 0 =1；当x 0
C. y= x2+x与y= x x+1 <0时，f(x )=3x2=3，所以x =-1.
0 0 0
D.y=x+1与y= 3(t+1)3[练6]若函数 f(x)= x2+ax+1的定义域为实数集
R，则实数a的取值范围为 ( D )
A.(-2，2)
B. (-∞，-2)∪(2，+∞)
C. (-∞，-2 ∪
38
2，+∞)
D. -2，2
解：∵函数 fx = x2+ax+1 定义域为R，∴开口
向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即Δ=a2
-4≤0,-2≤a≤2，实数a的取值范围为-2，2 ，
-x2+1，x≥0， 1
-
[练7]f(x)= 1 则f(f(2))= 4 .
，x<0，
x-1
1
解：f(2)=-22+1=-3，∴f(f(2))=f(-3)=- .
4
2
[练8]f(x)=x+ ，且f(a)=f(2)，则 = 1或2 .
x
解：由f(a)=f(2)得 ，解得 或 .
1
[练9]已知f(x)= (x∈R且x≠-1)，g(x)=x2
1+x
+2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值
(2)求f(g(2))的值．
1
解：(1)因为f(x)= ，
1+x
1 1 所以f(2)= = .又因为g(x)=x2+2，所以g
1+2 3
(2)=22+2=6.
1 1
(2)f(g(2))=f(6)= = .
1+6 7
[练10]已知函数fx =3x2+5x-2.
(1)求f3 ，fa+1 的值；
(2)若fa =-4，求a的值.
解：(1)∵fx =3x2+5x-2，
∴f3 =3×32+5×3-2=40，
fa+1 =3×a+1 2+5×a+1 -2=3a2+11a+6；
(2)令fa =-4，
即fa
1 [练11]已知函数f(x)= 4-x+ 的定义域为
x+3
集合A，集合B={x|a-1<x<1+a}．
(1)求集合A与∁ A；
R
(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．
4-x≥0
解：(1)由
得-3<x≤4，
x+3>0
所以A=(-3，4]，∁ A=(-∞，-3]∪(4,+∞)；
R
(2)B={x|a-1<x<1+a}≠∅，A=(-3，4]，
a-1≥-3
若B⊆A，则
，
a+1≤4
解得-2≤a≤3，
所以实数a的取值范围[-2，3]．
1-x
[练12]已知f(x)= (x≠-1).求：
1+x
1
(1)f(0)及f f
2
=3a2+5a-2=-4，
2
解得：a=- ，或a=-1.
3
的值；
(2)f(1-x)及f(f(x)).
解：(1)因为fx
1-x
= x≠-1 1+x ，
所以f0
1-0 1
= =1，f
1+0 2
1
1-
2 1
= = ，
1 3
1+
2
1
所以f f
2
1
=f
3
1 1- 3 1
= = ；
1 2
1+
3
(2)∵fx
1-x
= x≠-1
1+x
，又1-x≠-1，∴x≠2，
所以f1-x
1-1-x
=
1+1-x
x
= ,x≠2
2-x
，
f fx
1-x
1-
1+x = =x,x≠-1
1-x
1+
1+x
.模模块块二二 函函数数抽抽象象与与解解析析((选选))
课堂精讲
从前面函数的定义可以看出，我们把初中阶段
的特殊函数推广到了广义函数的定义。数学本身就
是抛开具体的事情，只是简单的把数与数之间的关
系表示出来，是一种工具。函数的本质也是一种特
殊的对应关系。
1.抽象函数
定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为
抽象函数。
例如：y=f(x),y=f(2x-1),y=f( x-1)都
是抽象的对函数进行描述，并没有相应的解析式的
表达。对于抽象函数而言，我们任然可以用一些通
用的研究方法研究抽象函数的有界性。这中间用的
最多的是“换元法”。
2.换元法
定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些
变量，将问题所给形式化繁为简的方法。
换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初
中阶段的代换过于粗糙。由前面对函数的定义可
知，我们所谓的换元法，也是一种函数的对应关系，
根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:
1 设出新元(对应关系)，；
2 解确定新元的范围(定义域、值域)；
3 用新元表示旧元(代换的关键)。
例4 已知函数y=f(x)定义域是-2,3
39
对于一些确定的函数，我们需要借助其解析式
来辅助研究函数性质。初中阶段重点介绍了一些初
等函数解析式的求解方法：待定系数法。高中阶段
我们将拓展求解析式的方法。
3.待定系数法求解析式
已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，
用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式。
例5 已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+6,求函
数f(x)的解析式。
解：设函数f(x)=kx+b
∵f(f(x))=4x+6
∴f(kx+b)=kkx+b
，则y=f(2x
-1)的定义域是 ( A )
A. B.
C. D.
解：由题意 ，得 ．
+b=k2x+kb+b=4x+6
k2=4 k=2 k=−2
∴ ,解之得: 或
kb+b=6 b=2 b=−6
∴f(x)=2x+2或f(x)=−2x−6.
4.换元法求解析式
对于对应关系下抽象的表达描述y=f(2x-1)
等，根据前面对换元法的介绍，我们可以借助换元法
来求解函数解析式。
例6 已知函数f( x+1)=x+2 x,则f(x)的解析
式为 f(x)=x2−1(x≥1).
解：设 x+1=t,则x=t−1 2(t≥1)
∴f(t)=t−1 2+2t−1 =t2−1(t≥1)
∴f(x)=x2−1(x≥1).
5.方程组法求解析式
对于含有两个对应关系描述的解析式(eg:f(x)
1
±f
x
或f(x)±f(−x))，我们可以用方程组法分别
求出函数解析式。1
例7 已知函数f(x)满足f(x)+2f
x
40
=x，求函数f
(x)的解析式。
1
解：∵f(x)+2f
x
=x，
1 1
∴用 替换上式中的x,得到:f
x x
1
+2f(x)=
x
1
f(x)+2f x
解方程组
=x
1
f
x
1 2
得:f(x)=− x+ .
1 3 3x
+2f(x)=
x
6.赋值法求函数解析式
对于一些二元结构的抽象描述，我们可以对x,y
进行赋值，通过赋值求解析式。
例8 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对
任意实数x，y，有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
求f(x)的解析式．
解：由题意，令x=y得，
f(0)=f(x)-x(2x-x+1)，
则f(x)=x(x+1)+1．
随堂练习
[练1](2018秋•新余期末)已知函数y= f(x)定义域
是[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是 ( C )
5
A. 0,
2
B. [-1，4]
1
C. - ,2
2
D.[-5，5]
解：∵y=f(x)定义域是[-2，3]，∴由-2≤2x-1≤
1 1
3，得- ≤x≤2，即函数的定义域为 - ，2
2 2
，
[练2](2021秋•五华区校级期中)已知函数 f(x+1)
的定义域为[-1，0)，则f(2x)的定义域是 ( B )
1
A. - ,0
2
1
B. 0,
2
∴-1≤x+1<4；∴f(x)的定义域为[-1，4)；∴-1
≤x-2<4；∴1≤x<6；∴f(x-2)定义域为[1，6)．
[练4]已知函数f(x)定义域为(0,+∞)，则函数F(x)=
f(x+2)+ 3-x定义域为 ( A )
A.(-2，3] B. [-2，3]
C. (0，3] D.(0,3)
x+2>0 解：由题意，
，解得-2<x≤3．
3-x≥0
∴函数F(x)=f(x+2)+ 3-x定义域为(-2，3]．
[练5]已知函数f(x)的定义域为[2，8]，则函数h(x)=
f(2x)+ 9-x2的定义域为 ( D )
A.[4，16] B. (-∞，1]∪[3，+∞)
C. [3，4] D.[1，3]
解：f(x)定义域[2，8]，令
2
9
≤
-x
2x
2≥
≤
0
8 ，得
1
-
≤
3≤
x≤
x≤
4
3
，
即1≤x≤3，∴函数h(x)的定义域为[1，3]．
[练6](2021秋•湖南期中)已知f(x)是一次函数，且满
足f(f(x))=f(x)+2，求f(x)在[1，2]上的值域．
解：∵f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=f(x)+2，
设f(x)=ax+b(a≠0)，则a(ax+b)+b=ax+b+2
a2=a
可得
，解得a=1，b=2，
ab+b=b+2
∴f(x)=x+2，
∵f(x)在[1，2]上单调递增，
∴f(x)在[1，2]上的值域为[3，4]．
[练7](1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f
(x-1)=2x+17，求f(x)；
1
(2)已知f(x)满足2f(x)+f
x
C. [-2，0) D.[0，2)
解：f(x+1)定义域[-1，0)，即-1≤x<0，得0≤x+1
1
<1，则f(x)定义域为[0，1)，由0≤2x<1，得0≤x<
2
[练3](2020秋•峨山县校级期中)已知 f(x+1)的定
义域为[-2，3)，f(x-2)的定义域是 ( D )
A.[-2，3) B. [-1，4)
C. [0，5) D.[1，6)
解：∵f(x+1)的定义域为[-2，3)；∴-2≤x<3；
=3x，求f(x)．
解：(1)由题意可设f(x)=kx+b
∵3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17
∴3[k(x+1)+b]-2[k(x-1)+b]=2x+17
即kx+5k+b=2x+17
∴解方程可得，k=2，b=7∴f(x)=2x+7
1
(2)由2f(x)+f
x
=3x①
1
可得2f
x
3
+f(x)= ②
x
3 1
①×2-②得：3f(x)=6x- ∴f(x)=2x- (x≠0)
x x[练8](2020秋•新津县月考)已知f(x-2)=x-1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[-1，8]时，求函数g(x)=2x- f(x)值域
解：(1)f(x-2)=x-1=x-2+1，
所以f(x)=x+1，
(2)由x∈[-1，8]可得f(x)=x+1∈[0，9]，
g(x)=2x- f(x)=2x- x+1=2(x+1)- x+1
-2，
令t= x+1，则t∈[0，3]，y=2t2-t-2的开口向
1
上，对称轴t= ，
4
1
结合二次函数的性质可知，当t= 时函数取得最小
4
17 值- ，当t=3时，函数取得最大值13．
8
17
故函数的值域 - ，13
8
41
1-x
[练9]已知函数f(x)满足f
2
=x．
(1)求f(x)的解析式；
1-x
(2)求函数y=f
2
- f(x)的值域．
1-x
解：(1)令 =t，则x=-2t+1，
2
∴f(t)=-2t+1，即f(x)=-2x+1；
1-x (2)y=f
2
- f(x)=x- -2x+1，
1 1
设t= -2x+1，则t≥0，且x=- t2+ ，得y=
2 2
1 1 1
- t2-t+ =- (t+1)2+1，
2 2 2
1
∵t≥0，∴y≤ ，
2
1 ∴该函数的值域为-∞,
2
．
[巩固3]f(x)= x+3+(x+2)0定义域是 ( C )
课后提升
A.[-3，+∞)
[巩固1]对于函数f:A→B，若a∈A，则下列说法错误
B. [-3，-2)
的是 ( C ) C. [-3，-2)∪(-2，+∞)
A. f(a)∈B D.(-2,+∞)
B. f(a)有且只有一个
C. 若f(a)=f(b)，则a=b
解：要使原函数有意义，则
x
x
+
+
3
2
≥
≠0
0 ，解得x≥-3且
D.若a=b，则f(a)=f(b) x≠-2．∴函数f(x)= x+3+(x+2)0的定义域是
解：函数f:A→B，a∈A，b∈A，根据函数定义f(a)∈
[-3，-2)∪(-2，+∞)．故选：C．
B，且f(a)唯一，若a=b，则集合A不满足互异性，此时 x-2, x≥10
[巩固4]设 f(x)= ，则 f(5)的值
有f(a)=f(b)，A，B，D都正确，若f(a)=f(b)，不一定有 f[f(x+6)], x<10
a=b，如f(x)=x2，则f(-1)=f(1)=1，但-1≠1，C错 为 ( B )
[巩固2]下列各组函数表示同一函数的是 ( D ) A.10 B. 11 C. 12 D.13
A. f(x)= x2，g(x)=( x)2 x-2 (x≥10)
解：∵f(x)= ，∴f(5)=f[f(11)
B. f(x)=1，g(x)=x0 f[f(x+6)] (x<10)
x2-1 ]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=11．故选：B．
C. f(x)=x+1，g(x)=
x-1
[巩固5](2018 秋• 日照期末 ) 已知函数 f (x) =
D. f(x)=x，g(x)= 3x3
x2+1, x≤0
解：A.f(x)= x2的定义域为R，g(x)=( x)2的定义域 ，若f(x)=5，则x的值是 ( A )
-2x, x>0
为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数；B．f(x)的定
5
A.-2 B. 2或-
义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是 2
同一函数；C．f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为
C. 2或-2 D.2或-2或-
5
2
{x|x≠1}，定义域不同，不是同一函数；
解：当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得x=±2，又x≤0，
D．f(x)=x的定义域为R，g(x)= 3x3=x的定义域为
5
∴x=-2；当x>0时，f(x)=-2x=5，得x=- ，舍
R，且解析式相同，是同一函数． 21
[巩固6]若函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数g(x)= [巩固10](1)求函数f(x)= 4-x+ 定义域；
x
f(2x-1) (2)求函数g(x)=x+ 1 (x>2)的最小值．
的定义域为 ( A ) x-2
x-1
4-x≥0 x≤4
A.(1，2] B. (1，5] C. [1，2] D.[1，5]
解：(1)∵
x≠0
，∴
x≠0
⇒x≤4且x≠0，
1
解：∵ f(x) 的定义域为 [1，3]，∴在函数 g(x) = ∴函数f(x)= 4-x+ 的定义域是(-∞，0)∪(0，
x
f(2x-1) 中应满足
1≤2x-1≤3 ，得1<x≤2， 4]；
x-1 x-1>0
(2)∵x>2，∴x-2>0
∴函数g(x)的定义域为(1，2]．故选：A．
1 1
又g(x)=x+ =(x-2)+ +2，
x-2 x-2
1
2
x-1 (x≥0)
1 1
[巩固7]设函数f(x)= ，若f(a)=a， ∵(x-2)+ ≥2 (x-2)⋅ =2，
1 x-2 x-2
(x<0)
x 1
当且仅当x-2= ，即x=3时取“=”，
x-2
则实数a的值为 ( B )
1
∴g(x)=x+ (x>2)的最小值为4．
x-2
A.±1 B. -1
C. -2或-1 D.±1或-2
[巩固11](2020秋•辽源期末)已知f(x)是一次函数，
1
解：由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有 a-1=a，
2
1 且满足3f(x+1)-2f(x-1)=x+3．
解得a=-2，(舍去)；当a<0时，有 =a，解得a=
a
1(舍去)或a=-1．∴实数a 的值是：a=-1． (1)求函数f(x)的解析式；
[巩固8]已知f(x)定义域为[1，3]，则f(2x+5)定义域 (2)当x∈[1，2]时，若函数g(x)=x∙f(x)-2ax
1
为[-2，-1]． +2的最小值为- ，求a的值．
4
解：由题意得：1≤2x+5≤3， 解：(1)设f(x)=kx+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=kx
解得：-2≤x≤-1，
+(5k+b)，
故函数f(2x+5)的定义域是[-2，-1]，
∵3f(x+1)-2f(x-1)=x+3，
∴k=1且5k+b=3，
1
[巩固9]已知函数f(x)= x+3+ ．
x+2 ∴b=-2，
(1)求f(x)的定义域和f(-3)的值；
∴f(x)=x-2；
(2)因为x∈[1，2]时，g(x)=x2-2x-2ax+2=x2
(2)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值．
-2(1+a)x+2，
x+3≥0
解：(1)要使函数有意义，则
， 对称轴x=a+1，
x+2≠0
①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x) =g(1)=1-2a，
x≥-3 min
所以 ，所以x≥-3且x≠-2， 1 5
x≠-2 则1-2a=- 得a= ，此时不成立；
4 8
即函数的定义域为[-3，2)∪(2，+∞)．
②当1<a+1<2，即0<a<1时，g(x) =g(a+1)
min
1
f(-3)= -3+3+ =-1．
-3+2 =-a2-2a+1，
1 1 1 5
(2)当a>0时，f(a)= a+3 + ，f(a-1)= 则-a2-2a+1=- 得a= 或a=- (舍)；
a+2 4 2 2
1
a+2+ ． ③当a+1≥2，即a≥1时，g(x) =g(2)=2-4a．
a+1 min
1 9
则2-4a=- 得a= ，此时不成立，
4 16
1
综上可得：a= ．
2
42第第八八讲讲 函函数数单单调调性性及及应应用用
模模块块一一 单单调调性性与与函函数数最最值值
课堂精讲
我们知道画出函数图象，通过观察和分析图象
特征，可以得到函数的一些性质。观察下列函数图
象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势。
y y
O x
-1 O 1 x
观察上面的函数图可知：第一幅图象，y随x的
增大而增大；第二幅图象在x∈-∞,-1
43
,0,1 上
y随x的增大而减小，在x∈-1,0 ,1,+∞ 上y随
x的增大而增大。这样的性质描述在高中阶段我们
称之为函数单调性。在高中阶段，我们很难画出复
杂的函数在连续情况下的图象，由此我们需要借助
代数运算的方法来辅助我们判断函数的单调性。下
面我们将用符号语言刻画这种性质。
画出f(x)=x2的图象如下：
y
f(x)
1
f(x)
2
x x x 1 2
由图象可以看到：图象在x轴左侧部分从左到
右是下降的，即当x<0时，f(x)随x的增大而减小。
用符号语言描述:∀取x 1 ，x 2 ∈-∞,0 ，得f(x)=x2 1 1
,f(x )=x2，当x <x 时，有f(x )>f(x )．这时函
2 2 1 2 1 2
数f(x)=x2在区间-∞,0
1.函数单调性：
设任意实数x 、x ∈[a,b],且x <x .那么：
1 2 1 2
f(x)−f(x )<0f(x)在[a,b]上是增函数
1 2
f(x)−f(x )>0f(x)在[a,b]上是减函数。
1 2
y y f(x)
f(x) 1
2
f(x)
f(x) 2
1
x 1 x 2x x 1 x 2 x
例1 若f(x)在R上递减且f(2m-1)<f(3m+1)，求
m的取值范围。
解：∵f(x)在R上递减且f(2m-1)<f(3m+1)，∴
2m-1>3m+1，得m<-2，m的范围为(-∞，-2)
x+1
例2 函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单
x+2
调递增。
解：证明：∀x ，x ∈(-2，+∞)，且x >x >-2，
1 2 1 2
x+1 1
∵f(x)= =1-
x+2 x+2
1 1 x -x
则f(x)-f(x )= - = 1 2
1 2 x +2 x +2 (x +2)(x +2)
2 1 1 2
∵x >x >-2，
1 2
∴x -x >0，x +2>0，x +2>0，
1 2 1 2
x -x
∴ 1 2 >0，∴f(x)>f(x )，
(x +2)(x +2) 1 2
1 2
∴f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
2.函数最值
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M
满足:①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，
②存在x ∈I,使得f (x )=M，
0 0
那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。
利用单调性判断函数的最大(小)值：如果函数
y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上
单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
上是单调递减的。2
例3 f(x)= ，x∈1,2
x
44
，则f(x)值域是 1,2
2
解：∵函数y= 在区间1,2 x 上为增函数，
当x∈1,2
2 2 2 2
时， ≤ ≤ ，即1≤ ≤2.
2 x 1 x
2 ∴函数y= ，x∈1,2
x
的值域为1,2 .
随堂练习
[练1]函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 ( D )
A. f(a)>f(2a) B. f(a2)<f(a)
C. f(a2+a)<f(a) D. f(a2+1)<f(a)
解：当a=0时，选项A、B、C都不正确；∵a2+1-a=
1
a-
2
[练5]函数f(x)在(-∞,0]上单调递增，且f(-2)=3，
1
x< 则f(2x-3)<3的x的取值范围是 2
解：∵f(-2)=3，∴f(2x-3)<3和化为f(2x-3)<f
1 (-2)，又∵f(x)增函数，∴2x-3<-2，得x< . 2
[练6](2021秋•安康期末)已知函数y= f(x)在定义
域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f(2a-1)，则
2
，1
a的取值范围是 3
2 3
+ >0，∴a2+1>a，∵f(x)在(-∞,+∞)上为减
4
函数，∴f(a2+1)<f(a)
[练2]下列函数在(1，+∞)上单调递增的是 ( D )
2
A.y=-3x-1 B. y=
x
C. y=x2-4x+5 D.y=|x-1|+2
解：由函数性质y=-3x-1在区间(1，+∞)上单调递
2
减，故A错误；由反比例函数的性质可知，y= 在区间
x
(1，+∞)上单调递减，故B错误，由二次函数的性质可
知，y=x2-4x+5在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)
上单调递增，C错；由一次函数的性质及图象变换知，y
=|x-1|+2在(1，+∞)上单增.
x+1, x≥0 [练3]函数f(x)= 在R上 ( B )
x-1, x<0
A.是减函数 B. 是增函数
C. 先减后增 D.先增后减
解：画出该分段函数的图象，由图象知，函数在R上是增函数
[练4]定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实
f(a)-f(b)
数a，b，总有 >0成立，则必有 ( A )
a-b
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)在R上是减函数
C. 函数f(x)先增后减
D.函数f(x)先减后增
f(a)-f(b)
解：由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即a<b
a-b
时，f(a)<f(b)，或a>b时，f(a)>f(b)，∴f(x)在R上增函数
．
解：∵f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)<f
-1<1-a
2
(2a-1)∴2a-1<1 解得 <a<1．
3
1-a<2a-1
1-ax
[练7])函数y= 在[0，2]上是减函数，则实
a+1
1
(-∞,-1)∪0,
数a的取值范围是 2
．
1-ax
解：∵y= 在[0，2]上是减函数，
a+1
∴ a>0 或 a<0 ，得0<a≤ 1 或a<-1，
1-2a≥0 a+1<0 2
1
∴实数a的取值范围是(-∞,-1)∪0,
2
．
2
[练8]已知函数f(x)= ．
x-1
(1)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性并证明；
(2)若x∈[2，6]，求函数f(x)的最值。
2 解：(1)函数f(x)= 在(1,+∞)上单调递减．
x-1
证明如下：设x ，x 是(1,+∞)上任意两个实数，x <
1 2 1
2 2
x 则 f ( x ) - f ( x ) = - =
2 1 2 x -1 x -1 1 2
2(x -x)
2 1 ，
(x -1)(x -1)
1 2
∵x <x ，∴x -x >0，∵x ∈(1,+∞)，x ∈(1,+∞)，
1 2 2 1 1 2
∴(x -1)>0，(x -1)>0，∴f(x )-f(x )>0，即f
1 2 1 2
(x)>f(x )，∴f(x)在(1,+∞)上单调递减．
1 2
2
(2)由(1)知函数f(x)= 在[2，6]上单调递减，
x-1
当x=2时f(x)取最大值，则f(x) =f(2)=2；
max
2
当x=6时f(x)取最小值，则f(x) =f(6)= ．
min 5[练9](2017秋•宝安区期末)已知函数 f(x)=ax-
b 1
(a,b∈N*)，f(1)= 且f(2)<2．
x+1 2
(1)求a，b的值；
(2)判断并证明函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上
的单调性。
b 1 b+1 b
解：(1)∵f(1)=a- = ，a= ，由f(2)=2a- < 2 2 2 3
3
2，∴b< ，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；
2
1
(2)由(1)f(x)=x- 函数在(-1,+∞)单增
x+1
证明：任取x，x 且-1<x <x ，
1 2 1 2
1 1
f(x(-f(x)=(x -x) -
1 2 1 2 x +1 x +1
2 1
45
1 =(x
1
-x
2
)
1+
(x +1)(x +1)
1 2
，
∵-1<x <x ，∴x -x <0，
1 2 1 2
1+
(x +1)
1
(x +1)
>0，∴(x
1
-x
2
)
1+
(x +1)
1
(x +1)
1 2 1 2
[练11]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，
a≠0)，f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)=f(-x)-mx+1，若g(x)在[-1，1]
上是单调函数，求实数m的取值范围；
(3)设h(x)=f(x)-nx+2，若h(x)在[-1，1]上
的最小值是1，求实数n的值。
解：(1)由于二次函数f(x)=ax2+bx+c满足
f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1，
则f(-1)=-1，
4a-2b+c=0
< 故实数a，b，c满足的关系式为c=0 ，
a-b+c=-1
0，
即f(x)<f(x)，故f(x)在(-1,+∞)上单调递增． 解得a=1，b=2，c=0．
1 2
故这个二次函数的表达式为y=x2+2x．
[练10]某加工厂收到一批订单，要求在10天内完成，
(2)设g(x)=f(-x)-mx+1，
该产品出厂价为每件160元，第x天(x∈N )的每
+ 则g(x)=(-x)2-2(-x)-mx+1=x2+(2-m)x+1
件生产成本为f(x)元，f(x)与x对应关系如表： 2-m
可得函数g(x)的对称轴为x=- ，
2
x(天) 1 2 3 ⋯ 由于g(x)在[-1，1]上是单调函数，
2-m 2-m
f(x)(元) 96 100 104 ⋯
则-
2
≤-1或-
2
≥1，得m≤0或m≥4
故实数m的取值范围为(-∞，0]∪[4，+∞)．
(1)请根据上表写出f(x)与x的函数关系式；
(3)设h(x)=f(x)-nx+2，
(2)该厂每天生产的件数m(x)=50x+100，每天 则h(x)=x2-2x-nx+2=x2-(2+n)x+2，
n
利润为P(x)元，该厂每生产一件产品就捐n元给 可得函数h(x)的对称轴为x=1+ ，
2
n
“红十字基金组织”(n>0)，工厂若想在第6天获 ①当n≥0时，则1+ ≥1，
2
得最大利润，求n的范围。 函数h(x)在区间[-1，1]上为减函数，
解：(1)设y与x之间函数关系式为y=ax2+bx+c， 则h(x) =h(1)=1-(2+n)+2=1-n=1，得n=0；
min
a+b+c=96 ②当n≤-4时，则1+ n ≤-1，
由(1，96)，(2，100)，(3，104)得， 4a+2b+c=100， 2
9a+3b+c=104 函数h(x)在区间[-1，1]上为增函数，
a=0 h(x) =h(-1)=1+(2+n)+2=5+n=1，得n=-4
min
得： b=4 ，∴y=4x+92；
③当-4<n<0时，则-1<1+
n
<1，
c=92 2
(2)由题意得：p(x)=(160-y-n)m(x) 函数h(x)在区间 -1，1+ n
2
=[160-(4x+92)-n](50x-100)
=-200x2+(3000-50n)x+6800-100n，
3000-50n 60-n
对称轴x=- = ，
-400 8
∵工厂若想在第6天获得最大利润，
11 60-n 13
∴ ≤ ≤ ，解得：8≤n≤16，
2 8 2
上为减函数，
n
在区间 1+ ，1
2
上为增函数，
n
则h(x) =h1+
min 2
n
= 1+
2
2 n
-(2+n)1+
2
+2=1，解得n=0或n=-4，故当-4<n<0时，n
无解；
综上可知，实数n的值为0或4．课后提升
[巩固1]函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f
(-m+9)，则实数m的取值范围是 ( C )
A.(-∞，-3)
B. (0，+∞)
C. (3，+∞)
D.(-∞，-3)∪(3，+∞)
解：∵函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f
(-m+9)，∴2m>-m+9，解得 m>3，故选：C
[巩固2]定义在R上的函数 fx
46
，对任意的x ,x ∈R 1 2
(x ≠x )，都有 fx 1 1 2 -fx 2 >0，且f3 x -x 1 2 =2，则不等
式fx-1 ≤2的解集为 ( C )
A.(-∞,2] B. [2,+∞)
C. (-∞,4] D.[4,+∞)
解：因为 fx 1 -fx 2 >0，所以fx
x -x
1 2
在R上单调递
增．因为f3 =2，所以fx ≤2的解集为(-∞,3]，
则fx-1 ≤2的解集为(-∞,4]．故选：C
[巩固3](2021秋•深圳校级月考)函数y=(x+1)-2的
递增区间是 (-∞,-1) .
解：令t=x+1(x≠-1)，则y=t-2，
由t=x+1在(-∞,-1)，(-1,+∞)均为增函数，
而y=t-2在(-∞,0)递增，所以函数y=(x+1)-2的
增区间为(-∞,-1)．故答案为：(-∞,-1)．
[巩固4](2021秋•三明期中)函数f(x)=4x2-kx-8在
[2，10]上具有单调性，k的范围(-∞，16]∪[80，+∞)．
解：根据二次函数的单调性知：
k
f(x)在-∞，
8
k
上为减函数，在 ，+∞
8
b 3
[巩固5]f(x)=ax+ 经过点A(1,0)，B2,-
x 2
上为增函
k k
数；∴ ≥10，或 ≤2解得k≥80，或k≤16．
8 8
∴实数k的取值范围为(-∞，16]∪[80，+∞)．故答
案为：(-∞，16]∪[80，+∞)．
．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明；
1
(3)求f(x)在区间 ,1
2
上的值域。
3
解：(1) ∵ f(x) 的图象过 A(1,0)，B2,-
2
，∴
a+b=0
b 3 ，解得 a=-1 ，∴f(x)=-x+ 1 2a+ =- b=1 x
2 2
1
(2)函数f(x)=-x+ 在(0,+∞)上为减函数，
x
证明如下：设任意x ，x ∈(0,+∞)，且x <x ，
1 2 1 2
1
则f(x)-f(x)=-x +
1 2 1 x
1
1
--x +
2 x
2
x -x (x -x)(xx +1)
=(x -x)+ 2 1 = 2 1 1 2
2 1 xx xx
1 2 1 2
由x ，x ∈(0,+∞)得，xx >0，xx +1>0．
1 2 1 2 1 2
由x <x 得，x -x >0，∴f(x)-f(x)>0， 1 2 2 1 1 2 即f(x)>f(x)，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数． 1 2
1 1
(3)由(2)知，函数f(x)=-x+ 在 ,1
x 2
上为减函数，
1
∴f(x) =f(1)=0，f(x) =f
min max 2
3
=
2
[巩固6](2021秋•沈阳期中)若f(x)是定义在(0,+∞)
x
上的函数满足f
y
=f(x)-f(y)，当x>1时，f(x)>0
(1)判断并证明函数的单调性；
1
(2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)-f
x
<2．
解：(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下：
x
设x >x >0，则 1 >1，
1 2 x
2
x
∴根据f
y
=f(x)-f(y)，且当x>1时，f(x)>0得：f
x
(x)-f(x)=f 1
1 2 x 2
>0，
∴f(x)>f(x)，
1 2
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2)∵f(2)=1，
4
∴f
2
=f(4)-f(2)=f(4)-1=1，∴f(4)=2，
1
∴由f(x+3)-f
x
<2得，f[x(x+3)]<f(4)，且f(x)
在(0,+∞)上是增函数，
x+3>0
∴x>0 ，解得0<x<1，
x(x+3)<4
∴原不等式的解集为(0,1)．第第九九讲讲 函函数数奇奇偶偶性性及及应应用用
模模块块一一 函函数数奇奇偶偶性性
课堂精讲
前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在
定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质。
下面我们将继续研究函数的其他性质。画出并观察
函数f(x)=x2,g(x)=x
47
的图象，你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
y y
f(x) f(x) f(x) f(x) 1 2 1 2
x x x x x x
1 2 1 2
可以发现，这两个函数的图象都关于y轴对称。
类比单调性的计算环节，我们可以得到：若x +
1
x =0时，有:f(x)=f(x )，即f(x)=f(-x) 2 1 2 1 1
1.函数奇偶性
一般的，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对
D内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则这个函数
叫奇函数。如果对D内的任意一个x，都有f(-x)=
f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果函数f(x)是奇函
数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
奇 函 数 偶 函 数
前 提 定义域关于原点对称
y y
图 示
x
x
计算式 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
对称性 f(x)关于原点对称 f(x)关于y轴对称
在x=0处有定义， 对任意的x，都有
特 点
则：f(0)=0 f(x)=f(x
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1) f(x)=|x|(x2+1)；
1
(2) f(x)= x+ ；
x
(3) f(x)=|x+1|-|x-1|；
(4) f(x)= x-2+ 2-x；
(5) f(x)= 1-x2+ x2-1
x2+x, x<0
(6) f(x)=
x-x2, x>0
解：(1)f(x)定义域为 R，关于原点对称．∵ f(-x)=
|-x|[(-x)2+1]=|x|(x2+1)=f(x)∴ f(x)是偶函数．
(2)f(x)定义域为{x|x>0}由于定义域关于原点不对称
故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)定义域为 R，关于原点对称∵ f(-x)==|x-
1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，∴f(x)是奇函数
(4)f(x)= x-2+ 2-x的定义域为{2}，由于定义域
关于原点不对称，故f(x)既不是奇也不是偶函数．(5)f
(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{1，-1}，由f(1)=0
且f(-1)=0，∴f(x)=0∴f(x)图象既关于原点对称，
又关于 y 轴对称，故f(x)既是奇又是偶函数
(6)显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，-x<0，f
(-x)=x2-x=-(x-x2)；当 x<0 时，-x>0，f(-x)
-(x2+x), x<0
=-x-x2=-(x2+x)．即f(-x)=
-(x-x2), x>0
即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数．
随堂练习
[练1]函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<
0时，f(x)=2x+1，则f(3)等于 ( D )
A.-7 B. 7 C. -5 D.5
解：f-3
)
=-3×2+1=-5f(3)=-f-3 =5
[练2](2017秋•龙海市校级期中)已知函数y= f(x)
是R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数，
若f(a)≥f(-2)，则a的取值范围是 ( D )
A.a≤-2 B. a≥2 C. a≤-2或a≥2
D.-2≤a≤2
解：由题意可得|a|≤2，∴-2≤a≤2，故选：D．[练3]已知偶函数 f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则
满足f( x+2)<f(x)的x取值范围是 ( C )
A.(2,+∞) B. (-∞,-1)
C. [-2，-1)∪(2，+∞) D.(-1,2)
解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=f(|x|)，
∴f( x+2)<f(|x|)，∵函数f(x)在区间[0，+∞)单
增，∴ x+2<|x|，得：x∈[-2，-1)∪(2，+∞)．
[练4]已知函数f(x)=x2+ax+b，且f(x+2)是偶函
5
数，则f(1)，f
2
48
7
，f
2
的大小关系是 ( A )
5
A. f
2
7
<f(1)<f
2
7 B. f(1)<f
2
5 <f
2
7
C. f
2
5
<f(1)<f
2
7
D. f
2
5
<f
2
<f(1)
解：∵f(x+2)是偶函数∴函数f(x)=x2+ax+b关
于直线x=2对称，∴f(1)=f(3)，又该函数图象开口
5
向上，当x>2时单增，故f
2
7
<f(3)=f(1)<f
2
[练7]已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤
0时，f(x)=x2+2x．现已画出函数f(x)在y轴左
侧的图象，如图所示，并根据图象
(1)补全函数图象求出函数f(x)(x∈R)增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)求函数f(x)x∈[0，3]的值域．
y
2
-2 2 x
-2
解：(1)由图象可知当x<0时，函数的增区间为(-1
,0)．又因为函数为偶函数，所以在对称区间上函数的
单调性相反，∴当x>0时，函数的增区间为(1,+∞)．
y
[练5]设偶函数y= f(x)的定义域为y y=f(x)
[-5,5]，若当x∈[0,5]时，y=f(x) 2 5 x
2
的图象如图所示，则不等式 y= f
(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．
解：由图象可知：当x∈[0,5]时，f(x)<0的解为2< -2 2 x
x≤5，因为y=f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所
-2
以当x∈[-5,0]时，f(x)<0的解为-5≤x<-2．
所以f(x)<0的解是{x|-5≤x<-2，或2<x≤5}．
(2)设x>0，则-x<0，又当x≤0时，f(x)=x2+2x，
[练6]已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(-1)+
所以f(-x)=x2-2x．又函数为偶函数，所以f(-x)=
g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，求g(1). x2-2x=f(x)，所以当x>0时f(x)=x2-2x．
解：解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 x2+2x, x≤0
所以函数的解析式为f(x)= ．
x2-2x, x>0
得f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)
(3)由题意知，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3)
所以 -f(1)+g(1)=2 ①f(1)+g(1)=4 ②
上单调递增，f(0)=0，f(1)=-1，f(3)=3，所以f(x)x
由①②消掉 f(1)，得 g(1)=3. ∈[0，3]的值域为[-1，3]．3.奇偶性求参数值
模模块块二二 奇奇偶偶性性的的应应用用
由于奇偶性是函数对称性的一种体现，所以一
课堂精讲 个函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，
通过前面对函数奇偶性的介绍，我们知道了奇 即如果一个奇偶函数的定义域为区间D=a,b
偶性体现了函数的一种特殊对称性质，由此，我们可
以借助奇偶性来补全已知函数的图象。并且可以借
助部分图象来对称研究函数的其他问题。
1.抽象函数的奇偶性
由于抽象函数解析式未知，此时我们可以单独
只借用奇偶性所体现的图象对称特点来解决问题。
y y
f(x)
f(x)
-a a
-a O a x O x
y y
-a a
-aO a x O x
f(x) f(x)
2.利用奇偶性解抽象不等式
f(x)
形如xf(x)>0, >0(x-a)f(x)>0,xf(x-
x
a)<0等类型的不等式称之为抽象不等式，在求解时
以分类讨论方法入手即可。分为以下的类型：ab>0
b b
或 >0⇔ab同号。ab<0或 <0⇔ab异号。
a a
例2 f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)
为增函数，f(3)=0不等式xf(x)<0解集是 ( C )
A.(-3，-1)∪(1，3) B. (-3，0)∪(3，+∞)
C. (-3，0)∪(0，3) D.(-∞，-3)∪(0，3)
解：∵f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，∴f
(3)=-f(-3)=0，在(-∞,0)内是增函数，∴xf(x)<0则
x>0 或 x<0 ， f(x)<0=f(3) f(x)>0=f(-3)
根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数，
解得：x∈(-3，0)∪(0，3)，故选：C．
49
则一定有：a+b=0
例3 若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数，定义
域为[a，2b]，则a+2b= 0 ．
解：∵f(x)是偶函数，则函数的对称轴关于y轴对称，
a+5
即- =0，得a+5=0，a=-5，定义域关于原点
2
对称，则a+2b=0，故答案为：0，
含参函数y=f(x,a)在定义域对称的前提下，如
果具备了奇偶性，则有如下恒等式成立。
奇函数：①f(x,a)+f(-x,a)=0
② x=0有定义，则有：f(0)=0
偶函数：f(x,a)-f(-x,a)=0
|x-2|-a
例4(2021•乐山二模)已知函数f(x)= 是
4-x2
a
奇函数，则f
2
= ( A )
3 3
A.- B. C. 2 D.-2
3 3
|x-2|-a
解：∵函数f(x)= 是奇函数，∴f(0)=0，即
4-x2
|-2|-a |x-2|-2 a
=0，解得a=2，∴ f(x)= ，f
4-0 4-x2 2
|1-2|-2 3
=f(1)= =- ，故选：A．
4-12 3
4.奇偶性求函数解析式
已知奇（偶）函数在某一区间上的解析式，求其
与原点对称的区间上的解析式的方法。
1 已知x∈D时，y=f(x)。
2 当x∈-D时，-x∈D,此时y=f(-x)
3 ∵y=f(x)是奇（偶）函数，
∴f(-x)=-f(x)f(x)=-f(-x)例5 已知定义R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x) [练12]已知函数f(x)=g(x)+2，x∈[-3，3]，且g(x)
满足g(-x)=-g(x)，若f(x)的最大值和最小值分别
=x2+x+1．求函数f(x)的解析式。
为M、N，则M+N= ( C )
解：(1)∵f(x)为定义R上的奇函数，
A.0 B. 2 C. 4 D.6
∴f(0)=0，
解：∵g(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，
当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-x+1]=
故f(x)的图象关于(0,2)对称，其最大最小值点也关
-x2+x-1，
于(0,2)对称；所以M+N=4，故选：C．
x2+x+1, x>0
x+a, x<0
故f(x)= 0, x=0；
[练13]若f(x)=
是奇函数，则 ( C )
-x2+x-1, x<0
bx-1, x>0
A.a=1，b=-1 B. a=-1，b=1
C. a=1，b=1 D.a=-1，b=-1
随堂练习 x+a, x<0
解：∵ f(x)= 是奇函数，当x<0时，
bx-1, x>0
[练8]已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的
-x>0，∴f(-x)=-bx-1，即-f(x)=-bx-1，
偶函数，那么a+b的值是 ( B ) ∴f(x)=bx+1，又∵当x<0时，f(x)=x+a，
1 1 1 1 ∴x+a=bx+1，∴a=1，b=1．
A.- B. C. - D.
3 3 2 2
[练14]已知函数f(x)在定义域R内为偶函数，并且x
解：f(x)=ax2+bx，依题意得：f(-x)=f(x)，
∴b=0．又a-1=-2a，∴a= 1 ，∴a+b= 1 ． ≥0时解析式为f(x)=2x2-4x+7．求：
3 3
(1)x<0时的解析式；
2-x2
[练9]函数f(x)= 的图象关于 ( B )
x
(2)求函数在区间[-3，1]上的最值．
A.x轴对称 B. 原点对称
解：(1)若x<0，则-x>0，
C. y轴对称 D.直线y=x对称 ∵x≥0时解析式为f(x)=2x2-4x+7，
∴f(-x)=2x2+4x+7，
解：定义域为{x|- 2≤x≤ 2且x≠0}，∵f(-x)=
∵f(x)是偶函数，
2-x2
=-f(x)，∴f(x)奇函数，图象关于原点对称
-x ∴f(x)=f(-x)=2x2+4x+7；
[练10](2009秋•杭州期中)若函数y=( 2+x)(m- (2)作f(x) min =f(1)=5，f(x) max =f(-3)=13
x)为偶函数，则m= ( D ) [练15](2021秋•凉山州期末)已知函数f(x)是定义在
R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2．
A.-2 B. 2 C. - 2 D. 2
解：由题意，函数是偶函数，故有( 2?+x)(m-x)= (1)求函数f(x)的解析式；
( 2?-x)(m+x)恒成立整理得-x2+(m- 2)x+ (2)求关于m的不等式式 f(2m-8)+f(5-m)
2m=-x2+( 2-m)x+ 2m恒成立故有m- 2
>0的解集．
= 2-m解得m= 2故选：D．
解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-x)
=-f(x)，∴当x=0时，f(0)=0；当x<0时，-x>
[练11]已知y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(1 0，f(x)=-f(-x)=-(-x)2=-x2．
-x)，则当x≤0时，f(x)= ( C ) x2, x>0
∴f(x)= ；
-x2, x≤0
A.x(x-1) B. -x(x+1)
(2)∵函数f(x)为奇函数，∴f(2m-8)+f(5-m)>
C. x(x+1) D.-x(x-1) 0⇔f(2m-8)>-f(5-m)=f(m-5)
解：令x≤0，则-x≥0∴f(-x)=-x(1+x) 因为f(x)=x2在[0，+∞)上递增，且f(x)为奇函数，
又∵y=f(x)为奇函数∴f(-x)=-f(x) 所以f(x)在R单调递增，∴2m-8>m-5，解得：m
∴x≤0时，f(x)=x(1+x)故选：C． >3，故不等式的解集是{m|m>3}．
50课后提升
[巩固1](2021•齐齐哈尔开学)函数y= f(x)是奇函
数，图象上有一点为(a，f(a))，则图象必过点 ( C )
A.(a，f(-a)) B. (-a，f(a))
1
C. (-a，-f(a)) D. a,
f(a)
51
解：∵函数y=f(x)是奇函数，图象上有一点为(a，f
(a))，∴f(-a)=-f(a)，即图象必过点(-a，-f(a))．
2
[巩固2]函数f(x)= -x的图像关于 ( C )
x
A.y轴对称 B. 直线y=-x对称
C. 坐标原点对称 D.直线y=x对称
2 2
解：∵f(-x)=- -(-x)=- -x
x x
[巩固6]若f(x)是偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x)
=x-1，则不等式f(x)>1的解集是 ( B )
A.{x|-1<x<3} B. {x|x<-2或x>2}
C. {x|x>2} D.{x|x>3}
解：当x∈[0，+∞)时f(x)>1则x>2 ∵偶函数关
于y轴对称∴f(x)>1的解集为{x|x<-2或x>2}
[巩固7]已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是
1
增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈ ,1
2
=-f(x)，∴f
(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，故选：C．
[巩固3]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f
(x)=x+2，则f(0)+f(3)等于 ( C )
A.-3 B. -1 C. 1 D.3
解：∵函数f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0，
∵当x<0时，f(x)=x+2，∴f(-3)=-1，f(3)=-f
(-3)=1，则f(0)+f(3)=0+1=1．故选：C．
[巩固4]设 f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0
时，f(x)=x3-8，则f(x-2)<0的解集为 ( C )
A.(-4，0)∪(2，+∞) B. (0，2)∪(4，+∞)
C. (-∞，0)∪(2，4) D.(-4,4)
解：f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)
=x3-8，∴x>0时，-x<0，则f(-x)=-x3-8=
-f(x)，∴f(x)=x3+8，f(0)=0，由f(x-2)<0得0
<x-2<2或x-2<-2，故2<x<4或x<0．
[巩固5]已知奇函数y=f(x)在(-∞,0)为减函数，且
f(2)=0，不等式(x-1)f(x-1)>0的解集为 ( D )
A.{x|-3<x<-1}
B. {x|-3<x<1或x>2}
C. {x|-3<x<0或x>3}
D.{x|-1<x<1或1<x<3}
解：由题意画出f(x)的草图如下，
∵(x-1)f(x-1)>0，∴(x-1)与
f(x-1)同号，由图象可得-2<x-
1<0或0<x-1<2，得-1<x<
1或1<x<3，
上恒
成立，则实数a的取值范围是 ( D )
A.[-2，1] B. [-5，0]
C. [-5，1] D.[-2，0]
1
解：由题意可得|ax+1|≤|x-2|对x∈ ,1
2
恒成
1
立，得x-2≤ax+1≤2-x对x∈ ,1
2
恒成立，
x-3 1-x 1
从而a≥ 且a≤ 对x∈ ,1 x x 2 恒成立，
∴a≥-2且a≤0，即a∈[-2，0]，
[巩固8]已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在
1
[a-1，2a]的偶函数，则a+b= 3 ．
解：∵函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1，
1
2a]的偶函数，∴a-1+2a=0，解得a= ，
3
1
由f(x)=f(-x)得，b=0，即a+b= ．
3
1
[巩固9](2020秋•兰州期末)已知函数f(x)=x- ．
x
(1)求：函数f(x)的定义域；判断函数f(x)的奇偶
性并说明理由；
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性，并用定
义加以证明．
解：(1)定义域：(-∞，0)∪(0，+∞)，定义域关于原点
1 1
对称，∵f(-x)=-x- =-x+ =-f(x)，
-x x
∴函数f(x)是奇函数
(2)判断：函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，
证明：任取x ，x ∈(0,+∞)且x <x ，
1 2 1 2
1 1
∴ f(x )- f(x )=x - - x -
1 2 1 x 2 x
1 2
=(x -x )
1 2
1
1+
xx
1 2
∵x <x ，x ，x ∈(0,+∞)
1 2 1 2
1
∴x -x <0，1+ >0∴f(x)-f(x )<0 1 2 xx 1 2
1 2
∴f(x)<f(x )∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数．
1 2第第十十讲讲 函函数数对对称称性性
模模块块一一 函函数数的的轴轴对对称称
课堂精讲
通过上一讲我们对偶函数的学习，我们知道偶
函数的图象是关于y轴对称的，这是一种特殊的轴对
称，思考函数是否会具备其它的对称轴。前面我们
用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的一些
性质。下面我们将继续研究函数的对称性。
1.函数的轴对称：
如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两
侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中
的轴对称，该直线称为该函数图像的对称轴。
由二次函数出发，我们知道二次函数的对称轴
为：x=a，由图可以得到：f(a+x)=f(a-x)
x
a-x a a+x
52
a+b
②y=f(x)图象关于x= 对称
2
f(a+mx)=f(b-mx)
例1 若函数f(x)=x2+ax-2对任何实数x都有f(1
-x)=f(1+x)成立，则f(x)的值域为 ( C )
A.[-1，+∞) B. [-2，+∞)
C. [-3，+∞) D.[0，+∞)
解：函数f(x)=x2+ax-2对任何实数x都有f(1-
x)=f(1+x)成立，可得f(x)的图象关于直线x=1对
a
称，即有- =1，即a=-2，所以f(x)=x2-2x-2
2
=(x-1)2-3，当x=1时，f(x)取得最小值-3，
即f(x)的值域为[-3，+∞)．故选：C．
例2 若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于
直线x=-2对称，则f(-2)值是 -9
解：∵函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直
线x=-2对称，∴将函数y=f(x)的图象向右平移2
x x 个单位，得函数y=f(x-2)的图象关于直线x=0对
称，∴f(x-2)=[1-(x-2)2][(x-2)2+a(x-2)+
b]是偶函数．设g(x)=f(x-2)=-x4+(8-a)x3+
(12a-b-23)x2+(28-11a+4b)x+8a-4b，
8-a=0
x +x ∵g(-x)=g(x)，∴ ，
x
0
= 1
2
2 28-11a+4b=0
点的对称性计算公式：
y +y 解得a=8，b=15．∴f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，
y = 1 2
0 2 ∴f(-2)=-9．故答案为：-9
y
A
y
1
P
y
0 随堂练习
y B
2
[练1](2020秋•凉州区校级月考)已知y=f(x-1)是
x x x x 偶函数，则函数f(x)图象的对称轴是 ( C )
1 0 2
由点的对称性出发，我们可以对轴对称的抽象 1 1
A.x=1 B. x= C. x=-1 D.x=-
2 2
关系做一般性的推广：
解：∵y=f(x-1)是偶函数，则y=f(x-1)的对称轴为
①y=f(x)图象关于x=a对称 x=0，将函数y=f(x-1)的图象向右平移一个单位可
得y=f(x)的图象，∴函数f(x)图象对称轴是x=-1．
f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x).[练2]定义域为R的函数f(x)，对∀x都有f(x)=f(2
-x)，则下列选项一定正确的是 ( C )
A. f(-x)为偶函数 B. f(x-1)为偶函数
C. f(1-x)为偶函数 D. f(x-2)为偶函数
解：定义域为R的函数 f(x)，对∀x都有 f(x)= f(2-
x)，则函数图形关于直线x=1对称，4个选项中考察为
偶函数的，也就是图象关于y轴即x=0对称的，
将原函数图象向左平移1个单位就会关于x=0对称，即
f(x+1)为偶函数，因此f(x+1)的图象关于y轴对称，
又f(x+1)为偶函数，有偶函数性质f(-x)=f(x)得f(x
+1)=f(-x+1)，即f(-x+1)也是偶函数，
[练3]二次函数 f(x)的二次项系数为正数，且对任意
项x∈R都有f(x)=f(4-x)成立，若f(1-2x2)<f
(1+2x-x2)，则x的取值范围是 ( C )
A.x>2 B. x<-2或0<x<2
C. -2<x<0 D.x<-2或x>0
解：∵对任意项x∈R都有f(x)=f(4-x)
∴函数f(x)的对称轴为x=2而函数的开口向上，则函
数f(x)在(-∞，2]上是单调减函数∵1-2x2≤1，1+
2x-x2=-(x-1)2+2≤2，f(1-2x2)<f(1+2x-x2)
∴1-2x2>1+2x-x2，解得-2<x<0，故选：C．
[练4](2015•天津模拟)已知y=f(2x+1)是偶函数，
则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 ( A )
1
A.x= B. x=2
2
1
C. x=- D.x=1
2
1
解：∵y=f(2x+1)=f 2x+
2
53
解：∵函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，
∴将函数f(x+1)的图像向右平移一个单位得到f(x)，
此时f(x)关于直线x=0对称，即f(x)是偶函数，
当x≥0时，f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1，则此时f
(x)′为减函数，则f(3-a)>f(2a)，等价为f(|3-a|)>f
(|2a|)，即|3-a|<|2a|，平方得9-6a+a2<4a2，得3a2
+6a-9>0，即a2+2a-3>0，得a>1或a<-3，
[练6]写出一个同时具有下列性质①②的函数 f(x):
f(x)=-(x-1)2．
①f(x)=f(2-x)；
②当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减．
解：函数f(x)满足f(x)=f(2-x)；说明函数的对称轴
为：x=1，函数满足当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减．
不妨是二次函数，开口向下，所以f(x)=-(x-1)2，
故答案为：f(x)=-(x-1)2答案不唯一．
[练7]已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=
f(2-x)，若方程f(x)=0有且仅有三个根，且x=0为
其一个根，则其它两根为 2，4 ．
解：∵y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)函数的图象关于
x=2对称由函数的对称性可得，f(0)=f(4)=0
∵方程f(x)=0有且仅有三个根∴f(2)=0
[练8](2016•泸州模拟)已知定义域为R上的偶函数f
1
(x)在[0，+∞)上单调递增，且f
2
，∴只要将y=f(2x
1
+1)的图象向右平移 单位，即可得到y=(2x)的图
2
象，∵y=(2x+1)是偶函数，图象关于y轴对称，
1
∴y=f(2x)的图象关于直线x= 对称．故选：A．
2
[练5](2021春•沙坪坝区校级期末)已知定义在R上
的函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，当x≥
0时，f(x)=-x2-2x，若f(3-a)>f(2a)，则实数a
的取值范围是 ( C )
A.(-3,1)
B. (1,+∞)
C. (-∞，-3)∪(1，+∞)
D.(-∞，-1)∪(3，+∞)
=0，则不等式f
5 3
{x|x> 或x< }
(x-2)>0的解集是 2 2 ．
1
解：∵偶函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f
2
=0，
1
∴不等式f(x-2)>0等价为f(|x-2|)>f
2
，
1 1 1
即|x-2|> ，即x-2> 或x-2<- ，
2 2 2
5 3
即x> 或x< ，
2 2
5 3
∴不等式f(x-2)>0的解集为{x|x> 或x< }．
2 2
5 3
故答案为：{x|x> 或x< }．
2 2
[练9]若函数f(x)=(x2-1)(-x2+ax-b)的图象关
于直线x=2对称，则ab= 120 ．
解：∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称，
∴f(-1)=f(5)，且f(1)=f(3)，
即24(-25+5a-b)=0，且8(-9+3a-b)=0，
即-25+5a-b=0，且-9+3a-b=0，
解得a=8，b=15，则ab=120，故答案为：120模模块块二二 函函数数的的中中心心对对称称
课堂精讲
1.函数的中心对称
如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，点两侧
的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的
中心对称，该点称为该函数图像的对称中心。
由初中阶段的反比例函数出发，我们观察下列
函数图象，思考由中心对称出发可以得那些结论。
y
△y
f(a+x)
b
△y
f(a-x)
a-x a a+x x
观察上图可知，当函数的对称中心为(a,b)时，可
得：fa+x
54
+fa-x =b+△y+b-△y=2b
2.中心对称的抽象表达
由点的对称坐标出发，结合上面的例子，我们可
a+b c
得到函数y=f(x)图象关于 ，
2 2
成中心对称
时函数的抽象表达：
fa+x +fb-x =c
例3 设R上定义的函数y=f(x)，对任意x∈R都有
f(x)+f(-x)=1，则这个函数的图象关于 ( B )
A.原点对称 B. y轴对称
1
C. 点0,
2
对称 D.点(0,1)对称
1
解：设g(x)=f(x)- ∵f(x)+f(-x)=1，∴g(-x)=-g(x)
2
1
∴g(x)=f(x)- 为奇函数，图象关于原点对称∵函数g(x)=
2
1 1
f(x)- ，∴f(x)=g(x)+ ∴y=f(x)的图象是由g(x)的图
2 2
1 1
象向上平移 个单位得到∴y=f(x)的图象关于0,
2 2
3.函数周期性
函数fx
对称
定义域内任意的x，存在一个不等于0
的常数T，使得 fx+T = fx 恒成立，则称 fx
是周期函数，T是它的一个周期。一般T是fx 的
周期，则kTk∈Z 也是fx 的周期。
y
f(x) f(x+T)
x x+T x
最小周期T
4.周期性与对称性关系
若一个函数f(x)具有:中心对称、轴对称、周期性
中任意两个条件，则第三个也必然成立。
若f(x+a)=f(x+b)或f(x-a)=f(x-b) ，则
T=b-a
若f(x)关于点a，0 ，(b，0)对称，则f(x)是周
期函数，且T=2|a-b|；
若f(x)图象有两条对称轴x=a，x=b，则f(x)
是周期函数，且T=2|a-b|；
若f(x)关于点(a，0)对称，且关于x=b对称，
则f(x)是周期函数，且T=4|a-b|；
例4(2022•辽宁模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象
关于直线x=1对称，函数y= f(x+1)关于点(1
,0)对称，则下列说法正确的是 ( B )
A. f(1)=0 B. f(1-x)=f(1+x)
3
C. f(x)的周期为2 D. f(x)=f -x
2
解：由函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称，
可得f(2x+2+1)=f(2-2x+1)，即f(2x+3)=f(3
-2x)，将2x换为x可得f(x+3)=f(3-x)，即有f(x
+6)=f(-x)①，故D错误；由函数y=f(x+1)关于
点(1,0)对称，可得f(2+x)+f(2-x)=0，且f(2)=f
(0)=0，故A错误；f(x+4)=-f(-x)②，
由①②可得 f(x+6)=-f(x+4)，即 f(x+2)=-f
(x)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
则f(x)的最小正周期为4，故C错误．故选：B．随堂练习
[练10](2017春•崇文区校级期末)函数f(2x+1)是奇
函数，则函数f(x)的对称中心为 ( B )
1
A.(0,0) B. (1,0) C. (-1,0) D. ，0
2
55
解：若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)，
可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1,0)，
[练11]若R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，
9
当-1≤x≤0时，f(x)=2x(1-x)，则f
2
= ( D )
1 1 3 3
A. B. - C. D.-
2 2 2 2
解：∵偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，∴f(x)=f(2
9
+x)∴f
2
1
=f
2
1
=f-
2
∵当-1≤x≤0时，f(x)
1
=2x(1-x)，∴f-
2
1
=2×-
2
1
×1+
2
3
=-
2
[练12](2022•福州模拟)定义在R上的函数f(x)满足
f(2-x)=2-f(x)，若f(x)的图象关于直线x=3对
称，则下列选项中一定成立的是 ( A )
A. f(-3)=1 B. f(0)=0
C. f(3)=2 D. f(5)=-1
解：若f(x)的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=2-f
(1)，即f(1)=1，又f(5)+f(-3)=2，且f(5)=f(1)=1，
∴f(-3)=2-f(5)=2-1=1，
[练13]已知定义在 R 上的函数 y = f(x) 满足条件
3 fx+
2
3 =-f(x)，且函数y=fx-
4
是奇函数，由
下列四个命题中不正确的是 ( D )
A.函数f(x)是周期函数
3 B. 函数f(x)的图象关于点- ,0
4
对称
C. 函数f(x)是偶函数
3
D.函数f(x)的图象关于直线x= 对称
4
3
解：f(x)满足fx+ 2
3
=-f(x)，有fx+ 2 =-f(x)
3 =fx-
2
3 恒成立，函数周期是3又函数y=fx-
4
3
是奇函数，故函数y=f(x)的图象关于点- ,0
4
解：f(2+x)=f(2-x)，故f(x)的图象关于直线x=2
对称，∴f(x)=f(4-x)．故f(-x)=f(4+x)=-f(x)，
∴f(x)=-f(4+x)=f(8+x)，f(x)是周期等于8的周
期函数．f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=-f(-1)=2，
[练15](多选)函数y=f(x)的图象关于直线x=1对
称，则下列结论成立的是 ( AB )
A. f(x+1)为偶函数
B. f(1+x)=f(1-x)
C. f(1+x)+f(1-x)=0
D. f(1)=0
解：∵y=f(x)图象关于x=1对称，而y=f(x+1)图象
是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故y=f(x
+1)的图象关于x=0，即y轴对称，故y=f(x+1)为偶
函数，故A正确；∵y=f(x+1)为偶函数，所以f(-x+
1)=f(x+1)，故B正确，C错误；y=f(x)的图象关于直
线x=1对称，无法计算f(1)的数值，故选项D错误．
2
[练16]已知函数f(x)=x+ -1
x-1
(1)记g(x)=f(x+1)，证明：g(x)图象关于原点
对称．
(2)若方程f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解，求
实数t的取值范围．
2
解：(1)∵f(x)=x+ -1，x≠1
x-1
2 2
∴g(x)=f(x+1)=x+1+ -1=x+ ，由x
x+1-1 x
+1≠1得x≠0，g(x)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，
2 2
则g(-x)=-x- =-x+ x x
对称，
由此知A，B是正确的选项，D不对故选：D．
[练14]定义在R上的f(x)是奇函数，对x∈R都有f(2
+x)=f(2-x)，当f(-1)=-2时，f(2009)= ( D )
A.-4 B. 0 C. -2 D.2
=-g(x)，
则g(x)是奇函数，则图象关于原点对称．
(2)∵f(x)=t(x2-2x+3)|x|，
∴当x=0时，-3=0不成立，即x≠0，
2 ∴x+ -1=t(x2-2x+3)|x|，
x-1
x2-2x+3
即 =t(x2-2x+3)|x|，
x-1
1
化简得 t =
x
1
，即 =
(x-1) t
x x-1 =
xx-1 , x>0且x≠1
-xx-1
，
, x<0
作出对对应的函数图象如图：
1
当x>0时，x(x-1)=x-
2
2
-
1 1
≥- ，
4 4
∴要使方程f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解，
1 1
则- < <0，即t<-4
4 t课后提升
[巩固1]设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的
1 2
图象关于直线x= 对称，则f-
3 3
56
= ( A )
A.0 B. 1 C. -1 D.2
解：∵f(x)是奇函数，f(0)=0．∵y=f(x)关于直线
1 2
x= 对称，∴f
3 3
2
=f(0)=0∴f-
3
2
=-f
3
=0
[巩固2]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1+x)
1
=f(1-x)，f
2
3
=1，则f-
2
= ( C )
3 3
A.- B. -1 C. 1 D.
2 2
解：∵f(x)是R上的偶函数，又∵f(1+x)=f(1-x)，
∴f(-x)=f(2+x)，即f(x)=f(x+2)，∴f(x)为周期函数周期
3
T=2，∴f-
2
3
=f2-
2
1
=f
2
[巩固6]若函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关
于直线x=2对称，则f(x)的最小值为 ( C )
A.0 B. -15 C. -16 D.-18
解：∵函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2
对称，∴f(4-x)=f(x)对于任意x都成立，∴ f(0)=f(4) ，代
f(1)=f(3)
入可得， -b=240+60a+15b ，得 a=-8 ，∴f(x)=(x2-1)
0=72+24a+8b b=15
(x2-8x+15)，∵f(2+ 5)=-16，f(2- 5)=-16，
[巩固7]设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满
足 f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立，又当x∈
[-1，1]时，f(x)=x3，则下列四个命题：
①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数；
②当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)3；
=1．
③函数y=f(x)的图象关于x=1对称；
[巩固3](2022•保定模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+
④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称．
x+b的图象关于点(1,0)对称，则b= ( C )
其中正确的命题是①②③④．
A.-3 B. -1 C. 1 D.3
解：∵y=f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵f(x-2)=-f
解：由f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称，可得f (x)对∀x∈R都成立，∴f(x-4)=f(x)，∴y=f(x)是以4为
(1+x)+f(1-x)=0，即(1+x)3+a(1+x)2+(1+x)+b+(1 周期的周期函数，①正确．当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]，
-x)3+a(1-x)2+(1-x)+b=0，化为(6+2a)x2+(4+2a+ f(x-2)=(x-2)3=-f(x)，∴f(x)=(2-x)3，②正确．∵f(x
2b)=0，可得6+2a=0，且4+2a+2b=0，a=-3，b=1， -2)=-f(x)，∴f(1+x)=f(1-x)，∴y=f(x)的关于x=1
对称，③正确．∵当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)3，∴f(2)=0，
[巩固4](多选)函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
∵f(x-2)=-f(x)，∴f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x-
那么 ( ABC )
2)，∴f(x+2)=-f(x-2)，∴y=f(x)图象关于(2,0)对称
A. f(2-x)=f(x)
[巩固8]对于定义在实数集R上的函数f(x)，若存在常
B. f(1-x)=f(1+x)
C. 函数y=f(x+1)是偶函数 数t，使得任意的x∈R都有f(t+x)+f(t-x)=0，则
D.函数y=f(x-1)是偶函数 函数f(x)的图象关于x轴上的点P(t,0)对称．
解：由f(x)关于x=1对称知，f(2-x)=f(x)，f(1-
(1)若f(x)是R上单调函数且其图象关于点P(t
x)=f(1+x)，把f(x)图象向左平移1个可得y=f(x
,0)对称，证明：函数f(x)有唯一零点；
+1)图象，x=0对称，为偶函数，把函数f(x)图象向
右平移1个得y=f(x-1)的图象，关于x=2对称， (2)已知函数g(x)=x3+3x2-2，证明：函数g(x)
[巩固5](2017秋•分宜县校级月考)已知y= f(2x- 的图象关于x轴上的点P对称，并求出点P的坐标．
1)为奇函数，y= f(x)与y=g(x)图象关于y=x对 解：证明：(1)∵f(x)的图象关于点P(t,0)对称，
称，若x +x =0，则g(x)+g(x )= ( B ) ∴f(t+x)+f(t-x)=0对于任意的x都成立，
1 2 1 2
A.2 B. -2 C. 1 D.-1 令x=0可得2f(t)=0即f(t)=0，
解：∵y=f(2x-1)为奇函数，故y=f(2x-1)的图象关于原点 ∵f(x)是R上单调函数，
(0,0)对称而y=f(x)的图象由y=f(2x-1)图象向左平移 1 由函数的零点判定定理可知，函数f(x)有唯一零点；
2
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故 (2)设g(x)=x3+3x2-2关于P(t,0)对称，
y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称，又y=f(x)与y=g(x)图 ∴g(t+x)+g(t-x)=(t+x)3+3(t+x)2-2+(t-
象关于y=x对称，故函数y=g(x)图象关于点(0,-1)对称． x)3+3(t-x)2-2=0恒成立∴0=2t3+6(t+1)x2-
因为x +x =0，即x =-x ，故点(x ，g(x))，(x ，g(x))关于
1 2 1 2 1 1 2 2 4+6t2恒成立，6(t+1)=0且2t3-4+6t2=0，
点(0,-1)对称，故g(x)+g(x)=-2，
1 2 ∴t=-1，即g(x)关于(-1,0)对称，即P(-1,0)．第第二二章章 章章末末总总结结
1.本章内容是对函数所具备的共有性质的抽象学习。我们知道对于可作图的函数，其基本性质可以由图象得
到，而高中阶段已经从初中阶段的特例函数推广到了一般函数，对于大部分函数，我们无法作出其函数图象，由
此我们需要用一套代数计算的方法去判断函数性质，这也是本章的教学核心。通过本章的学习，请你对本章所
学内容经行归纳总结，用架构图表示。
定义域
有界性 值域
渐近线
单调性证明 证明:∀x 1 ,x 2 ∈D,且x 1 <x 2
抽象计算 f(x)-f(x)=∙∙∙∙∙∙
单调性 解抽象不等式 1 2
f(x)-f(x)
求函数值域 其它抽象： 1 2 >0
x -x
1 2
解： 函数性质
求参数值
奇函数：f(-x)+f(x)=0
抽象计算
奇偶性 作草图解函数不等式
偶函数：f(-x)-f(x)=0
奇偶性衍生模型
图像的自对称性 中心对称：f(a-x)+f(b+x)=2c
抽象计算
对称性
图像的它对称性 轴对称：f(a-x)-f(b+x)=0
周期性： 任意波函数都可以是正弦波的叠加 抽 象 计 算 f(x)=f(x+T)
2.通过本章的内容学习，请完成以下填空。
(1)形如y=C（C为常数）的函数称之为 常数函数 ，是六个基本初等函数之一。其图像是一条 平行于x轴
的直线，不具备 单调性 。主要用于解决含参的问题。像这种有解析的函数我们统称为解析函数，没有解
析的函数称为 抽象函数 ，例如：y=f(2x-1)
(2)函数问题，定义域 优先考虑。例如：奇偶性成立的前提条件是 定义域关于原点对称 。中学阶段主要
的定义域约束条件是：1 分式的分母不能为零；2 对数的真数大于零；3 根号下被开方数大于等于零；
4 零指数幂 底数不为零
(3)函数单调性是分析求解函数最值的关键步骤，在选择题中我们可以借助以下性质计算快速判断函数单调性：
1 增函数+增函数= 增函数 ；减函数+减函数= 减函数
2 添加根号单调性 不改变 ；变倒数、加负号单调性 改变
(4)奇偶性是一种特殊的 对称性 ，利用对称性我们可以解决很多问题。奇偶性的主要用途：1 借助奇偶性
的抽象草图，解决抽象不等式；2 借助奇偶性对称的特点，求解函数在定义域内完整的函数解析；3 利用
奇偶性对称的特点解决互为相反数的两自变量函数值和的问题,例如：f(-a)+f(a)。
573.(2022•山西三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，且在区间(1,+∞)上单调递增，则满足
f(1-x)>f(x+3)的x的取值范围为 ( B )
A.(-1,+∞) B. (-∞,-1) C. (-1,1) D.(-∞,1)
解：∵函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，∴f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，
且f(1-x)>f(x+3)，即f|(1-x)-1|>f|(x+3)-1|，∴|-x|>|x+2|，得x<-1．
4.(2021秋•郫都区校级月考)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x+1)
≥0的x的取值范围是 ( D )
A.(-∞，-4]∪{0}∪[2，+∞) B. (-∞，-2]∪[0，1]∪[4，+∞)
C. [-4，-1]∪[0，2] D.(-∞，-4]∪{-1，0}∪[2，+∞)
解：∵定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0，
∴f(x)的图像如图：当x=0或x+1=0时，满足条件，此时x=0或x=-1，当x≠0且x≠-1时，
不等式xf(x+1)≥0等价为
x>0 或
x<0 ，
f(x+1)≥0 f(x+1)≤0
即x>0 或x<0 ，得x>0 或x<0
，
x+1≥3 x+1≤-3 x≥2 x≤-4
即x≥2或x≤-4，综上，x≥2或x≤-4或x=0或x=-1，
f(x)-f(y)
5.(2022春•安徽期中)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y∈R)，当x≠y时， >0成
x-y
立，且f(1)=2．
(1)求f(0)，并证明函数g(x)=f(x)-1的奇偶性；
(2)当x∈[0，9]，不等式f(x)+f(m-2 x)≤3恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)令x=y=0，可得f(0)=1，
证明：令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1，所以f(x)+f(-x)=2，
所以g(-x)+g(x)=f(x)-1+f(-x)-1=0，
所以g(x)为奇函数；
(2)解：f(x)+f(m-2 x)≤3，
即f(x)+f(m-2 x)-1≤2，
所以f(x+m-2 x)≤f(1)，
f(x)-f(y)
又当x≠y时， >0成立，所以f(x)为增函数，
x-y
所以x-2 x+m≤1在x∈[0，9]上恒成立，
令 x=t，可得1-m≥t2-2t在t∈[0，3]上恒成立，
又y=t2-2t，t∈[0，3]，
所以当t=3时，(t2-2t) =3，
max
所以1-m≥3，即m≤-2，
所以m的取值范围是(-∞，-2]．
58第第十十一一讲讲 一一次次函函数数及及其其变变换换
2.一次函数的平移变换
模模块块一一 一一次次函函数数的的图图象象性性质质
初中阶段，我们学习了函数平移变换的通法:左
课堂精讲
加右减，上加下减。一次函数图像的平移变换：f(x)
初中阶段我们学习了一次函数，介绍了函数的
=kx+b图象向左(右)平移m个单位得到：f(x±
性质，函数、方程与不等式之间的关系。高中阶段将
m)=k(x±m)+b；f(x)=kx+b图象向上(下)平
对一次函数做更全面的补充与拓展。
移h个单位得到：f(x)±h=kx+b±h；
1．一次函数图象性质
解析式 f(x)=kx+b
3．一次函数的翻折变换
k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程
以f(x)=2x+1与f(x)
y −y
参数 度.k=tanα= 1 o
x −x
1 o
b代表直线的纵截距，含义是直线与y轴
相交的点的纵坐标.
k>0,b>0 k>0,b<0
y y
x
x
图 像
k<0,b>0 k<0,b<0
y y
x
x
例1“k>1”是“函数f(x)=kx+2为R上的增函数”
的 充分不必要条件．(填“充分不必要条件、必要
不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”)
解：若k>1，∴f(x)=kx+2为R上的增函数，若函数f
(x)=kx+2为R上的增函数，则k>0，无法推出k>1．
59
=2x+1 、f(x )=2x
+1为例：
(1) f(x) 图象是将f(x)在x轴上方图象保留，将
x轴下方的图象作x轴翻折后得到。
y y
x x
y=f(x)
y=f(x)
对
称
翻
折
(2)函数f(x )图象是将函数f(x)在y轴右侧的图
象不变，把y轴左侧的图象去掉，再将y 轴右侧图象
作y轴翻折到左侧得到。
y y
y=f(x
x
y=f(x)
x
对称翻折
)-x2+2x-1，x≤1
例2 已知函数f(x)= ，若f(a2-
|x-1|，x>1
4)>f(3a)，则实数a的取值范围是 ( D )
A.(-4，1) B. (-∞，-4)∪(1，+∞)
C. (-1，4) D.(-∞，-1)∪(4，+∞)
-x2+2x-1，x≤1
解：由分段函数 f(x)= 可得函
|x-1|，x>1
数图像如下。由图可知：f(x)在R上单调递增，
若 f(a2-4)> f(3a)，则a2-4>3a，得a>4或a<
-1
y
x
x=1
通过上面对一次函数图像的翻折变换的介绍，
我们将用来解决以下问题：一次绝对值不等式的解
法以及一次绝对值函数图像、性质的分析。
4.一次绝对值不等式
对于f(x)
60
≤a型不等式的解法：
(以2x+1 ≤5为例,还可以两边同时平方转化为
一元二次不等式求解)
① 解出y=f(x)的零点：
1 令y=2x+1中y=0⇒x=−
2
② 在同一坐标系中画出y=f(x) 与y=a的图象
③ 解出翻折前f(x)=a实根，由对称得出翻折后
实根：
④ 根据图像，得出f(x) ≤a的解集：
y
y=2x+1
x
例3 不等式|5-2x|>3的解集是 ( D )
A.(1,4) B. (-∞,1)
C. [4，+∞) D.(-∞，1)∪(4，+∞)
解：∵|5-2x|>3，∴5-2x>3或5-2x<-3，
∴x<1或x>4，不等式解集是(-∞，1)∪(4，+∞)
例4(2021秋•河东区校级期中)若关于x的不等式3
-|x-a|>x2在(-∞,0)上有解，则实数a的取值
范围是 ( A )
13
A. - ，3
4
y=5
1 -3 - 2
2
13
B. -3,
4
13
C. -∞,-
4
D.(3,+∞)
解：∵关于x的不等式3-|x-a|>x2在(-∞,0)上
有解，∴关于x的不等式3-x2>|x-a|至少有一个
负数解，作函数y=3-x2与y=|x-a|的图象如下，
结合图象可知，关于x的不等式3-x2>|x-a|至少
有一个负数解可化为在y轴左侧，函数y=|x-a|的
图象有在函数y=3-x2的图象的下方的部分，当y=
|x-a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，当y=|x-
a|在y轴左侧与y=3-x2的图象相切，即y′=-2x=
1 11 1，即过点- ，
2 4
13 ，即a=- 时，是临界值，结合
4
13
图象可知，a的取值范围是- ，3 4 ，
随堂练习
[练1]已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)=
2x+9，则函数f(x)的解析式为 ( A )
A. f(x)=x+3 B. f(x)=x-3
C. f(x)=2x+3 D. f(x)=2x-3
解：设一次函数f(x)=kx+b，∵3f(x+1)-f(x)=3[k
(x+1)+b]-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9，∴
2k=2 k=1
，解得： ，∴f(x)=x+3，．故选：A．
3k+2b=9 b=31-y
[练2]不等式|x+1|≥2的解集是 ( D ) [练7]已知A={(x，y)| =3}，B={(x，y)|y=
1+x
A.{x|x<-3或x>1}
kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是 2或-3 ．
B. {x|-3<x<1} C. {x|-3≤x≤1}
解：A是直线y=-3x-2去掉点(-1，1)后所有点的集
D.{x|x≤-3或x≥1}
合，B是直线y=kx+3所有点的集合，∵A∩B=∅，∴
解：∵|x+1|≥2，∴x+1≥2 或x+1≤-2，
两直线的位置关系是平行，或直线y=kx+3过点(-1，
∴x≥1或x≤-3，∴不等式|x+1|≥2的解集为{x|x
1)，若两直线平行，则有k=-3，若直线y=kx+3过点
≥1或x≤-3}．故选：D．
(-1，1)，则有1=-k+3，得k=2综上，k值是2或-3
[练3](2021 秋• 西城区校级期中 ) 设 x ∈ R，则
[练8]若命题“∀x∈R，|x-2|>kx+1”为真，则k的
1 1
“x- 2 < 2 ”是“x<1”的 ( A ) 条件 取值范围 [-1，- 2 1 )
A.充分而不必要
解：作出y=|x-2|，y=kx+1的
B. 必要而不充分
图象，直线y=kx+1恒过定点(0，
C. 充要 1
1)，结合图象可知k∈[-1，- )．
D.既不充分也不必要 2
解：x- 1 < 1 ，即- 1 <x- 1 < 1 ，得0<x<1，∵(0，1) [练9]作出下列函数的图像
2 2 2 2 2
⊊(-∞，1)，∴“x- 1 < 1 ”是“x<1”的充分不必要条件． (1)画出函数f(x)=|2x+4|-3的图像
2 2
(2)画出函数f(x)=2|x-1|+2的图像
[练4](2017春•钦南区校级期中)若关于x的不等式
解：函数图像如下：
|x-1|+x≤a无解，则实数a的取值范围是 ( A )
f(x)=|2x+4|-3 f(x)=2|x-1|+2
A.(-∞,1) B. (∞，1] y y
C. (1,+∞) D.[1，+∞)
x=-2
2x-1, x≥1
解：令y=x+|x-1|= ，∴函数的最小
1, x<1
值为1，∴要使关于x的不等式x+|x-1|≤a无解， x
2
实数a的取值范围为a<1．故选：A．
-3
[练5](2022•连云港二模)若不等式|x-1|<a的一个 x=1 x
充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是 ( D ) [练10]已知函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)．
A.a>0 B. a≥0 C. a>1 D.a≥1
(1)若f(a)=3，求实数a的值；
解：由不等式|x-1|<a，可得-a+1<x<a+1，(a<
(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围；
0不合题意)，要使得0<x<1是-a+1<x<a+1的
一个充分条件，则满足
-a+1≤0 ，解得a≥1． (3)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0
a+1≥1
时，g(x)=f(x)，求g(x)的解析式．
[练6](2018秋•碑林区校级月考)集合P={x|x∈R，
解：(1)若f(a)=3，则f(a)=2|a-2|+a2=3，a≥2时，
|x-1|<1}，Q={x|x∈R，|x-a|≤1}，且P∩Q= a2+2a-7=0，解得：a=-1±2 2，不合题意，舍，a<
2时，a2-2a+1=0，解得：a=1，综上：a=1；
∅，则实数a取值范围为 ( C )
( 2 ) ∵ f ( x ) = 2 | x - 2 | + ax ，∴ f ( x ) =
A.a≥3 B. a≤-1．
(a+2)x-4, x≥2
C. a≤-1或a≥3 D.-1≤a≤3 ，又函数f(x)=2|x-2|+ax(x∈R)
(a-2)x+4, x<2
解：由P={x|x∈R，|x-1|<1}={x|0<x<2}， 有最小值，∴-2≤a≤2，即-2≤a≤2f(x)有最小值；
由|x-a|≤1得-1≤x-a≤1，即a-1≤x≤a+1． (3)∵g(x)为R上的奇函数，∴g(-0)=-g(0)，得g(0)=
0，设x>0，则-x<0，由g(x) 为奇函数，得g(x)=-g
如图 (a-2)x+4, x<0
(-x)=(a-2)x-4，∴g(x)= 0, x=0．
由图可知a+1≤0或a-1≥2，所以a≤-1或a≥3．
(a-2)x-4, x>0
61模模块块二二 多多绝绝对对值值和和差差函函数数
课堂精讲
通过前面的学习，我们知道了f(x)=kx+n
62
是
一次函数经过翻折变换以后得到的。初中阶段我们
就知道了一元一次的问题可以借助数轴分析，现在我
们重新从另外一个角度来认识绝对值函数。函数f(x)
=x-n 的几何意义是：数轴上任意一点到数n对应
的点的距离，由几何意义出发，我们可以知道：
①动点运动到n的位置时，距离最小，f(x) =0;
min
②动点到n的距离是对称的，∴f(x)是对称函数
由上面的背景出发：对于多绝对值函数的和差问
题，我们任然可以借助数轴分析。思考：动点到两点
甚至更多点的距离和和距离差有什么样的性质。
1．盆函数f(x)=x-a +x-b
由于其独特的函数外形，我们将函数f(x)=
x-a +x-b 称之为盆函数.
f(x)=x-a +x-b
-2x+a+b, x<a
= b-a, a≤x≤b
2x-a-b, x>b
a b x
f(x)=x-a +x-b
正方形
a+b
函数性质：①函数是对称函数，对称轴为x= 2
②当x∈a,b
2.盆函数的变换
通过上面对盆函数的分析，我们可以知道：对于
多绝对值的问题，分析方法采用的是去绝对值的原
理，将绝对值函数拆分为分段函数研究。
对于函数f(x)=mx-a
时，有:f(x) =b-a(b>a) min
+nx-b 我们也可以
采用去绝对值的原理来研究，但是去绝对值过于浪费
时间，由此我们可以直接记住函数的结论：
当f(x)=mx-a +nx-b 时，
a b
①f(x)的最小值在x = 或x = 处取得，将
1 m 2 n
二者代入解析式，谁小谁就时函数的最小值。
②变换后的函数不再具备对称性。
例5(2021秋•上高县月考)若关于x的不等式|x-
2|+|2x+3|>a对任意x∈R恒成立，则a的取值
范围为 ( B )
7
A.(-∞,7) B. -∞,
2
7
C. [0，7) D. 0,
2
解：令f(x)=|x-2|+|2x+3|，由讲解的知识可知：
3 7
当x=- 时，f(x)= ，当x=2时，f(x)=7，
2 2
7
综上所述，f(x) = ，∵不等式|x-2|+|2x+3|>a min 2
7
对任意x∈R恒成立，∴a<f(x) = ，
min 2
7
故a的取值范围为-∞,
2
．故选：B．
2.绝对值的差函数
解析式 f(x)=x-a -x-b
a>b a<b
y y
图 象 a
a
b x
b x
a+b a+b
对称性 函数关于( ,f( ))对称
2 2
当x=a时，有最小值f(a)=-a-b 最 值
当x=b时，有最大值f(b)=a-b 例6(2021秋•金东区期中)已知f(x)=|x-4|-|x+
2|，若f(a+1)<f(2a)，则a的取值范围是 ( D )
A.[-1，1] B. [-1，3]
C. (1,3) D.(-3,1)
6, x≤-2
解：f(x)= -2x+2, -2<x<4
-6, x≥4
的图象，如下图：由图，可知 f(a+
2a≤-2
1)<f(2a)得 -3<a
a+1>-2
-2<2a<4
≤-1或
-1<a<1
2a<a+1
∴-3<a<1，∴a的取值范围为(-3,1)．
随堂练习
[练11]若关于x的不等式|x+1|+|x-2|<a的解集
不是空集，则实数a的取值范围是 ( B )
A.[3，+∞) B. (3,+∞)
C. [1，+∞) D.(1,+∞)
解：显然f(x) =3．问题转化为关于x的不等式f(x)<a的
min
解集不是空集，∴a>f(x) =3，∴a的取值范围为(3,+∞)，
min
[练12](2021春•郑州期末)若关于x的不等式|x-
3|+|x+a|<5有解，则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞，-8)∪(2，+∞) B. (-8,2)
C. (-∞，-2)∪(8，+∞) D.(-2,8)
解：∵|x-3|+|x+a|≥|a+3|，∴若不等式|x-3|+|x+a|<5 有解，只需|a+3|<5，∴-8<a<2，a的取值为(-8,2)．
[练13]已知函数f(x)=|x-m|+|x+3|．
(1)当m=1时，求不等式f(x)≥6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≤2m-5有解，求实
数m的取值范围．
解：(1)对于函数f(x)=|x-m|+|x+3|，当m=1时，不等式f
(x)≥6，即|x-1|+|x+3|≥6．
根据绝对值的意义，|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到1
和-3对应点距离之和，而-4、2对应点到1和-3对应点距离
之和正好等于6，故|x-1|+|x+3|≥6 的解集为{x|x≤-4或
x≥2}．
(2)关于x的不等式f(x)≤2m-5有解，即|x-1|+|x+3|≤
2m-5能成立，故2m-5大于或等于|x-1|+|x+3|的最小
值．而|x-1|+|x+3|的最小值为4，∴2m-5≥4，求得m≥
9 9
2
，故实数m的取值范围为
2
，+∞
63
[练14](2022•自贡模拟)已知函数f(x)=|x+a|+|x
-b|(a，b∈R+)．
(1)当a=1，b=2时，求不等式f(x)<5的解集；
1 2
(2)若y=f(x)最小值为3，求 + 的最小值．
a b
解：(1)当a=1，b=2时，不等式 f(x)<5化为|x+
1|+|x-2|<5，即
x<-1 ①，
-x-1+2-x<5
或-1≤x≤2 ②，或x>2
③．
x+1+2-x<5 x+1+x-2<5
解①得-2<x<-1，解②得-1≤x≤2，解③得2<x
<3，∴不等式f(x)<4的解集为{x|-2<x<3}；
(2)证明：f(x)=|x+a|+|x-b|≥|(x+a)-(x-b)|=
|a+b|=a+b(当且仅当x+a与x-b不同号时取等)，
故a+b=3，又a，b∈R+，
1 2 1 1 2
∴ + = +
a b 3 a b
．
1 b 2a
(a+b)= 3+ +
3 a b
≥
1 b 2a
3+2 ⋅
3 a b
1
= (3+2 2)．
3
b 2a
当且仅当 = ，即a=3( 2-1)，b=3(2- 2)时等
a b
号成立．
1 2 1
∴ + 的最小值为 (3+2 2)．
a b 3
[练15](2021秋•上高县校级月考)已知函数 f(x)=
|3x+1|-2|x-1|．
(1)求f(x)>1的解集；
(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．
解：( 1 ) 函 数 f ( x ) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 | =
x+3, (x≥1)
1 5x-1, - ≤x<1 3
1
-x-3, x<- 3
，则 f(x)>1⇔ x≥1 或
x+3>1
1 1
- ≤x<1 x<-
3 或 3 ，
5x-1>1 -x-3>1
2
解得x≥1或 <x<1或x<-4．
5
2
∴f(x)>1的解集为{x|x<-4或x> }；
5
(2)由于f(x+1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了
一个单位所得，(如图所示)．
y=5x-1向左平移一个单位
后表示为y=5(x+1)-1=5x
+4，联立
y=-x-3 ，解得横
y=5x+4
7
坐标为x=- ，∴不等式)的
6
7 解集为{xx<-
6
．[巩固13](2022 春• 兴庆区校级期中 ) 不等式 |x -
课后提升
1|+|x+3|≥6的解集是 (-∞,-4]∪[2，+∞) ．
[巩固9](2021秋•于都县校级月考)绝对值不等式|x
解：解：由于|x+3|+|x-1|表示数轴上的x对应点到
-3|<4的解集为 ( C )
-3、1对应点的距离之和，而-4和2对应点到-3、1
A.(-∞,-1) 对应点的距离之和正好等于6，故等式|x+3|+|x-1|
≥6的解集是(-∞，-4]∪[2，+∞)，
B. (7,+∞)
[巩固14](2021秋•虎丘区校级月考)若“x2-x-6≤
C. (-1,7)
0”是“|x-1|≤m(m>0)”的必要不充分条件，则正实
D.(-∞，-1)∪(7，+∞)
数m的取值范围是 (0，2] ．
解：|x-3|<4，即-4<x-3<4，解得-1<x<7，
故绝对值不等式|x-3|<4的解集为(-1,7)． 解：x2-x-6≤0⇔-2≤x≤3，|x-1|≤m(m>0)
⇔1-m≤x≤1+m，若“x2-x-6≤0”是“|x-1|≤
[巩固10](2021秋•宝安区期末)若p:|x-2|≤3，则p
1-m≥-2
成立的一个充分不必要条件是 ( C )
m(m>0)”的必要不充分条件，得
1+m≤3
(其中
等号不同时取得)，解得m≤2，
A.-1≤x≤6 B. -2≤x≤5
[巩固15](2022春•华州区)已知函数f(x)=|x+1|．
C. -1<x≤5 D.0≤x≤6
解：由|x-2|≤3，得-3≤x-2≤3，∴-1≤x≤5，
(1)求f(x)≥3的解集；
即不等式的等价条件是[-1，5]，则p成立的充分不必 (2)若g(x)=f(x)+|x-2|，求g(x)的最小值．
要条件是[-1，5]的真子集，则-1<x≤5满足条件．
解：(1)f(x)≥3⇔|x+1|≥3，
[巩固11](2021春•中牟县期中)若关于x的不等式|x 即x+1≤-3或x+1≥3，∴x≤-4或x≥2，
-1|+|x+2|<a在R上无解，则 ( D ) ∴f(x)≥3的解集为{x|x≤-4或x≥2}；
A.a≤1 B. a<1 C. a<3 D.a≤3
(2)g(x)=f(x)+|x-2|=|x+1|+|x-2|，
其几何意义为x轴上的动点到两定点-1，2的距离
解：|x-1|+|x+2|表述数轴上的x对应点到1、-2对
应点的距离之和，它的最小值为3，再根据关于x的不 和，g(x)的最小值为2-(-1)=3．
等式|x-1|+|x+2|<a在R上无解，可得a≤3，
[巩固12](2022春•未央区校级期中)关于x的不等式 [巩固16](2021秋•渭南月考)
x2+|2x+m|≤4在x∈[0，+∞)有解，则实数m的取 已知函数f(x)=|3x-1|+|3x+2|．
值范围是 ( B ) (1)求不等式f(x)≥5的解集；
A.[-5，5] B. [-5，4] (2)若关于x的方程f(x)+t2-4t=0有实数解，
C. [-4，5] D.[4，5] 求实数t的取值范围．
解：原不等式可变形为|2x+m|≤4-x2，作出函数f
解：(1)f(x)≥5⇔|3x-1|+|3x+2|≥5
2 2 1 1
(x)=|2x+m|与g(x)=4-x2的图象，由题意，在x≥ x<- - ≤x≤ x>
⇔ 3 ，或 3 3 或 3 ，
0时，至少有一点满足 -6x-1≥5 3≥5 6x+1≥5
f(x) ≤ g(x)，当 y = 2
解得x≤-1或x≥ ．
3
-2x-m与g(x)=4
2
-x2相切时，-2x- ∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪ 3 ,+∞
m = 4 - x2，即 x2-
2x - 4 - m = 0，由
△=4+4(4+m)=
0，得m=-5，当y=2x+m过点M(0,4)时，m=4．
64
．
(2)∵|3x-1|+|3x+2|≥|3x-1-3x-2|=3∴f(x)≥3
∵f(x)+t2-4t=0有实数解，
∴f(x)=-t2+4t有实数解，则-t2+4t≥3，
即t2-4t+3≤0，解得1≤t≤3，∴t的范围[1，3]．[巩固17](2021秋•昆明)已知f(x)=|x-2|+|x-3|．
(1)解不等式f(x)≥3；
1
(2)记f(x)的最小值为m，若a，b都是正数，且
a
2
+ =m，证明：a+2b≥9．
b
解：(1) 因为函数 f (x) = |x - 2|+|x - 3| =
2x-5, x>3
1, 2≤x≤3，
-2x+5, x<2
x<2 2≤x≤3
不等式 f(x)≥3等价于
或
-2x+5≥3 1≥3
x>3
或 ，
2x-5≥3
解得x≤1或无解或x≥4；
所以不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}；
(2)证明：因为f(x)=|x-2|+|x-3|≥|(x-2)-(x-
3)|=1，
所以f(x)的最小值为m=1，
1 2
所以 + =m=1，
a b
1 2
所以a+2b=(a+2b) +
a b
65
[巩固18](2021秋•江阴市校级月考)已知函数f(x)=
|x-a|+|x+2|(a∈R)．
(1)当a=-1时，解不等式f(x)>3x；
(2)已知a>0，b>0，f(x)的最小值为m，且m
1 a
+b=4，求 + 的最小值．
a b+1
解：(1) 由题可得 f (x) = |x + 1|+|x + 2| =
-2x-3,x<-2
1⋅-2≤x≤-1 ，
2x+3,x>-1
令g(x)=3x，作出函数f(x)、g(x)的图象，如右图：
观察图象：两函数图象有一个交点(3,9)，
所以不等式f(x)>3x的解集为(-∞,9)；
(2)根据绝对值三角不等式，
有f(x)=|x-a|+|x+2|≥|x-a-(x+2)|=|a+2|
∵a>0，
∴f(x)≥|a+2|=a+2当且仅当-2≤x≤a时取等
号，
∴f(x) =a+2=m，即a+b=2，
min
2a 2b
= + +5≥ ∴a+(b+1)=3，
b a
∵a>0，b>0，
2a 2b
2 ⋅ +5=9，
b a 1 a 3 a a+(b+1) a
所以 + = + = +
2a 2b a b+1 3a b+1 3a b+1
当且仅当 = ，即a=b=3时等号成立．
b a 1 b+1 a 1 1 1+2 3
= + + ≥ +2 = ，
3 3a b+1 3 3 3
b+1 a
当且仅当 = ，即b+1= 3a，又a+b=2，
3a b+1
3 3-3 7-3 3
即a= ，b= 时取等号，
2 2
1 a 1+2 3
所以 + 的最小值为 ．
a b+1 3第第十十二二讲讲 反反比比例例函函数数与与一一次次分分式式函函数数
模模块块一一 反反比比例例函函数数的的平平移移变变换换
课堂精讲
1.反比例函数图象性质
解析式 f(x)= k
x
k>0 k<0
y y
k
f(x)=
k x
f(x)= 图 像 x
x x
当x>0时，y随x 当x>0时，y随x的
增减性
的增大而减小； 增大而增大；
当x<0时，y随x 当x<0时，y随x的
的增大而减小； 增大而增大；
2.反比例函数的平移变换
k
y= k>0 x
66
3.一次分式函数
cx+d
形如f(x)= 这样的函数称为一次分式函数
ax+b
该类型函数的研究方法：分离常数法。
① 在函数的分子上配出分母的形式：
c
ax+b
a
f(x)=
图像向右平移a个单位，向上平移
k
b个单位可以转化为y= +b
x-a
k
f(x)= +b
x-a
y
y
k
f(x)=
x
平移变换 y=b
x
x
x=a
k 反比例函数y= 具有两条渐近线：x=0，y=
x
0，所以在研究反比例函数的平移变换时，要考虑到
渐近线位置的改变。
cb
+d-
a
ax+b
cb
d-
c a
② 列项：f(x)= + .
a ax+b
cb c
③ 令k=d- ，t= ，则函数
a a
k f(x)=t+ ,其图像如下：
ax+b
y
cx+d
f(x)=
ax+b
c
y=
a
x
b
x=-
a
cx+d
④ 由图可得f(x)= 的性质：
ax+b
b
f(x)定义域-∞,-
a
b
、- ,+∞
a
c
f(x)值域-∞,
a
c
、 ,+∞
a
b f(x)在-∞,-
a
b 、- ,+∞
a
上单调递减.
注：一次分式简记：x前面的系数作比，再去掉是函数
的值域。分母不为0可以解出定义域和单调区间。
2x-3
例1(2022•3月模拟)函数f(x)= 值域 ( D )
3x+1
1
A. -∞,
3
1
∪ ,+∞
3
3
B. -∞,
2
3
∪ ,+∞
2
1
C. -∞,-
3
1
∪- ,+∞
3
2
D. -∞,
3
2
∪ ,+∞
3
1
2x+
2x-3 3
解：f(x)= =
3x+1
11
-
3
1
3x+
3
2 11
= - ，
3 3(3x+1)
11 2
由于 ≠0，∴f(x)的值域为 f(x)f(x)≠
3(3x+1) 3
，
2x
例2 已知函数f(x)= ． [练2]已知函数fx
x-1
(1)求f(x)的定义域、值域及单调区间；
(2)判断并证明函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)
上的单调性．
(3)g(x)是定义在(-∞,0)上的函数，不等式g(t-
1)<g(-t)恒成立，求t的取值范围。
解：(1)由x-1≠0，得x≠1，所以 f(x)的定义域为
2x 2(x-1)+2
(-∞，1)∪(1，+∞)，由f(x)= = =2
x-1 x-1
2
+ ≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，
x-1
f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)
(2)g(x)在(0,1)上是减函数，证明如下：
任设x <x <0，∵g(x)-g(x)
1 2 1 2
2x2 2x2 2x2(x -1)-2x2(x -1) = 1 - 2 = 1 2 2 1
x -1 x -1 (x -1)(x -1) 1 2 1 2
2(x -x)(xx -x -x)
= 1 2 1 2 1 2
(x -1)(x -1)
1 2
2(x -x)[xx -(x +x)]
= 1 2 1 2 1 2
(x -1)(x -1)
1 2
∵x <x <0，∴x -x <0，x -1<0，x -1<0，
1 2 1 2 1 2
xx >0，-(x +x)>0，
1 2 1 2
∴xx -(x +x)>0，
1 2 1 2
∴g(x)-g(x)<0，g(x)<g(x)，
1 2 1 2
∴函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数
（3）∵函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0)上是递增函数，
t-1<0
∴g(t-1)<g(-t)⇒ -t<0 ，
t-1<-t
1 1 解得：0<t< ，即不等式的解集为(0， )．
2 2
随堂练习
k
[练1]“函数y= 在(0，+∞)上是减函数”是“函数y
x
=kx在R上是增函数”的 ( C )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
k
解：∵y= 在(0，+∞)上是减函数，∴k>0，∴y=kx
x
在R上是增函数，是充分条件；若y=kx在R上是增函
k
数，k>0⇒y= 在(0，+∞)上是减函数，是必要条件
x
67
2x
= ，则fx
x-1
在区间2,6 上
的最大值为 ( C )
12
A. B. 3 C. 4 D.5
5
解：∵fx
2
=2+ 在2,6 x-1 单减，∴fx max =f2 =4
a
[练3]函数y=-|x-a|与y= 在区间[1，2]上
x+1
都是严格减函数，则a的取值范围为 ( D )
A.(-∞，0) B. (-1，0)∪(0，1]
C. (0，1) D.(0，1]
a
解：∵y=-|x-a|与y= 在区间[1，2]上都是严
x+1
a≤1
格减函数∴
,故0<a≤1．
a>0
x-1
[练4](2022春•增城区期末)已知函数f(x)= ，
x+1
则函数中为奇函数的是 ( B )
A. f(x-1)+1 B. f(x-1)-1
C. f(x+1)+1 D. f(x+1)-1
x-1 x-2 2
解：f(x)= ，得f(x-1)+1= +1=2- 不为奇
x+1 x x
x-2 2
函数；f(x-1)-1= -1=- 为奇函数；f(x+1)+1=
x x
x 2x+2 -2
+1= 不为奇函数；f(x+1)-1= 不为奇
x+2 x+2 x+2
x+1 [练5](2021秋•青山区校级月考)已知函数f
x-1
的定义域为(-2,0)，则f(2x-1)的定义域为 ( C )
1 1
A. - ，
2 2
B. (-5,-1)
2
C. 0,
3
1
D. -3,-
3
x+1
解：∵f
x-1
x+1
的定义域为(-2,0)，即-2<x<0，∴
x-1
x-1+2 2 1
= =1+ ∈-1,
x-1 x-1 3
1
，再由-1<2x-1< ，得
3
2 2
0<x< ．∴f(2x-1)定义域为0,
3 3
[练6]在平面直角坐标系中分别作出函数 f(x)=2+
6 8
和f(x)=-2- 的图像。
x-1 x-2
解：函数图像如下图所示：2x-3
[练7](2021秋•贵阳期末)函数y=f(x)是(-∞，0)∪ [练9](2021秋•贵池区期中)函数f(x)= ．
x+2
3
(0，+∞)上的偶函数，当x<0时，f(x)=- +1． (1)求f(-a)+f(a-4)的值；
x
(1)用单调性定义证明函数y= f(x)在(-∞,0) (2)利用单调性的定义证明：函数 f(x)在(-2
上单调递增； ,+∞)上单调递增．
(2)求当x>0时，函数f(x)的解析式． 解：(1)依题意，f(-a)= -2a-3 ，f(a-4)= 2a-11 ，
-a+2 a-2
3
解：(1)证明：当x<0时，f(x)=-
x
+1，
故f(-a)+f(a-4)=
-2a-3
+
2a-11
-a+2 a-2
设x 1 <x 2 <0，则f(x 1 )-f(x 2 )= x 3 2 - x 3 1 = 3(x x 1 1 - x 2 x 2 ) <0 = 2 a a - + 2 3 + 2 a a - - 2 11 = 4 a a - - 2 8 =4．
所以f(x 1 )<f(x 2 )， (2)证明：依题意，f(x)= 2x-3 = 2x+4-7 =2-
x+2 x+2
7
所以y=f(x)在(-∞,0)上单调递增； ，任取x ，x ∈(-2,+∞)，其中x <x ，
x+2 1 2 1 2
7 7
(2)当x>0，-x<0， 则f(x)-f(x)=2- -2+
1 2 x +2 x +2
1 2
3 7(x -x)
因为x<0时，f(x)=- +1， = 1 2 <0，
x
(x +2)(x +2)
1 2
3 3
f(-x)=- +1=1+ =f(x)，
-x x 故f(x)<f(x)，即函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增．
1 2
3
故x>0时，f(x)= +1．
x [练10](2021秋•城厢区校级期中)已知函数f(x)是定
ax+1
[练8](2021秋•长宁区期末)已知函数y= ． 义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)=1，当-4<x≤0
x+2
ax+b
(1)若a=1，请研究函数y=
x+1
的定义域、值
时，有f(x)=
x+4
．
x+2
域、奇偶性、单调性，并做出大概图像； (1)求实数a，b的值；
(2)是否存在a，使得该函数在区间[1，+∞)上是 (2)求函数f(x)在区间(0,4)上的解析式；
严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合 (3)若f(2x-1)+f(x-2)≤0，求x的取值范围．
条件的a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)函数f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)
ax+b
x+1 1 =1，当-4<x≤0时，有f(x)= ，
解：(1)a=1时，y= =1- ，由x+2≠0得，x≠ x+4
x+2 x+2
-2，即函数的定义 y 则 f(0)=0 ，解得 a=1 ，所以a=1，b=0，
f(-2)=-1 b=0
x
域{x|x≠-2}，值 经检验，函数f(x)= 符合题意，故a=1，b=0；
x+4
x
域{y|y≠1}，函数 (2)由(1)可知，当x∈(-4,0)时，f(x)= ，
x+4
的图像关于原点不 当x∈(0,4)时，-x∈(-4,0)，
-x x
x 则f(x)=-f(-x)=- = ，
对称，关于y轴不对 -x+4 -x+4
x
称，即不是奇函数，
故f(x)=- ，x∈(0,4)；
x-4
x 4
也不是偶函数，由 (3)因为f(x)=- =-1- 在x∈(0,4)时为
x-4 x-4
函数图像可知y=
单调递增，又f(x)为奇函数且连续，
则函数f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，
x+1
在(-∞,-2)，(-2,+∞)上单调递增，
x+2 所以不等式f(2x-1)+f(x-2)≥0可变形为f(2x-1)
(2)y= ax+1 = a(x+2)+1-2a =a+ 1-2a ， ≥-f(x-2)，因为f(x)为奇函数，所以f(2x-1)≥f(2-
x+2 x+2 x+2
x)，又f(x)在定义域(-4,4)上为增函数，
1-2a<0
由题得， a+ 3 1 <0，得a不存在，不存在满足题意的a 2x-1≥2-x 5
a>0
则-4≤2x-1≤4，解得1≤x≤
2
，
-4≤x-2≤4
68模模块块二二 反反比比例例函函数数的的翻翻折折变变换换
课堂精讲
① 函数y=f(x
69
)的图象是函数y=f(x)将x>
0以后的图象保留，并且将x>0的图象对称翻折到
x<0的区间上形成的图象。
② 函数y=f(x) 的图象是函数y=f(x)将x
轴上方的图象保留，将x轴下方的图象对称翻折到x
轴上方形成的图象。
1.反比例函数的翻折变换
y
k f(x
f(x)=
x
翻折变换
x
k )=
x
y
k>0
x
y
k f(x) f(x)=
x
翻折变换
x
k = x y
k>0
x
2.一次分式的翻折变换
k
f(x)= +b f(x
x-a
y y
y=b
x x
x=a
k
)=
x
+b
-a
对称翻折
y=b
x=a
k
f(x)= +b f(x)
x-a
y y
y=b
x x
x=a
k
= +b
x-a
随堂练习
x-1
[练11]画出 f(x)=
x+1
y=b
x=a
的图象，并且求出函数在
1,+∞ 上的值域。
y
1
1 x
解：
3
[练12](2021•桂林期末改编)函数f(x)=1-
x +2
(1)用定义证明函数f(x)在[3，5]上单调递增；
(2)在坐标系中画出函数 f(x)的草图，并求函数
的值域。
解：(1)证明：任取x ，x ∈[3，5]且x <x ，
1 2 1 2
3
f(x)-f(x )=1- 1 2 x +2 1
3
-1- x +2 2
3(x -x )
= 1 2 ．
(x +2)(x +2)
1 2
∵x ，x ∈[3，5]且x <x ，∴x -x <0，x +2>0，
1 2 1 2 1 2 1
x +2>0．
2
∴f(x)-f(x )<0，即f(x)<f(x )．
1 2 1 2
3
∴函数f(x)=1- 在[3，5]上为增函数．
x+2
(2)函数草图如下图所示，
1
由图可知：f(x) =f(0)=- ．
min 2
f(x)受到渐近线y=1的约束，
1
∴f(x)的值域是 - ,1
2
y
x课后提升
[巩固1](2020秋•浉河区校级月考)若函数f(x)满足f
x+3
(x)= ，则f(x)在[1，+∞)上的值域为 ( D )
x+2
4 A.(-∞，1] B. 0，
3
70
4
C. -∞，
3
4
D. 1，
3
x+3 1 1 解：f(x)= =1+ ，∵y= 在[1， x+2 x+2 x+2
1 1
+∞)上单调递减，∴y= ∈0,
x+2 3
．
1 4
∴1+ ∈1,
x+2 3
4
，∴f(x)的值域为1,
3
1-x
[巩固2](2021秋•威海期末)设函数f(x)= ，则
1+x
下列函数的图像关于原点对称的是 ( A )
A.y=f(x-1)+1 B. y=f(x-1)-1
C. y=f(x+1)+1 D.y=f(x+1)-1
1-x 1-x+1
解：函数f(x)= ，可得y=f(x-1)+1= +1=
1+x 1+x-1
2
为奇函数，其图像关于原点对称，故A正确；y=f(x-1)-1
x
2
= -2不是奇函数，其图像不关于原点对称，故B错误；y=f
x
1-x-1 x 2
(x+1)+1= +1=1- = 不是奇函数，
1+x+1 x+2 x+2
其图像不关于原点对称，故 C错误；y= f(x+1)-1=
1-x-1 x 2
-1=-1- =-2+ 不是奇函数，其图像
1+x+1 x+2 x+2
不关于原点对称，故D错误．故选：A．
[巩固3]请作出以下函数的图象
2x+1 2x+1
f(x)= f(x)=
x-2 x-2
2x
f(x)=
+1
x -2
y
x
解：
2x+1 黄红组合为f(x)= ，黄蓝组合为 f(x)=
x-2
2x+1
x-2
2x
，黄紫组合为 f(x)=
+1
x
2x
[巩固4]已知函数f(x)= ．
x-1
(1)分别作出y=f(x)y=f(x
-2
)y=f(x) 的图像；
(2)求f(x)的定义域、值域及单调区间。
2x 2(x-1)+2 2
解：(1)由f(x)= = =2+ x-1 x-1 x-1
可得y=f(x)、y=f(x )、y=f(x) 的图像分别如下：
y 2x f(x)= x-1 f(x)
2
O 1 x
= 2x x-1 y
2
O 1 x
f(x )= 2x x y -1
2
O
-1 1 x
（2）由x-1≠0，得x≠1，∴f(x)的定义域为(-∞，1)
2x 2(x-1)+2
∪ (1，+∞)，由 f(x) = = = 2 +
x-1 x-1
2
≠2，得f(x)的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)，
x-1
f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和(1,+∞)
[巩固5](2021秋•东莞市月考)已知函数f(x)是定义
4x
在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)= ．
x+4
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)证明：函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．
解：(1)f(x)是定义在R上的偶函数，得f(-x)=f(x)，
4x
当x≥0时，f(x)= ，
x+4
4x 4x
当x<0时，-x>0，f(-x)=- = =f(x)，
4-x x-4
4x
x-4 , x<0
∴f(x)= ；
4x
, x≥0
x+4
4x
(2)证明：设x <x <0，f(x )- f(x )= 1 -
1 2 1 2 x -4
1
4x 16(x -x)
2 = 2 1 ，
x -4 (x -4)(x -4))
2 1 2
由x <x <0，可得x -x >0，x -4<0，x -4<0， 1 2 2 1 1 2
所以f(x)-f(x )>0，即，f(x)>f(x )，
1 2 1 2
所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．2x-3
[巩固6]已知函数y= ．
x+1
(1)作出这个函数的大致图象；
2x-3
(2)讨论关于x的方程 =t的根的个数。
x+1
2x-3 5
解：(1)∵y= =2- ，
x+1 x+1
5
首先将y=- 的图象向左平移1个单位，再向上平
x
5
移2个单位，得到y=2- 的图象
x+1
5
最后将y=2- 的图象在x轴下方的部分翻折
x+1
2x-3
到x轴上方便可得到y= 的图象；
x+1
2x-3
(2)当t<0时，方程 =t的根的个数为0；
x+1
2x-3
当t=0或t=2时， =t的根的个数为1；
x+1
2x-3
当0<t<2或t>2时， =t根个数为2．
x+1
2x
[巩固7](2021•石景山期末)已知函数f(x)= ．
x+1
(1)用定义证明f(x)在(1,+∞)上单调递增；
(2)对任意x∈[2，4]都有f(x)≤m成立，求实
数m的取值范围．
解：(1)证明：任取1<x <x ，
1 2 2x 2x
则f(x)-f(x )= 1 - 2
1 2 x +1 x +1
1 2
2(x -x )
= 1 2 ，
(x +1)(x +1)
1 2
∵1<x <x ，
1 2
∴x -x <0，x +1>0，x +1>0，
1 2 1 2
∴f(x)-f(x )<0，即f(x)<f(x )． 1 2 1 2
∴函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；
(2)解：∵函数f(x)在[2，4]内为增函数，
2×4 8
∴f(x)在[2，4]内的最大值为f(4)= = ，
4+1 5
∵f(x)≤m在[2，4]上恒成立，
8
∴m≥ ，
5
8
即实数m的取值范围为 ，+∞
5
71
1-x
[巩固8](2021秋•陇县期末)已知f
x
．
=1-x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在[0，+∞)上的单调性，并用
定义法加以证明．
1-x
解：(1)根据题意，f
x
1-x
=1-x，设t= =
x
1 1 1
-1，则x= ，则有f(t)=1- ，
x t+1 t+1
1
则f(x)=1- ，定义域(-∞，-1)∪(-1，+∞)；
x+1
1
(2)由(1)的结论，f(x)=1- ，在[0，+∞)上为
x+1
增函数，
1
设 0 ≤ x ≤ x ，则 f(x ) - f(x ) = 1-
1 2 1 2 x +1
1
-
1
1-
x +1
2
y
2
-1 O 3 x
2
x -x
= 1 2 ，
(1+x)(1+x )
1 2
又由0≤x ≤x ，则x +1>0，x +1>0，x -x <0，
1 2 1 2 1 2
则f(x)-f(x )<0，
1 2
即函数f(x)在[0，+∞)上为增函数．
[巩固9] 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当
x-1
x∈(0,+∞)时，f(x)= ．
x+1
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性，并用单
调性的定义证明你的结论；
(3)解不等式f(t2-t+1)≤f(|t|)．
解：(1)∵定义在R上的f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，
x-1
因为当x∈(0,+∞)时，f(x)= ，
x+1
-x-1 x+1
设x<0，则-x>0，f(x)=-f(-x)=- =- ，
-x+1 x-1
x x - +1 1 , x>0
又f(0)=0，故f(x)=0, x=0，
x+1
- x-1 , x<0
x+1 2
(2)当x<0时，f(x)=- =-1- 单调递增，理由
x-1 x-1
如下：设x <x <0，
1 2
则f(x)-f(x)= 2 - 2 = 2(x 1 -x 2 ) <0， 1 2 x -1 x -1 (x -1)(x -1) 2 1 2 1
所以f(x)<f(x)，
1 2
所以f(x)在(-∞,0)上的单调递增，
(3)因为t2-t+1>0，|t|≥0，
当t=0时，f(t2-t+1)=f(1)=0，f(|t|)=f(0)=0，满足f(t2
-t+1)≤f(|t|)，
当t>0时，由f(t2-t+1)≤f(|t|)=f(t)，可得，t2-t+1≤t，
此时t=1，
当t<0时，由f(t2-t+1)≤f(|t|)=f(-t)可得，t2-t+1≤
-t，此时t不存在，综上，t=1或t=0．第第十十三三讲讲 对对勾勾函函数数和和二二次次分分式式型型函函数数
模模块块一一 对对勾勾函函数数
课堂精讲
通过前面对基本不等式的学习，我们了解了求
b
“ax+ (a,b>0)”最值的方法，但是均值不等式由
x
于其应用条件的局限性，对于我们解决函数最值带
来了极大的瓶颈。今天我们将在初中的正比例与反
b
比例函数基础上，学习新函数f(x)=ax+ 。由于
x
独特的外形被我们称之为“对勾函数(双勾函数)”。
大家可以思考正比例与反比例的叠加函数会呈
现什么样的性质？（极限思想的初等介绍了了解）
1.对勾函数的图象性质
b
解析式 f(x)=ax+
x
a>0,b>0 a<0,b<0
y y
图 像
2 ab y=ax 2 ab
x x b - b
a a
y=ax
渐近线 y轴和y=ax
定义域 -∞,0
72
∪0,+∞
值 域 yϵ-∞,-2 ab ∪2 ab,+∞
单调增 b -∞,- a
区 间
a b ,+∞ b b - ,0)(0, a a
单调减 b b - ,0)(0, a a
区 间
b -∞,- a a b ,+∞
a2
例1 已知函数f(x)=4x+ (x>0,x∈R)在x=2
x
时取得最小值，则实数a= ±4 ．
解：方法一：由题意可知：x>0，a2>0，∴f(x)=4x+
a2 a2 a2
≥2 4x× =4|a|，当且仅当4x= ，即x=
x x x
a
时取等号，又∵f(x)在x=2时取得最小值，
2
a
∴ =2，解得a=±4，故答案为：±4．
2
a2
方法二：由对勾函数f(x)=4x+ ，x>0，a2>0，当
x
a2 a2
x= 时，取最小值，则 =2，∴a=±4，
4 4
例2(2017秋•兴隆县校级月考)已知函数f(x)=px
q 5 17
+ (p，q是常数)，且满足f(1)= ，f(2)= ．
x 2 4
(1)求函数f(x)的解析式；
1
(2)若对任意的x∈0,
2
关于x的不等式f(x)≥
2-m恒成立，求实数m的取值范围．
5 17
解：(1)由f(1)= ，f(2)= 得：
2 4
5
p+q= 2 p=2 1
q 17
，解得
q=
1 ．∴f(x)=2x+
2x
．
2p+ = 2
2 4
1
(2)设0<x <x < ，
1 2 2
则f(x)-f(x )
1 2
1 1 1 =2(x -x )+ -
1 2 2 x x
1 2
1 x -x 1
=2(x -x )+ × 2 1 =(x -x )2-
1 2 2 xx 1 2 2xx
1 2 1 2
，
1 1
∵0<x <x < ，∴x -x <0，0<xx < ，
1 2 2 1 2 1 2 4
1
∴2- <0，
2xx
1 2
∴f(x)-f(x )>0，即f(x)>f(x )，
1 2 1 2
1
∴f(x)在0,
2
上单调递减，
1
∴当x∈0,
2
1
时，f(x)>f
2
=2，
1
∵对∀x∈0,
2
，关于x不等式f(x)≥2-m恒成立
∴2≥2-m，∴m≥0．
∴m的取值范围是[0，+∞)．随堂练习
[练1](2017秋•思明区校级期中)对于函数y=x+
4 1 ，当x∈ ,4
x 3
73
时，y的取值范围是 ( C )
37
A.{y4<y<
3
37
B. {y5≤y≤
3
37 C. {y4≤y≤
3
D.{y|4≤y≤5}
4 4 解：由题意x>0，故y=x+ ≥2 x⋅ =4，
x x
当且仅当x=2时“=”成立，根据对勾函数性质得：f(x)在
1
3
，2
1
递减，在(2，4]递增，而f
3
x 2
[练5](2021秋•怀柔区期末)函数f(x)= + (x>
2 x
0)的最小值是 2 ．
x 2 x 2
解：当x>0时， + ≥2 × =2， 2 x 2 x
x 2
当且仅当 = ，即x=2时取等号，
2 x
x 2
即函数f(x)= + (x>0)的最小值是2．
2 x
1
[练6](2017秋•如皋市期中)已知函数 f(x)=x+
x
(x>0)，若在[a，a+2)上有最小值和最大值，则实数
37
= >f(4)=5， a的取值范围是 (0， 2-1]．
3
12 1 1
[练2](2017秋•昌江区校级期中)已知函数y= + 解：函数f(x)=x+ ，则f′(x)=1- ，
x x x2
3x(x>0)当x=a时，y取最小值b，则a+b= ( B )
∴f(x)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数，
A.10 B. 14 C. 12 D.8
∵f(x)在[a，a+2)上有最小值和最大值，
12 12
解：∵x>0，∴y= +3x≥2 ∙3x=12，
x x 1 1
∴f(a)=a+ ，f(a+2)=a+2+ ，
12 a a+2
当且仅当 =3x即x=2时“=”成立，
x
1 1
∴a+ ≥a+2+ ，且a>0，
故a=2，b=12，a+b=14， a a+2
4
[练3](2015秋•来宾期末)若f(x)=x+ ，则下列结 即a2+2a-1≤0，且a>0得0<a≤ 2-1，
x
论正确的是 ( B )
A. f(x)的最小值为4 [练7](2016秋•辛集市校级期中)已知函数f(x)=x+
a
B. f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上单调递增 + b(x ≠ 0)，其中 a，b ∈ R．若对任意的 a ∈
x
C. f(x)的最大值为4 1 ，2
2
D. f(x)在(0,2)上单调增，在(2,+∞)上单调递减
4
解：f(x)=x+ 的定义域为{x|x≠0}，函数在定义域
x
上无最小值，A错；f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+∞)上
单调递增，故B正确；函数在定义域上无最大值，C错；f
(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调增，D错．
4
[练4]若关于x的不等式x+ ≥a2-3a对任意实数
x
x>0恒成立，则实数a的取值范围为 ( A )
A.{a|-1≤a≤4}
B. {a|a≤-2或a≥5}
C. {a|a≤-1或a≥4}
D.{a|-2≤a≤5}
4 4 解：∵x>0，∴不等式x+ ≥2 x⋅ =4，当且仅当 x x
x=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+
4
≥a2-3a对任意实数x>0恒成立，
x
可得4≥a2-3a，解得-1≤a≤4，故选：A．
1 ，不等式f(x)≤10在x∈ ，1
4
上恒成立，则
7
-∞，
b的取值范围为 4
．
解：设x ，x ∈( a，+∞)，且x <x ，
1 2 1 2
a a xx -a
f(x)-f(x)=x + -x - =(x -x)∙ 1 2 ，
2 1 2 x 1 x 2 1 xx
2 1 1 2
∵x ，x ∈( a，+∞)，且x <x ，∴x -x >0，x x >
1 2 1 2 2 1 1 2
a，∴f(x )-f(x )>0．∴f(x)在( a，+∞)上是增函
2 1
1
数．∵f(x)≤10，故x∈ ，1 4 时有f(x) ≤10， max
1
知f(x)在区间 ，1
4
1
的最大值为f
4
与f(1)中的较
1
大者．∴对于任意的a∈ ，2 2 ，不等式f(x)≤10在x
1
∈ ，1
4
1
f
上恒成立，当且仅当 4
≤10
，
f(1)≤10
39
b≤ -4a 1 即 4 对任意的a∈ 2 ，2 b≤9-a 成立．
7
从而得到b≤ ．所以满足条件的 b的取值范围是
4
7 -∞，
4
7 ．故答案为：-∞，
4
4
[练8]已知f(x)=x+ ． [练9](2017秋•武进区期中)如图，已知直线y=kx+
x
4
(1)证明：f(x)在[2，+∞)单调递增； 6-k与曲线y=2+ 在第一象限和第三象限分别
x
(2)解不等式：f(x2-2x+4)≤f(7)． 交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足
解：(1)∀x ，x ∈[2，+∞)，且x <x ，则f(x)-f(x ) 分别为M、N，记四边形AMBN的面积为S．
1 2 1 2 1 2
4 4 (x -x )(xx -4) (1)求出点A、B的坐标及实数k的取值范围；
=x + -x - = 1 2 1 2 ，
1 x 2 x xx
1 2 1 2 (2)当k取何值时，S取得最小值，并求出S的最
∵x ，x ∈[2，+∞)，∴xx -4>0，xx >0，
1 2 1 2 1 2
小值．
又∵x <x ，∴x -x <0，
1 2 1 2
y
(x -x )(xx -4)
∴ 1 2 1 2 <0，
xx A
1 2
即f(x)<f(x )，∴f(x)在[2，+∞)单调递增．
1 2
(2)∵x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，
N
∴x2-2x+4∈[2，+∞)， M x
B
∵f(x)在[2，+∞)单调递增，
所以要使f(x2-2x+4)≤f(7)，
则要使x2-2x+4≤7，即x2-2x-3≤0，
∴-1≤x≤3， y=kx+6-k
4
解：(1)由 4 得，kx+6-k=2+ ，
y=2+ x
∴不等式f(x2-2x+4)≤f(7)的解集为[-1，3]． x
4
即(x-1)(kx+4)=0，解得x=1或x=- ，
k
∴当x=1时，y=6，即A(1,6)，⋯(3分)
4 4
当x=- 时，y=2-k，即B- ,2-k
k k
74
，
4
- <0
∵点B在第三象限，∴ k ，得k>2，
2-k<0
4
∴A(1,6)，B- ,2-k
k
，
故实数k的取值范围为(2,+∞)；
4
(2)∵A(1,6),B- ,2-k
k
4
，∴|MN|=x -x =1+
A B k
∵y -y =4+k，
A B
1 1
∴S =S +S = (x -x )(y -y )=
AMBN ΔAMN ΔBMN 2 A B A B 2
4
∙1+
k
∙(4+k)，
1 16
∴S关于k的函数关系式S= ∙k+ +8
2 k
,k>2，
1 16
∴S= ∙k+ +8
2 k
1
≥ ∙(8+8)=8，当且仅当k
2
=4时等号成立
∴四边形AMBN面积取得最小值8时，k=4．模模块块二二 二二次次型型分分式式函函数数（（选选））
课堂精讲
我们前面介绍了一次分式函数，接下来，我们思
考：可不可以将一次分式函数推广大二次分式函数？
1．二次分式函数
cx+d αx2+βx+φ x+n 形如 f(x)= 、 、
ax+b x+n αx2+βx+φ
αx+β
∙∙∙∙∙∙型的函数统一称之为分式型函数。
x+n
对于任意一个函数，我们最终的核心目标是为
了搞定最优解问题，所以才产生了很多函数分析的
方法。对于二次型我们也将对其最值经行研究。
2.对勾函数求二次型分式函数值域
利用函数方法求值域时用的最多的是：换元分常法
cx+d 1
1 型：令t=ax+b⇒x= t-b
ax+b a
75
代换分
B
子x,然后裂项，转化为：y=A+ (反比例函数)
t
αx2+βx+φ
2 型：令t=x+n⇒x=t-n代换x x+n
B
,然后裂项，转化为：y=At+ +C(对勾函数)
t
x+n
3 型：令t=x+n⇒x=t-n代换
αx2+βx+φ
1 x,同除t，转化为：y= (对勾倒函数)
B
At+ +C
t
αx+β
4 型：令t= x+n⇒x=t2-n代换分
x+n
B
子后裂项，转化为：y=At+ +C(对勾函数)
t
αx+β αx+β
注： ⇒
x+n
1 x2+x+1
例4 当 x > 时，函数 y = 最小值为 2 2x-1
7
+1
2
1 1
解：令t=2x-1(t>0)x= t+
2 2
1 1 1 1
( t+ )2+ t+
x2+x+1 2 2 2 2
∴ y = =
2x-1
2
还可对根式下用方法②
x+n
5
x2+5
例3 函数f(x)= 的最小值为 2
x2+4
解： 令t= x2+4(t≥2)x2=t2-4则y=h(t)=
t2+1 1
(列项)=t+ 在[2，+∞)上单调递增（对勾
t t
1 函数的应用）∴t=2，即x=0时，y=h(t)=2+ =
2
min
5 x2+5 5 ∴f(x)= (x∈R)的最小值为
2 x2+4 2
+1
=
t
1 7
t2+t+
4 4 t 7 1 7 7
= + +1≥2 t∙ +1=
t 4 4t 4 4t 2
1 +1．(也可以利用对勾函数求解)当且仅当 (2x-
4
7 1+ 7
1)= ，即x= 时取得最小值。
4(2x-1) 2
从上面的换元分常分析中我们发现，产生了一
个新函数：对勾倒函数。在分析中我们可以借助对
勾函数分析求解对勾倒函数的最值，也可以直接用
函数的性质求解函数的最值
3.对勾倒函数
1
形如：y= 的函数称之为对勾倒函 B
At+ +C
t
数，其图象走势如下图所示：
y
1 f(x)=
1
x+
x
b b x
-
a a
4.换元判别法求值域
h(x)
令y= h(x)=yg(x)，换元过程要求
g(x)
等式成立，说明h(x)-yg(x)=0有解。在二元问题
中要让方程有解，可以用△约束出y的取值范围。x+a
例5 已知函数 f(x) = (a ∈ R) 的值域是
x2+1
1 - ,m
4
76
3
，则常数a= 4 ，m= 1
解：换元分常法 令t=x+a x=t-a，t∈R
t
则h(t)=
t-a
t
=
2+1 t2-2at+a2+1
1
= 由函数性质可知：
a2+1
t+ -2a
t
1 当t= a2+1时，h(t) = =m max 2 a2+1-2a
1 1
当t=- a2+1时，h(t) = =-
min -2 a2+1-2a 4
3
解得：a= ,m=1
4
x+a
法二：变换主元法 令y= ⇒yx2+y=x+a
x2+1
yx2+x+y-a=0
上式等式是由函数改写而来，等式一定恒成立，
∴△=1-4y(y-a)≥0即：4y2-4ay-1≤0,
x+a 1 ∵函数f(x)= (a∈R)的值域是 - ,m
x2+1 4
[练12]非零实数 a，b 满足 a2+ b2= 4，若函数 y =
ax+b
有最大值M和最小值m，则M-m= 2
x2+1
ax+b
解：y= 化为yx2-ax+y-b=0，由题意可得
x2+1
△=a2-4y(y-b)≥0，即为4y2-4yb-a2≤0，由a2+b2
-2+b =4，可得4y2-4yb-(2-b)(2+b)≤0，解得 ≤
2
2+b 2+b -2+b
y≤ ，即M= ，m= ，则M-m=2．
2 2 2
mx2+8x+n
[练13]已知函数 y = 的定义域为 x2+1
(-∞,+∞)，值域为[1，9]，则：m= 5 ，n= 5
mx2+8x+n
解：由y= 得(y-m)x2-8x+y-n=0
x2+1
∵x∈R，若y-m≠0，则△=64-4(y-m)(y-n)≥0
即y2-(m+n)y+(mn-16)=0的两根为1，9，
∴ m+n=10 ，解可得m=5，n=5，若y-m=0即y
mn-16=9
=m=5，对应x=0符合题意，综上m=n=5．
ax+b [练14](2021秋•台州期中)设函数 f(x)= 是
x2+1
1 1
∴- ，m 是方程4y2-4ay-1=0的两个根， 定义在(-1,1)上的奇函数，且f
4 2
1
- +m=a m=1
4
∴由韦达定理可得： 1 1 ⇒ a= 3
- ×m=- 4
4 4
随堂练习
5
[练10](2022• 惠州二模 ) 已知 x ≥ ，则 f(x) =
2
x2-4x+5
有 ( D )
x-2
5 5
A.最大值 B. 最小值
2 2
C. 最大值2 D.最小值2
5 1
解：∵x≥ ，∴x-2>0，故f(x)=x-2+ ≥2，
2 x-2
当且仅当x=3时“=”成立，故选：D．
x2+1
[练11](2021秋•凉州区期末)函数y= (x>0)
x
的值域为 ( C )
A.[1，+∞) B. (1,+∞)
C. [2，+∞) D.(2,+∞)
x2+1 1 1
解：x>0时，y= =x+ ≥2 x⋅ =2，当且
x x x
1
仅当x= ，即x=1时取等号，此时函数取得最小值2，
x
x2+1
所以函数y= (x>0)的值域为[2，+∞)．
x
4
= ．
5
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性
定义证明．
ax+b
解：(1)f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数，
1+x2
ax
∴f(0)=b=0，∴f(x)= ，
1+x2
1
又∵f
2
1
a
4 2 4
= ，∴ = ，解得a=2，
5 1 5 1+
4
2x
∴f(x)= 满足定义域上的奇函数，
x2+1
2x
∴f(x)= ，x∈(-1,1)．
1+x2
2x (2)函数f(x)= 在(-1,1)上为增函数，
1+x2
证明如下：任取x ，x ∈(-1,1)且x <x ， 1 2 1 2
则f(x)-f(x)
1 2
2x 2x 2(x -x)(1-xx)
= 1 - 2 = 1 2 1 2 ，
1+x2 1+x2 (1+x2)(1+x2)
1 2 1 2
因为x <x ，所以x -x <0，又因为x ，x ∈(-1,1)，所
1 2 1 2 1 2
以1-xx >0，
1 2
所以f(x)-f(x)<0，即f(x)<f(x)，
1 2 1 2
所以函数f(x)在(-1,1)上为增函数．[练15](2021秋•西陵区校级期中)已知函数 f(x)=
x2+1
是其定义域内的奇函数，且f(1)=2，
ax+b
(1)求f(x)的表达式；
x
(2)设F(x)= (x>0)，求F(1)+F(2)+F
f(x)
1
(3)+⋯+F(2021)+F
2
77
1
+F
3
1
+⋯+F
2021
的值．
x2+1
解：(1)函数f(x)= 是其定义域内的奇函数，可得
ax+b
x2+1 x2+1
f(-x)=-f(x)，即 =- ，
-ax+b ax+b
可得-ax+b=-ax-b，解得b=0，
x2+1
则f(x)= ，
ax
2
由f(1)=2，可得 =2，
a
解得a=1，
x2+1
所以f(x)= ；
x
x x2
(2)由(1)可得F(x)= = (x>0)，
f(x) x2+1
1
则F(x)+F
x
x2 1
= + =1，
x2+1 x2+1
1
所以F(1)+F(2)+F(3)+⋯+F(2021)+F
2
+
1
F 3
1
+⋯+F 2021
1 = F(1) + F(2)+F
2
1 + F(3)+F
3
+ ... +
1
F(2021)+F
2021
[练16](2021秋•黄梅县校级期末)
4
(1)已知函数h(x)=x+ ，x∈[1，8]，求函数h
x
(x)的最大值和最小值；
4x2-12x-3
(2)已知函数f(x)= ，x∈[0，1]，利
2x+1
用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(3)对于(2)中的函数 f(x)和函数g(x)=-x-
2a，若对于任意的x ∈[0，1]，总存在x ∈[0，1]，使得
1 2
g(x )=f(x)成立，求实数a的值．
2 1
解：(1)h(x)在[2，8]上单调递增；在[1，2)上单调递减．
∴x=2时，h(x)取得极小值即最小值，h(2)=4．又h
17 17
(1)=5，h(8)= ，∴x=8时，h(x)取得最大值 ．
2 2
4x2-12x-3 (2x+1)2-8(2x+1)+4
(2)f(x)= = =
2x+1 2x+1
4
2x+1+ -8，x∈[0，1]，令2x+1=t∈[1，3]，f
2x+1
4
(x)=u(t)=t+ -8，(1)可得：函数u(t)在[2，3]上
t
单调递增；在[1，2)上单调递减．∴t=2时，u(t)最小
11
值，u(2)=-4．又u(1)=-3，u(3)=- ，∴t=1时，
3
h(x)最大值-3．∴f(x)值域为[-4，-3]．
(3)由(2)可得f(x)在x∈[0，1]的值域A=[-4，-3]．
由函数g(x)=-x-2a在x∈[0，1]上单调递减，可得值
域B=[g(1)，g(0)]=[-1-2a，-2a]．对于任意的x ∈ 1
[0，1]，总存在x ∈[0，1]，使得g(x)=f(x)成立，
2 2 1
∴A⊆B，∴
-1-2a≤-4 ，解得a= 3 ．∴a= 3 ．
1 4041 -3≤-2a 2 2
= +1×2020= ．
2 2
-1=1时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞)，
课后提升
[巩固3]下列说法不正确的是 ( B )
[巩固1](2017秋•凌源市校级月考)函数 f(x)=x+ 1
A.x+ (x>0)的最小值是2
4 x
,x∈[1,5]，则函数f(x)的最小值为 ( A )
x x2+5
B. 的最小值是2
29 5 x2+4
A.4 B. 5 C. D.
5 29 x2+2
C. 的最小值是 2
解：∵x∈[1，5]，∴f(x)=x+ 4 ≥2 x∙ 4 =4，当且仅当x x2+2
x x
4
4 D.若x>0，则2-3x- 的最大值是2-4 3
= 即x=2时取等号，∴f(x)最小值为4． x
x
x2-4x+4 解：Ax + 1 ≥ 2 x∙ 1 = 2，x = 1 时取等号 A 正确 B，
[巩固2]函数y= (x>1)的值域是 ( D ) x x
x-1
x2+5 x2+4+1 1
= = x2+4+ ≥2，x2+4=1时
A.[1，+∞) B. (-∞，1] x2+4 x2+4 x2+4
C. (-∞，0] D.[0，+∞) 取等号，显然x的值不存在，B错误；C， x2+2 = x2+2≥
x2+2
解：∵当x>1时，y= x2-4x+4 = (x-1)2-2(x-1)+1 = 2，x=0时取等号，C正确；对于D，∵x>0，∴2-3x- 4 ≤
x-1 x-1 x
(x-1)-2+ x- 1 1 ≥2 (x-1)⋅ x- 1 1 -2=0，当且仅当且x 2-2 3x∙ x 4 =2-4 3，x= 2 3 3 时取等号，故D正确，a
[巩固4](2016春•泸州期末)已知函数 f(x)=x+
x
(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，则a= 9 ．
a a 解：∵x>0，a>0，∴ f(x)=x+ ≥2 x∙ =
x x
2 a，当且仅当x= a时取得等号．
∴ a=3，解得a=9．故答案为：9．
4
[巩固5](2020秋•滕州市)已知函数f(x)=x+ ．
x
(1)求f(f(2))；
(2)判断函数f(x)在[2，4]上的单调性，并证明；
4
(3)关于x的不等式x+ <m在区间[2，4]上
x
有解，求实数m的取值范围。
4
解：(1)函数f(x)=x+ ，
x
4 4
则f(2)=2+ =4，则f(f(2))=f(4)=4+ =5，
2 4
(2)函数f(x)在区间[2，4]上递增，证明如下：设2≤x <x ≤ 1 2
4 4，则 f(x ) - f(x ) = x +
1 2 1 x
1
78
4 - x +
2 x
2
= (x - x )
1 2
xx -4
1 2
xx
1 2
，又由2≤x <x ≤4，则x -x <0，xx -4>0，
1 2 1 2 1 2
则有f(x)-f(x)<0，故函数f(x)在区间[2，4]上递增，
1 2
(3)根据题意，由(Ⅱ)的结论，f(x)在区间[2，4]上递增，则f
4 (2)≤f(x)≤f(4)，又由f(2)=2+ =4，则有f(x)≥4，若关于
2
4
x的不等式x+ <m在区间[2，4]上有解，必有m>4，即m
x
的取值范围为(4,+∞)．
[巩固6](2021 秋• 平舆县月考 ) 已知函数 f(x) =
mx+n 1
是定义域为(-1,1)的奇函数，且f
x2+1 2
2
= ．
5
(1)求m，n的值，并用函数单调性的定义来判断
函数f(x)的单调性；
(2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0．
mx+n
解：(1)∵f(x)= 是定义域为(-1,1)的奇函数，
x2+1
1
由奇函数的性质，得f(0)=n=0，又f
2
1
m
2
= =
1
1+
4
2 x ，∴m=1，∴f(x)= ，设-1<x <x <1，则f 5 x2+1 1 2
x x x +xx2-x -xx2
(x)-f(x )= 1 - 2 = 1 1 2 2 2 1 =
1 2 1+x2 1+x2 (1+x2)(1+x2)
1 2 1 2
(x -x)(1-xx)
1 2 1 2 <0，
(1+x2)(1+x2)
1 2
所以f(x)<f(x)，所以f(x)在(-1,1)上单调递增，
1 2
(2)由(1)可知，f(x)为单调递增的奇函数，
由f(2x+1)+f(x)<0，得f(2x+1)<-f(x)=f(-x)，
1 1
所以2x+1<-x，得x<- ，不等式解集-∞,-
3 3
2
[巩固7](2021秋•东城区期末)函数f(x)= ．
x2+1
(1)判断f(x)在区间[0，+∞)上的单调性，并用
函数单调性的定义给出证明；
(2)设g(x)=f(x)-k(k为常数)有两个零点x ，
1
x ，且x <x ，当x <- 3时，求k的取值范围．
2 1 2 1
解：(1)f(x)在区间[0，+∞)上单调递减，证明如下，
任取x ，x ∈[0，+∞)，且x <x ，
1 2 1 2
则f(x)-f(x )
1 2
2 2 2(x -x)(x +x)
= - = 2 1 2 1
x2+1 x2+1 (x2+1)(x2+1)
1 2 1 2
∵0≤x <x ，∴x -x >0，x +x >0，x2+1>0，
1 2 2 1 2 1 1
x2+1>0，∴f(x)-f(x )>0，即f(x)>f(x )，
2 1 2 1 2
故f(x)在区间[0，+∞)上单调递减；
(2)函数g(x)= f(x)-k(k为常数)的零点即方程 f
(x)-k=0(k为常数)的解，
2 2
解方程 -k=0得，x=± -1(0<k<2)，
x2+1 k
∵x <x ，x <- 3，
1 2 1
2 1 1
∴- -1<- 3，0<k< ，k的范围为0,
k 2 2
．
．
t
[巩固8]对勾函数y=x+ (t>0)具有性质：在(0，
x
t]上是减函数，在( t，+∞)上是增函数。
4
(1)已知f(x)=2x+ -5,x∈[1,3]，利用
2x-1
上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；
(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2-mx
+4，若对任意x ∈[1，3]，总存在x ∈[1，3]，使得g
1 2
(x )<f(x)成立，求实数m的取值范围。
2 1
4
解：(1)f(x)=2x-1+ -4，令2x-1=m，∵1≤
2x-1
4
x≤3，∴1≤m≤5，则f(x)=h(m)=m+ -4由对
m
勾函数的性质，得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]
上单调递增
3
∴f(x)在 1，
2
3
上是减函数，在 ，3
2
上是增函数，
3 f(1)=1,f 2 9 =0,f(3)= ．综上可得，f(x)的单调递 5
3
减区间为 1，
2
3
，单增区间为 ，3
2
9
，值域为 0，
5
．
9
(2)由(1)知f(x
2
)∈
0,
5
时，若存在x ∈[1，3]，使得g
2
(x )<f(x )成立，只需g(x)=x2-mx+4<0，在x∈
2 1
4
[1，3]上有解即可即m>x+
x
，令u(x)=x+
最小值
4
，u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数．
x
u(x)最小值=u(2)=4，∴m>4．
即实数m的取值范围为(4,+∞)．第第十十四四讲讲 二二次次函函数数及及其其变变换换
模模块块一一 二二次次函函数数及及其其变变换换
课堂精讲
初中阶段我们已经重点学习了二次方程与二次
函数，我们知道了二次函数所具备的一些性质。
1.二次函数的图象性质
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x−h)2+k
解析式 交点式：y=a(x−x)(x−x ) 1 2
b 4ac−b2
一般式化顶点式y=a(x+ )2+
2a 4a
a>0 a<0
y y
图 象
x x
b b
x =- x =-
0 2a 0 2a
b
对称轴 直线x=-
2a
b 4ac-b2 顶 点 - ,
2a 4a
79
2.二次函数的平移变换
平移方法：左加右减，上加下减。
以二次函数y=x2的图象为例
(1)y=x2的图象向左平移1单位长度后解析式：y=
x+1
b b
x<- 时，单调递减 x<- 时，单调递增
2a 2a
增减性
b b
x>- 时，单调递增 x>- 时，单调递减
2a 2a
b b
当x=- 时 当x=- 时
最 值 2a 2a
y有最小值 y有最大值
例1 函数y=x2+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则
实数m的取值范围是 ( A )
A.[-2,+∞) B. [2,+∞)
C. (-∞,2) D.(-∞,2]
解：y=x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为
x=-m，y=x2+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则
-m≤2，解得m≥-2.故选：A.
2；向右平移1单位长度后解析式：y=x-1 2
(2)y=x2的图象向上平移2单位长度后的解析式：y
=x2+2；向下平移2单位长度后解析式：y=x2-2
y
向
y 上
平
移
2
单
向 位
下
平 x 移 x
2
向左平移1单位 向右平移1单位 单
位
3.二次函数的翻折变换
以y=2x2+2x-1与y=2x2+2x-1 、y=
2x 2+2x -1图象间的关系为例：
(1)函数y=2x2+2x-1 的图象是将函数y=
2x2+2x-1在x轴上方的图象保留，再将x轴下方
的图象作关于x轴对称得到。
(2)函数y=2x 2+2x -1对x取绝对值的图
象，是将函数y=2x2+2x-1在y轴右侧的图象保
持不变，y轴左侧的图象去掉，再将y轴右侧的图象
作关于y轴对称得到。
y
y=2x2+2x-1
x
的图像
y=2x 2+2x
第一步：画出原图 第二步：进行翻折
y
y=2x2+2x-1的图像
x
y
-1的图像
x例2 (2021秋•南乐县月考)已知函数 f(x)=|x+
2|-|2-x|，g(x)=x2-2|x|+t(t∈R)．
(1)f(x)<a的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<g(x)在[-2，2]上有解，求实数t
的取值范围．
解：(1)因为f(x)=|x+2|-|2-x|=|x+2|-|x-2|
≤|(x+2)-(x-2)|≤4，
当且仅当x≥2时，f(x)取得最大值4，
若f(x)<a的解集为R，则a>4，
所以实数a的取值范围是(4,+∞)．
(2)当x∈[-2，2]时，f(x)=(x+2)-(2-x)=2x，
所以f(x)<g(x)在[-2，2]上有解，
即为2x<x2-2|x|+t在[-2，2]上有解，
所以t>-x2+2|x|+2x在[-2，2]上有解，
-x2, -2≤x≤0
设h(x)=-x2+2|x|+2x= ，
-x2+4x, 0<x≤2
因为h(x)在[-2，2]上单调递增，所以h(x) =h
min
(-2)=-4，∴t>-4，即t的取值范围是(-4,+∞)．
随堂练习
[练1](2022春•房山区期中)若函数f(x)=x2-mx+
10在(-2,1)上是增函数，实数m的取值范围 ( D )
A.[2，+∞) B. [-4，+∞)
C. (-∞，2] D.(-∞，-4]
m
解：f(x)=x2-mx+10的对称轴为x= 且开口向
2
m
上，∵函数f(x)在(-2,1)上是增函数，∴ ≤-2，∴m
2
≤-4，∴实数m的取值范围是(-∞，-4]．
x-1
[练2](2022•保定二模)若函数f
x
80
1 2
= - +
x2 x
1，则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为 ( D )
A.-1 B. -2 C. -3 D.-4
x-1
解：由f
x
1 2 1
= - +1可得，f1-
x2 x x
2
=1-
x
1 1
+ =1-
x2 x
[练3]函数y=x2-2x
2
，∴f(x)=x2(x≠1)．∴g(x)=x2-4x
=(x-2)2-4，当x=2时，g(x)取得最小值为-4．
+1的单调递增区间是 ( B )
A. -1,0 B. (-1,0)和(1,+∞)
C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1)
解：y=x2-2x
(x-1)2, x≥0
+1= ，
(x+1)2, x<0
作出其图象如图所示：
由图象可知，
函数的增区间为(-1,0)
和(1,+∞).故选:B
[练4](2022•泸县模拟)设m∈R，则“m≤2”是“函数
f(x)=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的 ( C )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：若函数f(x)=x2-mx在[1，+∞)上单调递增，
m 则 ≤1，∴m≤2，∴m≤2是函数f(x)=x2-mx在
2
[1，+∞)上单调递增的充要条件，故选：C．
[练5](2021 春• 水富市校级期中 ) 若函数 f(x) =
x-2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b](b>a≥
2)，则实数m的取值范围为 ( C )
1
A. ,4
4
1
B. ,4
4
7
C. ,2
4
7
D. ,2
4
解：f(x)= x-2+m在区间[a，b]上单调递增且函数
的值域为[a，b](b>a≥2)，∴
a-2+m=a ，
b-2+m=b
即m=a- a-2，m=b- b-2，
问题转化为m=x- x-2在[2，+∞)上有两个不同零
点，令t= x-2，x=2+t2且t≥0，
所以x- x-2=t2-t+2，t≥0，
令g(t)=t2-t+2，t≥0，所以y=m与g(t)=t2-t+2
1 = t-
2
2 7 1 + 在t≥0时有两个交点，因为g
4 2
=
7 7
，g(2)=2，结合二次函数的性质可知， <m≤2．
4 4
[练6](2021秋•沙坪坝区期中)设实数x，y满足x+y
=4，则 x2+y2-2x+2y+2的最小值为 ( C )
A. 2 B. 4 C. 2 2 D.8
解：∵x+y=4，故y=4-x，代入x2+y2-2x+2y+2
得x2+y2-2x+2y+2=2(x-3)2+8≥8，
则 x2+y2-2x+2y+2的最小值为2 2．故选：C．[练7](2022•河南模拟)二次函数f(x)=ax2+2x+c
1 4
(x∈R)值域为[0，+∞)，则 + 的最小值 ( B )
c a
A.-4 B. 4 C. 8 D.-8
解：根据题意，有
a>0 ，得a= 1 >0，则 1
△=4-4ac=0 c c
4 4 4
+ =a+ ≥2 a× =4，当且仅当a=2时取等
a a a
[练8](2021秋•和平区校级期中)若函数f(x)=-x2+
2x-2a+1
4ax与g(x)= 在区间[1，2]上都是减函
x-2a
数，则a的取值范围是 ( D )
1
A.(-∞，1] B. - ,1
2
81
1 1
C. - ,
2 2
1 1
D. - ,
2 2
解：∵f(x)=-x2+4ax在[1，2]上减，
1
∴x=2a≤1，得a≤ ；
2
2x-2a+1 2a+1
又∵g(x)= =2+ 在[1，2]上是减函数，
x-2a x-2a
2a+1>0 2a1或2a 2 ，得- 2 1 <a< 2 1 或a>1；，a∈- 2 1 ， 2 1
[练10]设函数f(x)=|x2-4x+3|，x∈R．
(1)在区间[0，4]上画出函数f(x)的图象；
(2)写出该函数在R上的单调区间．
解：(1)函数f(x)=|x2-4x+3|=|(x-2)2-1|；
(列表，描点，作图)
x 0 1 2 3 4
y 3 0 1 0 3
(2)根据函数f(x)的图像，不难发现，
[练9](2021秋•河南月考)函数f(x)=ax2+x+b．
函数f(x)在x∈(-∞，1]上单调递减；
(1)若不等式f(x)<0的解集是(-∞，-2)∪(3，
函数f(x)在x∈[1，2]上单调递增；
+∞)，求f(x)的解析式； 函数f(x)在x∈[2，3]上单调递减；
f(x) 函数f(x)在x∈[3，+∞)上单调递增．
(2)若a=1，b=4，求y= (x>0)的最小值
x+1
[练11](2021秋•龙凤区校级期末)已知函数f(x)是定
1
-2+3=-
a
解：(1)由题意可得 ，得a=-1，b=6， 义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=-x2+2x．
b
-2×3=
a
(1)当x≥0时，求函数f(x)的解析式；
故f(x)=-x2+x+6；
(2)解m的不等式：f(2m)+f(m-2)≤2-3m．
(2)因为a=1，b=4，
x2+x+4 4 解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0
所以y= =x+1+ -1，
x+1 x+1
时，f(x)=-x2+2x．∴f(0)=0，
因为x>0，所以x+1>0，
当x>0，则-x<0，
4
所以x+1+
x+1
≥4， 则f(-x)=-x2-2x=-f(x)，
4 即f(x)=x2+2x(x<0)，
当且仅当x+1= ，即x=1时，等号成立，
x+1
综上f(x)=x2+2x(x≤0)．
则y≥3，
(2)由f(2m)+f(m-2)≤2-3m．得f(2m)+2m≤-f
f(x)
即函数y= (x>0)的最小值是3． (m-2)+2-m=f(2-m)+
x+1
2-m．设g(x)=f(x)+x，则
不等式等价为g(2m)≤g(2-
m)，
作出函数f(x)的图象如图：则
f(x)在R上是增函数，则g(x)
=f(x)+x也是增函数，
则由g(2m)≤g(2-m)，得2m
2 2
≤2-m，得m≤ ，即实数m的取值范围是-∞，
3 3
．例3(2021秋•秀英区校级期中)函数y=f(x)为偶函
模模块块二二 闭闭区区间间上上的的二二次次方方程程与与函函数数
数，当x≥0时，f(x)=x2+2ax+1．
课堂精讲 (1)当x<0时，求f(x)的解析式；
(2)设函数y=f(x)在[0，5]上的最大值为g(a)，
在学习了函数的基本性质以后，我们知道了函
求g(a)的表达式．
数具有有界性，研究函数的问题一定要在由意义的 解：(1)设x<0，则-x>0，
范围内经行研究，所以自变量的约束是研究函数的 ∴f(-x)=(-x)2+2a(-x)+1=x2-2ax+1，
又∵函数y=f(x)为偶函数，
第一步，但是初中阶段大家研究二次函数都是在任
∴f(-x)=f(x)，
意实数下经行的研究，接下来我们将在给定区间上
∴f(x)=x2-2ax+1，
来研究二次函数的最值和方程根存在的问题。
即当x<0时，f(x)的解析式为f(x)=x2-2ax+1，
(2)当x≥0时f(x)=x2+2ax+1，对称轴为x=-a，
5 5
1.二次函数闭区间值域 当-a≤ 即a≥- 时，g(a)=f(5)=26+10a，
2 2
5 5
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p 当-a> 即a<- 时，g(a)=f(0)=1，
2 2
5
1,a<-
,q]上的最大值为M，最小值为m，其中对称轴x = 2
0 综上所述，g(a)= ．
5
26+10a,a≥-
b 1 2
- ,区间[p,q]上的中点t= (p+q).
2a 2
2.二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的分布
图1 图2
x 0 p q x p x 0 t q x 设:f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点：x 1 ,x 2 ,判别
b
式：△=b2-4ac,对称轴：x =-
0 2a
(1)方程f(x)=0在区间m,n
图3 图4
p t x 0 q x p q x 0 x
(1)当x <p时，则f(x) =f(p)=m，f(x) = 0 min max
f(q)=M；参照图1
b b
(2)当p≤- <t时，则f(x) =f(- )=
2a min 2a
m，f(x) =f(q)=M；参照图2 max
b b (3)当t≤- <q时 ，则f(x) =f(- )=
2a min 2a
m，f(x) =f(p)=M；参照图3 max
b (4)当q≤- 时，则f(x) =f(q)=m，f(x) 2a min
=f(p)=M.参照图4
max
82
上无解.
f(m)>0 a>0
f(n)>0
f(m)
f(n) △<0
f(x )>0
0
m x 0 n x m<x <n
0
f(m) a>0 a>0 f(n) f(m)>0
或 ⇒f(n)>0
f(n) f(m)
m n x m n x n<x 0 或m>x 0
a>0 f(m)<0
x 1 m n x 2 x f(n)<0
f(n)
f(m) △>0(2)方程f(x)=0在区间m,n
83
上有一解.
a>0 f(m)≥0
f(n)≥0
f(n) f(m)
△=0
m x n x m≤x ≤n
0 0
f(m) a>0 a>0
f(n)
f(m)∙f(n)≤0
mx 2 n x 1 x
或
x 2 m x 1nx
⇒
△>0
f(n) f(m)
(3)方程f(x)=0在区间m,n
随堂练习
[练12](2021秋•湖南期中)已知函数f(x)= ax2+1
的定义域为R，则a的取值范围是 ( D )
A.[0，1] B. (0,+∞)
C. [1，+∞) D.[0，+∞)
解：题意得ax2+1≥0恒成立，当a≥0时，满足题意，
[练13](2021 秋• 东城区校级期中 ) 若函数 f(x) =
2x-3
定义域为R，则a的取值范围是 ( C )
x2+ax+a
A.[0，4) B. [0，2) C. (0,4) D.(2，4]
上有两解 2x-3
解：解：因为函数f(x)= 的定义域为R，
a>0 f(m)≥0
x2+ax+a
f(m)
所以x2+ax+a>0恒成立，所以△=a2-4a<0，
f(n) f(n)≥0
0<a<4，所以实数a的取值范围是(0,4)．故选：C．
△>0
m x 1 x 2 n x [练14](2021 秋• 柳州月考 ) 已知函数 f (x) =
m<x <n
0 ax2+bx+c的定义域值域均为[0，4]，则a= ( A )
A.-4 B. -2 C. -1 D.1
例4 若命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0“是
解：当a>0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=
假命题，则m的取值范围是 -1≤m≤3 (-∞，x]∪[x ，+∞)，不满足f(x)的定义域和值域A=
1 2
解：命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0 “是假命 [0，4]，不合要求．当a<0时，函数f(x)的定义域为D
题， =[0，4]，即不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=[0，
b b
则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 “成立 4]，所以c=0，- =4，此时 f(x) = f-
a max 2a
是真命题，
法一：变换主元：故m=x2-2x=(x-1)2-1。（将x
看作是m的函数）
由于x∈[0，3]，∴m∈[-1，3]。
法二：二次函数含参讨论：
设h(x)=x2-2x-m,函数开口向上,△=4+
4m，对称轴x =1
0
∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 ,即函数h(x)在
x∈[0，3]上与x轴有交点
1 当x ∈[0，3]时，函数h(x)有两个单调区间
0
h(0)≥0
h(x)
⇒ h(3)≥0⇒-1≤m≤0
x
0 1 3
h(1)≤0
2 当x0∉[0，3]，函数h(x)有一个单调区间
h(x) h(x)
⇒h(0)∙h(3)≤0⇒0≤m≤3
x
0 3 0 3 x
综上，-1≤m≤3
=
b2 b
= =4，由①②得-a=2 -a，得a=-4．
-4a 2 -a
[练15](2021秋•天河区校级期中)已知二次函数f(x)
=x2-mx+m-1(m∈R)．
(1)若f(x)是偶函数，求m的值；
(2)函数在区间[-1，1]上的最小值记为g(m)，求
g(m)的最大值．
m
解：(1)f(x)是偶函数，得f(x)对称轴为y轴，即 =0，m=0
2
m m
(2)f(x)的对称轴为x= ，当 ≤-1，即m≤-2时，f(x)在
2 2
m
[-1，1]上递增，可得g(m)=f(-1)=2m；当-1< <1，即
2
m
-2<m<2时，f(x)的最小值为g(m)=f
2
=m-1-
m2 m
；当 ≥1，即m≥2时，f(x)在[-1，1]上递减，可得g(m)
4 2
2m, m≤-2
m2
=f(1)=0．∴g(m)=m-1-
4
, -2<m<2，
0, m≥2
当m≤-2时，g(m)≤-4；当-2<m<2时，g(m)=
(m-2)2
- ∈(-4,0)；当m≥2时，g(m)=0．
4
综上可得，g(m)的最大值为0．[练16](2022春•阳信期中)函数f(x)=2mx2+4mx+1
(1)若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，
求m的取值范围；
4 9
(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求 +
a b
的最大值．
解：(1)根据题意，f(x)=2mx2+4mx+1，
若f(x)≤0，即2mx2+4mx+1≤0，
-1 又由x∈[1，3]，变形可得m≤ ，
2x2+4x
-1
设g(x)= ，x∈[1，3]，
2x2+4x
1 1
x∈[1，3]，则6≤2x2+4x≤30，有- ≤g(x)≤- ，
6 30
若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，则m≤g
1 1
(x) ，即m≤- ，故m≤- ，
max 30 30
(2)根据题意，若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，即方程
2mx2+4mx+1=0的两根为a、b，
1
则有a+b=-2，ab= >0，
2m
4 9 1 4 9
则 + = - ( a + b ) +
a b 2 a b
84
=
1 4b 9a
- 13+ +
2 a b
[练17](2021秋•临海市校级月考)
已知函数f(x)=x2+(x-2)|x-a|．
(1)若a=1，解不等式f(x)≤1；
(2)若函数f(x)在[0，3]上是增函数，求实数a的
取值范围；
2x2-3x+2, x≥1
解：(1)当a=1时，f(x)= ，
3x-2, x<1
当x≥1时，f(x)≤1化为2x2-3x+2≤1，解得x=1，
当x<1时，f(x)≤1可化为3x-2≤1，解得x<1，
综上，不等式的解集为{x|x≤1}；
( 2 ) f ( x ) = x 2 + ( x - 2 ) | x - a | =
2x2-(a+2)x+2a, x≥a
，
(a+2)x-2a, x<a
因为f(x)=2x2-(a+2)x+2a是开口向上，对称轴为x
a+2
= 的二次函数，
4
a+2 2
当 =a，即a= 时，f(x)在R上显然单调递增，
4 3
满足题意；
a+2 2
当 <a，即a> 时，f(x)在R上为增函数，满足；
4 3
4b 9a 4b 9a
，又由 + ≥2 + = a+2 2
a b a b 当 >a，即a< 时，为使函数f(x)在[0，3]上单
4 3
4 9 1
12，当且仅当2b=3a时等号成立，则有 + ≤- a+2
a b 2 调递增，需满足： ≤0，解得a≤-2；
4
25 4 9 25
(13+12)=- ，即 + 的最大值为- ． 2
2 a b 2 综上，实数a的取值范围是：a≥ 或a≤-2．
3
[巩固3](2022春•湖北期中)f(x)=-x2-3tx+8t，则“f
课后提升
(x)图象恒在x轴下方”是“-2<t<0”的 ( C )
[巩固1](2021秋•临渭区期末)已知函数f(x)=-x2- A.既不必要又不充分条件
bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则 ( B ) B. 充分不必要条件
A. f(π)>f(2)>f(1) B. f(2)>f(1)>f(π) C. 必要不充分条件
C. f(2)>f(π)>f(1) D. f(1)>f(2)>f(π) D.充要条件
解：根据题意知抛物线f(x)=-x2-bx+c的图像开 解：f(x)图象恒在x轴下方”即△=9t2+4×8t<0，
32 32
口向下、关于直线x=2对称，所以函数 f(x)在(2 整理得- <t<0；由于(-2,0)⊂- ,0
9 9
,+∞)上单调递减，∴f(2)>f(3)>f(π)，
又因为f(1)=f(3)，所以f(2)>f(1)>f(π)．
[巩固2](2021秋•浙江月考)已知函数f( x+2)=x
+2 x+2，则f(x)的最小值是 ( B )
A.-1 B. 2 C. 1 D.0
解：令 x+2=t，则t≥2，∴ x=t-2，x=(t-2)2，
∴f(t)=(t-2)2+2(t-2)+2=t2-2t+2，
∴f(x)=x2-2x+2，x≥2．f(x)在[2，+∞)上为增
函数，则当x=2时，f(x)取得最小值为2．
，
则“f(x)图象恒在x轴下方”是“-2<t<0”必要不充分条件
[巩固4](2021秋•绵阳期末)若f(x)=x2+|x|，则满足f
(1-a)≤f(a)的a的取值范围是 ( C )
1
A. -∞,
2
1
B. 0,
2
1
C. ,+∞
2
1
D. ,1
2
解：f(x)定义域为R，且f(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=f
(x)，∴f(x)是偶函数，又∵f(x)=x2+|x|=
x
x
2
2
+
-
x
x
,
,
x
x
≥
<
0
0
，
∴f(x)在(-∞,0)单调递减，在[0，+∞)单调递增，
1
∴不等式f(1-a)≤f(a)等价于|1-a|≤|a|，得a≥
2[巩固5](2021秋•华龙区校级期中)已知函数 f(x)=
x
的定义域为R，则m的范围是 ( B )
mx2+mx+2
A.[0，8] B. [0，8)
C. [0,2 2] D.[0,2 2)
x
解：∵函数f(x)= 的定义域为R，
mx2+mx+2
∴mx2+mx+2>0对于任意x∈R恒成立，
当m=0时，符合题意；
m>0 当m≠0时，则 ，解得0<m<8． m2-8m<0
∴m的取值范围是[0，8)．故选：B．
[巩固6]( 2021 秋 • 景 德 镇 期 中 ) 若 函 数 y =
ax-2 的定义域为R，则a的范围是 ( D )
ax2-4ax+2
A.[0，1] B. [0，1)
1
C. 0， 2
85
1
D. 0， 2
ax-2
解：y= 的定义域为R，则ax2-4ax
ax2-4ax+2
+2>0对任意x∈R恒成立．当a=0时，不等式ax2
-4ax+2>0化为2>0，恒成立；当 a≠0时，需
a 16 > a2 0 -8a<0 ，即0<a< 2 1 ．综上，a∈ 0， 2 1 ．
[巩固7](2021秋•梁溪区校级期中)
已知函数f(x)= -ax2+2x+5．
(1)若函数定义域为R，求a的取值范围；
(2)若函数值域为[0，+∞)，求a的取值范围．
解：(1)∵函数定义域为R，
∴-ax2+2x+5≥0对任意x∈R都成立，
当a=0时，2x+5≥0显然不恒成立，不合题意；
当 a ≠ 0 时，由二次函数的性质可知，需满足
-a>0 ，解得a≤- 1 ，
△=4+20a≤0 5
1
综上，实数a的取值范围为-∞,-
5
；
(2)∵函数值域为[0，+∞)，
∴g(x)=-ax2+2x+5能取遍所有正数，
∴ -a≥0 ，解得- 1 ≤a≤0，
△=4+20a≥0 5
1 ∴实数a的取值范围为 - ,0 5
[巩固8](2021秋•常熟市校级月考)
设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0)．
(1)不等式f(x)>0的解集为(-1,1)，求a和b；
1 1 (2)若f(1)=3，若a>0，b>0，求 + 的最小
a b
值，并指出取最小值时a和b的值；
解：(1)由已知得，ax2+(b-2)x+3=0两根是-1，1
b-2
∴ - 3 a =-1+1=0 ，解得 a b= = 2 -3 ； =(-1)×1=-1
a
(2)①f(1)=a+b-2+3=3，所以a+b=2，
1 1 1 1 1
∴ + = + a b 2 a b
．
(a+b)
1 b a
= + +2 2 a b
1 a b
≥ 2 × +2 2 b a =2
b a 当且仅当 = 时取等，∵a+b=2，a>0，b>0，
a b
1 1
解得a=b=1时取等号，此时 + 的最小值是2；
a b
[巩固9](2021秋•天津期末)已知函数 f(x)=2x2+
mx+n的图象过点(1,-1)，且满足f(-2)=f(3)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[a，a+2]上的最小值；
(3)若x 满足f(x )=x ，则称x 为函数y=f(x)
0 0 0 0
的不动点．函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等且
正的不动点，求t的取值范围．
解：(1)∵f(x)过点(1,-1)，∴2+m+n=-1①
又f(-2)=f(3)，∴8-2m+n=18+3m+n②
由①②解m=-2，n=-1，∴f(x)=2x2-2x-1；
(2)f(x)=2x2-2x-1=2x- 1
2
2 - 3 ，x∈[a，a+2]
2
1 3 当a+2≤ ，即a≤ 时，f(x)在[a，a+2]上单减
2 2
1 3
∴f(x) =f(a+2)=2a2+6a+3；当a< <a+2，即-
min 2 2
1 1
<a< 2 时，f(x)在 a， 2
1
上单减，在 2 ，a+2 上单调递
1 增，∴f(x) =f
min 2
3 1 =- ；当a≥ 时，函数f(x)在[a，a+
2 2
2]上单调递增，∴f(x) =f(a)=2a2-2a-1．
min
3
2a2+6a+3,a≤-
2
3 3 1
综上，f(x)
min
=-
2
,-
2
<a<
2
；
2a2-2a-1,a≥ 1
2
(3)设g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等的不动点x、x ，且x
1 2 1 >0，x >0，∴g(x)=x，即方程2x2-(3+t)x+t-1=0有两
2
△=(3+t)2-8(t-1)>0
3+t 个不相等的正实根x 1 、x 2 ，∴ x 1 +x 2 = 2 >0 ，得t
x
1
x
2
= t-
2
1 >0
>1．∴t的取值范围为：(1,+∞)．第第十十五五讲讲 函函数数零零点点与与分分段段函函数数
模模块块一一 分分段段函函数数
课堂精讲
初中阶段我们接触过一些简单的分段函数问题。
所谓分段函数就是自变量在不同的定义区间上有不
同的解析式。对于分段函数的问题，我们可以借助图
象辅助解题，图象是最直观体现函数性质的方法。
1.分段函数
f(x), x∈a,b
形如y=
86
g(x), x∈b,c
例1 (2021 秋• 辽源期末 ) 已知函数 f (x) =
2
x+ +2, x<0
x ，则f(x)的最大值是 ( B )
-x2-1, x≥0
A.2+2 2 B. 2-2 2
C. -1 D.1
解：当x<0时，f(x) =f(- 2)=2-2 2， max
当x≥0时，f(x) =f(0)=-1，而2-2 2>-1，
max
所以f(x) =2-2 2，故选：B．
max
例2 (2021 秋• 河南月考 ) 已知函数 f (x) =
的函数称为分段函数。
-x2-2ax-2,x≤ 1
∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 2
在R上为增函数，则a的
a 1
,x>
x 2
取值范围是 ( D )
2.分段函数的作图规则
1
1 确定函数的分段点，在坐标系中画出虚线； A. -∞，- 2
2 在各自的区间上画出函数图像；
3 计算分段点处二者的函数值，进而确定函数图
象是连续还是间断的。
3.函数作图的细节
作图分析问题时，我们虽是作的草图，但还需注
意以下细节，这些细节可能会影响由图得到的结论。
1 体现函数性质的特殊点或者直线需进行标注，
如对称的点或直线，所过定点(含参一次函数过定点)
2 需注意初等函数渐近线。有渐近线的函数经
过翻折变换后仍然有渐近线(对于方程根的个数和最
值问题需重点注意渐近线)。
3 部分问题中初等函数的最值点和零点需标注。
4 直角坐标系要求尺子作图，不要徒手画！！函
数图尽量要使趋势与教学图象保持一致，不要过于夸
张，避免因作图不规范影响结论。
B. (-∞,0)
1
C. -∞,- 2
3 1
D. - ，- 4 2
1 -x2-2ax-2,x≤
2
解：f(x)= 是R上的增函数，
a 1 ,x>
x 2
1
-a≥
2
a<0 3 1
则有 ，得- ≤a≤- ，
1 a 4 2
- -a-2≤
4 1
2
3 1
即a的取值范围是 - ，-
4 2
，
随堂练习
[练1]( 2021 秋 • 张 掖 期 末 ) 已 知 f ( x ) =
x-4 (x≥6)
，则f(3)为 ( C )
2x-3 (x<6)
A.-1 B. 2 C. 3 D.-1或3
x-4 (x≥6)
解：根据题意，f(x)= ，
2x-3 (x<6)
则f(3)=2×3-3=3；故选：C．[练2](2021 秋• 武江区校级期末 ) 已知 f (x) =
-x+6, x≥0
，则f[f(7)]的值为 ( B ) x2+1, x<0
A.-20 B. 2 C. 7 D.5
-x+6, x≥0
解：解：根据题意，f(x)= ，则f(7)=-7
x2+1, x<0
+6=-1，
则f[f(7)]=f(-1)=1+1=2；
故选：B．
x2-1,x≤1, [练3](2021秋•丹东期末)函数f(x)=
8x,x>1,
若f(x)=8，则x= ( B )
A.-3或1 B. -3
C. 1 D.3
x2-1,x≤1,
解：根据题意，函数f(x)= 当x≤1时，f
8x,x>1,
(x)=x2-1=8，解可得x=±3，又由x≤1，则x=-3，
当x>1时，f(x)=8x=8，解可得x=1，不符合题意，
综合可得：x=-3，故选：B．
[练4](2021 秋• 福州期末 ) 已知函数 f (x) =
x3+1, x>0
为偶函数，则2a+b= ( B )
ax3+b, x<0
3 1 3
A.3 B. C. - D.-
2 2 2
x3+1, x>0
解：∵ f(x)= 为偶函数，∴ f(-1)= f
ax3+b, x<0
(1)，f(-2)=f(2)，∴-a+b=2，9=-8a+b，得，a=
x3+1, x>0
-1，b=1，此时f(x)= 为偶函数，满足
-x3+1, x<0
1 3
题意，则2a+b= +1= ．
2 2
[练5](2021 秋• 西青区期末 ) 若函数 f (x) =
2
x+ , 2<x≤3
x ，f(x)的值域为 ( D )
10+3x-x2, -1≤x≤2
7 A. 6, 2
87
11 B. 3, 3
7
C. 3,
2
11
D. 6,
3
2
解：当2<x≤3时，f(x)=x+ 在(2，3]上单调递增，
x
11
此时值域为3,
3
，
当 - 1 ≤ x ≤ 2 时 ，f ( x ) = -x2+3x+10 =
3 -x-
2
2 + 49 在 -1, 3
4 2
3 上递增，在 ,2
2
上递
7 减，此时值域为 6, 2 ；
11
故所求函数的值域为 6, 3
[练6](2021 秋• 龙岩期中 ) 已知函数 f (x) =
x2-4ax+5a, x≤1
2a 在R上为减函数，则a的取值
, x>1
x
范围是 ( C )
1 A.(0,+∞) B. -∞,
2
．
1 C. ,1
2
1 D. ,+∞
2
x2-4ax+5a, x≤1
解：∵f(x)=2a 在R上为减函数，
, x>1
x
2a≥1
1
∴a>0 ，解得 ≤a≤1．
2
1-4a+5a≥2a
1
∴a的取值范围是 ，1
2
．
[练7]( 2021 秋 • 邯 郸 期 中 ) 设 函 数 f ( x ) =
|x|-1,x∈[-1,+∞)
，若对任意的x∈[m，+∞)，
2f(x+2),x∈(-∞,-1)
都有f(x)≥-4，则m的最小值是 ( D )
13 11
A.-4 B. -6 C. - D.-
2 2
解：作出函数f(x)的部分图象如图所示，
当x∈(-6,-5)时，f(x)=8(x+5)，
11
令f(x)=-4，解得x=- ．
2
数形结合可得，对任意的x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-4，
11
则m的最小值为- ．
2
[练8](2020 秋• 南昌县校级月考 ) 若函数 f(x) =
3 b- 2 x+b-1 (x>0) 在R上为增函数，则实数
-x2+(2-b)x (x≤0)
3
，2
b的取值范围是 2
．
3
b-
解：∵ 函 数 f ( x ) = 2
x+b-1 (x>0)
在
-x2+(2-b)x (x≤0)
(-∞,+∞)上为增函数，
3
b- >0
2 3 3 ∴ b-1≥0 ，解得 2 <b≤2，∴b∈ 2 ，2
2-b
≥0 2
，[练9](2021秋•广陵区校级期中)
1 1-
x
, x≥1
已知函数f(x)= ．
1 -1, 0<x<1
x
1 1
(1)当0<a<b，f(a)=f(b)时，求 + 的值；
a b
(2)若存在正实数a、b(a<b)使得函数y=f(x)
的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb](m≠0)，求m
的取值范围．
解：(1)由0<a<b，且f(a)=f(b)，
1 1
则0<a<1<b，则f(a)= -1,f(b)=1- ，
a b
1 1
所以 -1=1- ，
a b
1 1 故 + =2； a b
(2)因为1<a<b，ma<mb，
所以m>0，
则f(x)在[1，+∞)上单调递增，
1
1- =ma 所以 f f ( ( a b) ) = = m m b a ，即 a 1 ，
1- =mb
b
所以ma2-a+1=0
，
mb2-b+1=0
则a，b是方程mx2-x+1=0的两个根，
且关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的不等实
数根，设为x ，x ，
1 2
1 1
则x +x = ,xx = ，
1 2 m 1 2 m
△>0 1-4m>0 1
所以(x
1
-1)+(x
2
-1)>0，即
m
-2>0，
(x -1)(x -1)>0 1 2 1>0
1 解得0<m< ，
4
1
故实数m的取值范围为0,
4
88
[练10](2021秋•锡山区校级期中)
-x2-ax+3a (0≤x≤1)
已知函数f(x)=a ．
(1<x≤2) x
(1)当a=1时，求f(x)的值域；
(2)函数y=f(x)能否成为定义域上的单调函数，
如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；
(3)f(x)≥-2在其定义域上恒成立，求实数a的
取值范围．
-x2-x+3 (0≤x≤1)
解：(1)当a=1时，f(x)=
1
，
(1<x≤2)
x
则x∈(0,1)时，f(x)∈[1，3]；当x∈(1，2]时，f(x)∈
1 ，1 2
．
1 ，则f(x)的值域为 ，3 2 ，
(2)若函数y=f(x)在定义域上单调，
当a>0时，因在x∈(1，2]上函数单减，则y=f(x)单调
a
- ≤0
2 递减，则满足 ，解得a≥1，
a -1-a+3a≥ 1
当a=0时，函数无单调性，不符合题意，
当a<0时，因在x∈(1，2]上函数单增，则y=f(x)单调
a
- ≥1
2
递增，则满足 ，解得a≤-2，
a
-1-a+3a≤
1
综上所述，若使函数y=f(x)为定义域上的单调函数，实
数a的范围为(-∞，2]∪[1，+∞)，
(3) 由 f(x) ≥ -2 在其定义域上恒成立，即 f(x) =
-x2-ax+3a≥-2 (0≤x≤1)
a ，
≥-2 (1<x≤2) x
x2-2 a≥ (0≤x≤1)
化简得 3-x 恒成立，
a≥-2x (1<x≤2)
x2-2 (3-x)2-6(3-x)+7
当x∈[0，1]时，由 = =3
3-x 3-x
7
-x+ -6，
3-x
7
令t=3-x∈[2，3]，h(t)=t+ -6，
t
由对勾函数单调性知，函数h(t)在t=2时，取最大值h
1 1
(2)=- ，则a≥- ，
2 2
当x∈(1，2]时，满足
a≥-2×1=-2 ，即a≥-2，
a≥-2×2=-4
综上所述，f(x)≥-2在其定义域上恒成立，实数a的取
1
值范围为[- ．+∞)．
2模模块块二二 函函数数零零点点与与方方程程解解
课堂精讲
初中阶段阶段我们分别学习了函数、方程、不等
式之间的相互关系。现在，我们通过对前面内容的
学习，加深了这些知识的关系：方程和不等式都是函
数的一种特殊情况，都是由函数演化得来的，而不等
式与函数之间的临界状态是方程，所以研究方程解
也是我们研究函数的一个重要环节。
1.函数零点
对于函数y=fx
89
，我们把使fx =0的实数x
叫做y=fx 的零点。这样，函数y=fx 的零点就
是方程fx =0的实数解，也就是函数y=fx 的图
象与x轴的公共点的横坐标。
y
f(b)
零点
a x b x
0
f(a)
所以方程fx =0有实数根⇔函数y=fx 图
象与x轴有交点⇔函数y=fx 有零点。
由初中方程的定义出发，我们可以知道，方程只
需要满足：①含有未知数；②必须是等式。从上面2
个条件出发，我们可以知道:不仅仅fx =0是方程，
fx =a也是方程。
2.常数函数
形如y=a（a为常数）的函数称之为常数函数。
图象是一条平行于x轴的直线，不具备单调性。
y y=a
x
类比函数零点，我们可以得到：方程fx =a有
n个实数根⇔函数y=fx 图象与函数y=a有n
个交点⇔函数y=fx
例3 函数f(x)=x2-3x
-a有n个零点。
+1, 若f(x)=a有3个不
相等的实数根，则a= 1
解：作出函数f(x)的草图如下，可知，当a=f(0)时满
足题意，a=f(0)=1
y
x
例4 (2021• 奉新县校级三模 ) 已知函数 f(x) =
|x|+2, x<2
，若方程 f(x)-a=0的实
2x2-12x+19, x≥2
根之和为6，则a的取值范围为 ( A )
A.(1，3] B. [1，3] C. (1，4] D.(3,4)
|x|+2, x<2
解：作出函数f(x)= 的图象：
2x2-12x+19, x≥2
f(x)-a=0的实根和为
6，即y=f(x)与y=a图
象交点横坐标之和为6，
当a=1时，y=a的图象
与y= f(x)的图象只有
一个交点(3,1)，不满足题
意；当1<a<2时，y=a
的图象与y= f(x)的图
象有两个交点，从左至右设为x ，x ，由图象可得x ，
1 2 1
x +x x 关于x=3对称，∴ 1 2 =3，即x +x =6，满足
2 2 1 2
题意；当a=2时，y=a的图象与y=f(x)的图象有三
个交点，且(0,2)为最左侧交点，设y=a的图象与y=
f(x)的图象的另两个交点分别为x ，x ，由图象可得
1 2
x +x
x ，x 关于x=3对称，∴ 1 2 =3，即x +x =6，
1 2 2 1 2
满足题意；当2<a≤3时，y=a的图象与y=f(x)的
图象有四个交点，从左至右分别为x ，x ，x ，x ，
1 2 3 4
由图象可得x +x =0，x ，x 关于直线x=3对称，∴
1 2 3 4
x +x
3 4 =3，即x +x =6，满足题意；当3<a<4时，
2 3 4
y=a的图象与y=f(x)的图象有三个交点，由图象可
得不满足题意；当a=4时，y=a的图象与y=f(x)的
图象有两个交点，由图象可得不满足题意．
综上可得，a的取值范围为1<a≤3．选：A．[练14](2020• 和平区二模 ) 已知函数 f (x) =
随堂练习
1-x
, x≥0
|x|+1 1+x ，函数g(x)=f(1-x)-kx+k-
[练11](2022•海口)函数f(x)= ，则 ( BC )
x x2+2x+1, x<0
A. f(x)的定义域为R 1 恰有三个不同的零点，则k的范围是 ( D )
2
B. f(x)是奇函数 9
A.(-2- 2,0]∪
2
C. f(x)在(0,+∞)上单调递减
D. f(x)有两个零点
|x|+1
解：由题意得x≠0，A显然错误：f(-x)= =-f
-x
(x)，故f(x)为奇函数，B符合题意；
x+1 1
当x>0时，f(x)= =1+ 单调递减，C符合题
x x
意；由f(x)=0得|x|+1=0，此时x无解，D错误．
[练12](2021秋•海淀区校级期中)已知函数f(x)是定
义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x-x2，则下
列说法正确的 ( D )
A. f(x)(-1，0)在上为增函数
B. f(x)的最大值为2
C. 方程f(x)-1=0有四个不相等的实数根
D.当x<0时，f(x)=-x2-2x
解：设x<0，则-x>0，则f(-x)=
-2x-x2，又由f(x)是偶函数，则
f(x)=f(-x)=-x2-2x，
2x-x2, x≥0
则f(x)= ，作出图
-x2-2x, x<0
象如图所示：依次分析选项：
A，f(x)在区间(-1,0)上为减函数，
A错，B，当x=±1时，f(x)取得最大值，即f(x) =f(1)=f max
(-1)=1，B错误，对于C，由图象可知y=1的图象与y=f(x)
的图象有2个交点，则方程f(x)-1=0只有2个不相等的实数
根，C错误；于D，当x<0时，f(x)=-x2-2x，D正确，
[练13](2021秋•南阳月考)已知a∈R，函数 f(x)=
x-4, x>a
，若函数 f(x)恰有2个零点，则a
x2-4x+3, x≤a
的取值范围是 ( A )
A.[1，3)∪[4，+∞) B. (-∞，1]
C. (3，4] D.(1，3]∪(4,+∞)
解：由x-4=0得x=4，由x2-4x+3=0可得x=1或
x=3，①当a<1时，则函数f(x)只有一个零点x=4，不
符合题意，②当1≤a<3时，则函数f(x)有两个零点x
=1和x=4，符合题意，③当3≤a<4时，则函数f(x)有
三个零点x=1，x=3和x=4，不符合题意，④当a≥4
时，则函数f(x)有两个零点x=1和x=3，符合题意，
90
9
B. (-2+ 2，0]∪
2
1
C. (-2- 2,0]∪
2
1
D.(-2+ 2，0]∪
2
1-x
,x≥0
解：f ( x ) = 1+x ，得 f ( 1 - x ) =
x2+2x+1,x<0
x
2-x ,x≤1 g(x)=f(1-x)-kx+k- 1 恰有三个
2
(x-2)2,x>1
1
不同的零点，即为f(1-x)=kx-k+ 有三个不同的
2
1
实根，作出y=f(1-x)和y=kx-k+ 的图象:
2
1 x
当y=kx-k+ 与y= (x≤1)相切于原点时
2 2-x
1
即k= 时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx-k+
2
1
与曲线y=(x-2)2(1<x<2)相切，设切点为(m,n)，
2
1 可得切线的斜率为k=2(m-2)，且km-k+ =(m-
2
2
2)2，得m=1+ ，k= 2-2，即 2-2<k≤0时，
2
两图象恰有三个交点；
[练15](2021秋•红桥区期末)若函数f(x)是定义域为
R的奇函数．当x>0时，f(x)=x3-2．则函数f(x
+2)的所有零点之和为 -6 ．
解：当x>0时，由题意可得函数 f(x)=0只有一个零
点，
奇函数满足f(0)=0，结合奇函数的对称性可得函数f(x)
有3个零点，
而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2
个单位可得函数f(x+2)的图象
∴函数f(x+2)的所有零点之和为-6
故答案为：-6．[练16]( 2021 春 • 福 州 期 末 ) 已 知 f ( x ) =
2-x, x≤1
，若a=1，且 f(m)=1，则m=
x2-4x+a, x>1
1或4 ；若对任意的t>0，函数y=f(x)-t-1有两
个零点，则实数a的取值范围是 (-∞，4] ．
2-x, x≤1
解：当a=1时，f(x)= ，
x2-4x+1, x>1
当m≤1时，f(m)=2-m=1，解得m=1，
当m>1时，f(m)=m2-4m+1=1，解得m=4或m
=0(舍)．综上，m=1或m=4；
对任意的t>0，函数y=f
(x)-t-1有两个零点，即
y=t+1(t>0)与y=f(x)
有两个交点．作出f(x)的
图象如图：
则12-4×1+a≤1，即a
≤4．∴实数a的取值范围是(-∞，4]．
[练17](2020秋•番禺区校级期中)
-x+2 (x>1)
已知函数f(x)= x2 (-1≤x≤1)．
x+2 (x<-1)
5
(1)求f f
2
91
的值；
(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域
和单调区间；
(3)若方程f(x)=m有四个根，求实数m的取值
范围，并求出这四个根的和．
5
解：(1)f f
2
1
=f-
2
x2+1
[练18](2021秋•天津期中)已知函数 f(x)=
ax+b
是定义域上的奇函数，且f(-1)=-2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的
根，求实数m的取值范围；
解：解：(Ⅰ)∵f(-1)=-2，又f(x)是奇函数，
2
∴f(1)=-f(-1)=2，∴ a+ 2 b =2 ，解得 a b= = 0 1 ，
=-2
-a+b
x2+1 1
∴f(x)= =x+ ，定义域为{x|x≠0}．
x x
(Ⅱ)方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的根，
即x2-mx+1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数
根，
须满足
△=m2-4>0
，解得m>2，
m>0
即实数m的取值范围是(2,+∞)．
1
[练19]设函数f(x)= +ax+b，a，b∈R．
x
(1)若函数y=f(x)-2为奇函数，且函数f(x)在
(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，求函数f
(x)的解析式；
1 1
(2)当a=1时，方程f(x)= x在区间 ，2
2 2
1
= ．
4
(2)由图象可知，函数的值域是(-∞，1]，
单调增区间(-∞，-1]和[0，1]，
减区间[-1，0]和[1，+∞)．
(3)∵方程f(x)=m有四个根，
∴根据图象可得实数m的取值范围是0<m<1，
由图象判断f(x)是偶函数，所以这四个根的和是0．
有
两个不同的实数根，求实数b的最小值；
1
解：(1)由题意得，函数y=f(x)-2= +ax+b-2，
x
令g(x)=f(x)-2为奇函数，∴g(-x)=-g(x)，
1 1
即- -ax+b-2=- +ax+b-2
x x
，解得b=2，
1 1
由f(x)= +ax+2得，f′(x)=- +a，
x x2
∵函数f(x)在(0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递
1
增，∴f′(1)=-1+a=0，得a=1，∴f(x)= +x+2；
x
1 1
(2)把a=1代入f(x)= +ax+b得，f(x)= +x+
x x
1 1 1
b，则方程f(x)= x为： +x+b= x，化简得x2+
2 x 2
1 1
2bx+2=0，∵方程f(x)= x在区间 ，2
2 2
有两个不
1
同的实数根，∴x2+2bx+2=0在区间 ，2
2
有两个不
△=4b2-8>0
1
<-b<2
同的实数根，则 2
1
2
3 ，解得- ≤b
2 +2b× 1 +2>0 2
2
22+2b×2+2≥0
3
<- 2，∴实数b的最小值是- ；
2[巩固4](2021 秋• 通辽月考 ) 已知函数 f (x) =
课后提升
x2-2ax+5,x<1
[巩固1](2022 春• 如皋市期中 ) 已知函数 f(x) = a ,x≥1 在R上单调递减，则a的取值范
x
x2-1,x≥0,
1 若f(f(a))=-1，则a= ( C ) 围是 ( C )
,x<0,
x
A.(0,+∞) B. [1，+∞)
A.1或-1 B. 1或0
C. [1，2] D.[1，2)
C. 1或-1或0 D.-1或0
x2-2ax+5,x<1
解：当a<0时，f(a)=
1
<0，f(f(a))=
1
=a=
解：∵函数f(x)=a
,x≥1
a 1 x
a
a≥1
-1，得a=-1；当0≤a<1时，f(a)=a2-1<0，f(f
在R上单调递减，∴a>0 ，
(a))= 1 =-1，解可得a=0， 1-2a+5≥a
a2-1
解得1≤a≤2．
当a≥1时，f(a)=a2-1≥0，f(f(a))=(a2-1)2-1
=-1，解可得a=1； [巩固5](2021 秋• 海淀区校级期中 ) 设区间 A =
2x 1
[巩固2](2022•漳州)函数f(x)= ，则 ( AD ) 0,
x2+9 2
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)是偶函数
C. 函数y=f(x+2022)的零点为0
1
D.当x>0时，f(x)的最大值为
3
解：∵x2+9>0恒成立，∴f(x)的定义域R，A正确；
-2x f(-x)= =-f(x)，函数为奇函数，故B错误；y
x2+9
2(x+2022) = f(x+2022)= ，零点为-2022，C
(x+2022)2+9
2x 2 2
错；当x>0时，f(x)= = ≤
x2+9 9 9
x+ 2 x⋅ x x
1 9 = ，当且仅当x= ，即x=3时取等，故D正确．
3 x
[巩固3](2021秋•沙河口区校级期中)设函数f(x)=
2x-1,x∈[0,+∞)
，又g(x)=f(x)-1，则函数g(x)
x2-4,x∈(-∞,0)
的零点可以是 ( AC )
A.1 B. 5 C. - 5 D.-1
2x-1,x∈[0,+∞)
解：f(x)=
，g(x)=f(x)-1，
x2-4,x∈(-∞,0)
令f(x)-1=0，
当0≤x时，由2x-1=1，解得x=1；
当x<0时，由x2-4=1，解得x=- 5，
∴函数g(x)有2个零点，分别为x=1，x=- 5．
92
1
,B= ,1
2
1
x+ ,x∈A
，函数f(x)= 2 ，若x
0
3(1-x),x∈B
∈A，且f(f(x ))∈A，则x 的取值范围是 ( A )
0 0
1 1
A. ,
3 2
1
B. 0,
4
3
C. 0,
8
1 1
D. ,
4 2
1 1 1
解：∵0≤x < ，∴f(x )=x + ∈ ，1
0 2 0 0 2 2
=B，
1
∴ f[ f(x )] = 3(1 - f(x )) = 3 1-x + 0 0 0 2 =
1
3 -x 2 0
1
．∵f[f(x )]∈A，∴0≤3 -x 0 2 0
1
< ， 2
1 1 1 1 1
∴ <x ≤ ．∵0≤x < ，∴ <x < ．
3 0 2 0 2 3 0 2
[巩固6](2021秋•城厢区校级期中)设函数 f(x)=
x3-3x,x≤x
0．若 f(x)有且只有2个零点，则实数
-x,x>x
0
x 的取值范围是 [- 3， 3) ．
0
解：由x3-3x=x(x2-3)=0可得x=± 3或x=0，
由-x=0可得x=0，
在同一直角坐标系中作出函数y=-x与函数y=x3
-3x的图象如下图所示：
由图象可知，当- 3≤x < 3时，函数f(x)有两个
0
零点，[巩固7](2021春•开封期末)已知函数f(x)是以4为
周 期 的 函 数 ，且 当 - 1 < x ≤ 3 时 ，f ( x ) =
1-x2, -1<x≤1
，若函数y= f(x)-m|x|恰
1-|x-2|, 1<x≤3
1
，8-2 15
有10个不同零点，则m的范围为 6
93
．
解：函数f(x)是以4为周期的函数，且当-1<x≤3
1-x2, -1<x≤1
时，f(x)= ，图象如下图：
1-|x-2|, 1<x≤3
若函数y=f(x)-m|x|恰有10个不同零点，
则函数图象要与y=mx的图象恰有5个交点，
1 当直线过(6,1)时，m= ，
6
当直线与(3,5)上的抛物线y=-(x-4)2+1相切时，
联立直线和抛物线方程得：x2+(m-8)x+15=0，
由△=(m-8)2-60=0得：m=8-2 15，或m=8
1
+2 15(舍去)，故m∈ ，8-2 15
6
[巩固9](2021秋•莲湖区校级期中)
2x+1
已知函数f(x)= ．
x+1
(1)判断函数在区间[0，+∞)上的单调性，并用定
义证明你的结论；
f(x),x∈[0,+∞)
(2)若g(x)= 在R上
-x2+ax+a,x∈(-∞,0)
是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)在[0，+∞)上是增函数，
任取x ，x ∈[0，+∞)且x <x ，
1 2 1 2
2x +1 2x +1
则 f ( x ) - f ( x ) = 1 - 2 =
1 2 x +1 x +1
1 2
x -x
1 2 ，
(x +1)(x +1)
1 2
∴x -x <0，(x +1)(x +1)>0，
1 2 1 2
∴f(x)-f(x )<0，f(x)<f(x )．
1 2 1 2
2x+1 所以函数f(x)= 在[0，+∞)上是增函数．
x+1
2x+1
(2)由(1)得函数f(x)= 在[0，+∞)上是增函
x+1
数．
f(x),x∈[0,+∞)
要使g(x)=
在R上是单
，
-x2+ax+a,x∈(-∞,0)
调函数，
[巩固8](2021秋•朔州期中)
则设h(x)=-x2+ax+a，x∈(-∞,0)也是增函数，
x+6, x≤0 a
已知函数f(x)=
．
又因为h(x)开口向下，对称轴为x=
2
，
x2-2x+2, x>0
a a≥0
≥0
(1)求不等式f(x)>5的解集； 所以 2 ，即 2×0+1 ，
-02+a×0+a≤
h(0)≤f(0) 0+1
m2
(2)若函数g(x)=f(x)- 有三个零点，求实数
2 整理得
a≥0 ，所以0≤a≤1．故实数a的取值范围
m的取值范围． a≤1
为[0，1]．
解：(1)当x≤0时，由x+6>5，得-1<x≤0；
当x>0 时，由x2-2x+2>5，得x>3，
综上所述，不等式的解集
为(-1，0]∪(3,+∞)．
m2
(2)函数g(x)=f(x)-
2
有三个零点，即方程 f(x)
m2
- = 0 有三个不同实
2
数根，等价于函数y=f(x)
m2
与函数y= 的图像有三个不同的交点，如图所示，
2
m2
由图可知，1< <2，解得-2<m<- 2或 2<
2
m<2，所以实数m的取值范围为(-2，- 2)∪( 2
,2)第第三三章章 章章末末总总结结
1.本章内容在函数性质的基础上以初中三大函数为出发点，加入了函数的四大变换：平移、对称、翻折和伸缩。
并且介绍了我们求解函数最值常见的两个函数模型：一次分式函数和二次分式函数。通过本章的学习，请你对
函数的四大类变换作一个简单的归纳总结，以草图的形式展示。
解：★函数图象的平移变换
自变量“左加右减”：y=f(x)左（右）平移a个单位y=f(x±a)
y=f(x) y=f(x-a)
y y
左右平移
O x O x
x x x x x +a x +a
1 2 1 2 1 2
因变量“上加下减”：y=f(x)上（下）平移b个单位y=f(x)±b
y y=f(x)
y y=f(x)
上下平移
O x
O x
y=f(x)-b
★函数图像的伸缩变换：y=f(x)横坐标变为原来的ω倍y=f( 1
x)
ω
★函数图像的对称变换：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
y=f(x)关于x轴对称y=−f(x) y=f(x) 关 于 y 轴 对 称 y=f(−x)
y=f(x)关于原点对称y=−f(−x) y=f(x)关于x=a对称y=f(2a−x)
★函数图像的翻折变换：
y=f(x)→y=|f(x)|保留x轴上方部分，将下方部分沿x轴对称翻折到上方
y=f(x) y=f(x)
y
对称翻折
O x
94
y
O x
y=f(x)→y=f(|x|)保留y轴右边部分，将右边部分沿y轴对称翻折到左边
y=f(x)
y y=f(x
对称翻折
O x
y )
O x2.(2021秋•玄武区校级期中)已知函数f(x)= ax2+ax+1的定义域为A．
(1)当a=4时，写出f(x)单调增区间；
(2)若A=R，求a的取值范围；
(3)若[1，4]⊆A，求a的取值范围．
1
解：(1)当a=4时，f(x)= 4x2+4x+1= (2x+1)2=|2x+1|，故函数在- ,+∞
2
95
上单调递增；
(2)依题意可知，ax2+ax+1≥0对任意x恒成立，
当a=0时，不等式恒成立，
a>0
当a≠0时，有
，解得0<a≤4，
△=a2-4a≤0
综上所述，0≤a≤4，所以a的取值范围为[0，4]；
(3)依题意可知，ax2+ax+1≥0对x∈[1，4]恒成立，
1
所以a≥- 对x∈[1，4]恒成立，
x2+x
1
设g(x)=- ，函数g(x)在[1，4]上单调递增，
x2+x
1 1
故g(x) =g(4)=- ，可知a≥- ，
max 20 20
1
所以a的取值范围为{aa≥-
20
．
4
3. (1)已知a∈R，函数f(x)=x+ -a+a在区间[1，4]上的最大值是5，a的取值范围．
x
|x|+2, x<1
x
(2)函数f(x)=
2
设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥ +a在R上恒成立，求a的取值范围．
x+ , x≥1 2
x
4 4
解：(1)由题可知x+ -a+a≤5，即x+ -a≤5-a，所以a≤5，
x x
4
又因为x+ -a≤5-a，
x
4
所以a-5≤x+ -a≤5-a，
x
4
所以2a-5≤x+ ≤5，
x
4
又因为1≤x≤4，4≤x+ ≤5，
x
9
所以2a-5≤4，解得a≤ ，
2
9
所以a的取值范围是-∞，
2
．
|x|+2, x<1
(2)画出函数f(x)=
2
的图象，如图所示：
x+ , x≥1
x
x
令g(x)= +a，其图象与x轴相交于点(-2a,0)，
2
在区间(-∞,-2a)上为减函数，在(-2a,+∞)为增函数，
x
若不等式f(x)≥ +a在R上恒成立，则函数f(x)的图象在g(x)上的上方或相交，
2
则必有f(0)≥g(0)，即2≥|a|，
解可得-2≤a≤2，
所以a的取值范围是[-2，2]．函数的形成与发展
自17世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置.数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在
数学、物理和其他学科中，函数关系随处可见。17世纪的科学家们致力于力与运动的研究，如计算天体的位置，远
距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函
数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数等等。诸如此类的问题都需要探究两个变量之
间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射
程．这正是函数概念产生和发展的背景。
函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的
某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导
函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。
1718年，莱布尼茨的学生，瑞士数学家约翰·伯努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数
是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”并且强调了函数需要用公式来描述。后来，数学家认为这
不是判断函数的标准。只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以， 1755年，约翰·伯努里的学生
欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或[常量]]以任何
一种方式构成的解析表达式”。例如f(x) = sin(x) + x3。1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数
的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后
一些量的函数。”
当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度，函数的概念仍然是比较模糊的。 随着对
微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，人们对函数的认识向前推进了．德国数学家狄利克雷在1837年时提出：
“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数
的内涵:只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式
还是用图象、表格等形式表示。例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，
函数值为0．它只能用对应的语言予以表达。
19世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建
立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概
念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述。通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研
究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。直到
后来，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。
函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严
谨化、精确化的表达。这与我们学习函数的过程是一样的，先要了解为什么学习函数；再次考虑从那些方面对函数
就行研究；最后用严谨的、精确的语言对函数性质经行描述。
