新高一数学衔接教材（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_新高一数学衔接教材

第第一一讲讲 乘乘法法公公式式与与因因式式分分解解 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 11 第第二二讲讲 不不等等式式的的含含义义与与解解法法 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 55 第第三三讲讲 基基本本不不等等式式 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙1100 第一章 函数的基础 第第四四讲讲 元元素素与与集集合合 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙1166 第第五五讲讲 集集合合的的关关系系与与运运算算 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙2222 第第六六讲讲 逻逻辑辑用用语语 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙2288 第第一一章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙3344 第第七七讲讲 函函数数概概念念与与有有界界性性 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙3366 第第八八讲讲 函函数数单单调调性性及及其其应应用用∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙4433 第二章 函数的共性 第第九九讲讲 函函数数奇奇偶偶性性及及其其应应用用∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙4477 第第十十讲讲 函函数数对对称称性性∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙5522 第第二二章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙5577 第第十十一一讲讲 一一次次函函数数及及其其变变换换 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 5599 第第十十二二讲讲 反反比比例例函函数数与与一一次次分分式式函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 6666 第第十十三三讲讲 对对勾勾函函数数和和二二次次分分式式型型函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 7722 第三章 函数的变换 第第十十四四讲讲 二二次次函函数数及及其其变变换换 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 7799 第第十十五五讲讲 函函数数零零点点与与分分段段函函数数 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙8866 第第三三章章 章章末末总总结结 ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ 9944第第一一讲讲 乘乘法法公公式式与与因因式式分分解解 模模块块一一 整整式式的的乘乘法法公公式式 课堂精讲 在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘 法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主 要学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完 全平方公式。 平方差公式 a2-b2=a-b 1  (a+b) 完全平方公式 a±b  2=a2±2ab+b2 例1 化简： 9-4 5 解：原式= 5+4 5+4 = ( 5)2+2×2× 5+22 = (2- 5)2 =2- 5  = 5-2． 高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研 究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变 形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复 杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中,我们将拓 展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。 由于 a+b  3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+3ab2+b3 于是有： 完全立方和公式 a+b  3=a3+3a2b+3ab2+b3 将完全立方和中的b换成-b,得到完全立方差公式: 完全立方差公式 a-b  由完全立方和公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2 = a3+b3,即 (a+b)[(a+b)2 —3ab]=a3+b3于是有： 立方和公式 a3+b3=a+b 3=a3-3a2b+3ab2-b3  (a2-ab+b2) 仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立 方差公式的由来。 立方差公式 a3-b3=a-b  (a2+ab+b2) 例2 计算下列代数式 (1)(4+m)(16−4m+m2) 1 1 (2) m− n 5 2  1 1 1  m2+ mn+ n2 25 10 4  解：(1)原式=43+m3=64+m3 1 (2)原式= m 5  3 1 − n 2  3 1 1 = m3− n3 125 8 以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a +b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 于是有: 三项和平方公式 a+b+c  2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 将上式中的c全部换成-c得到如下公式: a+b-c  2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc 1 例3 计算：x2− 2x+ 3  2 1 解：原式= x2+(− 2x)+  3  2 1 =(x2)2+(− 2x)2+ 3  看不出来的可以借 助完全平方公式求解 2 1 +2x2(− 2)x+2x2× 3 1 +2× ×(− 2x) 3 8 2 2 1 =x4−2 2x3+ x2− x+ 3 3 9[练3]计算： 随堂练习 (1)(a+2)(a−2)(a4+4a2+16) [练1]若x+y=6，x2+y2=20，x-y等于 ( D ) (2)(x2+2xy+y2)(x2−xy+y2)2 A.2 B. -2 C. 4 D.±2 解：(1)原式=(a2−4)(a4+4a2+42) 解：∵x+y=6，x2+y2=(x+y)2-2xy=20， =(a2)3−43=a6−64 ∴2xy=62-20=16，∴xy=8， (2)原式=(x+y)2(x2−xy+y2)2=[(x+y)(x2−xy ∴(x-y)2=x2+y2-2xy=20-2×8=4， +y2)]2 ∴x-y=±2 =(x3+y3)2=x6+2x3y3+y6 [练2]若a2-ab=7-m，b2-ab=9+m，则a-b的 1 [练4]已知x2−3x-1=0，求x3+ 的值． 值为 ( D ) x3 1 A.2 B. ±2 C. 4 D.±4 解：∵x2−3x=1=0 ∴x≠0 ∴x+ =3 x 1 解：将题目中的两个式子相加， 原式=x+ x 得a2-ab+b2-ab=16，即(a-b)2=16， ∴a-b=±4，故选：D． 2  1 x2−1+ x2  1 =x+ x  1 x+ x    2 −3   =3(32−3)=18 4.十字相乘法分解二次三项式 模模块块二二 因因式式分分解解 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字相乘法。 课堂精讲 举例： 3x2+11x+10=0 一拆：拆出二次项 1.因式分解的概念 x 2 与常数项的因式 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因 3x 5 二判：交叉相乘和为 式分解，也叫分解因式。 ∵5x+6x=11x 一次项可用该方法 ∴ 3x2+11x+10=0 三书写：横向书 (x+2)(3x+5)=0 写拆出的式子 2.提公因式法分解因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个 5.主元法分解因式 相同的因式就叫做公因式。把ma+mb+mc=m 形如Ax2+By2+Cx+ Dy +E的代数式可以采 (a+b+c).的分解方法称为提公因式法。 用主元法进行分解。 3.公式法分解因式 m2-k2+5m+3k+4 主元法分解因式 将m作主元，k作常数 利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式 =m2+5m- k2+3k+4 m (-k+4) =m2+5m+(-k+4)(k+1) 分解的方法称为公式法分解因式。 m (k+1) 例4 已知ab=-2，a-3b=5，求a3b-6a2b2+9ab3． =(m-k+4)(m+k+1) (-k+4+k+1)m=5m 解：a3b-6a2b2+9ab3=ab(a2-6ab+9b2) 6.双(长)十字相乘法 =ab(a-3b)2， 形如Am2+Bmk+Ck2+Dm+ Ek +F的代数 ∵ab=-2，a-3b=5， 式的因式分解。 ∴原式=-2×52=-50．步骤:①运用十字相乘法分解前的二次三项式; ②在这个十字相乘图右边再画一个十 字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右 端，使这两因数与含k的项交叉之积的和等于原多项 式中含k的一次项Ek,同时这两个因数与含m的项 的交叉之积的和等于原多项式中含m的一次项Dm. m2-2mk-8k2-m- 14k-6 m -4k -3 =(m-4k-3) (m+2k+2) m 2k 2 7.试根待定系数法 对于一元三次代数式Ax3+Bx2+Cx+ D先将 B C D 其化简为系数为1的形式：Ax3+ x2+ x+ A A A 3  [练6]利用十字相乘法分解因式： (1)x2+(a+2)x+2a (2)x2-(3+t)x+3t 解：(1)∵2a=2×a,1×a+1×2=a+2， ∴x2+(a+2)x+2a=(x+2)(x+a). (2)∵3t=(-3)×(-t),1×(-t)+1×(-3)=-(3+t)， ∴x2-(3+t)x+3t=(x-3)(x-t). [练7]分解因式： (1)xy-1+x-y (2)2x2+xy-y2-4x+5y-6 (3)x3-3x2+4. 解：⑴xy-1+x-y=xy+x-1-y=x(1+y)-(1 +y)=(x-1)(y+1); ⑵2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2-xy+2x)+ (2xy-y2+2y)-6x+3y-6 。 =x(2x-y+2)+y(2x-y+2)-3(2x-y+2)=(2x D 若上述代数式有有理根，则：± 所有因数中有一个 -y+2)(x+y-3). A 必是方程的根。 ⑶x3-3x2+4=x3+1-3(x2-1)=(x+1)(x2-x+ 1)-3(x+1)(x-1)=(x+1)(x2-4x+4) ①10的因子±1，±2，±5代 入原式可得：x=2时 =(x+1)(x-2)2. 原式=0，得因式:(x-2) x3-9x+10 [练8](2021春•邯郸高一期中)已知在底面半径为3、 ②待定系数设出剩余因式 =(x-2)∙ (x2+ax-5) 将式子展开，与原式对比 母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱。 可得：a=2 =(x-2)∙(x2+2x-5) ③检查一元二次代数式 (1)求圆柱的体积； 能否继续因式分解 (2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与 例5(2022•湖南模拟改编)设x3+ax+b=0，下列 (1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的 条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ( D ) 高；若不存在，请说明理由。 A.a=-3，b=2 B. a=-3，b=-2 解：(1)如图，已知OA=3，PA=5，BC=2， C. a=-4，b=3 D.a=1，b=2 圆锥的高OP= 52-32=4，∵BC=2， 解：A中，方程为(x-1)(x2+x-2)=0，即(x-1)2 1 ∴BC= OP，又OP⊥OA，BC⊥OA， (x+2)=0，可得方程有两个根1，-2，不符合题意， 2 B中，方程为(x-2)(x2+2x+1)=0，即(x+1)2 ∴AB= 1 OA= 3 ，则OB= 3 ， 2 2 2 (x-2)=0，可得方程有两个根-1，2，不符合题意C 3 故圆柱的体积V=π× 中，方程为(x-1)(x2+x-3)=0，即(x+1)2 2 (x-2)=0，可得方程有三个根，不符合题意 D中，方程为(x+1)(x2-x+2)=0，x2-x+2=0 无解，可得方程有一个根，符合题意 随堂练习 [练5]分解因式x3-1 解：x3-1=(x-1)(x2+x+1)  2 9π ×2= ． 2 (2)假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为h，底 h 3-r 面半径为r，则 = ， OP OA h 3-r 3 即 = ，∴r=3- h， 4 3 4 3 则π×3- h 4  P C 2 9π ×h= ， 2 O A B 整理得(h2-6h+4)(h-2)=0， 解得h=2或h=3± 5，∵h=3+ 5>4， 故不符合题意，舍去，故存在另外一个内接的圆柱与 (1)中圆柱体积相等，该圆柱的高为3- 5．[巩固5]分解因式： 课后提升 (1)x3+9+3x2+3x； [巩固1]分解因式 (2)2x2+xy-y2-4x+5y-6 (1)x2+3x+2 (2)x2+2x-15. 解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x 解：(1)因为2=2×1且1×1+1×2=3， +3)+3(x+3)=(x+3)(x2+3)． 所以x2+3x+2=(x+2)(x+1)； (2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+ (2)因为-15=5×(-3)且1×(-3)+1×5=2， 所以x2+2x-15=(x+5)(x-3)． 5y-6=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+ 2)(x+y-3)．或 [巩固2]已知a+b=7，ab=-2．求： 2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x- (1)a2+b2的值； (2)(a-b)2的值． 解：(1)∵a+b=7，ab=-2， 5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6 ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=a2+b2+(-4)=49． =(2x-y+2)(x+y-3)． ∴a2+b2=53． [巩固6]如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九 (2)∵a+b=7，ab=-2，∴(a-b)2=a2+b2-2ab= 块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边 a2+b2-(-4)=53+4=57． 长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等 小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm) [巩固3]分解因式： (1)用含m、n的代数式表示图中所有裁 (1)x3+2x2-5x-6 (2)x3-2x2-15x+16 剪线(虚线部分)的长度之和； 解：(1)原式=(x3+x2)+(x2-5x-6) (2)观察图形，可以发现代数式2m2+ =x2(x+1)+(x+1)(x-6) 5mn+2n2可以因式分解为_____； =(x+1)(x2+x-6) (3)若每块小长方形的面积为10cm2，四 =(x+1)(x-2)(x+3)． 个正方形的面积和为58cm2，试求m+n (2)当x=1时，x3-2x2-15x+16=0， ∴原式=(x-1)(x2-x-16) [巩固4]把下列各式分解因式： (1)x2-(a+b)x+ab (2)(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a. 解：(1)由题意x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)； (2)由题意，得(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a =(|x+y|-3)(|x+y|-a) 4  2的值。 解：(1)题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为 2m+2n  +22m+n  =6m+6n=6m+n  cm. (2)2m2+5mn+2n2可因式分解m+2n  2m+n  ， 故答案为m+2n  2m+n  . (3)依题意：2m2+2n2=58，mn=10， ∴m2+n2=29. ∵m+n  2=m2+2mn+n2， ∴m+n  m n m n m 2=29+20=49.第第二二讲讲 不不等等式式的的含含义义与与解解法法 以a>0为例： 模模块块一一 一一元元二二次次不不等等式式 Δ>0 Δ=0 Δ>0 课堂精讲 初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程 y>0 x 1 x 2 x x 0 x x 与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与 xx 2 x≠- b 全体实数 2a 二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与x轴交点 y<0 x 1 x 2 x x 0 x x 的横坐标。今天我们将探寻二次函数、二次方程与 x 0的解集表示的是一次函数y=kx+n在x 解：不等式化为x2-2x-3≤0，(x+1)(x-3)≤0 令(x+1)(x-3)=0，x =-1,x =3 轴上方时对应的自变量取值范围的集合。 1 2 令y=x2-2x-3，作出函数草图: 由此，我们可以知道:任意一个一元不等式，其 -1 3 x ∴ 不等式的解集是{x|-10的解集表示不等式对应的函数在x 3.成立与恒成立 轴上方时对应自变量取值范围的集合；不等式<0的 根据上面解一元二次不等式的方法，我们可知： 解集表示不等式对应的函数在x轴下方时对应自变 a>0  ax2+bx+c>0恒成立的条件是  量取值范围的集合。 Δ<0 a<0  ax2+bx+c<0恒成立的条件是  Δ<0 1.一元二次不等式 4.一元二次不等式的代数解读 形如：ax2+bx+c>0(a≠0)的不等式称为一 若一个一元二次不等式能进行因式分解，则可 元二次不等式。 以根据“ 同号得正，异号得负”的原则，将其转化为 一元一次不等式组求解。 2.一元二次不等式的解法 (1)令ax2+bx+c=0，计算：△=b2-4ac 当Δ>0时，解出方程两根：x,x ； 例2 解不等式x2+x-6>0 1 2 解：不等式左边可以因式分解，根据“ 正正(负负)得 (2)令y=ax2+bx+c，作出函数草图； 正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组 (3)根据不等式的含义翻译不等式，读取解集。 原不等式可以化为：(x+3)(x-2)>0， 注：作草图时只需画x轴。很多学生作函数草图 x+3<0 x<-3 x+3>0 x>-3      或     习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应 x-2<0 x<2 x-2>0 x>2 ∴原不等式的解是x<-3或x>2． 先画抛物线，再根据题意加x轴和y轴 5随堂练习 [练1]解下列不等式 (1) 2x2-x-1>0 (2) 6x2+5x<4 解：(1) 不等式可化为(2x+1)(x-1)>0 1 ∴ 不等式的解是 xx<- 或x>1 2 6   ．  (2) 不等式可化为(2x-1)(3x+4)<0， 4 1 ∴ 不等式的解集是 x- 0的解集。 原不等式可以化为：(x+a−1)(x−a)>0 1 解：①若a>−(a−1)即a> 则x>a或x<1−a 2 1 1 ②若a=−(a−1)即a= 则x− 2 2  [练5](2021秋•惠州高一期末)已知不等式(1-a)x2 -4x+6>0的解集是-30的解集是 {x|-30 ， 1 x≠ ,x∈R 2 1 ③若a<−(a−1)即a< 2 则x1−a [练6](2021秋•泸州高一期末) 已知函数y=2x2-2ax+1． [练3]已知对于任意实数x，kx2-2x+6恒为正数，求 (1)若ya+1-x． 解：显然k=0时，kx2-2x+6=-2x+6不恒为正 解：(1)∵f(x) 2) 0 2-4k⋅6<0 ⇒k> 6 1 ． ⇔2x2-2ax+1-b<0的解集{x|-1a+1-x ⇔2x2-2ax+1⇔2x2-(2a-1)x-a>0， [练4]已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解是x< 1 令2x2-(2a-1)x-a=0，则x=a或x=- ， 2 2或x>3，求不等式bx2+ax+c>0的解。 1 1 ①当a=- 时，则x≠- ， 2 2 解：由不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解为x<2或 1 1 ②当a>- 时，则x>a或x<- ，  a<0 2 2 x>3可知：  ， ax2+bx+c=0的两根是2和3 1 1 ③当a<- 时，则x>- 或x0 b c 可变为： x2+x+ <0， a a 即-5x2+x+6<0,整理，得5x2-x-6>0, 6 ∴不等式bx2+ax-c>0的解是x<-1，或x> ． 5   ，  1 1 当a>- 时，解集为{x|x>a或x<- }， 2 2 1 1 当a<- 时，解集为{x|x>- 或x0  (ax+b)(cx+d)>0 cx+d (ax+b)(cx+d)≤0 ax+b  ≤0   cx+d cx+d≠0 (ax+b)(cx+d)≥0 ax+b  ≥0   cx+d cx+d≠0 x−3 例3 解不等式： ≤0． x+7 解：∵两个式相除异号，那么这两个式相乘也异号， ∴可将分式不等式直接转化为整式不等式求解。 (x−3)(x+7)≤0 x−3  ∵ ≤0⇔ ⇔−70， 4 原不等式可化为：x+3≥0⇒x≥-3， ∴原不等式的解集为{x|x≥-3}． 找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找 模模块块三三 简简单单高高次次不不等等式式（（选选讲讲）） “线”在x轴下方的区间。 注：因式(x-x)n中，n为奇数时，曲线在x 点 1 1 课堂精讲 处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x 点处不穿过数 1 1.高次不等式： 轴，归纳为“奇穿偶不穿”。 定义：形如(x-x)(x-x )⋅⋅⋅(x-x )>0(<0) 1 2 n 的形式的不等式称之为高次不等式。 例4 解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； f(x) 解：①(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是-2，1，3， 变形：分式 >0(<0)可转化出高次不等式。 g(x) ②令x=0，y=(0-1)(0+2) (0-3)>0，即x=0时函数值为 2.数轴穿根法求解高次不等式 -2 0 1 3 x 正，图像画在x轴上方，由奇穿偶 1 将不等式化为(x-x)(x-x )⋅⋅⋅(x-x ) 1 2 n 不穿知：在x=-2时，（x+2）1的次数为1次是奇 >0(<0))，并将各因式x的系数化“+”； 数，∴图像会穿过根x=-2，同理图像也会穿过x=1 2 求根，并在数轴上表示出来； 和x=3。由图可不等式解集{x|-23} 3 由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点； 4 若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”，则[练11]解不等式 随堂练习 3 (1)x-2< x [练9]解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0 x3-1 (2) ≥0 解：①检查各因式中x的符号均正； (x+2)(x-3) x2-2x-3 ②求得相应方程的根为：-1，2，3 解：(1) <0x(x+1)(x-3)<0 x ③在数轴上表各根并穿线，每根穿一次如下图： x<-1或03}． ④∴原不等式的解集是{x|-1≤x≤3或x=-2}． 课后提升 [巩固1]解下列不等式： (1) x2-2x-8<0 (2) x2-4x+4≤0 (3) x2-x+2<0 (4)x2-x-6≥0 解：(1) 不等式可化为(x+2)(x-4)<0 ∴ 不等式的解集是{x|-20  k>0   (-2)2-4k2<0 k2-1>0 k>0   k>1 k<-1或k>1 1 [巩固4]已知不等式ax2+bx+1>0的解为- 1 (2) ≥3 1 x x+2 a×- 2 5-x 解：(1) >0⇒x(x-5)<0⇒01或x<-6．∴ 不等式解集为{x|x>1或 x<-6}[巩固5](2021秋•顺义区高一期末) 已知不等式ax2-5x+2<0． (1)若1是不等式的一个解，求a的取值范围； 1 (2)若ax2-5x+2<0的解集是 0，解得x< 或x>2， 2 3 ∴不等式的解集为{x|x< 或x>2}． 2 [巩固6]已知关于x的不等式ax2-x+1-a≤0． (1)当a>0时，解关于x的不等式； (2)当2≤x≤3时，不等式ax2-x+1-a≤0恒 成立，求实数a的取值范围。 解：(1)ax2-x+1-a≤0可化为(x-1)(ax+a-1)≤ 1-a 0，当a>0时，不等式化为(x-1)x- a  ≤0， 1-a 1 1-a ① 当 >1，即0 时，得 ≤x≤1． a 2 a 1 1-a 综上：当0 时，不等式的解集为{x ≤x≤1 2 a  ． (2)由题意不等式ax2-x+1-a≤0化为a(x2-1)≤x -1，当x∈[2，3]时，x-1∈[1，2]，且x+1∈[3，4]，∴ 1 1 原不等式可化为a≤ 恒成立，设f(x)= ，x∈ x+1 x+1 1 [2，3]，则f(x)的最小值为f(3)= ，∴a的取值范围是 4 1 -∞， 4  [巩固7]已知f(x)=ax2+bx+c． (1)当a=-1，b=2，c=4时，求f(x)≤1解集； (2)当f(1)=f(3)=0，且当x∈(1,3)时，f(x)≤1 恒成立，求实数a的最小值． 解：(Ⅰ)当a=-1，b=2，c=4时，f(x)=-x2+2x +4， 则f(x)≤1即x2-2x-3≥0， ∴(x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1，或x≥3． 所以不等式f(x)≤1的解集为{x|x≤-1，或x≥3}； (Ⅱ)因为f(1)=f(3)=0， 所以f(x)=a(x-1)(x-3)，f(x)=a(x-1)(x-3) 1 ≤1在x∈(1,3)恒成立，即-a≤ 在x (x-1)(3-x) ∈(1,3)恒成立， (x-1)+(3-x) 而0<(x-1)(3-x)≤  2 ．  2 =1，当且 仅当x-1=3-x，即x=2时取到等号． 1 ∴ ≥1， (x-1)(3-x) 所以-a≤1，即a≥-1． 所以a的最小值是-1； (Ⅱ)或解：f(x)=a(x-1)(x-3)≤1在x∈(1,3)恒 成立， 即a(x-1)(x-3)-1≤0在x∈(1,3)恒成立． 令g(x)=a(x-1)(x-3)-1=ax2-4ax+3a-1= a(x-2)2-a-1． ①当a=0时，g(x)=-1<0在x∈(1,3)上恒成立，符 合； ②当a>0时，易知在x∈(1,3)上恒成立，符合； ③当a<0时，则-a-1≤0，所以-1≤a<0． 综上所述，a≥-1所以a的最小值是-1．第第三三讲讲 基基本本不不等等式式 模模块块一一 基基本本不不等等式式 课堂精讲 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要 作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等 式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面 就来研究这个问题。 由完全平方公式：a-b 10  3.基本不等式的变形应用 应用条件：一正、二定、三相等 变式一：a+b≥2 ab，用求a+b的最小值。 变式二：a2+b2≥ab，用于求ab积的最大值。 1 例1 当x>0时，求x+ 的最小值。 x 1 1 解：∵x>0，∴x+ ≥2 x∙ =2 x x 1 2=a2+b2-2ab 当且仅当x= 时取等，即x=1时等号成立， x 1 我们知道,平方具有非负性，所以上面的代数式 ∴x+ 的最小值的是2 x 满足：a2+b2-2ab≥0  a2+b2≥2ab，该不等式 在数学中具有重要的作用，我们把：a2+b2≥2ab中a 随堂练习 a+b 和b代换为 a和 b，可得： ≥ ab. 4 2 [练1](2021秋•阎良区高一期末)函数y=x+ x-1 (x>1)的最小值是 ( C ) 1.基本不等式 A.3 B. 4 C. 5 D.6 a+b 对于任意两个正实数a，b有： ≥ ab，当 4 2 解：∵x>1，∴x-1>0，∴y=x+ x-1 a+b 且仅当a=b时，等号成立。我们称不等式 ≥ 2 4 4 =x-1+ +1≥2 (x-1)∙ +1=5 a+b x-1 x-1 ab为基本不等式，也称均值不等式。其中 叫 2 当且仅当x-1= 4 即x=3时取等号， x-1 a，b的算术平均值， ab叫做a，b的几何平均值。 4 ∴函数y=x+ (x>1)的最小值是5， x-1 [练2](2021秋•高要区校级期中)若x>1，则函数y= 2.基本不等式的几何解释 9 x+ 的最小值为 ( B ) 作一圆，直径为AB，过C作垂线，连接AC、BC x-1 a+b A.6 B. 7 C. 8 D.9 设AD=a，BD=b，则圆的半径OH= 2 9 9 由ΔACD~ΔBCD可得： AD = CD 解：∵x>1，x-1>0∴x+ x-1 =x-1+ x-1 CD BD 9  CD2=AD⋅BD，∴CD= ab +1≥2 (x-1)⋅ +1=7当且仅当x=4取等 (x-1) 由图可得不等式：OH≥CD恒成立，当且仅当 1 [练3]设x>0，则3-3x- 的最大值是 ( D ) x CD=OH，即OA=OB时取等号。 A.3 B. 3-2 2 H C C. -1 D.3-2 3 1 1 1 解：∵x>0，∴3x+ ≥2 3x⋅ =2 3，当且仅当3x= ， x x x A D O B 3 1 1 即x= 时等号成立．∴3-3x- =3-3x+ 3 x x  ≤3- 2 3[练4]当直线在x轴上和y轴上的截距(直线与坐标轴 [练5](2020•新课标Ⅱ改编)ΔABC中角A,B,C所对 的交点离原点的距离)分别为a,b时，直线的解析 边为a，b，c。已知：A=120°,a=3，求ΔABC周 x y 式可以用 + =1表示。已知直线l过点P(1 a b 长的取值范围。 ,2),与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O 解：由题意A=120°，a=3，可知：三角形ABC在以a 为坐标原点。 25 为弦长的圆上运动。如图所示，L=a+b+c (1)若ΔOAB的面积为 ，求直线l的方程； 4 (2)求ΔOAB的面积的最小值。 其中:(b+c)2=b2+c2+2bc x y 解：(1)由题意设直线l: + =1(a,b>0) 由均值不等式可知：b2+c2≥2bc a b 1 2  a + b =1  a=5 a= 5 ∴(b+c)2=b2+c2+2bc≥4bc,当且仅当b=c时取 则 ，解得 5 或 4 ， 1 25 b= S= 2 ab= 4 2 b=10 等，即△ABC为等腰△时周长可以取到最大值，此时： ∴直线l:x+2y-5=0或8x+y-10=0； a 2 a 由图可得： =sin60°⇒b= = 3, (2)∵1= 1 + 2 ≥2 1 ⋅ 2 ， b 2sin60° a b a b A ∴ab≥8， ∴L max =3 3, A 由△构成条件：b+c>a ∴S= 1 ab≥4，此时a=2，b=4， B C 2 ∴2 30，a+b=1，则 1 1 + 的最小值为 ( D ) a b A.0.5 B. 1 C. 2 D.4 1 1 解：∵ab>0，a+b=1，∴a>0，b>0， + = a b 1 1  + a b 12  b a (a+b)= + +2≥2+2=4， a b b a 1 (当且仅当 = ，即a=b= 时，等号成立) a b 2 2.结构化构造 通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的 二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写。 4 1 例4 若正实数x，y满足x+y=1，则 + 的 x+1 y 9 最小值为 2 解：∵x>0，y>0，x+y=1，∴x+1  +y=2， 4 1 x+1 + = x+1 y  +y 4 1 ∙( + ) 2 x+1 y 1 4y x+1 1 9 = (1+4+ + )≥ (5+2 4)= ，当 2 x+1 y 2 2 1 2 且仅当x= ，y= 取等号。 3 3 3.初识成立与恒成立 我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对 于成立与恒成立的翻译如下： 设词 结论 恒成立 a≤h(x) min a≤h(x) 有解 a≤h(x) max 成立 a≤h(x) max 恒成立 a≤h(x) max a≥h(x) 有解 a≤h(x) min 成立 a≤h(x) min 例5(2021秋•兰山期中)已知a>0，b>0，a+2b= ab，若2a+b≥2m2-9恒成立，则m的最大值 ( C ) A.1 B. 2 C. 3 D.7 1 2 解：2a+b=(2a+b) + b a  随堂练习 1 4 [练6]已知正实数x，y满足x+y=2，则 + 的最 x y 小值为 ( A ) 9 A. B. 5 C. 9 D.10 2 1 4 1 1 4 解： + =  + x y 2 x y 2b 2a =5+ + a b 2b 2a 2b 2a 1 2 ≥5+2 ⋅ =9，当且仅当 = 且 + a b a b b a =1，即a=b=3时取等号，2a+b≥2m2-9恒成立，则 (2a+b) ≥2m2-9，∴9≥2m2-9，得-3≤m≤3 min  ( x + y ) = 1 y 4x 1+ + +4 2 x y  1 y 4x ≥ 5+2 ⋅ 2 x y  9 = 2 1 2 [练7]已知x>0，y>0，2x+y=2，则 + 的最小 x y 值是 ( C ) A.1 B. 2 C. 4 D.6 1 2 1 2 解： + = + x y x y  1 y 4x (2x+y)× = + +4 2 x y  × 1 1 1 ≥(2 4+4)× =4，当x= ，y=1取等 2 2 2 2 [练8](2021秋•湛江期末)已知a>0，b>0，且 + a 1 =1，则2a+b的最小值是 ( B ) b A.8 B. 9 C. 10 D.11 2 1 解：2a+b=(2a+b) + a b  2b 2a = + +5，∵a>0，b> a b 2b 2a 2b 2a 2b 2a 0，∴ >0, >0，∴ + ≥2 ⋅ =4 a b a b a b [练9](2021秋•城厢区校级期中)已知m>0，n>0， 1 2 m+n=1，则 + 的最小值为 ( C ) m n+1 5 A.1 B. + 2 2 3 10 C. + 2 D. 2 3 1 2 1 解：∵m+n=1，∴m+(n+1)=2，则 + = [m+ m n+1 2 1 2 (n+1)] + m n+1  1 n+1 2m = 1+2+ + 2 m n+1  1 ≥ (3+ 2 3 2 2)= + 2，当且仅当m=2 2-2，n=3-2 2时 2 1 4 [练10]设a>0，b>0， + =2，则使得a+b≥m a b 恒成立，求m的取值范围是 ( C ) A.(-∞,9) B. (0，1] 9 C. -∞, 2  D.(-∞，8] 1 1 4 解：a+b= (a+b) + 2 a b  1 b 4a = 5+ + 2 a b  1 b 4a ≥ 5+2 ⋅ 2 a b  9 = ，当且仅当 b = 2,a = 2 3 时取“=”，若使得a+b≥m恒成立，则m的取 2 9 9 值范围是m≤ ，即-∞， 2 2  ．故选：C．2 1 [练11]若x>0，y>0，且 + =1，x+2y>m2+ x y 7m恒成立，则实数m的取值范围是 ( A ) A.-81 C. m<-1或m>8 D.-1m2+7m x y 恒成立，必有m2+7m<8，得-8 1 1 0,y>0)，且 + 的最小值为m． x+1 y (1)求m； (2)若关于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集为 全体实数，求a的取值范围。 解：(1)∵x+y=6(x>0,y>0)，∴(x+1)+y=7， 1 1 1 1 ∴ + =  + x+1 y x+1 y  1 [ ( x + 1 ) + y ] × = 7 y x+1  + +2 x+1 y  1 1 4 × ≥(2 1+2)× = ，当且仅当 7 7 7 y x+1 5 7 4 = ，即x= ，y= 时取等号，∴m= ． x+1 y 2 2 7 (2)关于x的不等式ax2-ax+m≥0的解集R⇔关于 4 x的不等式ax2-ax+ ≥0的解集R， 7 4 ①当a=0时， ≥0恒成立， 7 a>0  16 ②当 16 时，则00)． x-1 (1)若m=1，求当x>1时函数的最小值； (2)当x<1时，函数有最大值-3，求m的值。 1 1 解：(1)m=1时，y=x+ =x-1+ +1． x-1 x-1 ∵x>1，∴x-1>0． 1 1 ∴y=x-1+ +1≥2 (x-1) +1=3． x-1 x-1 1 当且仅当x-1= ，即x=2时取等号． x-1 ∴当x>1时函数的最小值为3． (2)∵x<1，∴x-1<0． m m ∴y=x-1+ +1=-1-x+ x-1 1-x ．  +1≤ m -2 (1-x) +1=-2 m+1． 1-x m 当且仅当1-x= ，即x=1- m时取等号． 1-x 即函数的最大值为-2 m+1，∴-2 m+1=-3,解 得：m=4． (2)年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并 模模块块三三 基基本本不不等等式式解解决决应应用用题题 求出最低成． 课堂精讲 解：(1)年产量为x，年利润为z万元，根据题意得： x2 初中阶段我们学习了用函数方法解决实际生活 z=16x- 10 -30x+4000 中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学 习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。 例6 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150 吨至250吨之间时，其生产的总成本y(万元)与年产 x2 量(吨)之间的函数关系式近似地表示为y= - 10 30x+4000．问： (1)每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨 时，可获得最大利润？并求出最大利润；  x2 1 =- +46x-4000=- (x- 10 10 230)2+1290，(150≤x≤250)， 当x=230时，z =1290(万元)， max x2 (2)年产量为x吨时，每吨的平均成本为W万元，为y= - 10 y x 4000 1 40000 30x+4000．∴W= = -30= x+ x 10 x 10 x  - 30，(150≤x≤250)， 40000 ∵x+ ≥2 40000=400(x=200等号成立) x 1 ∴x=200时，W = ×400-30=10． 最小 10 年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．随堂练习 [练14]在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 y(千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时) 920υ 之间的函数关系为：y= (υ>0)． υ2+3υ+1600 (1)在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时， 车流量最大？最大车流量为多少? (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小 时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 920υ 920 解：(1)y= = υ2+3υ+1600 1600 3+v+ v 14  [练15]某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与 k 年促销费用m万元(m≥0)满足：x=3- m+1 (k为常数)，不搞促销，该产品年销售量是1万件。 已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每 生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每 件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5 倍(成本为固定投入和再投入)。 (1)求产品利润y与年促销费用m的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家利润最大? 920 ≤ ， 83 解：(1)当m=0时，x=1，∴1=3-k，即k=2， 2 8+16x 1600 ∴x=3- ；每件产品售价为1.5× 当且仅当v= ，即v=40时，上式等号成立， m+1 x v 8+16x 920 ∴y=x 1.5× ∴y = (千辆/时)．  x max 83 920 当v=40km/h时，车流量最大，约为 千辆/时 83 920υ (2)由条件得 >10， υ2+3υ+1600 整理得v2-89v+1600<0， 即(v-25)(v-64)<0，解得250，y>0， + x y =1，则2x+y的最小值为 ( C ) A.7 B. 8 C. 9 D.10 2 1 解：2x + y = (2x + y) + x y  2y 2x = 5 + + ≥ 5 + x y 2x 2y 2x 2y 2 ⋅ =9，当且仅当 = ，即x=y=3时取等号． y x y x [巩固2](2021秋•桐庐县校级月考)已知x>0，y> 1 1 0，且x+2y=1，则 + 的最小值是 ( B ) x y A. 2+1 B. 3+2 2 C. 2-1 D.3-2 2 1 1 1 1 解： + =  + x y x y  2 [巩固3](2021秋•湖北月考)若正实数m，n满足 m 1 + =1，则2m+n的最小值为 ( D ) n A.4 2 B. 6 C. 2 2 D.9 2 1 解：2m + n = (2m + n) + m n 2y x (x+2y)=3+ + ≥3+ x y 2y x 2y x 2 ⋅ =3+2 2，当且仅当 = ，x= 2y时等 x y x y  2m 2n = + + 5 ≥ n m 2m 2n 2m 2n 2 ⋅ +5=9，当且仅当 = ，即m=n=3取等 n m n m 1 9 [巩固4]设a>0，b>0， + =1，若不等式a+b≥ a b m恒成立，则实数m的取值范围是 ( B ) A.(-∞，8] B. (-∞，16] C. (-∞，7] D.[16，+∞) 1 9 解：a+b=(a+b) + a b  9a b =1+ + +9≥10 b a 9a b +2 ⋅ =16，当且仅当b=3a，a=4，b=12，上 b a 式取得等号，由a+b≥m恒成立，可得m≤(a+b) min =16，1 [巩固5]若实数x+2y=4x>1,y> 2 15  1 ，则 + x-1 1 的最小值为 ( D ) 2y-1 1 4 A. B. 1 C. D.2 2 3 解：令m=x-1,n=2y-1，∴m+n=2，∴ 1 + 1 = 1 m n 2 1 1 ( m + n )  + m n  1 m n = 1+ + +1 2 n m  ≥ 1 m n 2+2 ⋅ 2 n m  x-1 2y-1 =2，当且仅当 = 且x+2y 2y-1 x-1 =4即y=1，x=2时取等号 2 1 [巩固6]已知x>0，y>0，且x+2y=1， + ≥m2 x y +7m恒成立，则实数m的取值范围是 ( A ) A.-8≤m≤1 B. m≤-8或m≥1 C. -1≤m≤8 D.m≤-1或m≥8 2 1 2 1 解： + =(x+2y) + x y x y  4y x = + +4≥4+2 4= x y 4y x 1 2 1 8(当 = 即x=2y= 时取等)∵不等式 + ≥m2+ x y 2 x y 7m成立，∴m2+7m≤8，得-8≤m≤1． 2 3 [巩固7]设x>0，y>0，设 + =1，若3x+2y> x y m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是 ( C ) A.{x|x≤-6或x≥4} B. {x|x≤-4或x≥6} C. {x|-6m2+ 2m恒成立，m2+2m<24，解得m∈(-6,4)． 5 1 [巩固8](1)x< ，求y=4x-2+ 的最大值 4 4x-5 x2+2 (2)求函数y= (x>1)的最小值。 x-1 1 1 解：(1)y=4x-2+ =- (5-4x)+ 4x-5  5-4x  x2-6x+3 m [巩固9]函数y = ,y = ,x>0 1 x 2 x (1)求y 的最大值与最小值； 1 (2)当1≤x≤5时，y ≥y 恒成立，求实数m的取 1 2 值范围。 x2-6x+3 3 解：(1)∵x>0，∴f(x)= =x+ -6≥ x x 2 3-6，当且仅当x= 3时取等号， ∴函数f(x)的值域为[2 3-6，+∞)． (2)当x∈[2，5]时，f(x)≥g(x)恒成立，即x2-6x+ 3≥m，x∈[2，5]恒成立， 又x2-6x+3=(x-3)2-6≥-6， ∴-6≥m，即实数m的取值范围为(-∞，-6]． [巩固10]某旅游公司在相距为100km的两景点间开 设了一个游船观光项目。游船最大时速为50km/h， 游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游 船速度为20km/h时，燃料费用为每小时60元。其它 费用为每小时240元，单程的收入为6000元。 (1)当游船以30km/h航行时，旅游公司单程获得 的利润是多少？(利润=收入-成本) (2)游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利 润最大，最大利润是多少？ 解：(1)设游船的速度为v(km/h)，旅游公司单程获得 的利润为y(元)， ∵游船的燃料费用为每小时k∙v2元，依题意k∙202= 3 60，则k= ．(2分) 20 3 100 100 ∴y=6000- v2∙ +240∙ 20 v v +3 1 ≤-2 (5-4x)⋅ +3=-2+3=1，当且仅当x= 5-4x x2+2 1 时 ，f (x) 取得最大值 1；(2) ∴ y = = x-1 (x-1)2+2(x-1)+3 3 = ( x - 1 ) + + 2 ≥ x-1 x-1 3 2 (x-1)⋅ +2=2 3+2， 当且仅当x=1+ 3 x-1 时，y取得最小值2 3+2．  =6000-15v 24000 - (01  可以写为x|x>1  ; (2)写简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、 集合图形等； (3)不能出现未被说明的字母，如x∈Z|x=2m  中m未被说明，故元素是不确定的； (4)所有描述的内容都要写在花括号内，如 “x∈Z|x=2m  ,m∈N”不符合要求，应将“m∈N” 写进“  ”中，即x∈Z|x=2m,m∈N  ； (5)多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元 素之间关系的词语，如x|x>1或x<-2   例2 用适当的方法表示下列集合． 2x-3y=14 (1)方程组  的解集； 3x+2y=8 2x-3y=14 x=4 解：  ，得  ，故解集为{(4,-2)}； 3x+2y=8 y=-2 (2)1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； 解：集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x= 3k+2，k∈N且x<1000}． (3)直角坐标平面上第二象限内的点构成的集合； 解：集合的代表元素是点(x,y)，用描述法表示为{(x ,y)|x<0且y>0} (4)所有三角形构成的集合． 解：集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{ 三角形}． 5.数集与点集 (1)对于集合A=x|x2+x-1=0 ．  ，A中的元素是 方程x2+x-1=0的解，A即方程的解构成的集合； 不等式型的数集在分析问题时，借助数轴进行分析。 (2)对于集合N= x,y   |2x-y+4=0  ，N中的元 素为直线2x-y+4=0上的所有的点构成的集合； 点集在分析时，可以借助平面直角坐标系进行分析。 随堂练习 [练1（] 多选）下列各组不能构成集合的是 ( BC ) A.数学必修一课本中所有的难题； B. 本班16岁以下的全体同学； C. 方程x-4的所有解； D. 2的近似值的全体． 解：A不能，集合具有确定性，而“难题”无法确定具体范 围，不构成集合．B能，能确定具体范围，且元素之间可 区分，满足集合要求，能构成集合．C能，x-4解为x= 4，是确定的，能组成集合．D不能，集合具有确定性，对 “近似”的精确度没有明确，不能组成集合[练2]下列四组对象中能构成集合的是 ( D ) [练6]用描述法表示下列集合： A.昆明八中学习好的学生 (1){2，4，6，8，10，12}； 1 2 3 4 5 B. 在数轴上与原点非常近的点 (2){ ， ， ， ， }； 3 4 5 6 7 C. 很小的实数 (3)正偶数集； D.倒数等于本身的数 (4)被3除余2的正整数组成的集合； 解：∵集合中的元素具有确定性，而对于A，B，C，学习 (5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； 好、非常近、很小都是模糊的概念，没有明确的标准，不符 解：(6){1，22，32，42，…}． 合确定性；∴A，B，C错误，对于D，符合集合的定义，D (1){x∈N|2≤x≤12，且x是偶数}； 正确，故选：D． (2){x|x= n ，n∈N且1≤n≤5}； n+2 [练3]下面四个说法中错误的是 ( CD ) (3){x∈N*|x=2k，k∈Z} A.10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} (4){x∈N*|x=3n+2，n∈Z}； B. 由1，2，3组成集合可为{1，2，3}或{3，2，1} (5){(x,y)|x∙y=0，x∈R，y∈R}； C. 方程x2-2x+1=0的所有解的集合是{1，1} (6){x|x=n2，n∈N*}． D.0与{0}表示同一个集合 解：10以内质数的集合是{2，3，5，7}，故A正确； 由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同 一集合，故B正确； [练7]已知集合A={x|x2-2x+k>0}， 方程x2-2x+1=0的所有解的集合是{1}，C错 (1)当k=-3时，求集合A； 由集合的表示方法知0不是集合，故D错误 (2)若A=R，求实数k的取值范围。 x+y=3 [练4]下列集合表示  解集的是 ( C ) x-y=1 解：(1)k=-3时，由x2-2x-3>0 A.{2，1} B. {x=2，y=1} 得(x-3)(x+1)>0， C. {(2,1)} D.{(1,2)} ∴x<-1或x>3， 解：∵   x+y=3 ∴   x=2 ∴A={x|x<-1或x>3}． x-y=1 y=1 (2)依题意x2-2x+k>0对一切实数x恒成立， 则方程组  x+y=3 的解集的是{(2,1)}选：C． x-y=1 则△=(-2)2-4k<0，…(6分)解得k>1， [练5]用另一种方法表示下列集合 即实数k的取值范围是(1,+∞)． (1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}； (2){0，1，4，9，16，25，36，49}； (3){平面直角坐标系中第二象限内的点}． 解：(1){(x,y)|2x+3y=12，x，y∈N}={(3,2)，(6,0)， (0,4)}；(2){0，1，4，9，16，25，36，49}={x|x=n2，n∈ N，0≤n≤7}； (3){平面直角坐标系中第二象限内的点}={(x,y)|x< 0，y>0}． 18模模块块二二 元元素素与与集集合合的的关关系系 课堂精讲 1.元素与集合的关系 关系 概 念 记 法 读 法 a是集合A的元素，就说a a属于集 属 于 a∈A 属于集合A 合A a不是集合A中的元素，就 a不属于 不属 a∉A 于 说a不属于集合A 集合A 例3 设集合A={x|x<2}，则 ( D ) A.2∈A B. 3⊆A C. 3∉A D. 3∈A 解：∵A中元素范围为(-∞,2)，则AC错误，D正确， 而选项B，符号⊆表示集合与集合的关系，∴B错， 2.元素的特性 性质 含 义 示 例 对于任意一个元素，要么 确定 它属于某个指定集合，要 集合A=1,2,3 性 么它不属于该集合，二者 必居其一 19  ，则1∈ A，4∉A 同一个集合中的元素是互 方程x2-2x+1=0的 互异 根构成的集合只有一个 不相同的，相同的元素只 性 元素1，不出现两个重复 出现一次 的1 集合中的元素没有先后顺 无序 序，任意改变集合中元素 集合1,2 性 的排列顺序，它们仍然表 示同一集合  和2,1  随堂练习 1 [练1]给出关系：① ∈R；② 2∈Q；③|-3|∈N；④ 2 |- 3|∈Z；⑤0∉N，正确的有几个 ( B ) A.1 B. 2 C. 3 D.4 1 解：① ∈R，正确；② 2∈Q，错误；③|-3|∈N，正 2 确；④|- 3|∈Z，错误；⑤0∉N，错误，正确2． [练2]下列关系中正确的是 ( C ) A. 2∉R B. 0∈N* 1 C. ∈Q D. π2∈Z 3 解：A. 2∈实数，∴A错；B.N*是正整数集，可知0 1 ∉N*，∴B错,C. 是有理数，∴C正确；D. π2=π 3 是无理数，Z是正整数集，∴D错；故选：C． [练3]已知集合M={a，2a-1，2a2-1}，若1∈M，则 M中所有元素之和为 ( C ) A.3 B. 1 C. -3 D.-1 解：若a=1，则2a-1=1，不满足集合的互异性，舍 去．若2a-1=1，则a=1，不满足集合的互异 性，舍去．若2a2-1=1，则a=-1，或a=1，由(1)可 知a=1不合题意，当a=-1时，2a-1=-3，此时M ={-1，-3，1}，故M中∴元素之和为-3．故选：C． [练4]A=1,2,3 是同 一个集合 例4A={x，x2}(x∈R)，若1∈A，则x= -1 解：集合A={x，x2}(x∈R)，∵1∈A，即x=1或x2 =1，得x=1或x=-1当x=1时，违背集合互异性 例5 若2∈{1，a2+1，a+1}，则a= ( D ) A.2 B. 1或-1 C. 1 D.-1 解：2∈{1，a2+1，a+1}，则a+1=2或a2+1=2，∴ a=1或-1，当a=1时，a2+1=a+1，不合异性，舍 去；当a=-1时，a+1=0，a2+1=2，合题，a=-1  ，集合B=zz=x-y,x,y∈A  ，则 集合B中元素的个数为 ( B ) A.4 B. 5 C. 6 D.7 解：∵A=1,2,3  ，B=zz=x-y,x∈A,y∈A  ，∴ x=1,2,3，y=1,2,3当x=1时，x-y=0,-1,-2当x =2时，x-y=1,0,-1当x=3时，x-y=2,1,0即x -y=-2,-1,0,1,2，即B=-2,-1,0,1,2  共5个元素 [练5]已知集合P={-1，2a+1，a2-1}，若0∈P，则 实数a的取值集合为 ( C ) 1 A. - ,-1  2  B. {-1，1} 1 C. - ,1  2  1 D. - ,-1,1  2  解：由于集合P={-1，2a+1，a2-1}，0∈P，∴2a+1 1 1 =0或a2-1=0，∴a=- 或a=±1；当a=- 时，a2 2 2 3 -1=- ，满足条件；当a=1时，2a+1=3，满足条件； 4 当a=-1时，2a+1=-1，与元素的互异性矛盾，舍去；[练6]用符号“∈”或“∉”填空 (1) 0 ∈ N， 5 ∉ N， 16 ∈ N； (2) 2- 3 + 2+ 3 ∈ {x|x=a+ 6b，a ∈Q，b∈Q}． 解：(1)∵0是自然数，∴0∈N；∵ 5不是自然数，∴ 5 ∉N；∵ 16=4是自然数，∴ 16∈N； (2)∵( 2- 3+ 2+ 3)2=2- 3+2+ 3+2=6， ∴ 2- 3+ 2+ 3= 6=0+1× 6，故 2- 3+ 2+ 3∈{x|x=a+ 6b，a∈Q，b∈Q}． b [练7]含有三个实数的集合既可表示为{b, ,0}，也可 a 表示为{a，a+b，1}，则a+b值为 0 。 b 解：∵集合{b， ，0}={a，a+b，1}， a b 由于 中a≠0，∴a+b一定等于0，即a+b=0，a= a b -b；∴ =-1，在后一种表示的集合中有一个元素是1， a 只能是b，∴b=1，∴a=-1，∴a+b=0，故答案为：0。 [练8]已知集合A=xax2-3x+2=0 20  ，若A中至少 9 -∞, 有一个元素，则a的取值范围是 8  解：A中至少有一元素，则ax2-3x+2=0至少有一解 当a=0时，方程ax2-3x+2=0等价为-3x+2=0，即 2 x= ，满足条件． 3 9 当a≠0，判别式Δ=9-8a≥0，解得a≤ 且a≠0． 8 9 9 综上，a的取值范围为a≤ ，即a∈-∞, 8 8  [练9]设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若-2也是集合A的一个元素，求实数x． 解： [练10]已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}． (1)集合A中的方程无解，求实数a的取值范围； (2)若A是单元素集，求a的值及集合A． 解：(1)若A=∅，则集合A无真子集， 这时关于x的方程ax2-3x+2=0无实数解， 9 则a≠0，且△=9-8a<0，解得a> ； 8 (2)若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分 为两种情况： 2 2 ①a=0时，-3x+2=0，x= ，A={ }； 3 3 ②a≠0时，则△=9-8a=0， 9 4 解得a= ，A={ }； 8 3 [巩固2]A={x∈Z|-12}，则 ( B ) D.到一个定点的距离等于定长的点的全体 A.3∉A B. 5∈A 解：选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标 C. 2∈A D.0∈A 准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组 解：∵集合A={x|x>2}，∴3∈A，A错误； 5∈A， 成集合．故选：D． B正确；2∉A，C错误；0∉A，D错误．[巩固4]若集合{x|ax2-x+1=0}中只有一个元素， 则实数a的值为 ( D ) 1 1 A. B. 0 C. 4 D.0或 4 4 解：分类讨论(1)当a=0时，方程的解为x=1，符合 1 题意；(2)当a≠0时，由△=1-4a=0得a= ． 4 [巩固5]根据所学，用符号“∈”或“∉”填空。 (1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 ∈ A，美国 ∉ A，印度 ∈ A； (2)若A=x|x2=x 21  ，则-1 ∉ A； (3)若A=x|x2+x-6=0  ，则3 ∉ A； (4)若A=x∈N|1≤x≤10  ，则8 ∈ A， 9.1 ∉ A． [巩固6]方程的解集为x∈R|2x2-3x-2=0  [巩固9]集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，a∈R． 1 (1)若 ∈A，用列举法表示A； 2 (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值组成的集 合B． 1 1 解：(1)∵ ∈A，∴ 是方程ax2+2x+1=0的根， 2 2 1 1 ∴a( )2+2× +1=0，解得a=-8．∴方程为 2 2 -8x2+2x+1=0． 1 1 1 1 ∴x = ，x =- ，此时A=- , 1 2 2 4  4 2 ，用列 1 {- ,2} 举法表示为 2 1 1 解：2x2-3x-2=0得x=- 或x=2，故{- ,2} 2 2 [巩固7]已知集合B={a，a2，2}，1∈B，则实数a的 值为 -1 解：∵1∈B，B={a，a2，2}，∴a2=1，解得a=±1，a =1时，不满足元素互异性，∴a=-1． [巩固8]用列举法表示下列集合： (1)A={x|x(x2-4)=0，x∈R}； x+y=5 (2)B={(x,y)|   }； 2x-y=1 (3)C={x∈N|-3≤2x+1<5}． 解：(1)由x(x2-4)=0解得x=0，或x=±2，则A= {0，-2，2}； x+y=5 (2)由  ，解得x=2，y=3，则B={(2,3)}； 2x-y=1 (3)由-3≤2x+1<5，解得-2≤x<2，x∈N，则C ={0，1}．  ． 1 (2)若a=0，则方程为2x+1=0，x=- ，A中仅有 2 一个元素； 若a≠0，A中仅有一个元素，则△=4-4a=0，即a =1，方程有两个相等的实根x =x =-1．故所求集 1 2 合B={0，1}． [巩固10]已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}． (1)若1∈A，用列举法表示A； (2)当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的 集合B． 解：A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}． (1)当1∈A时，ax2+2x+1=0的实数根为1， ∴a+2+1=0，解得a=-3； ∴方程为-3x2+2x+1=0， 1 1 解得x=1或x=- ；∴A={1，- }； 3 3 1 (2)当a=0时，2x+1=0，解得x=- ， 2 1 A={- }； 2 当a≠0时，若集合A只有一个元素， 由一元二次方程ax2+2x+1=0 判别式△=4-4a=0，解得a=1； 综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素 ∴a的值组成的集合B={0，1}．第第五五讲讲 集集合合的的关关系系与与运运算算 模模块块一一 集集合合的的关关系系 课堂精讲 ◎情境1观察集合：E为第一中学高二(5)班全体女 生组成的集合，F为这个班全体同学组成的集合． ♦问题：集合F都包含集合E的元素吗？ ♦设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集 合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。 ◎情境2我们知道，实数可以比较大小，如1<2．类 比实数比较大小，集合是否也可以“比较大小”呢？ ♦问题1:数学中，我们常用平面上封闭曲线的内部 代表集合，这种图称为Veen图。集合A=1,2,3 22  ， B=1,2,3  ,C=1,2,3,4  ，把A、B、C用韦恩图表 示如下，你能说出集合A与B，C之间的关系吗？ ♦问题2:已知集合A=x|x>0  ,B=x|x>-1  B A 或 B(A) 特别提醒： ♦“A是B的子集”含义是：A的任何一个元素都是 B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B． ♦当A不是B的子集时，我们记作“A⊈(或B⊉)”， 读作：“A不包含于B”(或“B不包含A”)． 2.集合相等 若集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是 集合A的子集(B⊆A)，则此时两集合元素一样，那 么就说集合A与集合B相等，记作A=B． 3.真子集 若A⊆B且A≠B，就说集合A真包含于集合B (或集合B真包含集合A)，那么集合A是集合B的 真子集，记作A⊊B或(B⊋A)． ， B A 尝试用数轴表示集合A、B，你能说出集合A与集合 B之间的关系吗？ 4.空集 定义：不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示 ♦设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合 的关系有初步的感知。 的真子集，空集本身没有真子集。 例1 已知集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x= 1.子集 2n，n∈N*}，则 ( A ) 一般地，两个集合A，B，若集合A中任意一个元 A.A⊆B B. B⊆A 素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包 C. A∩B=∅ D.A=B 解：集合A={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，16，…}， 含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B B={x|x=2n，n∈N*}={2，4，6，8，10，12，14， ⊇A)读作“A含于B”(或B包含A)． 16，…}，所以A⊆B．故选：A．例2 下列各组中M、P表示同一集合的是 ( C ) [练5]已知集合A={2，4，a2}，B={2，a+6}，若B⊆ A.M={3，-1}，P={(3,-1)}； A，则a= ( C ) B. M={(3,1)}，P={(1,3)}； A.-3 B. -2 C. 3 D.-2或3 C. M={y|y=x2-1}，P={t|t=x2-1}； 解：因为B⊆A，若a+6=4，则a=-2，a2=4，集合 D.M={y|y=x2-1}，P={(x,y)|y=x2-1} A中的元素不满足互异性，舍去；若a+6=a2，则a= 解：在A中，M={3，-1}是数集，P={(3,-1)}是点 集，二者不是同一集合，A错；在B中，M={(3,1)}，P 3或-2，因为a≠-2，所以a=3．故选：C． ={(1,3)}表示不同点，B错；在C中，M={y|y=x2- [练6]已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}， 1}=[-1，∞)，P={t|t=x2-1}=[-1，+∞)，故C (1)若A只有一个元素，求a值，并求出这个元素； 正确；在D中，M={y|y=x2-1}是数集，P={(x,y) |y=x2-1}是一条抛物线，D错。选C. (2)若A是空集，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 随堂练习 解：(1)若A中只有一个元素， 则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根， [练1]下列集合与集合A={1，3}相等的是 ( C ) 当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，x= A.(1,3) 1 - ， B. {(1,3)} 2 当a≠0，此时△=4-4a=0，得：a=1，此时x=-1 C. {x|x2-4x+3=0} (2)若A是空集，则方程ax2+2x+1=0无解 D.{(x,y)|x=1，y=3} 此时△=4-4a<0，解得：a>1. 解：∵{x|x2-4x+3=0}={1，3}，∴与集合A={1， (3)若A中至多只有一个元素， 3}相等的是{x|x2-4x+3=0}．故选：C． 则A为空集，或有且只有一个元素， [练2]若集合M={x|x≤6}，a= 5，则下面结论中正 由(1)(2)得满足条件的a的范围是：a=0或a≥1. 确的是 ( A ) [练7]已知y=x2-2mx+1，m为常数。 A.{a}⊂M B. a⊂M (1)若y≤0的解集为空集，求m的取值范围． C. {a}∈M D.a∉M (2)若A={x|1≤x≤2}是B={x|x2-2mx+1 解：∵集合M={x|x≤6}，a= 5，∴{a}⊂M ≤0}的子集，求m的取值范围。 [练3]设集合P={y|y=x2+1)，M={x|y=x2+1}， 解：(1)∵y≤0的解集为空集， 则集合M与集合P的关系是 ( D ) ∴△=(-2m)2-4<0， A.M=P B. P∈M C. M⊊P D.P⊊M 解得：-10  ∴f(1)≤0 ， 合B的子集个数为 ( C ) f(2)≤0 A.4 B. 8 C. 16 D.32 解得：m≥ 5 ， 4 解：∵A={1，2}，∴B={(x,y)|x∈A，y∈A}={(1 5 ∴m的取值范围为：[ ，+∞)． 4 ,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，∴集合B子集个数为24=16 23模模块块二二 集集合合的的运运算算 课堂精讲 我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。集合是 否也有类似的运算呢？ 观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说 出集合A与集合B之间的关系吗？ (1)A=1,3,5 24  ，B=1,3,4,6  ，C=1,3,4,5,6  (2)A=x/x是有理数   ，B=x/x是无理数   , C=x/x是实数   在上述两个问题中，集合A，B与集合C之间都 具有这样一种关系：集合C是由所有属于集合A或 属于集合B的元素组成的。 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元 素组成的集合，称为集合A与B的并集,记作A∪B （读作“A并B”），即A∪B={x  3.交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素组 成的集合称为集合A与B的交集,记作A∩B（读 作“A交B”），即A∩B={x x∈A或x∈B} A B A⋃B 例3 若集合M={-2，-1，1}，集合N={0，1}，则M ∪N等于 ( A ) A.{-2，-1，0，1} B. {-2，-1，1} C. {-2，-1，0} D.{1} 解：∵M={-2，-1，1}，N={0，1}，∴M∪N= {-2，-1，0，1}．故选：A． 2.并集的性质 A∪A=A A∪∅=A A∪B=A  B⊆A 若x∈(A∪B)，则x∈A或x∈B. A∪B=∅x ∉A且x ∉B 0 0  x∈A且x∈B} A A∩B B 例4 已知集合A={x|2x-1>5}，B={3，4，5，6}， 则A∩B= ( D ) A.∅ B. {3} C. {3，4，5，6} D.{4，5，6} 解：由题意：∵集合A={x|2x-1>5}={x|x>3}， B={3，4，5，6}，∴A∩B={4,5,6}．故选：D． 4.交集的性质 A∩A=A A∩∅=∅ A∩B=A  A⊆B. 若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B 例5(2021•荔湾区校级模拟)已知集合A={(x，y)|x +ay-a=0}，B={(x，y)|ax+(2a+3)y-1= 0}．若A∩B=∅，则实数a= ( A ) A.3 B. -1 C. 3或-1 D.-3或1 1×(2a+3)-a×a=0  解：若A∩B=∅，则  ，得a=3 1×(-1)+a×a≠0 在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的 范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由 自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的 研究范围扩充到实数。在不同范围研究同一个问 题，可能有不同的结果。例如：方程 x-2  x2-3  =0的解集，在有理数范围内只有一个解2，即: x∈Q/x-2  x2-3   =0  =2  在实数范围内有三个解：2， 3，- 3，即: x∈R/x-2  x2-3   =0  =2, 3,- 3 5.全集 一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所 有元素，那么就称这个集合为全集 ，通常记作U． 6.补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补 集，简称为集合A的补集，记作∁ A，即: U ∁ A={x U 25  [练3](2021•湖北模拟)设集合A={x|x2-16<0}，B ={x|x2-5x-6≤0}，则A∪B= ( C ) A.{x|-1≤x<4} B. {x|-1≤x≤4} C. {x|-42} C. {x|x≤-1，或x≥2} D.{x|-12}． R   ，则∁ A= ( B )  U A.{2} B. {1，2} C. {2，3} D.{0，1，2} x-3 解：由 ≥0，得x<1或x≥3，∴A={x|x<1 x-1 或x≥3，x∈N}，U=N，则∁ A={x|1≤x<3，x∈ U N}={1，2}[练8]设集合A={2，3，5}，B={x∈Z|x2-6x+m< 0}，A∩B={3}，则A∪B= ( C ) A.{2，3，4} B. {1，2，3，4，5} C. {2，3，5} D.{2，3，4，5} 解：∵A∩B={3}，B={x∈Z|x2-6x+m<0}，∴3是x2- 6x+m<0的解，2，5不是x2-6x+m<0的解，故△>0，又 ∵y=x2-6x+m的图象关于x=3对称，∴B={x∈Z|x2- 6x+m<0}={3},A∪B={2，3，5} [练9]已知集合A={x|2≤x≤3}，集合B={x|a ， a 3 2 1 综上：a的取值范围是-∞,- 3  1 ∪ ,+∞ 2  ∪0  [练11]设全集是R，集合A=xx2-2x-3>0 .  ，B= x1-a3   ， ∴∁ R A  =x-1≤x≤3  ．若a=1，则B= x02，a的取值范围2,+∞ 2a+3>3  ． 选③：A∩B=∅，B=x1-a2 C. a≥2 D.a≤2 解：由已知可得M=[0，2]，N=(-∞,a)，因为M⊆ N，则只需a>2，故选：B． [巩固5]集合A={x|x2+x-6≤0}，B={x|1-x≤ 2m}，且A∩B={x|-1≤x≤2}，则m= ( D ) A.2 B. 0 C. -1 D.1 解：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥1-2m}，A∩ B={x|-1≤x≤2}，∴1-2m=-1，解得m=1． [巩固6](2021•B卷模拟)设全集为R，A={x|y= x-1}，B={y|y= x-1}，则B∩∁ A= ( A ) R A.[0，1) B. [0，1] C. {0} D.∅ 解：由题意：A=[1，+∞)，∁ A=(-∞，1)，B=[0， R +∞)，则B∩∁ A=[0，1)．故选：A． R [巩固7](2021•广州二模)已知集合P={x|-3≤x≤ 1}，Q={y|y=x2+2x}，则P∪(∁ Q)= ( D ) R A.[-3，-1) B. [-1，1] C. (-∞，-1] D.(-∞，1] 解：∵集合P={x|-3≤x≤1}，Q={y|y=x2+2x} ={y|y=(x+1)2-1}={y|y≥-1}，∴∁ Q={y|y< R -1},则P∪(∁ Q)={x|x≤1}=(-∞,1]． R [巩固8]集 合 A = x|-2≤x≤5 27  ， B = x|m+10}，满足B∪C=C， 求实数a的取值范围。 解：(1)∵B=x|2x-4≥x-2  =xx≥2  ， ∴A∩B=x2≤x<3  ， ∴C UA∩B  =x|x<2或x≥3  . (2)由B∪C=C得B⊆C， a 又因为C= x|2x+a>0}=xx>-  2    a 所以- <2， 2 解得a>-4.所以实数a的取值范围是a>-4 [巩固11]集合A={x|-3≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤ 2m-1}． (1)若B⊆A，求实数m的取值范围； (2)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时 成立，求实数m的取值范围。 解：(1)∵B⊆A， ∴①B=∅时，m+1>2m-1，解得m<2； m≥2  ②B≠∅时，m+1≥-3，解得2≤m≤4， 2m-1≤7 综上，实数m的取值范围为(-∞，4]； (2)由题意知，A∩B=∅， ①B=∅时，m<2； m≥2 m≥2 ②B≠∅时，  或  ，得m> m+1>7 2m-1<-3 6 ∴实数m的取值范围为(-∞，2)∪(6，+∞)．第第六六讲讲 逻逻辑辑用用语语 模模块块一一 充充要要条条件件 1.充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推 课堂精讲 理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作 在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一 p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条 般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 件。如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能 真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命 推出结论q，记作p  q．此时，我们就说p不是q 题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多 的充分条件，q不是p的必要条件。 命题可以写成“若p，则q”或“如果p，那么q”等形 式。其中p称为命题的条件，q称为命题的结论。本 ♦唯一性：给定条件p,由p推出q成立时，q推出的 结果不唯一，则必要性不成立。 节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考 eg:x=1⇒x 察“若p，则q”形式的命题中p和q的关系，学习数 学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条 件和充要条件。 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？ 哪些是假命题？ (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四 边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2-4x+3=0，则x＝１； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b 在命题(1)(4)中，由条件p通过推理可以得出结 论q，所以它们是真命题。在命题(2)(3)中，由条件p 不能得出结论q，所以它们是假命题。 28  =1，x  =1⇒x=±1，则x=1是x  =1的充分不必要条件。 ♦不等式推论：小范围不等式成立⇒大范围不等式 成立，反之不成立(小可推大，大不可推小) 例1 设p:x> 2，q:x2>2，p是q成立的 ( B ) A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解：q:x2>2，解得x> 2或x<- 2；若p:x> 2 成立，则q:x2>2成立，反之，若q:x2>2成立，则p: x> 2未必成立；即p是q成立的充分不必要条件， 故选：B。 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它 们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分 别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则两个三角形周长相等；(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝０有两个不 [练4](多选)若x2-x-2<0是-20 是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件， C. a<-1 D.a>1 我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件. 解：ax2+2x+1=0，(a≠0)有一个正根和一个负根 1 的充要条件是x ×x = <0，即a<0， 1 2 a 随堂练习 而a<0的一个充分不必要条件是a<-1故选：C。 [练1]设a，b，c 是实数，则“a> b”是“ac2>bc2”的 [练6]x∈R，则“|x-2|<1”是“x2+2x-3>0”的 ( A ) ( B ) A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.不充分也不必要条件 解：由“ac2>bc2” ⇒ “a>b”，反之不成立，例如c= C. 充要条件 0时，“a>b”是“ac2>bc2必要不充分条件。故选：B。 D.既不充分也不必要条件 [练2]“|x-1|<2”是“x<3”的 ( A ) 解：|x-2|<1，得10，得x<-3 A.充分不必要条件 或x>1，“11”成立，而 B. 必要不充分条件 “x<-3或x>1”成立，“10”的充分不必要条件. D.既不充分也不必要条件 [练7]“一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的一个 解：由|x-1|<2，可得-1 D.m<4 [练3]已知p：x≥k，q：(x+1)(2-x)<0，如果p是q 4 的充分不必要条件，则实数k的范围是 ( B ) 解：若一元二次方程x2+x+m=0”有实数解， A.[2，+∞) B. (2，+∞) 则判别式△=1-4m≥0，解得m≤ 1 。 4 C. [1，+∞) D.(-∞，-1] ∴ “一元二次方程x2+x+m=0”有实数解的一个充 解：由q：(x+1)(2-x)<0，得x<-1或x>2，又p 分不必要条件是m<- 1 ，故选：A。 4 是q的充分不必要条件，k>2，即k的范围是(2，+∞) 29[练8]已知集合A={x|m-10，且“x∈A”是“x∈∁ B”的充分不必要 R 数m的取值范围。 条件，求实数a的取值范围。 解：(1)集合A={x|m-10，且“x∈A”是“x∈∁ B”的充分不必要 R A≠∅时，可能m2+1≤-2，或2≤m-1，解得：m∈ 条件， ∅，或m≥3。 A={x|2-a≤x≤2+a}(a>0)，∁ B={x|11  ∴A⊊∁ B，则 2+a<4解得00 m2+1≤2 范围是：(0,1)。 解得：-10 D.∀x∈R，有x2<0 ③“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件 解：∵x∈R，∴x2≥0，∴∀x∈R，有x2≥0，故选：B。 ④关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集为 [练11]下列命题是真命题且是全称量词的是 ( D ) R，则m≤4。 其中所有正确命题的序号是 ②③④ 。 A.对∀a，b∈R，都有a2+b2-2a-2b+2<0 解：对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和 B. 菱形的两条对角线相等 结论都否定，正确；对于③，若x>1，则|x|>0。若|x| C. ∃x∈R，x2=x >0，则x不一定大于1；对于④，f(x)=|x+1|+|x- D.一次函数在定义域上是单调函数 3|表示数轴上点x到-1和3的距离之和。 解：A中含有全称量词“∀”，∵a2+b2-2a-2b+2= [练15]已知命题p：∃x∈R，m+1 (a-1)2+(b-1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述 上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对 角线不一定相等，∴B是假命题，C是存在量词命题。 [练12]若命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0“是 假命题，则实数m的取值范围是 ( C ) A.(-∞，3] B. [-1，+∞) C. [-1，3] D.[3，+∞) 解：命题“∀x∈[0，3]，有x2-2x-m≠0 “是假命题 则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 “成立是 真命题，故m=x2-2x=(x-1)2-1。 由于x∈[0，3]，所以m∈[-1，3]。故选：C。 [练13]已知命题p:∃x∈R，ax2+x+1≤0，若命题p 是假命题，则a的取值范围为 ( C ) 1 1 A.a< B. a≥ 4 4 1 1 C. a> D.a> 或a=0 4 4 解：命题p:∃x∈R，ax2+x+1≤0的否定为¬p:∀x ∈R，ax2+x+1>0，∵命题p是假命题，∴¬p:∀x ∈R，ax2+x+1>0为真命题。当a=0时，不成立，  a>0 1 则  ，即a> 。故选：C。 △=1-4a<0 4 31  x2+1  ≤0，命 题q：∀x∈R，x2-mx+1>0恒成立.若p∧q为 假命题，则实数m的取值范围为 ( B ) A.m≥2 B. m≤-2或m>-1 C. m≤-2或m≥2 D.-1-1.故选：B. [练16]已知集合A={x|0≤x≤a}，集合B={x|m2+ 3≤x≤m2+4}，如果命题“∃m∈R，使得A∩B ≠∅”为假命题，求实数a的取值范围. 解：命题“∃m∈R，使得A∩B≠∅”为假命题，则其 否定命题“∀m∈R，A∩B=∅”为真命题 当a<0时，集合A={x|0≤x≤a}=∅，符合A∩B =∅，当a≥0时，∵m2+3>0，所以∀m∈R，A∩B =∅得a2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件 解：(1)命题“若x≠1，则x2-3x+2≠0”的逆否命题是 “若x2-3x+2=0，则x=1”，正确；(2)若命题p:∀x∈ R，x2+x+1≠0，则¬p:∃x∈R，x2+x+1=0，正确； (3)若p∨q为真命题，则p，q均为真命题，是假命题；(4) x2-3x+2>0，得x>2或x<1。∴ “x>2”是“x2- 3x+2>0”的充分不必要条件。 [巩固2](2022•呼和浩特一模)集合A={x|x≥0}，B ={x|x-2>0}，则x∈A是x∈B的 ( B ) A.充分不要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分他不要条件 解：A={x|x≥0}，B:x-2>0，得x>2，即B=(2 ,+∞)．因此“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件． [巩固3](2022•天津模拟)设x∈R，则“x≤3”是“x2 ≤3x”的 ( B ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：∵x2≤3x，∴0≤x≤3，∵[0，3]⊊(-∞，3]， ∴x≤3是x2≤3x的必要不充分条件， [巩固4](2022•岳阳楼区校级一模)“x=2022”是“x2 -2022x+2021=0”的 ( D ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由x2-2022x+2021=0，解得：x=2021或x=1，故 “x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的既不充分也不 必要条件， 32  ，B={x|(x-1)(2x+m)<0}． (1)当m=1时，求A∪B； (2)已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m 的取值范围． 2x+1 x+2 解：(1)由 <1，得 <0，得-21，即m<-2，此时不符合题意，舍去； 2 m 若- =1，即m=-2，B=∅，符合题意； 2 m m 若- <1，即m>-2，则B={x- 4， 即B=(4,+∞)； (2)因为A={x|3a0． (1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在m，使得¬p是q的必要条件？若存 在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 5 2x-3 解：(1)由 ≥2得 ≤0，故有p:-1 ． 2 2 若¬p是q的必要条件，则q⇒¬p成立， 3 则2m≤-1或-m> ， 2 显然这两个不等式均与m>0矛盾，故不存在的m． [巩固8]设命题p：对任意x∈0,1 33  ，不等式2x-2≥ m2-3m恒成立；命题q：存在x∈-1,1  ，使得不 等式x2-x-1+m≤0成立. (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 解：(1)对于命题p：对任意x∈0,1  ，不等式2x-2≥ m2-3m恒成立，而x∈0,1  ，有2x-2  =-2，∴ min -2≥m2-3m，∴1≤m≤2， 所以p为真时，实数m的取值范围是1≤m≤2； (2)命题q：存在x∈-1,1  ，使得不等式x2-x+m- 1≤0成立，只需x2-x+m-1  [巩固9]p:∃x ∈R，使得ax2-2x -1>0成立；q：方 0 0 0 程x2+(a-3)x+a=0有两个不相等正实根； (1)写出¬p； (2)若命题¬p为真命题，求实数a的取值范围； (3)若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题， 求实数a的取值范围． 解：(1)p:∃x ∈R，使得ax2-2x -1>0成立；∴¬p 0 0 0 ∀x∈R，ax2-2x-1≤0成立． (2)a≥0时ax2-2x-1≤0不恒成立． a<0 a<0 由  ，即  ，解得a≤-1． △≤0 4+4a≤0 ∴实数a的取值范围：(-∞，-1]． (3)设方程x2+(a-3)x+a=0两个不相等正实根为 x 、x ． 1 2 △>0 (a-3)2-4a>0   命题q为真⇔x +x >0 ⇔(3-a)>0 解得 1 2 xx >0 a>0 1 2 0-1  ①当p真q假时，则  得-1 4 4 5 ≤2，综上，m<1或 2a，解得a<1； 2a≥a+1  当B≠∅时，2a≤4 解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围为(-∞，2]． a+1>14.利用基本不等式的知识解决下列问题： 4 (1)已知x>3，求 +x的最小值； x-3 1 3 (2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求 + 的最小值． x y 2 1 (3)已知正实数x，y满足x+y=2，若不等式 + ≥m2+4m恒成立，求实数m的取值范围。 x 2y 4 4 4 解：(1)∵x>3，∴x-3>0，∴ +x= +(x-3)+3≥2 ×(3-x)+3=4+3=7， x-3 x-3 3-x 4 4 当且仅当 =3-x，即x=5时取等号，∴ +x的最小值为7． 3-x x-3 x y (2)∵x，y∈R+，x+y=4，可得 + =1， 4 4 1 3 1 1 3 ∴ + = (x+y) + x y 4 x y 35  1 y 3x =1+  + 4 x y  1 y 3x 3 ≥1+2× ⋅ =1+ ． 4 x y 2 1 3 3 当且仅当y= 3x，即x=2( 3-1)，y=2(3- 3)时取“=”号．即 + 的最小值为1+ ． x y 2 2 1 1 2 1 (3)∵ + =  + x 2y 2 x 2y  1 5 2y x (x+y)=  + + 2 2 x 2y  1 5 2y x ≥  +2 ⋅ 2 2 x 2y  9 = ， 4 2 2 1 9 2 1 当且仅当x=2y= 时， + 有最小值 ，由不等式 + ≥m2+4m恒成立， 3 x 2y 4 x 2y 9 9 1 9 1 ∴ ≥m2+4m恒成立，∴- ≤m≤ ，故实数m的取值范围 - ， 4 2 2  2 2  ； 5.第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行．主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层， 并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C(万 k 元)，隔热层厚度为x(厘米)，两者满足关系式：C= (0≤x≤10，k为常数)．若无隔热层，则每年的能源 2x+5 消耗费用为6万元.15年的总维修费用为10万元．记W为15年的总费用．(总费用=隔热层的建造成本费用 +使用15年的能源消耗费用+15年的总维修费用) (1)求W关于x的表达式； (2)请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用W最小，并求出最小值． k 30 解：(1)依题意，当x=0时，C=6，∴6= ，∴k=30故C(x)= 5 2x+5 30 450 f(x)=4x+ ∙15+10=4x+ +10,(0≤x≤10) 2x+5 2x+5 450 450 (2)f(x)=4x+ +10=(4x+10)+ 2x+5 2x+5 450 450 =2(2x+5)+ ≥2 2(2x+5)∙ =60 2x+5 2x+5 450 当且仅当2(2x+5)= ，即当x=5时取得最小值， 2x+5 ∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．第第七七讲讲 函函数数概概念念与与有有界界性性 2.函数三要素 模模块块一一 函函数数的的概概念念 由前面函数的定义可知，两个变量关系要构成 课堂精讲 函数关系，需要具备以下三个要素:定义域、对应关 系f、值域。 初中阶段，我们学习了函数的概念与简单的函 函数定义域的约束常常有以下几类较为重要： 数。初中阶段函数的定义：一般的，在一个变化过程 1 分式的分母不能为零； 中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确 2 对数的真数大于零； 定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x 3 根号下被开方数大于等于零。 称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 ④零指数幂的底数不能为0 大家思考：由初中定义出发，y=1是函数吗？ 3.函数的有界性(第一性质) 1.函数的概念 高等数学中对函数有界性有严格的定义。中学 设A，B是两个非空的数集，如果按某种确定的 阶段，我们为了研究函数性质的便捷性，把定义域、 对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在 值域、渐近线的约束通称为函数的有界性。 集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么 称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记 4.区间概念(a，b为实数，且aa} {x|x≤a} 区间 (-∞，+∞) [a，+∞) (a，+∞) (-∞，a] 36例2 求下列函数的定义域。 x+12 (1)y= - 1-x x+1 1 (2)y= 2x2-3x-2+ . 4-x x+1≠0， x≠-1， 解：(1)由  得  ∴定义域为{x|x 1-x≥0， x≤1. 2x2-3x-2≥0，  ≤ 1 且 x ≠ -1}． (2) 由 4-x≥0， 得 x ≤ 4-x≠0， 1 1 - 或2≤x<4，∴定义域为-∞，- 2 2 37  x 解：A.y=20=1，定义域为R，y= =1，(x≠0)，定义域不相 x x|x| 同，不是同一函数；B.y= =|x|，两函数对应法则不同，C. x 由x2+x≥0得x≥0或x≤-1，即定义域为(-∞，-1]∪[0， +∞)，由  x≥0 得  x≥0 ，得x≥0，两函数定义域不相 x+1≥0 x≥-1 同，不是同一函数．D.y= 3(t+1)3=t+1，两函数的定义域 和对应法则相同，是同一函数； [练3]下列四个命题 (1)f(x)= 有意义； ∪[2,4)． (2)f(x)表示的是含有 的代数式 例3 下列选项中能表示同一个函数的是 ( B ) (3)函数y=2x(x∈N)的图象是一直线； x2-1 A.y=x+1与y= x-1 (4)函数y= 的图象是抛物线， B. y=x2+1与s=t2+1 其中正确的命题个数是 ( D ) C. y=2x与y=2x(x≥0) A.1 B. 2 C. 3 D.0 D.y=(x+1)2与y=x2 解：因为命题(1)中，函数的定义域为空集，因此表达式无意 解：A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不 义，命题错误；命题(2)中，当 为常函数，f(x)是不 是同一个函数；B，虽然变量不同，但定义域和对应关 含有 的代数式，命题错误；命题(3)中，函数 系均相同，是同一个函数；对于选项C，虽然对应关系 的图象是由离散的点组成的，不是直线，命 相同，但定义域不同，不是同一个函数；对于选项D， 虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数． 题错误；命题(4)中，作出函数y= 的图象如图 所示，不是一条抛物线，命题错误.故选：D 随堂练习 x-2 [练4]函数f(x)= 的定义域为 ( B ) x2+1 [练1]下列对应关系中A到B的函数的是 ( B ) A.(-1，2] A.A⊆R，B⊆R，x2+y2=1 B. [2，+∞) B. A={-1,0,1}，B={1,2}，f：x→y=|x|+1 1 C. (-∞,-1)∪[1，+∞) C. A=R，B=R，f：x→y= x-2 D.(-∞,-1)∪[2，+∞) D.A=Z，B=Z，f：x→y= 2x-1 x-2 x-2 解：A，x2+y2=1可化为y=± 1-x2，显然对任意x 解：f(x)= x2+1 ，令 x2+1 ≥0，得x-2≥0，解得 ∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定 x≥2，所以f(x)的定义域为[2，+∞)．选：B． 义；B，符合函数的定义；C,2∈A，在此时对应关系无 2x+1，x≥0， 意义，故不符合函数的定义；D，-1∈A，但在集合B [练5]已知函数f(x)= 3x2，x<0， 且f(x 0 )=3，则 中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义． 实数x 的值为 ( C ) 0 [练2] 下列各组函数中表示同一函数的是 ( D ) A.-1 B. 1 x A.y=20与y= 1 x C. -1或1 D.-1或- 3 x|x| B. y=±1与y= x 解：当x 0 ≥0时，f(x 0 )=2x 0 +1=3，所以x 0 =1；当x 0 C. y= x2+x与y= x x+1 <0时，f(x )=3x2=3，所以x =-1. 0 0 0 D.y=x+1与y= 3(t+1)3[练6]若函数 f(x)= x2+ax+1的定义域为实数集 R，则实数a的取值范围为 ( D ) A.(-2，2) B. (-∞，-2)∪(2，+∞) C. (-∞，-2 ∪ 38  2，+∞) D. -2，2  解：∵函数 fx  = x2+ax+1 定义域为R，∴开口 向上的二次函数的图象，与x 轴没有交点，即Δ=a2 -4≤0,-2≤a≤2，实数a的取值范围为-2，2  ， -x2+1，x≥0， 1  - [练7]f(x)= 1 则f(f(2))= 4 . ，x<0， x-1 1 解：f(2)=-22+1=-3，∴f(f(2))=f(-3)=- . 4 2 [练8]f(x)=x+ ，且f(a)=f(2)，则 = 1或2 . x 解：由f(a)=f(2)得 ，解得 或 . 1 [练9]已知f(x)= (x∈R且x≠-1)，g(x)=x2 1+x +2 (x∈R)． (1)求f(2)，g(2)的值 (2)求f(g(2))的值． 1 解：(1)因为f(x)= ， 1+x 1 1 所以f(2)= = .又因为g(x)=x2+2，所以g 1+2 3 (2)=22+2=6. 1 1 (2)f(g(2))=f(6)= = . 1+6 7 [练10]已知函数fx  =3x2+5x-2. (1)求f3  ，fa+1  的值； (2)若fa  =-4，求a的值. 解：(1)∵fx  =3x2+5x-2， ∴f3  =3×32+5×3-2=40， fa+1  =3×a+1  2+5×a+1  -2=3a2+11a+6； (2)令fa  =-4， 即fa  1 [练11]已知函数f(x)= 4-x+ 的定义域为 x+3 集合A，集合B={x|a-10 所以A=(-3，4]，∁ A=(-∞，-3]∪(4,+∞)； R (2)B={x|a-10 解：由题意，  ，解得-20 为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一函数；B．f(x)的定 5 A.-2 B. 2或- 义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是 2 同一函数；C．f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为 C. 2或-2 D.2或-2或- 5 2 {x|x≠1}，定义域不同，不是同一函数； 解：当x≤0时，f(x)=x2+1=5，得x=±2，又x≤0， D．f(x)=x的定义域为R，g(x)= 3x3=x的定义域为 5 ∴x=-2；当x>0时，f(x)=-2x=5，得x=- ，舍 R，且解析式相同，是同一函数． 21 [巩固6]若函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数g(x)= [巩固10](1)求函数f(x)= 4-x+ 定义域； x f(2x-1) (2)求函数g(x)=x+ 1 (x>2)的最小值． 的定义域为 ( A ) x-2 x-1 4-x≥0 x≤4 A.(1，2] B. (1，5] C. [1，2] D.[1，5] 解：(1)∵   x≠0 ，∴   x≠0 ⇒x≤4且x≠0， 1 解：∵ f(x) 的定义域为 [1，3]，∴在函数 g(x) = ∴函数f(x)= 4-x+ 的定义域是(-∞，0)∪(0， x f(2x-1) 中应满足  1≤2x-1≤3 ，得10 (2)∵x>2，∴x-2>0 ∴函数g(x)的定义域为(1，2]．故选：A． 1 1 又g(x)=x+ =(x-2)+ +2， x-2 x-2 1   2 x-1 (x≥0) 1 1 [巩固7]设函数f(x)= ，若f(a)=a， ∵(x-2)+ ≥2 (x-2)⋅ =2，  1 x-2 x-2  (x<0) x 1 当且仅当x-2= ，即x=3时取“=”， x-2 则实数a的值为 ( B ) 1 ∴g(x)=x+ (x>2)的最小值为4． x-2 A.±1 B. -1 C. -2或-1 D.±1或-2 [巩固11](2020秋•辽源期末)已知f(x)是一次函数， 1 解：由题意知，f(a)=a；当a≥0时，有 a-1=a， 2 1 且满足3f(x+1)-2f(x-1)=x+3． 解得a=-2，(舍去)；当a<0时，有 =a，解得a= a 1(舍去)或a=-1．∴实数a 的值是：a=-1． (1)求函数f(x)的解析式； [巩固8]已知f(x)定义域为[1，3]，则f(2x+5)定义域 (2)当x∈[1，2]时，若函数g(x)=x∙f(x)-2ax 1 为[-2，-1]． +2的最小值为- ，求a的值． 4 解：由题意得：1≤2x+5≤3， 解：(1)设f(x)=kx+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=kx 解得：-2≤x≤-1， +(5k+b)， 故函数f(2x+5)的定义域是[-2，-1]， ∵3f(x+1)-2f(x-1)=x+3， ∴k=1且5k+b=3， 1 [巩固9]已知函数f(x)= x+3+ ． x+2 ∴b=-2， (1)求f(x)的定义域和f(-3)的值； ∴f(x)=x-2； (2)因为x∈[1，2]时，g(x)=x2-2x-2ax+2=x2 (2)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值． -2(1+a)x+2， x+3≥0 解：(1)要使函数有意义，则  ， 对称轴x=a+1， x+2≠0 ①当a+1≤1时，即a≤0时，g(x) =g(1)=1-2a， x≥-3 min 所以  ，所以x≥-3且x≠-2， 1 5 x≠-2 则1-2a=- 得a= ，此时不成立； 4 8 即函数的定义域为[-3，2)∪(2，+∞)． ②当10时，f(a)= a+3 + ，f(a-1)= 则-a2-2a+1=- 得a= 或a=- (舍)； a+2 4 2 2 1 a+2+ ． ③当a+1≥2，即a≥1时，g(x) =g(2)=2-4a． a+1 min 1 9 则2-4a=- 得a= ，此时不成立， 4 16 1 综上可得：a= ． 2 42第第八八讲讲 函函数数单单调调性性及及应应用用 模模块块一一 单单调调性性与与函函数数最最值值 课堂精讲 我们知道画出函数图象，通过观察和分析图象 特征，可以得到函数的一些性质。观察下列函数图 象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势。 y y O x -1 O 1 x 观察上面的函数图可知：第一幅图象，y随x的 增大而增大；第二幅图象在x∈-∞,-1 43  ,0,1  上 y随x的增大而减小，在x∈-1,0  ,1,+∞  上y随 x的增大而增大。这样的性质描述在高中阶段我们 称之为函数单调性。在高中阶段，我们很难画出复 杂的函数在连续情况下的图象，由此我们需要借助 代数运算的方法来辅助我们判断函数的单调性。下 面我们将用符号语言刻画这种性质。 画出f(x)=x2的图象如下： y f(x) 1 f(x) 2 x x x 1 2 由图象可以看到：图象在x轴左侧部分从左到 右是下降的，即当x<0时，f(x)随x的增大而减小。 用符号语言描述:∀取x 1 ，x 2 ∈-∞,0  ，得f(x)=x2 1 1 ,f(x )=x2，当x f(x )．这时函 2 2 1 2 1 2 数f(x)=x2在区间-∞,0  1.函数单调性： 设任意实数x 、x ∈[a,b],且x 0f(x)在[a,b]上是减函数。 1 2 y y f(x) f(x) 1 2 f(x) f(x) 2 1 x 1 x 2x x 1 x 2 x 例1 若f(x)在R上递减且f(2m-1)3m+1，得m<-2，m的范围为(-∞，-2) x+1 例2 函数f(x)= ，证明函数在(-2，+∞)上单 x+2 调递增。 解：证明：∀x ，x ∈(-2，+∞)，且x >x >-2， 1 2 1 2 x+1 1 ∵f(x)= =1- x+2 x+2 1 1 x -x 则f(x)-f(x )= - = 1 2 1 2 x +2 x +2 (x +2)(x +2) 2 1 1 2 ∵x >x >-2， 1 2 ∴x -x >0，x +2>0，x +2>0， 1 2 1 2 x -x ∴ 1 2 >0，∴f(x)>f(x )， (x +2)(x +2) 1 2 1 2 ∴f(x)在(-2，+∞)上单调递增. 2.函数最值 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足:①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x ∈I,使得f (x )=M， 0 0 那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。 利用单调性判断函数的最大(小)值：如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上 单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 上是单调递减的。2 例3 f(x)= ，x∈1,2 x 44  ，则f(x)值域是 1,2  2 解：∵函数y= 在区间1,2 x  上为增函数， 当x∈1,2  2 2 2 2 时， ≤ ≤ ，即1≤ ≤2. 2 x 1 x 2 ∴函数y= ，x∈1,2 x  的值域为1,2  . 随堂练习 [练1]函数f(x)是(-∞，+∞)上的减函数，则 ( D ) A. f(a)>f(2a) B. f(a2)0，∴a2+1>a，∵f(x)在(-∞,+∞)上为减 4 函数，∴f(a2+1)0成立，则必有 ( A ) a-b A. f(x)在R上是增函数 B. f(x)在R上是减函数 C. 函数f(x)先增后减 D.函数f(x)先减后增 f(a)-f(b) 解：由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即ab时，f(a)>f(b)，∴f(x)在R上增函数  ． 解：∵f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且f(1-a)0 或  a<0 ，得00，∵x ∈(1,+∞)，x ∈(1,+∞)， 1 2 2 1 1 2 ∴(x -1)>0，(x -1)>0，∴f(x )-f(x )>0，即f 1 2 1 2 (x)>f(x )，∴f(x)在(1,+∞)上单调递减． 1 2 2 (2)由(1)知函数f(x)= 在[2，6]上单调递减， x-1 当x=2时f(x)取最大值，则f(x) =f(2)=2； max 2 当x=6时f(x)取最小值，则f(x) =f(6)= ． min 5[练9](2017秋•宝安区期末)已知函数 f(x)=ax- b 1 (a,b∈N*)，f(1)= 且f(2)<2． x+1 2 (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数y=f(x)在区间(-1,+∞)上 的单调性。 b 1 b+1 b 解：(1)∵f(1)=a- = ，a= ，由f(2)=2a- < 2 2 2 3 3 2，∴b< ，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1； 2 1 (2)由(1)f(x)=x- 函数在(-1,+∞)单增 x+1 证明：任取x，x 且-10，∴(x 1 -x 2 )   1+ (x +1) 1 (x +1) 1 2 1 2  [练11]已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R， a≠0)，f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设g(x)=f(-x)-mx+1，若g(x)在[-1，1] 上是单调函数，求实数m的取值范围； (3)设h(x)=f(x)-nx+2，若h(x)在[-1，1]上 的最小值是1，求实数n的值。 解：(1)由于二次函数f(x)=ax2+bx+c满足 f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1， 则f(-1)=-1， 4a-2b+c=0  < 故实数a，b，c满足的关系式为c=0 ， a-b+c=-1 0， 即f(x)0)，工厂若想在第6天获 ①当n≥0时，则1+ ≥1， 2 得最大利润，求n的范围。 函数h(x)在区间[-1，1]上为减函数， 解：(1)设y与x之间函数关系式为y=ax2+bx+c， 则h(x) =h(1)=1-(2+n)+2=1-n=1，得n=0； min   a+b+c=96 ②当n≤-4时，则1+ n ≤-1， 由(1，96)，(2，100)，(3，104)得， 4a+2b+c=100， 2   9a+3b+c=104 函数h(x)在区间[-1，1]上为增函数， a=0 h(x) =h(-1)=1+(2+n)+2=5+n=1，得n=-4  min 得： b=4 ，∴y=4x+92； ③当-4f (-m+9)，则实数m的取值范围是 ( C ) A.(-∞，-3) B. (0，+∞) C. (3，+∞) D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 解：∵函数y=f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f (-m+9)，∴2m>-m+9，解得 m>3，故选：C [巩固2]定义在R上的函数 fx 46  ，对任意的x ,x ∈R 1 2 (x ≠x )，都有 fx 1 1 2  -fx 2  >0，且f3 x -x 1 2  =2，则不等 式fx-1  ≤2的解集为 ( C ) A.(-∞,2] B. [2,+∞) C. (-∞,4] D.[4,+∞) 解：因为 fx 1  -fx 2  >0，所以fx x -x 1 2  在R上单调递 增．因为f3  =2，所以fx  ≤2的解集为(-∞,3]， 则fx-1  ≤2的解集为(-∞,4]．故选：C [巩固3](2021秋•深圳校级月考)函数y=(x+1)-2的 递增区间是 (-∞,-1) . 解：令t=x+1(x≠-1)，则y=t-2， 由t=x+1在(-∞,-1)，(-1,+∞)均为增函数， 而y=t-2在(-∞,0)递增，所以函数y=(x+1)-2的 增区间为(-∞,-1)．故答案为：(-∞,-1)． [巩固4](2021秋•三明期中)函数f(x)=4x2-kx-8在 [2，10]上具有单调性，k的范围(-∞，16]∪[80，+∞)． 解：根据二次函数的单调性知： k f(x)在-∞， 8  k 上为减函数，在 ，+∞ 8  b 3 [巩固5]f(x)=ax+ 经过点A(1,0)，B2,- x 2 上为增函 k k 数；∴ ≥10，或 ≤2解得k≥80，或k≤16． 8 8 ∴实数k的取值范围为(-∞，16]∪[80，+∞)．故答 案为：(-∞，16]∪[80，+∞)．  ． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并证明； 1 (3)求f(x)在区间  ,1  2  上的值域。 3 解：(1) ∵ f(x) 的图象过 A(1,0)，B2,- 2  ，∴ a+b=0   b 3 ，解得  a=-1 ，∴f(x)=-x+ 1 2a+ =- b=1 x 2 2 1 (2)函数f(x)=-x+ 在(0,+∞)上为减函数， x 证明如下：设任意x ，x ∈(0,+∞)，且x 0，xx +1>0． 1 2 1 2 1 2 由x 0，∴f(x)-f(x)>0， 1 2 2 1 1 2 即f(x)>f(x)，∴f(x)在(0,+∞)上为减函数． 1 2 1 1 (3)由(2)知，函数f(x)=-x+ 在  ,1 x 2  上为减函数， 1 ∴f(x) =f(1)=0，f(x) =f min max 2  3 = 2 [巩固6](2021秋•沈阳期中)若f(x)是定义在(0,+∞) x 上的函数满足f y  =f(x)-f(y)，当x>1时，f(x)>0 (1)判断并证明函数的单调性； 1 (2)若f(2)=1，解不等式f(x+3)-f x  <2． 解：(1)f(x)在(0,+∞)上是增函数，证明如下： x 设x >x >0，则 1 >1， 1 2 x 2 x ∴根据f y  =f(x)-f(y)，且当x>1时，f(x)>0得：f x (x)-f(x)=f 1 1 2 x 2  >0， ∴f(x)>f(x)， 1 2 ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数； (2)∵f(2)=1， 4 ∴f 2  =f(4)-f(2)=f(4)-1=1，∴f(4)=2， 1 ∴由f(x+3)-f x  <2得，f[x(x+3)]0  ∴x>0 ，解得00 解：(1)f(x)定义域为 R，关于原点对称．∵ f(-x)= |-x|[(-x)2+1]=|x|(x2+1)=f(x)∴ f(x)是偶函数． (2)f(x)定义域为{x|x>0}由于定义域关于原点不对称 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)f(x)定义域为 R，关于原点对称∵ f(-x)==|x- 1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，∴f(x)是奇函数 (4)f(x)= x-2+ 2-x的定义域为{2}，由于定义域 关于原点不对称，故f(x)既不是奇也不是偶函数．(5)f (x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{1，-1}，由f(1)=0 且f(-1)=0，∴f(x)=0∴f(x)图象既关于原点对称， 又关于 y 轴对称，故f(x)既是奇又是偶函数 (6)显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，-x<0，f (-x)=x2-x=-(x-x2)；当 x<0 时，-x>0，f(-x) -(x2+x), x<0 =-x-x2=-(x2+x)．即f(-x)= -(x-x2), x>0 即f(-x)=-f(x)∴f(x)为奇函数． 随堂练习 [练1]函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x< 0时，f(x)=2x+1，则f(3)等于 ( D ) A.-7 B. 7 C. -5 D.5 解：f-3 )  =-3×2+1=-5f(3)=-f-3  =5 [练2](2017秋•龙海市校级期中)已知函数y= f(x) 是R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是减函数， 若f(a)≥f(-2)，则a的取值范围是 ( D ) A.a≤-2 B. a≥2 C. a≤-2或a≥2 D.-2≤a≤2 解：由题意可得|a|≤2，∴-2≤a≤2，故选：D．[练3]已知偶函数 f(x)在区间[0，+∞)单调递增，则 满足f( x+2)2时单增，故f 2  7 0时，函数的增区间为(1,+∞)． y [练5]设偶函数y= f(x)的定义域为y y=f(x) [-5,5]，若当x∈[0,5]时，y=f(x) 2 5 x 2 的图象如图所示，则不等式 y= f (x)<0的解集是{x|-5≤x<-2，或20，则-x<0，又当x≤0时，f(x)=x2+2x， [练6]已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(-1)+ 所以f(-x)=x2-2x．又函数为偶函数，所以f(-x)= g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，求g(1). x2-2x=f(x)，所以当x>0时f(x)=x2-2x． 解：解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数  x2+2x, x≤0 所以函数的解析式为f(x)= ． x2-2x, x>0 得f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x) (3)由题意知，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,3) 所以 -f(1)+g(1)=2 ①f(1)+g(1)=4 ② 上单调递增，f(0)=0，f(1)=-1，f(3)=3，所以f(x)x 由①②消掉 f(1)，得 g(1)=3. ∈[0，3]的值域为[-1，3]．3.奇偶性求参数值 模模块块二二 奇奇偶偶性性的的应应用用 由于奇偶性是函数对称性的一种体现，所以一 课堂精讲 个函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称， 通过前面对函数奇偶性的介绍，我们知道了奇 即如果一个奇偶函数的定义域为区间D=a,b 偶性体现了函数的一种特殊对称性质，由此，我们可 以借助奇偶性来补全已知函数的图象。并且可以借 助部分图象来对称研究函数的其他问题。 1.抽象函数的奇偶性 由于抽象函数解析式未知，此时我们可以单独 只借用奇偶性所体现的图象对称特点来解决问题。 y y f(x) f(x) -a a -a O a x O x y y -a a -aO a x O x f(x) f(x) 2.利用奇偶性解抽象不等式 f(x) 形如xf(x)>0, >0(x-a)f(x)>0,xf(x- x a)<0等类型的不等式称之为抽象不等式，在求解时 以分类讨论方法入手即可。分为以下的类型：ab>0 b b 或 >0⇔ab同号。ab<0或 <0⇔ab异号。 a a 例2 f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) 为增函数，f(3)=0不等式xf(x)<0解集是 ( C ) A.(-3，-1)∪(1，3) B. (-3，0)∪(3，+∞) C. (-3，0)∪(0，3) D.(-∞，-3)∪(0，3) 解：∵f(x)为奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，f(3)=0，∴f (3)=-f(-3)=0，在(-∞,0)内是增函数，∴xf(x)<0则   x>0 或  x<0 ， f(x)<0=f(3) f(x)>0=f(-3) 根据在(-∞,0)和(0,+∞)内是都是增函数， 解得：x∈(-3，0)∪(0，3)，故选：C． 49  则一定有：a+b=0 例3 若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数，定义 域为[a，2b]，则a+2b= 0 ． 解：∵f(x)是偶函数，则函数的对称轴关于y轴对称， a+5 即- =0，得a+5=0，a=-5，定义域关于原点 2 对称，则a+2b=0，故答案为：0， 含参函数y=f(x,a)在定义域对称的前提下，如 果具备了奇偶性，则有如下恒等式成立。 奇函数：①f(x,a)+f(-x,a)=0 ② x=0有定义，则有：f(0)=0 偶函数：f(x,a)-f(-x,a)=0 |x-2|-a 例4(2021•乐山二模)已知函数f(x)= 是 4-x2 a 奇函数，则f 2  = ( A ) 3 3 A.- B. C. 2 D.-2 3 3 |x-2|-a 解：∵函数f(x)= 是奇函数，∴f(0)=0，即 4-x2 |-2|-a |x-2|-2 a =0，解得a=2，∴ f(x)= ，f 4-0 4-x2 2  |1-2|-2 3 =f(1)= =- ，故选：A． 4-12 3 4.奇偶性求函数解析式 已知奇（偶）函数在某一区间上的解析式，求其 与原点对称的区间上的解析式的方法。 1 已知x∈D时，y=f(x)。 2 当x∈-D时，-x∈D,此时y=f(-x) 3 ∵y=f(x)是奇（偶）函数， ∴f(-x)=-f(x)f(x)=-f(-x)例5 已知定义R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x) [练12]已知函数f(x)=g(x)+2，x∈[-3，3]，且g(x) 满足g(-x)=-g(x)，若f(x)的最大值和最小值分别 =x2+x+1．求函数f(x)的解析式。 为M、N，则M+N= ( C ) 解：(1)∵f(x)为定义R上的奇函数， A.0 B. 2 C. 4 D.6 ∴f(0)=0， 解：∵g(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称， 当x<0时，f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-x+1]= 故f(x)的图象关于(0,2)对称，其最大最小值点也关 -x2+x-1， 于(0,2)对称；所以M+N=4，故选：C． x2+x+1, x>0  x+a, x<0 故f(x)= 0, x=0； [练13]若f(x)=   是奇函数，则 ( C )   -x2+x-1, x<0 bx-1, x>0 A.a=1，b=-1 B. a=-1，b=1 C. a=1，b=1 D.a=-1，b=-1 随堂练习 x+a, x<0  解：∵ f(x)= 是奇函数，当x<0时， bx-1, x>0 [练8]已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的 -x>0，∴f(-x)=-bx-1，即-f(x)=-bx-1， 偶函数，那么a+b的值是 ( B ) ∴f(x)=bx+1，又∵当x<0时，f(x)=x+a， 1 1 1 1 ∴x+a=bx+1，∴a=1，b=1． A.- B. C. - D. 3 3 2 2 [练14]已知函数f(x)在定义域R内为偶函数，并且x 解：f(x)=ax2+bx，依题意得：f(-x)=f(x)， ∴b=0．又a-1=-2a，∴a= 1 ，∴a+b= 1 ． ≥0时解析式为f(x)=2x2-4x+7．求： 3 3 (1)x<0时的解析式； 2-x2 [练9]函数f(x)= 的图象关于 ( B ) x (2)求函数在区间[-3，1]上的最值． A.x轴对称 B. 原点对称 解：(1)若x<0，则-x>0， C. y轴对称 D.直线y=x对称 ∵x≥0时解析式为f(x)=2x2-4x+7， ∴f(-x)=2x2+4x+7， 解：定义域为{x|- 2≤x≤ 2且x≠0}，∵f(-x)= ∵f(x)是偶函数， 2-x2 =-f(x)，∴f(x)奇函数，图象关于原点对称 -x ∴f(x)=f(-x)=2x2+4x+7； [练10](2009秋•杭州期中)若函数y=( 2+x)(m- (2)作f(x) min =f(1)=5，f(x) max =f(-3)=13 x)为偶函数，则m= ( D ) [练15](2021秋•凉山州期末)已知函数f(x)是定义在 R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2． A.-2 B. 2 C. - 2 D. 2 解：由题意，函数是偶函数，故有( 2?+x)(m-x)= (1)求函数f(x)的解析式； ( 2?-x)(m+x)恒成立整理得-x2+(m- 2)x+ (2)求关于m的不等式式 f(2m-8)+f(5-m) 2m=-x2+( 2-m)x+ 2m恒成立故有m- 2 >0的解集． = 2-m解得m= 2故选：D． 解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-x) =-f(x)，∴当x=0时，f(0)=0；当x<0时，-x> [练11]已知y=f(x)为奇函数，当x≥0时f(x)=x(1 0，f(x)=-f(-x)=-(-x)2=-x2． -x)，则当x≤0时，f(x)= ( C )  x2, x>0 ∴f(x)= ； -x2, x≤0 A.x(x-1) B. -x(x+1) (2)∵函数f(x)为奇函数，∴f(2m-8)+f(5-m)> C. x(x+1) D.-x(x-1) 0⇔f(2m-8)>-f(5-m)=f(m-5) 解：令x≤0，则-x≥0∴f(-x)=-x(1+x) 因为f(x)=x2在[0，+∞)上递增，且f(x)为奇函数， 又∵y=f(x)为奇函数∴f(-x)=-f(x) 所以f(x)在R单调递增，∴2m-8>m-5，解得：m ∴x≤0时，f(x)=x(1+x)故选：C． >3，故不等式的解集是{m|m>3}． 50课后提升 [巩固1](2021•齐齐哈尔开学)函数y= f(x)是奇函 数，图象上有一点为(a，f(a))，则图象必过点 ( C ) A.(a，f(-a)) B. (-a，f(a)) 1 C. (-a，-f(a)) D. a, f(a) 51  解：∵函数y=f(x)是奇函数，图象上有一点为(a，f (a))，∴f(-a)=-f(a)，即图象必过点(-a，-f(a))． 2 [巩固2]函数f(x)= -x的图像关于 ( C ) x A.y轴对称 B. 直线y=-x对称 C. 坐标原点对称 D.直线y=x对称 2 2 解：∵f(-x)=- -(-x)=- -x x x  [巩固6]若f(x)是偶函数，且当x∈[0，+∞)时，f(x) =x-1，则不等式f(x)>1的解集是 ( B ) A.{x|-12} C. {x|x>2} D.{x|x>3} 解：当x∈[0，+∞)时f(x)>1则x>2 ∵偶函数关 于y轴对称∴f(x)>1的解集为{x|x<-2或x>2} [巩固7]已知f(x)是偶函数，且f(x)在[0，+∞)上是 1 增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈  ,1  2 =-f(x)，∴f (x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，故选：C． [巩固3]已知函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f (x)=x+2，则f(0)+f(3)等于 ( C ) A.-3 B. -1 C. 1 D.3 解：∵函数f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0， ∵当x<0时，f(x)=x+2，∴f(-3)=-1，f(3)=-f (-3)=1，则f(0)+f(3)=0+1=1．故选：C． [巩固4]设 f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0 时，f(x)=x3-8，则f(x-2)<0的解集为 ( C ) A.(-4，0)∪(2，+∞) B. (0，2)∪(4，+∞) C. (-∞，0)∪(2，4) D.(-4,4) 解：f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x) =x3-8，∴x>0时，-x<0，则f(-x)=-x3-8= -f(x)，∴f(x)=x3+8，f(0)=0，由f(x-2)<0得0 0的解集为 ( D ) A.{x|-32} C. {x|-33} D.{x|-10，∴(x-1)与 f(x-1)同号，由图象可得-20∴f(x)-f(x )<0 1 2 xx 1 2 1 2 ∴f(x)2 B. x<-2或00 解：∵对任意项x∈R都有f(x)=f(4-x) ∴函数f(x)的对称轴为x=2而函数的开口向上，则函 数f(x)在(-∞，2]上是单调减函数∵1-2x2≤1，1+ 2x-x2=-(x-1)2+2≤2，f(1-2x2)1+2x-x2，解得-2f(2a)，等价为f(|3-a|)>f (|2a|)，即|3-a|<|2a|，平方得9-6a+a2<4a2，得3a2 +6a-9>0，即a2+2a-3>0，得a>1或a<-3， [练6]写出一个同时具有下列性质①②的函数 f(x): f(x)=-(x-1)2． ①f(x)=f(2-x)； ②当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减． 解：函数f(x)满足f(x)=f(2-x)；说明函数的对称轴 为：x=1，函数满足当x∈(1,+∞)时，f(x)单调递减． 不妨是二次函数，开口向下，所以f(x)=-(x-1)2， 故答案为：f(x)=-(x-1)2答案不唯一． [练7]已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)= f(2-x)，若方程f(x)=0有且仅有三个根，且x=0为 其一个根，则其它两根为 2，4 ． 解：∵y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x)函数的图象关于 x=2对称由函数的对称性可得，f(0)=f(4)=0 ∵方程f(x)=0有且仅有三个根∴f(2)=0 [练8](2016•泸州模拟)已知定义域为R上的偶函数f 1 (x)在[0，+∞)上单调递增，且f 2 ，∴只要将y=f(2x 1 +1)的图象向右平移 单位，即可得到y=(2x)的图 2 象，∵y=(2x+1)是偶函数，图象关于y轴对称， 1 ∴y=f(2x)的图象关于直线x= 对称．故选：A． 2 [练5](2021春•沙坪坝区校级期末)已知定义在R上 的函数f(x+1)的图像关于直线x=-1对称，当x≥ 0时，f(x)=-x2-2x，若f(3-a)>f(2a)，则实数a 的取值范围是 ( C ) A.(-3,1) B. (1,+∞) C. (-∞，-3)∪(1，+∞) D.(-∞，-1)∪(3，+∞)  =0，则不等式f 5 3 {x|x> 或x< } (x-2)>0的解集是 2 2 ． 1 解：∵偶函数f(x)在[0，+∞)上为增函数，f 2  =0， 1 ∴不等式f(x-2)>0等价为f(|x-2|)>f 2  ， 1 1 1 即|x-2|> ，即x-2> 或x-2<- ， 2 2 2 5 3 即x> 或x< ， 2 2 5 3 ∴不等式f(x-2)>0的解集为{x|x> 或x< }． 2 2 5 3 故答案为：{x|x> 或x< }． 2 2 [练9]若函数f(x)=(x2-1)(-x2+ax-b)的图象关 于直线x=2对称，则ab= 120 ． 解：∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称， ∴f(-1)=f(5)，且f(1)=f(3)， 即24(-25+5a-b)=0，且8(-9+3a-b)=0， 即-25+5a-b=0，且-9+3a-b=0， 解得a=8，b=15，则ab=120，故答案为：120模模块块二二 函函数数的的中中心心对对称称 课堂精讲 1.函数的中心对称 如果一个函数的图像沿一个点旋转180°，点两侧 的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的 中心对称，该点称为该函数图像的对称中心。 由初中阶段的反比例函数出发，我们观察下列 函数图象，思考由中心对称出发可以得那些结论。 y △y f(a+x) b △y f(a-x) a-x a a+x x 观察上图可知，当函数的对称中心为(a,b)时，可 得：fa+x 54  +fa-x  =b+△y+b-△y=2b 2.中心对称的抽象表达 由点的对称坐标出发，结合上面的例子，我们可 a+b c 得到函数y=f(x)图象关于 ， 2 2  成中心对称 时函数的抽象表达： fa+x  +fb-x  =c 例3 设R上定义的函数y=f(x)，对任意x∈R都有 f(x)+f(-x)=1，则这个函数的图象关于 ( B ) A.原点对称 B. y轴对称 1 C. 点0, 2  对称 D.点(0,1)对称 1 解：设g(x)=f(x)- ∵f(x)+f(-x)=1，∴g(-x)=-g(x) 2 1 ∴g(x)=f(x)- 为奇函数，图象关于原点对称∵函数g(x)= 2 1 1 f(x)- ，∴f(x)=g(x)+ ∴y=f(x)的图象是由g(x)的图 2 2 1 1 象向上平移 个单位得到∴y=f(x)的图象关于0, 2 2  3.函数周期性 函数fx 对称  定义域内任意的x，存在一个不等于0 的常数T，使得 fx+T  = fx  恒成立，则称 fx  是周期函数，T是它的一个周期。一般T是fx  的 周期，则kTk∈Z  也是fx  的周期。 y f(x) f(x+T) x x+T x 最小周期T 4.周期性与对称性关系 若一个函数f(x)具有:中心对称、轴对称、周期性 中任意两个条件，则第三个也必然成立。 若f(x+a)=f(x+b)或f(x-a)=f(x-b) ，则 T=b-a  若f(x)关于点a，0  ，(b，0)对称，则f(x)是周 期函数，且T=2|a-b|； 若f(x)图象有两条对称轴x=a，x=b，则f(x) 是周期函数，且T=2|a-b|； 若f(x)关于点(a，0)对称，且关于x=b对称， 则f(x)是周期函数，且T=4|a-b|； 例4(2022•辽宁模拟)已知函数y=f(2x+1)的图象 关于直线x=1对称，函数y= f(x+1)关于点(1 ,0)对称，则下列说法正确的是 ( B ) A. f(1)=0 B. f(1-x)=f(1+x) 3 C. f(x)的周期为2 D. f(x)=f -x 2  解：由函数y=f(2x+1)的图象关于直线x=1对称， 可得f(2x+2+1)=f(2-2x+1)，即f(2x+3)=f(3 -2x)，将2x换为x可得f(x+3)=f(3-x)，即有f(x +6)=f(-x)①，故D错误；由函数y=f(x+1)关于 点(1,0)对称，可得f(2+x)+f(2-x)=0，且f(2)=f (0)=0，故A错误；f(x+4)=-f(-x)②， 由①②可得 f(x+6)=-f(x+4)，即 f(x+2)=-f (x)，可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 则f(x)的最小正周期为4，故C错误．故选：B．随堂练习 [练10](2017春•崇文区校级期末)函数f(2x+1)是奇 函数，则函数f(x)的对称中心为 ( B ) 1 A.(0,0) B. (1,0) C. (-1,0) D.  ，0 2 55  解：若f(2x+1)是奇函数，则f(-2x+1)=-f(2x+1)， 可得f(x)=-f(2-x)，即函数f(x)的对称中心为(1,0)， [练11]若R上的偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)， 9 当-1≤x≤0时，f(x)=2x(1-x)，则f 2  = ( D ) 1 1 3 3 A. B. - C. D.- 2 2 2 2 解：∵偶函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，∴f(x)=f(2 9 +x)∴f 2  1 =f 2  1 =f- 2  ∵当-1≤x≤0时，f(x) 1 =2x(1-x)，∴f- 2  1 =2×- 2  1 ×1+ 2  3 =- 2 [练12](2022•福州模拟)定义在R上的函数f(x)满足 f(2-x)=2-f(x)，若f(x)的图象关于直线x=3对 称，则下列选项中一定成立的是 ( A ) A. f(-3)=1 B. f(0)=0 C. f(3)=2 D. f(5)=-1 解：若f(x)的图象关于直线x=3对称，可得f(1)=2-f (1)，即f(1)=1，又f(5)+f(-3)=2，且f(5)=f(1)=1， ∴f(-3)=2-f(5)=2-1=1， [练13]已知定义在 R 上的函数 y = f(x) 满足条件 3 fx+ 2  3 =-f(x)，且函数y=fx- 4  是奇函数，由 下列四个命题中不正确的是 ( D ) A.函数f(x)是周期函数 3 B. 函数f(x)的图象关于点- ,0 4  对称 C. 函数f(x)是偶函数 3 D.函数f(x)的图象关于直线x= 对称 4 3 解：f(x)满足fx+ 2  3 =-f(x)，有fx+ 2  =-f(x) 3 =fx- 2  3 恒成立，函数周期是3又函数y=fx- 4  3 是奇函数，故函数y=f(x)的图象关于点- ,0 4  解：f(2+x)=f(2-x)，故f(x)的图象关于直线x=2 对称，∴f(x)=f(4-x)．故f(-x)=f(4+x)=-f(x)， ∴f(x)=-f(4+x)=f(8+x)，f(x)是周期等于8的周 期函数．f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=-f(-1)=2， [练15](多选)函数y=f(x)的图象关于直线x=1对 称，则下列结论成立的是 ( AB ) A. f(x+1)为偶函数 B. f(1+x)=f(1-x) C. f(1+x)+f(1-x)=0 D. f(1)=0 解：∵y=f(x)图象关于x=1对称，而y=f(x+1)图象 是由y=f(x)的图象向左平移一个单位得到，故y=f(x +1)的图象关于x=0，即y轴对称，故y=f(x+1)为偶 函数，故A正确；∵y=f(x+1)为偶函数，所以f(-x+ 1)=f(x+1)，故B正确，C错误；y=f(x)的图象关于直 线x=1对称，无法计算f(1)的数值，故选项D错误． 2 [练16]已知函数f(x)=x+ -1 x-1 (1)记g(x)=f(x+1)，证明：g(x)图象关于原点 对称． (2)若方程f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解，求 实数t的取值范围． 2 解：(1)∵f(x)=x+ -1，x≠1 x-1 2 2 ∴g(x)=f(x+1)=x+1+ -1=x+ ，由x x+1-1 x +1≠1得x≠0，g(x)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 2 2 则g(-x)=-x- =-x+ x x 对称， 由此知A，B是正确的选项，D不对故选：D． [练14]定义在R上的f(x)是奇函数，对x∈R都有f(2 +x)=f(2-x)，当f(-1)=-2时，f(2009)= ( D ) A.-4 B. 0 C. -2 D.2  =-g(x)， 则g(x)是奇函数，则图象关于原点对称． (2)∵f(x)=t(x2-2x+3)|x|， ∴当x=0时，-3=0不成立，即x≠0， 2 ∴x+ -1=t(x2-2x+3)|x|， x-1 x2-2x+3 即 =t(x2-2x+3)|x|， x-1 1 化简得 t = x  1 ，即 = (x-1) t x  x-1  = xx-1  , x>0且x≠1 -xx-1    ， , x<0 作出对对应的函数图象如图： 1 当x>0时，x(x-1)=x- 2  2 - 1 1 ≥- ， 4 4 ∴要使方程f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解， 1 1 则- < <0，即t<-4 4 t课后提升 [巩固1]设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x)的 1 2 图象关于直线x= 对称，则f- 3 3 56  = ( A ) A.0 B. 1 C. -1 D.2 解：∵f(x)是奇函数，f(0)=0．∵y=f(x)关于直线 1 2 x= 对称，∴f 3 3  2 =f(0)=0∴f- 3  2 =-f 3  =0 [巩固2]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1+x) 1 =f(1-x)，f 2  3 =1，则f- 2  = ( C ) 3 3 A.- B. -1 C. 1 D. 2 2 解：∵f(x)是R上的偶函数，又∵f(1+x)=f(1-x)， ∴f(-x)=f(2+x)，即f(x)=f(x+2)，∴f(x)为周期函数周期 3 T=2，∴f- 2  3 =f2- 2  1 =f 2  [巩固6]若函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关 于直线x=2对称，则f(x)的最小值为 ( C ) A.0 B. -15 C. -16 D.-18 解：∵函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关于直线x=2 对称，∴f(4-x)=f(x)对于任意x都成立，∴   f(0)=f(4) ，代 f(1)=f(3) 入可得，  -b=240+60a+15b ，得  a=-8 ，∴f(x)=(x2-1) 0=72+24a+8b b=15 (x2-8x+15)，∵f(2+ 5)=-16，f(2- 5)=-16， [巩固7]设函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且满 足 f(x-2)=-f(x)对一切x∈R都成立，又当x∈ [-1，1]时，f(x)=x3，则下列四个命题： ①函数y=f(x)是以4为周期的周期函数； ②当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)3； =1． ③函数y=f(x)的图象关于x=1对称； [巩固3](2022•保定模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+ ④函数y=f(x)的图象关于(2,0)对称． x+b的图象关于点(1,0)对称，则b= ( C ) 其中正确的命题是①②③④． A.-3 B. -1 C. 1 D.3 解：∵y=f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∵f(x-2)=-f 解：由f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称，可得f (x)对∀x∈R都成立，∴f(x-4)=f(x)，∴y=f(x)是以4为 (1+x)+f(1-x)=0，即(1+x)3+a(1+x)2+(1+x)+b+(1 周期的周期函数，①正确．当x∈[1，3]时，x-2∈∈[-1，1]， -x)3+a(1-x)2+(1-x)+b=0，化为(6+2a)x2+(4+2a+ f(x-2)=(x-2)3=-f(x)，∴f(x)=(2-x)3，②正确．∵f(x 2b)=0，可得6+2a=0，且4+2a+2b=0，a=-3，b=1， -2)=-f(x)，∴f(1+x)=f(1-x)，∴y=f(x)的关于x=1 对称，③正确．∵当x∈[1，3]时，f(x)=(2-x)3，∴f(2)=0， [巩固4](多选)函数f(x)的图象关于直线x=1对称， ∵f(x-2)=-f(x)，∴f(-x-2)=-f(-x)=f(x)=-f(x- 那么 ( ABC ) 2)，∴f(x+2)=-f(x-2)，∴y=f(x)图象关于(2,0)对称 A. f(2-x)=f(x) [巩固8]对于定义在实数集R上的函数f(x)，若存在常 B. f(1-x)=f(1+x) C. 函数y=f(x+1)是偶函数 数t，使得任意的x∈R都有f(t+x)+f(t-x)=0，则 D.函数y=f(x-1)是偶函数 函数f(x)的图象关于x轴上的点P(t,0)对称． 解：由f(x)关于x=1对称知，f(2-x)=f(x)，f(1- (1)若f(x)是R上单调函数且其图象关于点P(t x)=f(1+x)，把f(x)图象向左平移1个可得y=f(x ,0)对称，证明：函数f(x)有唯一零点； +1)图象，x=0对称，为偶函数，把函数f(x)图象向 右平移1个得y=f(x-1)的图象，关于x=2对称， (2)已知函数g(x)=x3+3x2-2，证明：函数g(x) [巩固5](2017秋•分宜县校级月考)已知y= f(2x- 的图象关于x轴上的点P对称，并求出点P的坐标． 1)为奇函数，y= f(x)与y=g(x)图象关于y=x对 解：证明：(1)∵f(x)的图象关于点P(t,0)对称， 称，若x +x =0，则g(x)+g(x )= ( B ) ∴f(t+x)+f(t-x)=0对于任意的x都成立， 1 2 1 2 A.2 B. -2 C. 1 D.-1 令x=0可得2f(t)=0即f(t)=0， 解：∵y=f(2x-1)为奇函数，故y=f(2x-1)的图象关于原点 ∵f(x)是R上单调函数， (0,0)对称而y=f(x)的图象由y=f(2x-1)图象向左平移 1 由函数的零点判定定理可知，函数f(x)有唯一零点； 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故 (2)设g(x)=x3+3x2-2关于P(t,0)对称， y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称，又y=f(x)与y=g(x)图 ∴g(t+x)+g(t-x)=(t+x)3+3(t+x)2-2+(t- 象关于y=x对称，故函数y=g(x)图象关于点(0,-1)对称． x)3+3(t-x)2-2=0恒成立∴0=2t3+6(t+1)x2- 因为x +x =0，即x =-x ，故点(x ，g(x))，(x ，g(x))关于 1 2 1 2 1 1 2 2 4+6t2恒成立，6(t+1)=0且2t3-4+6t2=0， 点(0,-1)对称，故g(x)+g(x)=-2， 1 2 ∴t=-1，即g(x)关于(-1,0)对称，即P(-1,0)．第第二二章章 章章末末总总结结 1.本章内容是对函数所具备的共有性质的抽象学习。我们知道对于可作图的函数，其基本性质可以由图象得 到，而高中阶段已经从初中阶段的特例函数推广到了一般函数，对于大部分函数，我们无法作出其函数图象，由 此我们需要用一套代数计算的方法去判断函数性质，这也是本章的教学核心。通过本章的学习，请你对本章所 学内容经行归纳总结，用架构图表示。 定义域       有界性 值域      渐近线     单调性证明   证明:∀x 1 ,x 2 ∈D,且x 1 0  x -x  1 2 解： 函数性质    求参数值  奇函数：f(-x)+f(x)=0   抽象计算   奇偶性  作草图解函数不等式    偶函数：f(-x)-f(x)=0    奇偶性衍生模型   图像的自对称性 中心对称：f(a-x)+f(b+x)=2c   抽象计算   对称性     图像的它对称性 轴对称：f(a-x)-f(b+x)=0    周期性： 任意波函数都可以是正弦波的叠加  抽  象  计  算  f(x)=f(x+T) 2.通过本章的内容学习，请完成以下填空。 (1)形如y=C（C为常数）的函数称之为 常数函数 ，是六个基本初等函数之一。其图像是一条 平行于x轴 的直线，不具备 单调性 。主要用于解决含参的问题。像这种有解析的函数我们统称为解析函数，没有解 析的函数称为 抽象函数 ，例如：y=f(2x-1) (2)函数问题，定义域 优先考虑。例如：奇偶性成立的前提条件是 定义域关于原点对称 。中学阶段主要 的定义域约束条件是：1 分式的分母不能为零；2 对数的真数大于零；3 根号下被开方数大于等于零； 4 零指数幂 底数不为零 (3)函数单调性是分析求解函数最值的关键步骤，在选择题中我们可以借助以下性质计算快速判断函数单调性： 1 增函数+增函数= 增函数 ；减函数+减函数= 减函数 2 添加根号单调性 不改变 ；变倒数、加负号单调性 改变 (4)奇偶性是一种特殊的 对称性 ，利用对称性我们可以解决很多问题。奇偶性的主要用途：1 借助奇偶性 的抽象草图，解决抽象不等式；2 借助奇偶性对称的特点，求解函数在定义域内完整的函数解析；3 利用 奇偶性对称的特点解决互为相反数的两自变量函数值和的问题,例如：f(-a)+f(a)。 573.(2022•山西三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，且在区间(1,+∞)上单调递增，则满足 f(1-x)>f(x+3)的x的取值范围为 ( B ) A.(-1,+∞) B. (-∞,-1) C. (-1,1) D.(-∞,1) 解：∵函数f(x)满足f(x+2)=f(-x)，∴f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在区间(1,+∞)上单调递增， 且f(1-x)>f(x+3)，即f|(1-x)-1|>f|(x+3)-1|，∴|-x|>|x+2|，得x<-1． 4.(2021秋•郫都区校级月考)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0，则满足xf(x+1) ≥0的x的取值范围是 ( D ) A.(-∞，-4]∪{0}∪[2，+∞) B. (-∞，-2]∪[0，1]∪[4，+∞) C. [-4，-1]∪[0，2] D.(-∞，-4]∪{-1，0}∪[2，+∞) 解：∵定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递增，且f(3)=0， ∴f(x)的图像如图：当x=0或x+1=0时，满足条件，此时x=0或x=-1，当x≠0且x≠-1时， 不等式xf(x+1)≥0等价为  x>0 或  x<0 ， f(x+1)≥0 f(x+1)≤0 即x>0 或x<0 ，得x>0 或x<0 ，     x+1≥3 x+1≤-3 x≥2 x≤-4 即x≥2或x≤-4，综上，x≥2或x≤-4或x=0或x=-1， f(x)-f(y) 5.(2022春•安徽期中)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y∈R)，当x≠y时， >0成 x-y 立，且f(1)=2． (1)求f(0)，并证明函数g(x)=f(x)-1的奇偶性； (2)当x∈[0，9]，不等式f(x)+f(m-2 x)≤3恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)令x=y=0，可得f(0)=1， 证明：令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1，所以f(x)+f(-x)=2， 所以g(-x)+g(x)=f(x)-1+f(-x)-1=0， 所以g(x)为奇函数； (2)解：f(x)+f(m-2 x)≤3， 即f(x)+f(m-2 x)-1≤2， 所以f(x+m-2 x)≤f(1)， f(x)-f(y) 又当x≠y时， >0成立，所以f(x)为增函数， x-y 所以x-2 x+m≤1在x∈[0，9]上恒成立， 令 x=t，可得1-m≥t2-2t在t∈[0，3]上恒成立， 又y=t2-2t，t∈[0，3]， 所以当t=3时，(t2-2t) =3， max 所以1-m≥3，即m≤-2， 所以m的取值范围是(-∞，-2]． 58第第十十一一讲讲 一一次次函函数数及及其其变变换换 2.一次函数的平移变换 模模块块一一 一一次次函函数数的的图图象象性性质质 初中阶段，我们学习了函数平移变换的通法:左 课堂精讲 加右减，上加下减。一次函数图像的平移变换：f(x) 初中阶段我们学习了一次函数，介绍了函数的 =kx+b图象向左(右)平移m个单位得到：f(x± 性质，函数、方程与不等式之间的关系。高中阶段将 m)=k(x±m)+b；f(x)=kx+b图象向上(下)平 对一次函数做更全面的补充与拓展。 移h个单位得到：f(x)±h=kx+b±h； 1．一次函数图象性质 解析式 f(x)=kx+b 3．一次函数的翻折变换 k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程 以f(x)=2x+1与f(x) y −y 参数 度.k=tanα= 1 o x −x 1 o b代表直线的纵截距，含义是直线与y轴 相交的点的纵坐标. k>0,b>0 k>0,b<0 y y x x 图 像 k<0,b>0 k<0,b<0 y y x x 例1“k>1”是“函数f(x)=kx+2为R上的增函数” 的 充分不必要条件．(填“充分不必要条件、必要 不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”) 解：若k>1，∴f(x)=kx+2为R上的增函数，若函数f (x)=kx+2为R上的增函数，则k>0，无法推出k>1． 59  =2x+1  、f(x  )=2x  +1为例： (1) f(x)  图象是将f(x)在x轴上方图象保留，将 x轴下方的图象作x轴翻折后得到。 y y x x y=f(x) y=f(x)  对 称 翻 折 (2)函数f(x  )图象是将函数f(x)在y轴右侧的图 象不变，把y轴左侧的图象去掉，再将y 轴右侧图象 作y轴翻折到左侧得到。 y y y=f(x x y=f(x) x  对称翻折 )-x2+2x-1，x≤1  例2 已知函数f(x)= ，若f(a2- |x-1|，x>1 4)>f(3a)，则实数a的取值范围是 ( D ) A.(-4，1) B. (-∞，-4)∪(1，+∞) C. (-1，4) D.(-∞，-1)∪(4，+∞) -x2+2x-1，x≤1  解：由分段函数 f(x)=  可得函 |x-1|，x>1 数图像如下。由图可知：f(x)在R上单调递增， 若 f(a2-4)> f(3a)，则a2-4>3a，得a>4或a< -1 y x x=1 通过上面对一次函数图像的翻折变换的介绍， 我们将用来解决以下问题：一次绝对值不等式的解 法以及一次绝对值函数图像、性质的分析。 4.一次绝对值不等式 对于f(x) 60  ≤a型不等式的解法： (以2x+1  ≤5为例,还可以两边同时平方转化为 一元二次不等式求解) ① 解出y=f(x)的零点： 1 令y=2x+1中y=0⇒x=− 2 ② 在同一坐标系中画出y=f(x)  与y=a的图象 ③ 解出翻折前f(x)=a实根，由对称得出翻折后 实根： ④ 根据图像，得出f(x)  ≤a的解集： y y=2x+1 x  例3 不等式|5-2x|>3的解集是 ( D ) A.(1,4) B. (-∞,1) C. [4，+∞) D.(-∞，1)∪(4，+∞) 解：∵|5-2x|>3，∴5-2x>3或5-2x<-3， ∴x<1或x>4，不等式解集是(-∞，1)∪(4，+∞) 例4(2021秋•河东区校级期中)若关于x的不等式3 -|x-a|>x2在(-∞,0)上有解，则实数a的取值 范围是 ( A ) 13 A. - ，3 4 y=5 1 -3 - 2 2  13 B. -3, 4  13 C. -∞,- 4  D.(3,+∞) 解：∵关于x的不等式3-|x-a|>x2在(-∞,0)上 有解，∴关于x的不等式3-x2>|x-a|至少有一个 负数解，作函数y=3-x2与y=|x-a|的图象如下， 结合图象可知，关于x的不等式3-x2>|x-a|至少 有一个负数解可化为在y轴左侧，函数y=|x-a|的 图象有在函数y=3-x2的图象的下方的部分，当y= |x-a|过点(0,3)，即a=3时，是临界值，当y=|x- a|在y轴左侧与y=3-x2的图象相切，即y′=-2x= 1 11 1，即过点- ， 2 4  13 ，即a=- 时，是临界值，结合 4 13 图象可知，a的取值范围是- ，3 4  ， 随堂练习 [练1]已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-f(x)= 2x+9，则函数f(x)的解析式为 ( A ) A. f(x)=x+3 B. f(x)=x-3 C. f(x)=2x+3 D. f(x)=2x-3 解：设一次函数f(x)=kx+b，∵3f(x+1)-f(x)=3[k (x+1)+b]-(kx+b)=2kx+3k+2b=2x+9，∴ 2k=2 k=1    ，解得： ，∴f(x)=x+3，．故选：A． 3k+2b=9 b=31-y [练2]不等式|x+1|≥2的解集是 ( D ) [练7]已知A={(x，y)| =3}，B={(x，y)|y= 1+x A.{x|x<-3或x>1} kx+3}，并且A∩B=∅，则实数k的值是 2或-3 ． B. {x|-3kx+1”为真，则k的 1 1 “x- 2 < 2 ”是“x<1”的 ( A ) 条件 取值范围 [-1，- 2 1 ) A.充分而不必要 解：作出y=|x-2|，y=kx+1的 B. 必要而不充分 图象，直线y=kx+1恒过定点(0， C. 充要 1 1)，结合图象可知k∈[-1，- )． D.既不充分也不必要 2 解：x- 1 < 1 ，即- 1 0 B. a≥0 C. a>1 D.a≥1 (1)若f(a)=3，求实数a的值； 解：由不等式|x-1|0，则-x<0，由g(x) 为奇函数，得g(x)=-g 如图   (a-2)x+4, x<0 (-x)=(a-2)x-4，∴g(x)= 0, x=0． 由图可知a+1≤0或a-1≥2，所以a≤-1或a≥3．   (a-2)x-4, x>0 61模模块块二二 多多绝绝对对值值和和差差函函数数 课堂精讲 通过前面的学习，我们知道了f(x)=kx+n 62  是 一次函数经过翻折变换以后得到的。初中阶段我们 就知道了一元一次的问题可以借助数轴分析，现在我 们重新从另外一个角度来认识绝对值函数。函数f(x) =x-n  的几何意义是：数轴上任意一点到数n对应 的点的距离，由几何意义出发，我们可以知道： ①动点运动到n的位置时，距离最小，f(x) =0; min ②动点到n的距离是对称的，∴f(x)是对称函数 由上面的背景出发：对于多绝对值函数的和差问 题，我们任然可以借助数轴分析。思考：动点到两点 甚至更多点的距离和和距离差有什么样的性质。 1．盆函数f(x)=x-a  +x-b  由于其独特的函数外形，我们将函数f(x)= x-a  +x-b  称之为盆函数. f(x)=x-a  +x-b  -2x+a+b, xb a b x f(x)=x-a  +x-b  正方形 a+b 函数性质：①函数是对称函数，对称轴为x= 2 ②当x∈a,b  2.盆函数的变换 通过上面对盆函数的分析，我们可以知道：对于 多绝对值的问题，分析方法采用的是去绝对值的原 理，将绝对值函数拆分为分段函数研究。 对于函数f(x)=mx-a 时，有:f(x) =b-a(b>a) min  +nx-b  我们也可以 采用去绝对值的原理来研究，但是去绝对值过于浪费 时间，由此我们可以直接记住函数的结论： 当f(x)=mx-a  +nx-b  时， a b ①f(x)的最小值在x = 或x = 处取得，将 1 m 2 n 二者代入解析式，谁小谁就时函数的最小值。 ②变换后的函数不再具备对称性。 例5(2021秋•上高县月考)若关于x的不等式|x- 2|+|2x+3|>a对任意x∈R恒成立，则a的取值 范围为 ( B ) 7 A.(-∞,7) B. -∞, 2  7 C. [0，7) D.  0,  2  解：令f(x)=|x-2|+|2x+3|，由讲解的知识可知： 3 7 当x=- 时，f(x)= ，当x=2时，f(x)=7， 2 2 7 综上所述，f(x) = ，∵不等式|x-2|+|2x+3|>a min 2 7 对任意x∈R恒成立，∴ab a-2 -2<2a<4 ≤-1或  -1f(x) =3，∴a的取值范围为(3,+∞)， min [练12](2021春•郑州期末)若关于x的不等式|x- 3|+|x+a|<5有解，则实数a的取值范围是 ( B ) A.(-∞，-8)∪(2，+∞) B. (-8,2) C. (-∞，-2)∪(8，+∞) D.(-2,8) 解：∵|x-3|+|x+a|≥|a+3|，∴若不等式|x-3|+|x+a|<5 有解，只需|a+3|<5，∴-82 ③．   x+1+2-x<5 x+1+x-2<5 解①得-21的解集； (2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集． 解：( 1 ) 函 数 f ( x ) = | 3 x + 1 | - 2 | x - 1 | = x+3, (x≥1) 1 5x-1, - ≤x<1 3  1 -x-3, x<- 3      ，则 f(x)>1⇔   x≥1 或 x+3>1    1 1 - ≤x<1 x<-  3 或 3 ， 5x-1>1 -x-3>1 2 解得x≥1或 1的解集为{x|x<-4或x> }； 5 (2)由于f(x+1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了 一个单位所得，(如图所示)． y=5x-1向左平移一个单位 后表示为y=5(x+1)-1=5x +4，联立  y=-x-3 ，解得横 y=5x+4 7 坐标为x=- ，∴不等式)的 6 7 解集为{xx<- 6  ．[巩固13](2022 春• 兴庆区校级期中 ) 不等式 |x - 课后提升 1|+|x+3|≥6的解集是 (-∞,-4]∪[2，+∞) ． [巩固9](2021秋•于都县校级月考)绝对值不等式|x 解：解：由于|x+3|+|x-1|表示数轴上的x对应点到 -3|<4的解集为 ( C ) -3、1对应点的距离之和，而-4和2对应点到-3、1 A.(-∞,-1) 对应点的距离之和正好等于6，故等式|x+3|+|x-1| ≥6的解集是(-∞，-4]∪[2，+∞)， B. (7,+∞) [巩固14](2021秋•虎丘区校级月考)若“x2-x-6≤ C. (-1,7) 0”是“|x-1|≤m(m>0)”的必要不充分条件，则正实 D.(-∞，-1)∪(7，+∞) 数m的取值范围是 (0，2] ． 解：|x-3|<4，即-40) ⇔1-m≤x≤1+m，若“x2-x-6≤0”是“|x-1|≤ [巩固10](2021秋•宝安区期末)若p:|x-2|≤3，则p 1-m≥-2 成立的一个充分不必要条件是 ( C ) m(m>0)”的必要不充分条件，得  1+m≤3 (其中 等号不同时取得)，解得m≤2， A.-1≤x≤6 B. -2≤x≤5 [巩固15](2022春•华州区)已知函数f(x)=|x+1|． C. -1 ⇔ 3 ，或 3 3 或 3 ， 0时，至少有一点满足 -6x-1≥5 3≥5 6x+1≥5 f(x) ≤ g(x)，当 y = 2 解得x≤-1或x≥ ． 3 -2x-m与g(x)=4 2 -x2相切时，-2x- ∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪   3 ,+∞ m = 4 - x2，即 x2- 2x - 4 - m = 0，由 △=4+4(4+m)= 0，得m=-5，当y=2x+m过点M(0,4)时，m=4． 64  ． (2)∵|3x-1|+|3x+2|≥|3x-1-3x-2|=3∴f(x)≥3 ∵f(x)+t2-4t=0有实数解， ∴f(x)=-t2+4t有实数解，则-t2+4t≥3， 即t2-4t+3≤0，解得1≤t≤3，∴t的范围[1，3]．[巩固17](2021秋•昆明)已知f(x)=|x-2|+|x-3|． (1)解不等式f(x)≥3； 1 (2)记f(x)的最小值为m，若a，b都是正数，且 a 2 + =m，证明：a+2b≥9． b 解：(1) 因为函数 f (x) = |x - 2|+|x - 3| = 2x-5, x>3  1, 2≤x≤3，   -2x+5, x<2 x<2 2≤x≤3 不等式 f(x)≥3等价于   或   -2x+5≥3 1≥3 x>3 或 ，  2x-5≥3 解得x≤1或无解或x≥4； 所以不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}； (2)证明：因为f(x)=|x-2|+|x-3|≥|(x-2)-(x- 3)|=1， 所以f(x)的最小值为m=1， 1 2 所以 + =m=1， a b 1 2 所以a+2b=(a+2b) + a b 65  [巩固18](2021秋•江阴市校级月考)已知函数f(x)= |x-a|+|x+2|(a∈R)． (1)当a=-1时，解不等式f(x)>3x； (2)已知a>0，b>0，f(x)的最小值为m，且m 1 a +b=4，求 + 的最小值． a b+1 解：(1) 由题可得 f (x) = |x + 1|+|x + 2| = -2x-3,x<-2  1⋅-2≤x≤-1 ， 2x+3,x>-1 令g(x)=3x，作出函数f(x)、g(x)的图象，如右图： 观察图象：两函数图象有一个交点(3,9)， 所以不等式f(x)>3x的解集为(-∞,9)； (2)根据绝对值三角不等式， 有f(x)=|x-a|+|x+2|≥|x-a-(x+2)|=|a+2| ∵a>0， ∴f(x)≥|a+2|=a+2当且仅当-2≤x≤a时取等 号， ∴f(x) =a+2=m，即a+b=2， min 2a 2b = + +5≥ ∴a+(b+1)=3， b a ∵a>0，b>0， 2a 2b 2 ⋅ +5=9， b a 1 a 3 a a+(b+1) a 所以 + = + = + 2a 2b a b+1 3a b+1 3a b+1 当且仅当 = ，即a=b=3时等号成立． b a 1 b+1 a 1 1 1+2 3 = + + ≥ +2 = ， 3 3a b+1 3 3 3 b+1 a 当且仅当 = ，即b+1= 3a，又a+b=2， 3a b+1 3 3-3 7-3 3 即a= ，b= 时取等号， 2 2 1 a 1+2 3 所以 + 的最小值为 ． a b+1 3第第十十二二讲讲 反反比比例例函函数数与与一一次次分分式式函函数数 模模块块一一 反反比比例例函函数数的的平平移移变变换换 课堂精讲 1.反比例函数图象性质 解析式 f(x)= k x k>0 k<0 y y k f(x)= k x f(x)= 图 像 x x x 当x>0时，y随x 当x>0时，y随x的 增减性 的增大而减小； 增大而增大； 当x<0时，y随x 当x<0时，y随x的 的增大而减小； 增大而增大； 2.反比例函数的平移变换 k y= k>0 x 66  3.一次分式函数 cx+d 形如f(x)= 这样的函数称为一次分式函数 ax+b 该类型函数的研究方法：分离常数法。 ① 在函数的分子上配出分母的形式： c ax+b a f(x)= 图像向右平移a个单位，向上平移 k b个单位可以转化为y= +b x-a k f(x)= +b x-a y y k f(x)= x 平移变换 y=b x x x=a k 反比例函数y= 具有两条渐近线：x=0，y= x 0，所以在研究反比例函数的平移变换时，要考虑到 渐近线位置的改变。  cb +d- a ax+b cb d- c a ② 列项：f(x)= + . a ax+b cb c ③ 令k=d- ，t= ，则函数 a a k f(x)=t+ ,其图像如下： ax+b y cx+d f(x)= ax+b c y= a x b x=- a cx+d ④ 由图可得f(x)= 的性质： ax+b b f(x)定义域-∞,- a  b 、- ,+∞ a  c f(x)值域-∞, a  c 、 ,+∞ a  b f(x)在-∞,- a  b 、- ,+∞ a  上单调递减. 注：一次分式简记：x前面的系数作比，再去掉是函数 的值域。分母不为0可以解出定义域和单调区间。 2x-3 例1(2022•3月模拟)函数f(x)= 值域 ( D ) 3x+1 1 A. -∞, 3  1 ∪ ,+∞ 3  3 B. -∞, 2  3 ∪ ,+∞ 2  1 C. -∞,- 3  1 ∪- ,+∞ 3  2 D. -∞, 3  2 ∪ ,+∞ 3  1 2x+ 2x-3 3 解：f(x)= = 3x+1  11 - 3 1 3x+ 3  2 11 = - ， 3 3(3x+1) 11 2 由于 ≠0，∴f(x)的值域为 f(x)f(x)≠ 3(3x+1) 3   ， 2x 例2 已知函数f(x)= ． [练2]已知函数fx x-1 (1)求f(x)的定义域、值域及单调区间； (2)判断并证明函数g(x)=xf(x)在区间(-∞,0) 上的单调性． (3)g(x)是定义在(-∞,0)上的函数，不等式g(t- 1)0，-(x +x)>0， 1 2 1 2 ∴xx -(x +x)>0， 1 2 1 2 ∴g(x)-g(x)<0，g(x)0，∴y=kx x 在R上是增函数，是充分条件；若y=kx在R上是增函 k 数，k>0⇒y= 在(0，+∞)上是减函数，是必要条件 x 67  2x = ，则fx x-1  在区间2,6  上 的最大值为 ( C ) 12 A. B. 3 C. 4 D.5 5 解：∵fx  2 =2+ 在2,6 x-1  单减，∴fx  max =f2  =4 a [练3]函数y=-|x-a|与y= 在区间[1，2]上 x+1 都是严格减函数，则a的取值范围为 ( D ) A.(-∞，0) B. (-1，0)∪(0，1] C. (0，1) D.(0，1] a 解：∵y=-|x-a|与y= 在区间[1，2]上都是严 x+1 a≤1  格减函数∴  ,故00 x-1 [练4](2022春•增城区期末)已知函数f(x)= ， x+1 则函数中为奇函数的是 ( B ) A. f(x-1)+1 B. f(x-1)-1 C. f(x+1)+1 D. f(x+1)-1 x-1 x-2 2 解：f(x)= ，得f(x-1)+1= +1=2- 不为奇 x+1 x x x-2 2 函数；f(x-1)-1= -1=- 为奇函数；f(x+1)+1= x x x 2x+2 -2 +1= 不为奇函数；f(x+1)-1= 不为奇 x+2 x+2 x+2 x+1 [练5](2021秋•青山区校级月考)已知函数f x-1  的定义域为(-2,0)，则f(2x-1)的定义域为 ( C ) 1 1 A. - ， 2 2  B. (-5,-1) 2 C. 0, 3  1 D. -3,- 3  x+1 解：∵f x-1  x+1 的定义域为(-2,0)，即-20时，函数f(x)的解析式． 解：(1)依题意，f(-a)= -2a-3 ，f(a-4)= 2a-11 ， -a+2 a-2 3 解：(1)证明：当x<0时，f(x)=- x +1， 故f(-a)+f(a-4)= -2a-3 + 2a-11 -a+2 a-2 设x 1 0，-x<0， 则f(x)-f(x)=2- -2+ 1 2 x +2 x +2 1 2 3 7(x -x) 因为x<0时，f(x)=- +1， = 1 2 <0， x (x +2)(x +2) 1 2 3 3 f(-x)=- +1=1+ =f(x)， -x x 故f(x)0时，f(x)= +1． x [练10](2021秋•城厢区校级期中)已知函数f(x)是定 ax+1 [练8](2021秋•长宁区期末)已知函数y= ． 义在(-4,4)上的奇函数，满足f(2)=1，当-40 则-4≤2x-1≤4，解得1≤x≤ 2 ， -4≤x-2≤4 68模模块块二二 反反比比例例函函数数的的翻翻折折变变换换 课堂精讲 ① 函数y=f(x 69  )的图象是函数y=f(x)将x> 0以后的图象保留，并且将x>0的图象对称翻折到 x<0的区间上形成的图象。 ② 函数y=f(x)  的图象是函数y=f(x)将x 轴上方的图象保留，将x轴下方的图象对称翻折到x 轴上方形成的图象。 1.反比例函数的翻折变换 y k f(x f(x)= x 翻折变换 x  k )= x  y k>0 x y k f(x) f(x)= x 翻折变换 x  k = x  y k>0 x 2.一次分式的翻折变换 k f(x)= +b f(x x-a y y y=b x x x=a  k )= x  +b -a 对称翻折 y=b x=a k f(x)= +b f(x) x-a y y y=b x x x=a  k = +b x-a  随堂练习 x-1 [练11]画出 f(x)=  x+1 y=b x=a  的图象，并且求出函数在 1,+∞  上的值域。 y 1 1 x 解： 3 [练12](2021•桂林期末改编)函数f(x)=1- x  +2 (1)用定义证明函数f(x)在[3，5]上单调递增； (2)在坐标系中画出函数 f(x)的草图，并求函数 的值域。 解：(1)证明：任取x ，x ∈[3，5]且x 0， 1 2 1 2 1 2 1 x +2>0． 2 ∴f(x)-f(x )<0，即f(x)0，f(-x)=- = =f(x)， 4-x x-4 4x  x-4 , x<0 ∴f(x)= ；  4x  , x≥0 x+4 4x (2)证明：设x 0，x -4<0，x -4<0， 1 2 2 1 1 2 所以f(x)-f(x )>0，即，f(x)>f(x )， 1 2 1 2 所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减．2x-3 [巩固6]已知函数y= ． x+1 (1)作出这个函数的大致图象； 2x-3 (2)讨论关于x的方程 =t的根的个数。 x+1 2x-3 5 解：(1)∵y= =2- ， x+1 x+1 5 首先将y=- 的图象向左平移1个单位，再向上平 x 5 移2个单位，得到y=2- 的图象 x+1 5 最后将y=2- 的图象在x轴下方的部分翻折 x+1 2x-3 到x轴上方便可得到y= 的图象； x+1 2x-3 (2)当t<0时，方程 =t的根的个数为0； x+1 2x-3 当t=0或t=2时， =t的根的个数为1； x+1 2x-3 当02时， =t根个数为2． x+1 2x [巩固7](2021•石景山期末)已知函数f(x)= ． x+1 (1)用定义证明f(x)在(1,+∞)上单调递增； (2)对任意x∈[2，4]都有f(x)≤m成立，求实 数m的取值范围． 解：(1)证明：任取10，x +1>0， 1 2 1 2 ∴f(x)-f(x )<0，即f(x)0，x +1>0，x -x <0， 1 2 1 2 1 2 则f(x)-f(x )<0， 1 2 即函数f(x)在[0，+∞)上为增函数． [巩固9] 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当 x-1 x∈(0,+∞)时，f(x)= ． x+1 (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性，并用单 调性的定义证明你的结论； (3)解不等式f(t2-t+1)≤f(|t|)． 解：(1)∵定义在R上的f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)， x-1 因为当x∈(0,+∞)时，f(x)= ， x+1 -x-1 x+1 设x<0，则-x>0，f(x)=-f(-x)=- =- ， -x+1 x-1   x x - +1 1 , x>0  又f(0)=0，故f(x)=0, x=0，  x+1 - x-1 , x<0 x+1 2 (2)当x<0时，f(x)=- =-1- 单调递增，理由 x-1 x-1 如下：设x 0，|t|≥0， 当t=0时，f(t2-t+1)=f(1)=0，f(|t|)=f(0)=0，满足f(t2 -t+1)≤f(|t|)， 当t>0时，由f(t2-t+1)≤f(|t|)=f(t)，可得，t2-t+1≤t， 此时t=1， 当t<0时，由f(t2-t+1)≤f(|t|)=f(-t)可得，t2-t+1≤ -t，此时t不存在，综上，t=1或t=0．第第十十三三讲讲 对对勾勾函函数数和和二二次次分分式式型型函函数数 模模块块一一 对对勾勾函函数数 课堂精讲 通过前面对基本不等式的学习，我们了解了求 b “ax+ (a,b>0)”最值的方法，但是均值不等式由 x 于其应用条件的局限性，对于我们解决函数最值带 来了极大的瓶颈。今天我们将在初中的正比例与反 b 比例函数基础上，学习新函数f(x)=ax+ 。由于 x 独特的外形被我们称之为“对勾函数(双勾函数)”。 大家可以思考正比例与反比例的叠加函数会呈 现什么样的性质？（极限思想的初等介绍了了解） 1.对勾函数的图象性质 b 解析式 f(x)=ax+ x a>0,b>0 a<0,b<0 y y 图 像 2 ab y=ax 2 ab x x b - b a a y=ax 渐近线 y轴和y=ax 定义域 -∞,0 72  ∪0,+∞  值 域 yϵ-∞,-2 ab  ∪2 ab,+∞  单调增 b -∞,- a 区 间     a b ,+∞  b b - ,0)(0, a a  单调减 b b - ,0)(0, a a 区 间  b -∞,- a     a b ,+∞  a2 例1 已知函数f(x)=4x+ (x>0,x∈R)在x=2 x 时取得最小值，则实数a= ±4 ． 解：方法一：由题意可知：x>0，a2>0，∴f(x)=4x+ a2 a2 a2 ≥2 4x× =4|a|，当且仅当4x= ，即x= x x x a  时取等号，又∵f(x)在x=2时取得最小值， 2 a ∴ =2，解得a=±4，故答案为：±4． 2 a2 方法二：由对勾函数f(x)=4x+ ，x>0，a2>0，当 x a2 a2 x= 时，取最小值，则 =2，∴a=±4， 4 4 例2(2017秋•兴隆县校级月考)已知函数f(x)=px q 5 17 + (p，q是常数)，且满足f(1)= ，f(2)= ． x 2 4 (1)求函数f(x)的解析式； 1 (2)若对任意的x∈0, 2  关于x的不等式f(x)≥ 2-m恒成立，求实数m的取值范围． 5 17 解：(1)由f(1)= ，f(2)= 得： 2 4 5  p+q= 2  p=2 1  q 17 ，解得 q= 1 ．∴f(x)=2x+ 2x ． 2p+ = 2 2 4 1 (2)设00，即f(x)>f(x )， 1 2 1 2 1 ∴f(x)在0, 2  上单调递减， 1 ∴当x∈0, 2  1 时，f(x)>f 2  =2， 1 ∵对∀x∈0, 2  ，关于x不等式f(x)≥2-m恒成立 ∴2≥2-m，∴m≥0． ∴m的取值范围是[0，+∞)．随堂练习 [练1](2017秋•思明区校级期中)对于函数y=x+ 4 1 ，当x∈  ,4 x  3 73  时，y的取值范围是 ( C ) 37 A.{y40，故y=x+ ≥2 x⋅ =4， x x 当且仅当x=2时“=”成立，根据对勾函数性质得：f(x)在 1   3 ，2  1 递减，在(2，4]递增，而f 3  x 2 [练5](2021秋•怀柔区期末)函数f(x)= + (x> 2 x 0)的最小值是 2 ． x 2 x 2 解：当x>0时， + ≥2 × =2， 2 x 2 x x 2 当且仅当 = ，即x=2时取等号， 2 x x 2 即函数f(x)= + (x>0)的最小值是2． 2 x 1 [练6](2017秋•如皋市期中)已知函数 f(x)=x+ x (x>0)，若在[a，a+2)上有最小值和最大值，则实数 37 = >f(4)=5， a的取值范围是 (0， 2-1]． 3 12 1 1 [练2](2017秋•昌江区校级期中)已知函数y= + 解：函数f(x)=x+ ，则f′(x)=1- ， x x x2 3x(x>0)当x=a时，y取最小值b，则a+b= ( B ) ∴f(x)在(0,1)为减函数，在(1,+∞)为增函数， A.10 B. 14 C. 12 D.8 ∵f(x)在[a，a+2)上有最小值和最大值， 12 12 解：∵x>0，∴y= +3x≥2 ∙3x=12， x x 1 1 ∴f(a)=a+ ，f(a+2)=a+2+ ， 12 a a+2 当且仅当 =3x即x=2时“=”成立， x 1 1 ∴a+ ≥a+2+ ，且a>0， 故a=2，b=12，a+b=14， a a+2 4 [练3](2015秋•来宾期末)若f(x)=x+ ，则下列结 即a2+2a-1≤0，且a>0得00恒成立，则实数a的取值范围为 ( A ) A.{a|-1≤a≤4} B. {a|a≤-2或a≥5} C. {a|a≤-1或a≥4} D.{a|-2≤a≤5} 4 4 解：∵x>0，∴不等式x+ ≥2 x⋅ =4，当且仅当 x x x=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+ 4 ≥a2-3a对任意实数x>0恒成立， x 可得4≥a2-3a，解得-1≤a≤4，故选：A．  1 ，不等式f(x)≤10在x∈  ，1  4  上恒成立，则 7 -∞， b的取值范围为 4  ． 解：设x ，x ∈( a，+∞)，且x 0，x x > 1 2 1 2 2 1 1 2 a，∴f(x )-f(x )>0．∴f(x)在( a，+∞)上是增函 2 1 1 数．∵f(x)≤10，故x∈  ，1 4  时有f(x) ≤10， max 1 知f(x)在区间  ，1 4  1 的最大值为f 4  与f(1)中的较 1 大者．∴对于任意的a∈  ，2 2  ，不等式f(x)≤10在x 1 ∈  ，1 4  1 f 上恒成立，当且仅当 4   ≤10  ， f(1)≤10 39 b≤ -4a 1 即 4 对任意的a∈   2 ，2 b≤9-a  成立． 7 从而得到b≤ ．所以满足条件的 b的取值范围是 4 7 -∞， 4  7 ．故答案为：-∞， 4 4 [练8]已知f(x)=x+ ． [练9](2017秋•武进区期中)如图，已知直线y=kx+ x 4 (1)证明：f(x)在[2，+∞)单调递增； 6-k与曲线y=2+ 在第一象限和第三象限分别 x (2)解不等式：f(x2-2x+4)≤f(7)． 交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足 解：(1)∀x ，x ∈[2，+∞)，且x 0，xx >0， 1 2 1 2 1 2 小值． 又∵x 2， 2-k<0 4 ∴A(1,6)，B- ,2-k k  ， 故实数k的取值范围为(2,+∞)； 4 (2)∵A(1,6),B- ,2-k k  4 ，∴|MN|=x -x =1+ A B k ∵y -y =4+k， A B 1 1 ∴S =S +S = (x -x )(y -y )= AMBN ΔAMN ΔBMN 2 A B A B 2 4 ∙1+ k  ∙(4+k)， 1 16 ∴S关于k的函数关系式S= ∙k+ +8 2 k  ,k>2， 1 16 ∴S= ∙k+ +8 2 k  1 ≥ ∙(8+8)=8，当且仅当k 2 =4时等号成立 ∴四边形AMBN面积取得最小值8时，k=4．模模块块二二 二二次次型型分分式式函函数数（（选选）） 课堂精讲 我们前面介绍了一次分式函数，接下来，我们思 考：可不可以将一次分式函数推广大二次分式函数？ 1．二次分式函数 cx+d αx2+βx+φ x+n 形如 f(x)= 、 、 ax+b x+n αx2+βx+φ αx+β ∙∙∙∙∙∙型的函数统一称之为分式型函数。 x+n 对于任意一个函数，我们最终的核心目标是为 了搞定最优解问题，所以才产生了很多函数分析的 方法。对于二次型我们也将对其最值经行研究。 2.对勾函数求二次型分式函数值域 利用函数方法求值域时用的最多的是：换元分常法 cx+d 1 1 型：令t=ax+b⇒x= t-b ax+b a 75  代换分 B 子x,然后裂项，转化为：y=A+ (反比例函数) t αx2+βx+φ 2 型：令t=x+n⇒x=t-n代换x x+n B ,然后裂项，转化为：y=At+ +C(对勾函数) t x+n 3 型：令t=x+n⇒x=t-n代换 αx2+βx+φ 1 x,同除t，转化为：y= (对勾倒函数) B At+ +C t αx+β 4 型：令t= x+n⇒x=t2-n代换分 x+n B 子后裂项，转化为：y=At+ +C(对勾函数) t αx+β αx+β 注： ⇒ x+n  1 x2+x+1 例4 当 x > 时，函数 y = 最小值为 2 2x-1 7 +1 2 1 1 解：令t=2x-1(t>0)x= t+ 2 2 1 1 1 1 ( t+ )2+ t+ x2+x+1 2 2 2 2 ∴ y = = 2x-1 2 还可对根式下用方法② x+n 5 x2+5 例3 函数f(x)= 的最小值为 2 x2+4 解： 令t= x2+4(t≥2)x2=t2-4则y=h(t)= t2+1 1 (列项)=t+ 在[2，+∞)上单调递增（对勾 t t 1 函数的应用）∴t=2，即x=0时，y=h(t)=2+ = 2 min 5 x2+5 5 ∴f(x)= (x∈R)的最小值为 2 x2+4 2  +1 = t 1 7 t2+t+ 4 4 t 7 1 7 7 = + +1≥2 t∙ +1= t 4 4t 4 4t 2 1 +1．(也可以利用对勾函数求解)当且仅当 (2x- 4 7 1+ 7 1)= ，即x= 时取得最小值。 4(2x-1) 2 从上面的换元分常分析中我们发现，产生了一 个新函数：对勾倒函数。在分析中我们可以借助对 勾函数分析求解对勾倒函数的最值，也可以直接用 函数的性质求解函数的最值 3.对勾倒函数 1 形如：y= 的函数称之为对勾倒函 B At+ +C t 数，其图象走势如下图所示： y 1 f(x)= 1 x+ x b b x - a a 4.换元判别法求值域 h(x) 令y=  h(x)=yg(x)，换元过程要求 g(x) 等式成立，说明h(x)-yg(x)=0有解。在二元问题 中要让方程有解，可以用△约束出y的取值范围。x+a 例5 已知函数 f(x) = (a ∈ R) 的值域是 x2+1 1  - ,m  4 76  3 ，则常数a= 4 ，m= 1 解：换元分常法 令t=x+a  x=t-a，t∈R t 则h(t)= t-a  t = 2+1 t2-2at+a2+1 1 = 由函数性质可知： a2+1 t+ -2a t 1 当t= a2+1时，h(t) = =m max 2 a2+1-2a 1 1 当t=- a2+1时，h(t) = =- min -2 a2+1-2a 4 3 解得：a= ,m=1 4 x+a 法二：变换主元法 令y= ⇒yx2+y=x+a x2+1  yx2+x+y-a=0 上式等式是由函数改写而来，等式一定恒成立， ∴△=1-4y(y-a)≥0即：4y2-4ay-1≤0, x+a 1 ∵函数f(x)= (a∈R)的值域是 - ,m x2+1  4  [练12]非零实数 a，b 满足 a2+ b2= 4，若函数 y = ax+b 有最大值M和最小值m，则M-m= 2 x2+1 ax+b 解：y= 化为yx2-ax+y-b=0，由题意可得 x2+1 △=a2-4y(y-b)≥0，即为4y2-4yb-a2≤0，由a2+b2 -2+b =4，可得4y2-4yb-(2-b)(2+b)≤0，解得 ≤ 2 2+b 2+b -2+b y≤ ，即M= ，m= ，则M-m=2． 2 2 2 mx2+8x+n [练13]已知函数 y = 的定义域为 x2+1 (-∞,+∞)，值域为[1，9]，则：m= 5 ，n= 5 mx2+8x+n 解：由y= 得(y-m)x2-8x+y-n=0 x2+1 ∵x∈R，若y-m≠0，则△=64-4(y-m)(y-n)≥0 即y2-(m+n)y+(mn-16)=0的两根为1，9， ∴   m+n=10 ，解可得m=5，n=5，若y-m=0即y mn-16=9 =m=5，对应x=0符合题意，综上m=n=5． ax+b [练14](2021秋•台州期中)设函数 f(x)= 是 x2+1 1 1 ∴- ，m 是方程4y2-4ay-1=0的两个根， 定义在(-1,1)上的奇函数，且f 4 2 1 - +m=a m=1  4  ∴由韦达定理可得： 1 1 ⇒  a= 3 - ×m=- 4 4 4 随堂练习 5 [练10](2022• 惠州二模 ) 已知 x ≥ ，则 f(x) = 2 x2-4x+5 有 ( D ) x-2 5 5 A.最大值 B. 最小值 2 2 C. 最大值2 D.最小值2 5 1 解：∵x≥ ，∴x-2>0，故f(x)=x-2+ ≥2， 2 x-2 当且仅当x=3时“=”成立，故选：D． x2+1 [练11](2021秋•凉州区期末)函数y= (x>0) x 的值域为 ( C ) A.[1，+∞) B. (1,+∞) C. [2，+∞) D.(2,+∞) x2+1 1 1 解：x>0时，y= =x+ ≥2 x⋅ =2，当且 x x x 1 仅当x= ，即x=1时取等号，此时函数取得最小值2， x x2+1 所以函数y= (x>0)的值域为[2，+∞)． x  4 = ． 5 (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性 定义证明． ax+b 解：(1)f(x)= 是定义在(-1,1)上的奇函数， 1+x2 ax ∴f(0)=b=0，∴f(x)= ， 1+x2 1 又∵f 2  1 a 4 2 4 = ，∴ = ，解得a=2， 5 1 5 1+ 4 2x ∴f(x)= 满足定义域上的奇函数， x2+1 2x ∴f(x)= ，x∈(-1,1)． 1+x2 2x (2)函数f(x)= 在(-1,1)上为增函数， 1+x2 证明如下：任取x ，x ∈(-1,1)且x 0， 1 2 所以f(x)-f(x)<0，即f(x)0)，求F(1)+F(2)+F f(x) 1 (3)+⋯+F(2021)+F 2 77  1 +F 3  1 +⋯+F 2021  的值． x2+1 解：(1)函数f(x)= 是其定义域内的奇函数，可得 ax+b x2+1 x2+1 f(-x)=-f(x)，即 =- ， -ax+b ax+b 可得-ax+b=-ax-b，解得b=0， x2+1 则f(x)= ， ax 2 由f(1)=2，可得 =2， a 解得a=1， x2+1 所以f(x)= ； x x x2 (2)由(1)可得F(x)= = (x>0)， f(x) x2+1 1 则F(x)+F x  x2 1 = + =1， x2+1 x2+1 1 所以F(1)+F(2)+F(3)+⋯+F(2021)+F 2  + 1 F 3  1 +⋯+F 2021  1 = F(1) + F(2)+F 2      1 + F(3)+F 3      + ... + 1 F(2021)+F 2021      [练16](2021秋•黄梅县校级期末) 4 (1)已知函数h(x)=x+ ，x∈[1，8]，求函数h x (x)的最大值和最小值； 4x2-12x-3 (2)已知函数f(x)= ，x∈[0，1]，利 2x+1 用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (3)对于(2)中的函数 f(x)和函数g(x)=-x- 2a，若对于任意的x ∈[0，1]，总存在x ∈[0，1]，使得 1 2 g(x )=f(x)成立，求实数a的值． 2 1 解：(1)h(x)在[2，8]上单调递增；在[1，2)上单调递减． ∴x=2时，h(x)取得极小值即最小值，h(2)=4．又h 17 17 (1)=5，h(8)= ，∴x=8时，h(x)取得最大值 ． 2 2 4x2-12x-3 (2x+1)2-8(2x+1)+4 (2)f(x)= = = 2x+1 2x+1 4 2x+1+ -8，x∈[0，1]，令2x+1=t∈[1，3]，f 2x+1 4 (x)=u(t)=t+ -8，(1)可得：函数u(t)在[2，3]上 t 单调递增；在[1，2)上单调递减．∴t=2时，u(t)最小 11 值，u(2)=-4．又u(1)=-3，u(3)=- ，∴t=1时， 3 h(x)最大值-3．∴f(x)值域为[-4，-3]． (3)由(2)可得f(x)在x∈[0，1]的值域A=[-4，-3]． 由函数g(x)=-x-2a在x∈[0，1]上单调递减，可得值 域B=[g(1)，g(0)]=[-1-2a，-2a]．对于任意的x ∈ 1 [0，1]，总存在x ∈[0，1]，使得g(x)=f(x)成立， 2 2 1 ∴A⊆B，∴   -1-2a≤-4 ，解得a= 3 ．∴a= 3 ． 1 4041 -3≤-2a 2 2 = +1×2020= ． 2 2 -1=1时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0，+∞)， 课后提升 [巩固3]下列说法不正确的是 ( B ) [巩固1](2017秋•凌源市校级月考)函数 f(x)=x+ 1 A.x+ (x>0)的最小值是2 4 x ,x∈[1,5]，则函数f(x)的最小值为 ( A ) x x2+5 B. 的最小值是2 29 5 x2+4 A.4 B. 5 C. D. 5 29 x2+2 C. 的最小值是 2 解：∵x∈[1，5]，∴f(x)=x+ 4 ≥2 x∙ 4 =4，当且仅当x x2+2 x x 4 4 D.若x>0，则2-3x- 的最大值是2-4 3 = 即x=2时取等号，∴f(x)最小值为4． x x x2-4x+4 解：Ax + 1 ≥ 2 x∙ 1 = 2，x = 1 时取等号 A 正确 B， [巩固2]函数y= (x>1)的值域是 ( D ) x x x-1 x2+5 x2+4+1 1 = = x2+4+ ≥2，x2+4=1时 A.[1，+∞) B. (-∞，1] x2+4 x2+4 x2+4 C. (-∞，0] D.[0，+∞) 取等号，显然x的值不存在，B错误；C， x2+2 = x2+2≥ x2+2 解：∵当x>1时，y= x2-4x+4 = (x-1)2-2(x-1)+1 = 2，x=0时取等号，C正确；对于D，∵x>0，∴2-3x- 4 ≤ x-1 x-1 x (x-1)-2+ x- 1 1 ≥2 (x-1)⋅ x- 1 1 -2=0，当且仅当且x 2-2 3x∙ x 4 =2-4 3，x= 2 3 3 时取等号，故D正确，a [巩固4](2016春•泸州期末)已知函数 f(x)=x+ x (x>0,a>0)在x=3时取得最小值，则a= 9 ． a a 解：∵x>0，a>0，∴ f(x)=x+ ≥2 x∙ = x x 2 a，当且仅当x= a时取得等号． ∴ a=3，解得a=9．故答案为：9． 4 [巩固5](2020秋•滕州市)已知函数f(x)=x+ ． x (1)求f(f(2))； (2)判断函数f(x)在[2，4]上的单调性，并证明； 4 (3)关于x的不等式x+ 0， 1 2 1 2 1 2 则有f(x)-f(x)<0，故函数f(x)在区间[2，4]上递增， 1 2 (3)根据题意，由(Ⅱ)的结论，f(x)在区间[2，4]上递增，则f 4 (2)≤f(x)≤f(4)，又由f(2)=2+ =4，则有f(x)≥4，若关于 2 4 x的不等式x+ 4，即m x 的取值范围为(4,+∞)． [巩固6](2021 秋• 平舆县月考 ) 已知函数 f(x) = mx+n 1 是定义域为(-1,1)的奇函数，且f x2+1 2  2 = ． 5 (1)求m，n的值，并用函数单调性的定义来判断 函数f(x)的单调性； (2)解不等式f(2x+1)+f(x)<0． mx+n 解：(1)∵f(x)= 是定义域为(-1,1)的奇函数， x2+1 1 由奇函数的性质，得f(0)=n=0，又f 2  1 m 2 = = 1 1+ 4 2 x ，∴m=1，∴f(x)= ，设-10，x +x >0，x2+1>0， 1 2 2 1 2 1 1 x2+1>0，∴f(x)-f(x )>0，即f(x)>f(x )， 2 1 2 1 2 故f(x)在区间[0，+∞)上单调递减； (2)函数g(x)= f(x)-k(k为常数)的零点即方程 f (x)-k=0(k为常数)的解， 2 2 解方程 -k=0得，x=± -1(00)具有性质：在(0， x t]上是减函数，在( t，+∞)上是增函数。 4 (1)已知f(x)=2x+ -5,x∈[1,3]，利用 2x-1 上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)=x2-mx +4，若对任意x ∈[1，3]，总存在x ∈[1，3]，使得g 1 2 (x )x+ x  ，令u(x)=x+ 最小值 4 ，u(x)在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数． x u(x)最小值=u(2)=4，∴m>4． 即实数m的取值范围为(4,+∞)．第第十十四四讲讲 二二次次函函数数及及其其变变换换 模模块块一一 二二次次函函数数及及其其变变换换 课堂精讲 初中阶段我们已经重点学习了二次方程与二次 函数，我们知道了二次函数所具备的一些性质。 1.二次函数的图象性质 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x−h)2+k 解析式 交点式：y=a(x−x)(x−x ) 1 2 b 4ac−b2 一般式化顶点式y=a(x+ )2+ 2a 4a a>0 a<0 y y 图 象 x x b b x =- x =- 0 2a 0 2a b 对称轴 直线x=- 2a b 4ac-b2 顶 点 - , 2a 4a 79  2.二次函数的平移变换 平移方法：左加右减，上加下减。 以二次函数y=x2的图象为例 (1)y=x2的图象向左平移1单位长度后解析式：y= x+1 b b x<- 时，单调递减 x<- 时，单调递增 2a 2a 增减性 b b x>- 时，单调递增 x>- 时，单调递减 2a 2a b b 当x=- 时 当x=- 时 最 值 2a 2a y有最小值 y有最大值 例1 函数y=x2+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则 实数m的取值范围是 ( A ) A.[-2,+∞) B. [2,+∞) C. (-∞,2) D.(-∞,2] 解：y=x2+2mx+1为开口向上的抛物线，对称轴为 x=-m，y=x2+2mx+1在[2,+∞)单调递增，则 -m≤2，解得m≥-2.故选：A.  2；向右平移1单位长度后解析式：y=x-1  2 (2)y=x2的图象向上平移2单位长度后的解析式：y =x2+2；向下平移2单位长度后解析式：y=x2-2 y 向 y 上 平 移 2 单 向 位 下 平 x 移 x 2 向左平移1单位 向右平移1单位 单 位 3.二次函数的翻折变换 以y=2x2+2x-1与y=2x2+2x-1  、y= 2x  2+2x  -1图象间的关系为例： (1)函数y=2x2+2x-1  的图象是将函数y= 2x2+2x-1在x轴上方的图象保留，再将x轴下方 的图象作关于x轴对称得到。 (2)函数y=2x  2+2x  -1对x取绝对值的图 象，是将函数y=2x2+2x-1在y轴右侧的图象保 持不变，y轴左侧的图象去掉，再将y轴右侧的图象 作关于y轴对称得到。 y y=2x2+2x-1 x  的图像 y=2x  2+2x  第一步：画出原图 第二步：进行翻折 y y=2x2+2x-1的图像 x y -1的图像 x例2 (2021秋•南乐县月考)已知函数 f(x)=|x+ 2|-|2-x|，g(x)=x2-2|x|+t(t∈R)． (1)f(x)4， 所以实数a的取值范围是(4,+∞)． (2)当x∈[-2，2]时，f(x)=(x+2)-(2-x)=2x， 所以f(x)-x2+2|x|+2x在[-2，2]上有解， -x2, -2≤x≤0  设h(x)=-x2+2|x|+2x= ， -x2+4x, 0-4，即t的取值范围是(-4,+∞)． 随堂练习 [练1](2022春•房山区期中)若函数f(x)=x2-mx+ 10在(-2,1)上是增函数，实数m的取值范围 ( D ) A.[2，+∞) B. [-4，+∞) C. (-∞，2] D.(-∞，-4] m 解：f(x)=x2-mx+10的对称轴为x= 且开口向 2 m 上，∵函数f(x)在(-2,1)上是增函数，∴ ≤-2，∴m 2 ≤-4，∴实数m的取值范围是(-∞，-4]． x-1 [练2](2022•保定二模)若函数f x 80  1 2 = - + x2 x 1，则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为 ( D ) A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 x-1 解：由f x  1 2 1 = - +1可得，f1- x2 x x  2 =1- x 1 1 + =1- x2 x  [练3]函数y=x2-2x 2 ，∴f(x)=x2(x≠1)．∴g(x)=x2-4x =(x-2)2-4，当x=2时，g(x)取得最小值为-4．  +1的单调递增区间是 ( B ) A. -1,0  B. (-1,0)和(1,+∞) C. (-∞,-1) D.(-∞,-1)和(0,1) 解：y=x2-2x  (x-1)2, x≥0  +1= ， (x+1)2, x<0 作出其图象如图所示： 由图象可知， 函数的增区间为(-1,0) 和(1,+∞).故选:B [练4](2022•泸县模拟)设m∈R，则“m≤2”是“函数 f(x)=x2-mx在[1，+∞)上单调递增”的 ( C ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：若函数f(x)=x2-mx在[1，+∞)上单调递增， m 则 ≤1，∴m≤2，∴m≤2是函数f(x)=x2-mx在 2 [1，+∞)上单调递增的充要条件，故选：C． [练5](2021 春• 水富市校级期中 ) 若函数 f(x) = x-2+m在区间[a，b]上的值域为[a，b](b>a≥ 2)，则实数m的取值范围为 ( C ) 1 A.  ,4 4  1 B.   ,4  4  7 C.  ,2 4  7 D.   ,2  4  解：f(x)= x-2+m在区间[a，b]上单调递增且函数 的值域为[a，b](b>a≥2)，∴  a-2+m=a ， b-2+m=b 即m=a- a-2，m=b- b-2， 问题转化为m=x- x-2在[2，+∞)上有两个不同零 点，令t= x-2，x=2+t2且t≥0， 所以x- x-2=t2-t+2，t≥0， 令g(t)=t2-t+2，t≥0，所以y=m与g(t)=t2-t+2 1 = t- 2  2 7 1 + 在t≥0时有两个交点，因为g 4 2  = 7 7 ，g(2)=2，结合二次函数的性质可知， 0 ，得a= 1 >0，则 1 △=4-4ac=0 c c 4 4 4 + =a+ ≥2 a× =4，当且仅当a=2时取等 a a a [练8](2021秋•和平区校级期中)若函数f(x)=-x2+ 2x-2a+1 4ax与g(x)= 在区间[1，2]上都是减函 x-2a 数，则a的取值范围是 ( D ) 1 A.(-∞，1] B. - ,1 2 81  1 1 C. - , 2 2  1 1 D. - , 2 2  解：∵f(x)=-x2+4ax在[1，2]上减， 1 ∴x=2a≤1，得a≤ ； 2 2x-2a+1 2a+1 又∵g(x)= =2+ 在[1，2]上是减函数， x-2a x-2a 2a+1>0 2a1或2a    2 ，得- 2 1 1；，a∈- 2 1 ， 2 1  [练10]设函数f(x)=|x2-4x+3|，x∈R． (1)在区间[0，4]上画出函数f(x)的图象； (2)写出该函数在R上的单调区间． 解：(1)函数f(x)=|x2-4x+3|=|(x-2)2-1|； (列表，描点，作图) x 0 1 2 3 4 y 3 0 1 0 3 (2)根据函数f(x)的图像，不难发现， [练9](2021秋•河南月考)函数f(x)=ax2+x+b． 函数f(x)在x∈(-∞，1]上单调递减； (1)若不等式f(x)<0的解集是(-∞，-2)∪(3， 函数f(x)在x∈[1，2]上单调递增； +∞)，求f(x)的解析式； 函数f(x)在x∈[2，3]上单调递减； f(x) 函数f(x)在x∈[3，+∞)上单调递增． (2)若a=1，b=4，求y= (x>0)的最小值 x+1 [练11](2021秋•龙凤区校级期末)已知函数f(x)是定 1 -2+3=-  a 解：(1)由题意可得 ，得a=-1，b=6， 义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=-x2+2x． b -2×3= a (1)当x≥0时，求函数f(x)的解析式； 故f(x)=-x2+x+6； (2)解m的不等式：f(2m)+f(m-2)≤2-3m． (2)因为a=1，b=4， x2+x+4 4 解：(1)∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0 所以y= =x+1+ -1， x+1 x+1 时，f(x)=-x2+2x．∴f(0)=0， 因为x>0，所以x+1>0， 当x>0，则-x<0， 4 所以x+1+ x+1 ≥4， 则f(-x)=-x2-2x=-f(x)， 4 即f(x)=x2+2x(x<0)， 当且仅当x+1= ，即x=1时，等号成立， x+1 综上f(x)=x2+2x(x≤0)． 则y≥3， (2)由f(2m)+f(m-2)≤2-3m．得f(2m)+2m≤-f f(x) 即函数y= (x>0)的最小值是3． (m-2)+2-m=f(2-m)+ x+1 2-m．设g(x)=f(x)+x，则 不等式等价为g(2m)≤g(2- m)， 作出函数f(x)的图象如图：则 f(x)在R上是增函数，则g(x) =f(x)+x也是增函数， 则由g(2m)≤g(2-m)，得2m 2 2 ≤2-m，得m≤ ，即实数m的取值范围是-∞， 3 3  ．例3(2021秋•秀英区校级期中)函数y=f(x)为偶函 模模块块二二 闭闭区区间间上上的的二二次次方方程程与与函函数数 数，当x≥0时，f(x)=x2+2ax+1． 课堂精讲 (1)当x<0时，求f(x)的解析式； (2)设函数y=f(x)在[0，5]上的最大值为g(a)， 在学习了函数的基本性质以后，我们知道了函 求g(a)的表达式． 数具有有界性，研究函数的问题一定要在由意义的 解：(1)设x<0，则-x>0， 范围内经行研究，所以自变量的约束是研究函数的 ∴f(-x)=(-x)2+2a(-x)+1=x2-2ax+1， 又∵函数y=f(x)为偶函数， 第一步，但是初中阶段大家研究二次函数都是在任 ∴f(-x)=f(x)， 意实数下经行的研究，接下来我们将在给定区间上 ∴f(x)=x2-2ax+1， 来研究二次函数的最值和方程根存在的问题。 即当x<0时，f(x)的解析式为f(x)=x2-2ax+1， (2)当x≥0时f(x)=x2+2ax+1，对称轴为x=-a， 5 5 1.二次函数闭区间值域 当-a≤ 即a≥- 时，g(a)=f(5)=26+10a， 2 2 5 5 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p 当-a> 即a<- 时，g(a)=f(0)=1， 2 2 5 1,a<- ,q]上的最大值为M，最小值为m，其中对称轴x =  2 0 综上所述，g(a)= ． 5 26+10a,a≥- b 1 2 - ,区间[p,q]上的中点t= (p+q). 2a 2 2.二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的分布 图1 图2 x 0 p q x p x 0 t q x 设:f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点：x 1 ,x 2 ,判别 b 式：△=b2-4ac,对称轴：x =- 0 2a (1)方程f(x)=0在区间m,n 图3 图4 p t x 0 q x p q x 0 x (1)当x 0  a>0 f(n)>0 f(m)  f(n)  △<0   f(x )>0  0 m x 0 n x   m0 a>0 f(n)  f(m)>0  或 ⇒f(n)>0 f(n) f(m)  m n x m n x nx 0 a>0 f(m)<0   x 1 m n x 2 x   f(n)<0  f(n)  f(m) △>0(2)方程f(x)=0在区间m,n 83  上有一解. a>0 f(m)≥0   f(n)≥0 f(n)  f(m)  △=0   m x n x m≤x ≤n 0 0 f(m) a>0 a>0 f(n) f(m)∙f(n)≤0  mx 2 n x 1 x 或 x 2 m x 1nx ⇒ △>0 f(n) f(m) (3)方程f(x)=0在区间m,n  随堂练习 [练12](2021秋•湖南期中)已知函数f(x)= ax2+1 的定义域为R，则a的取值范围是 ( D ) A.[0，1] B. (0,+∞) C. [1，+∞) D.[0，+∞) 解：题意得ax2+1≥0恒成立，当a≥0时，满足题意， [练13](2021 秋• 东城区校级期中 ) 若函数 f(x) = 2x-3 定义域为R，则a的取值范围是 ( C ) x2+ax+a A.[0，4) B. [0，2) C. (0,4) D.(2，4] 上有两解 2x-3 解：解：因为函数f(x)= 的定义域为R， a>0 f(m)≥0 x2+ax+a  f(m)  所以x2+ax+a>0恒成立，所以△=a2-4a<0， f(n) f(n)≥0 00 m x 1 x 2 n x   [练14](2021 秋• 柳州月考 ) 已知函数 f (x) = m0时，不等式ax2+bx+c≥0的解集是D= 假命题，则m的取值范围是 -1≤m≤3 (-∞，x]∪[x ，+∞)，不满足f(x)的定义域和值域A= 1 2 解：命题“∀x∈[0，3]，都有x2-2x-m≠0 “是假命 [0，4]，不合要求．当a<0时，函数f(x)的定义域为D 题， =[0，4]，即不等式ax2+bx+c≥0的解集是D=[0， b b 则命题“∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 “成立 4]，所以c=0，- =4，此时 f(x) = f- a max 2a 是真命题， 法一：变换主元：故m=x2-2x=(x-1)2-1。（将x 看作是m的函数） 由于x∈[0，3]，∴m∈[-1，3]。 法二：二次函数含参讨论： 设h(x)=x2-2x-m,函数开口向上,△=4+ 4m，对称轴x =1 0 ∃x∈[0，3]，使得x2-2x-m=0 ,即函数h(x)在 x∈[0，3]上与x轴有交点 1 当x ∈[0，3]时，函数h(x)有两个单调区间 0 h(0)≥0  h(x)  ⇒ h(3)≥0⇒-1≤m≤0 x  0 1 3  h(1)≤0 2 当x0∉[0，3]，函数h(x)有一个单调区间 h(x) h(x) ⇒h(0)∙h(3)≤0⇒0≤m≤3 x 0 3 0 3 x 综上，-1≤m≤3  = b2 b = =4，由①②得-a=2 -a，得a=-4． -4a 2 -a [练15](2021秋•天河区校级期中)已知二次函数f(x) =x2-mx+m-1(m∈R)． (1)若f(x)是偶函数，求m的值； (2)函数在区间[-1，1]上的最小值记为g(m)，求 g(m)的最大值． m 解：(1)f(x)是偶函数，得f(x)对称轴为y轴，即 =0，m=0 2 m m (2)f(x)的对称轴为x= ，当 ≤-1，即m≤-2时，f(x)在 2 2 m [-1，1]上递增，可得g(m)=f(-1)=2m；当-1< <1，即 2 m -20，f(x)<0的解集为(a,b)，求 + a b 的最大值． 解：(1)根据题意，f(x)=2mx2+4mx+1， 若f(x)≤0，即2mx2+4mx+1≤0， -1 又由x∈[1，3]，变形可得m≤ ， 2x2+4x -1 设g(x)= ，x∈[1，3]， 2x2+4x 1 1 x∈[1，3]，则6≤2x2+4x≤30，有- ≤g(x)≤- ， 6 30 若存在x∈[1，3]，使得不等式f(x)≤0成立，则m≤g 1 1 (x) ，即m≤- ，故m≤- ， max 30 30 (2)根据题意，若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，即方程 2mx2+4mx+1=0的两根为a、b， 1 则有a+b=-2，ab= >0， 2m 4 9 1 4 9 则 + = - ( a + b )  + a b 2 a b 84  = 1 4b 9a - 13+ + 2 a b  [练17](2021秋•临海市校级月考) 已知函数f(x)=x2+(x-2)|x-a|． (1)若a=1，解不等式f(x)≤1； (2)若函数f(x)在[0，3]上是增函数，求实数a的 取值范围； 2x2-3x+2, x≥1 解：(1)当a=1时，f(x)= ， 3x-2, x<1 当x≥1时，f(x)≤1化为2x2-3x+2≤1，解得x=1， 当x<1时，f(x)≤1可化为3x-2≤1，解得x<1， 综上，不等式的解集为{x|x≤1}； ( 2 ) f ( x ) = x 2 + ( x - 2 ) | x - a | = 2x2-(a+2)x+2a, x≥a  ， (a+2)x-2a, x 时，f(x)在R上为增函数，满足； 4 3 4b 9a 4b 9a ，又由 + ≥2 + = a+2 2 a b a b 当 >a，即a< 时，为使函数f(x)在[0，3]上单 4 3 4 9 1 12，当且仅当2b=3a时等号成立，则有 + ≤- a+2 a b 2 调递增，需满足： ≤0，解得a≤-2； 4 25 4 9 25 (13+12)=- ，即 + 的最大值为- ． 2 2 a b 2 综上，实数a的取值范围是：a≥ 或a≤-2． 3 [巩固3](2022春•湖北期中)f(x)=-x2-3tx+8t，则“f 课后提升 (x)图象恒在x轴下方”是“-2f(2)>f(1) B. f(2)>f(1)>f(π) C. 必要不充分条件 C. f(2)>f(π)>f(1) D. f(1)>f(2)>f(π) D.充要条件 解：根据题意知抛物线f(x)=-x2-bx+c的图像开 解：f(x)图象恒在x轴下方”即△=9t2+4×8t<0， 32 32 口向下、关于直线x=2对称，所以函数 f(x)在(2 整理得- f(3)>f(π)， 又因为f(1)=f(3)，所以f(2)>f(1)>f(π)． [巩固2](2021秋•浙江月考)已知函数f( x+2)=x +2 x+2，则f(x)的最小值是 ( B ) A.-1 B. 2 C. 1 D.0 解：令 x+2=t，则t≥2，∴ x=t-2，x=(t-2)2， ∴f(t)=(t-2)2+2(t-2)+2=t2-2t+2， ∴f(x)=x2-2x+2，x≥2．f(x)在[2，+∞)上为增 函数，则当x=2时，f(x)取得最小值为2．  ， 则“f(x)图象恒在x轴下方”是“-20对于任意x∈R恒成立， 当m=0时，符合题意； m>0 当m≠0时，则  ，解得00对任意x∈R恒成立．当a=0时，不等式ax2 -4ax+2>0化为2>0，恒成立；当 a≠0时，需   a 16 > a2 0 -8a<0 ，即00 ，解得a≤- 1 ， △=4+20a≤0 5 1 综上，实数a的取值范围为-∞,- 5  ； (2)∵函数值域为[0，+∞)， ∴g(x)=-ax2+2x+5能取遍所有正数， ∴   -a≥0 ，解得- 1 ≤a≤0， △=4+20a≥0 5 1 ∴实数a的取值范围为 - ,0  5  [巩固8](2021秋•常熟市校级月考) 设函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a≠0)． (1)不等式f(x)>0的解集为(-1,1)，求a和b； 1 1 (2)若f(1)=3，若a>0，b>0，求 + 的最小 a b 值，并指出取最小值时a和b的值； 解：(1)由已知得，ax2+(b-2)x+3=0两根是-1，1 b-2 ∴   - 3 a =-1+1=0 ，解得  a b= = 2 -3 ； =(-1)×1=-1 a (2)①f(1)=a+b-2+3=3，所以a+b=2， 1 1 1 1 1 ∴ + =  + a b 2 a b ．  (a+b) 1 b a =  + +2 2 a b  1 a b ≥ 2 × +2 2 b a  =2 b a 当且仅当 = 时取等，∵a+b=2，a>0，b>0， a b 1 1 解得a=b=1时取等号，此时 + 的最小值是2； a b [巩固9](2021秋•天津期末)已知函数 f(x)=2x2+ mx+n的图象过点(1,-1)，且满足f(-2)=f(3)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在[a，a+2]上的最小值； (3)若x 满足f(x )=x ，则称x 为函数y=f(x) 0 0 0 0 的不动点．函数g(x)=f(x)-tx+t有两个不相等且 正的不动点，求t的取值范围． 解：(1)∵f(x)过点(1,-1)，∴2+m+n=-1① 又f(-2)=f(3)，∴8-2m+n=18+3m+n② 由①②解m=-2，n=-1，∴f(x)=2x2-2x-1； (2)f(x)=2x2-2x-1=2x- 1 2  2 - 3 ，x∈[a，a+2] 2 1 3 当a+2≤ ，即a≤ 时，f(x)在[a，a+2]上单减 2 2 1 3 ∴f(x) =f(a+2)=2a2+6a+3；当a< 0，x >0，∴g(x)=x，即方程2x2-(3+t)x+t-1=0有两 2 △=(3+t)2-8(t-1)>0  3+t 个不相等的正实根x 1 、x 2 ，∴ x 1 +x 2 = 2 >0 ，得t  x 1 x 2 = t- 2 1 >0 >1．∴t的取值范围为：(1,+∞)．第第十十五五讲讲 函函数数零零点点与与分分段段函函数数 模模块块一一 分分段段函函数数 课堂精讲 初中阶段我们接触过一些简单的分段函数问题。 所谓分段函数就是自变量在不同的定义区间上有不 同的解析式。对于分段函数的问题，我们可以借助图 象辅助解题，图象是最直观体现函数性质的方法。 1.分段函数 f(x), x∈a,b 形如y= 86  g(x), x∈b,c  例1 (2021 秋• 辽源期末 ) 已知函数 f (x) = 2 x+ +2, x<0  x ，则f(x)的最大值是 ( B ) -x2-1, x≥0 A.2+2 2 B. 2-2 2 C. -1 D.1 解：当x<0时，f(x) =f(- 2)=2-2 2， max 当x≥0时，f(x) =f(0)=-1，而2-2 2>-1， max 所以f(x) =2-2 2，故选：B． max    例2 (2021 秋• 河南月考 ) 已知函数 f (x) = 的函数称为分段函数。    -x2-2ax-2,x≤ 1 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 2  在R上为增函数，则a的 a 1 ,x> x 2 取值范围是 ( D ) 2.分段函数的作图规则 1 1 确定函数的分段点，在坐标系中画出虚线； A. -∞，- 2 2 在各自的区间上画出函数图像； 3 计算分段点处二者的函数值，进而确定函数图 象是连续还是间断的。 3.函数作图的细节 作图分析问题时，我们虽是作的草图，但还需注 意以下细节，这些细节可能会影响由图得到的结论。 1 体现函数性质的特殊点或者直线需进行标注， 如对称的点或直线，所过定点(含参一次函数过定点) 2 需注意初等函数渐近线。有渐近线的函数经 过翻折变换后仍然有渐近线(对于方程根的个数和最 值问题需重点注意渐近线)。 3 部分问题中初等函数的最值点和零点需标注。 4 直角坐标系要求尺子作图，不要徒手画！！函 数图尽量要使趋势与教学图象保持一致，不要过于夸 张，避免因作图不规范影响结论。  B. (-∞,0) 1 C. -∞,- 2  3 1 D.  - ，-  4 2  1 -x2-2ax-2,x≤ 2 解：f(x)= 是R上的增函数， a 1 ,x> x 2 1 -a≥  2  a<0 3 1 则有 ，得- ≤a≤- ，  1 a 4 2 - -a-2≤  4 1  2 3 1 即a的取值范围是 - ，-  4 2  ， 随堂练习 [练1]( 2021 秋 • 张 掖 期 末 ) 已 知 f ( x ) = x-4 (x≥6)   ，则f(3)为 ( C ) 2x-3 (x<6) A.-1 B. 2 C. 3 D.-1或3 x-4 (x≥6)  解：根据题意，f(x)= ， 2x-3 (x<6) 则f(3)=2×3-3=3；故选：C．[练2](2021 秋• 武江区校级期末 ) 已知 f (x) = -x+6, x≥0   ，则f[f(7)]的值为 ( B ) x2+1, x<0 A.-20 B. 2 C. 7 D.5 -x+6, x≥0 解：解：根据题意，f(x)= ，则f(7)=-7 x2+1, x<0 +6=-1， 则f[f(7)]=f(-1)=1+1=2； 故选：B． x2-1,x≤1, [练3](2021秋•丹东期末)函数f(x)=   8x,x>1, 若f(x)=8，则x= ( B ) A.-3或1 B. -3 C. 1 D.3 x2-1,x≤1, 解：根据题意，函数f(x)= 当x≤1时，f 8x,x>1, (x)=x2-1=8，解可得x=±3，又由x≤1，则x=-3， 当x>1时，f(x)=8x=8，解可得x=1，不符合题意， 综合可得：x=-3，故选：B． [练4](2021 秋• 福州期末 ) 已知函数 f (x) = x3+1, x>0   为偶函数，则2a+b= ( B ) ax3+b, x<0 3 1 3 A.3 B. C. - D.- 2 2 2 x3+1, x>0 解：∵ f(x)=  为偶函数，∴ f(-1)= f ax3+b, x<0 (1)，f(-2)=f(2)，∴-a+b=2，9=-8a+b，得，a= x3+1, x>0 -1，b=1，此时f(x)= 为偶函数，满足 -x3+1, x<0 1 3 题意，则2a+b= +1= ． 2 2 [练5](2021 秋• 西青区期末 ) 若函数 f (x) = 2 x+ , 21 x 范围是 ( C ) 1 A.(0,+∞) B. -∞, 2 ．  1 C.   ,1  2  1 D.   ,+∞  2  x2-4ax+5a, x≤1  解：∵f(x)=2a 在R上为减函数， , x>1 x 2a≥1  1 ∴a>0 ，解得 ≤a≤1． 2 1-4a+5a≥2a 1 ∴a的取值范围是  ，1 2  ． [练7]( 2021 秋 • 邯 郸 期 中 ) 设 函 数 f ( x ) = |x|-1,x∈[-1,+∞)   ，若对任意的x∈[m，+∞)， 2f(x+2),x∈(-∞,-1) 都有f(x)≥-4，则m的最小值是 ( D ) 13 11 A.-4 B. -6 C. - D.- 2 2 解：作出函数f(x)的部分图象如图所示， 当x∈(-6,-5)时，f(x)=8(x+5)， 11 令f(x)=-4，解得x=- ． 2 数形结合可得，对任意的x∈[m，+∞)，都有f(x)≥-4， 11 则m的最小值为- ． 2 [练8](2020 秋• 南昌县校级月考 ) 若函数 f(x) = 3 b- 2   x+b-1 (x>0)  在R上为增函数，则实数 -x2+(2-b)x (x≤0) 3  ，2 b的取值范围是 2  ． 3 b- 解：∵ 函 数 f ( x ) = 2   x+b-1 (x>0)  在 -x2+(2-b)x (x≤0) (-∞,+∞)上为增函数， 3  b- >0 2  3 3 ∴  b-1≥0 ，解得 2 0， 则f(x)在[1，+∞)上单调递增， 1 1- =ma 所以  f f ( ( a b) ) = = m m b a ，即   a 1 ， 1- =mb b 所以ma2-a+1=0 ，  mb2-b+1=0 则a，b是方程mx2-x+1=0的两个根， 且关于x的方程mx2-x+1=0有两个大于1的不等实 数根，设为x ，x ， 1 2 1 1 则x +x = ,xx = ， 1 2 m 1 2 m  △>0   1-4m>0 1 所以(x 1 -1)+(x 2 -1)>0，即 m -2>0， (x -1)(x -1)>0  1 2 1>0 1 解得00时，因在x∈(1，2]上函数单减，则y=f(x)单调 a - ≤0  2 递减，则满足 ，解得a≥1， a -1-a+3a≥ 1 当a=0时，函数无单调性，不符合题意， 当a<0时，因在x∈(1，2]上函数单增，则y=f(x)单调 a - ≥1  2 递增，则满足 ，解得a≤-2， a -1-a+3a≤ 1 综上所述，若使函数y=f(x)为定义域上的单调函数，实 数a的范围为(-∞，2]∪[1，+∞)， (3) 由 f(x) ≥ -2 在其定义域上恒成立，即 f(x) = -x2-ax+3a≥-2 (0≤x≤1)  a ， ≥-2 (10时，f(x)= =1+ 单调递减，C符合题 x x 意；由f(x)=0得|x|+1=0，此时x无解，D错误． [练12](2021秋•海淀区校级期中)已知函数f(x)是定 义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=2x-x2，则下 列说法正确的 ( D ) A. f(x)(-1，0)在上为增函数 B. f(x)的最大值为2 C. 方程f(x)-1=0有四个不相等的实数根 D.当x<0时，f(x)=-x2-2x 解：设x<0，则-x>0，则f(-x)= -2x-x2，又由f(x)是偶函数，则 f(x)=f(-x)=-x2-2x， 2x-x2, x≥0 则f(x)= ，作出图 -x2-2x, x<0 象如图所示：依次分析选项： A，f(x)在区间(-1,0)上为减函数， A错，B，当x=±1时，f(x)取得最大值，即f(x) =f(1)=f max (-1)=1，B错误，对于C，由图象可知y=1的图象与y=f(x) 的图象有2个交点，则方程f(x)-1=0只有2个不相等的实数 根，C错误；于D，当x<0时，f(x)=-x2-2x，D正确， [练13](2021秋•南阳月考)已知a∈R，函数 f(x)= x-4, x>a   ，若函数 f(x)恰有2个零点，则a x2-4x+3, x≤a 的取值范围是 ( A ) A.[1，3)∪[4，+∞) B. (-∞，1] C. (3，4] D.(1，3]∪(4,+∞) 解：由x-4=0得x=4，由x2-4x+3=0可得x=1或 x=3，①当a<1时，则函数f(x)只有一个零点x=4，不 符合题意，②当1≤a<3时，则函数f(x)有两个零点x =1和x=4，符合题意，③当3≤a<4时，则函数f(x)有 三个零点x=1，x=3和x=4，不符合题意，④当a≥4 时，则函数f(x)有两个零点x=1和x=3，符合题意， 90  9 B. (-2+ 2，0]∪  2  1 C. (-2- 2,0]∪  2  1 D.(-2+ 2，0]∪  2  1-x  ,x≥0 解：f ( x ) =  1+x ，得 f ( 1 - x ) = x2+2x+1,x<0 x   2-x ,x≤1 g(x)=f(1-x)-kx+k- 1 恰有三个 2 (x-2)2,x>1 1 不同的零点，即为f(1-x)=kx-k+ 有三个不同的 2 1 实根，作出y=f(1-x)和y=kx-k+ 的图象: 2 1 x 当y=kx-k+ 与y= (x≤1)相切于原点时 2 2-x 1 即k= 时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx-k+ 2 1 与曲线y=(x-2)2(10时，f(x)=x3-2．则函数f(x +2)的所有零点之和为 -6 ． 解：当x>0时，由题意可得函数 f(x)=0只有一个零 点， 奇函数满足f(0)=0，结合奇函数的对称性可得函数f(x) 有3个零点， 而f(x)=0的零点之和为0，且把f(x)的图象向左平移2 个单位可得函数f(x+2)的图象 ∴函数f(x+2)的所有零点之和为-6 故答案为：-6．[练16]( 2021 春 • 福 州 期 末 ) 已 知 f ( x ) = 2-x, x≤1   ，若a=1，且 f(m)=1，则m= x2-4x+a, x>1 1或4 ；若对任意的t>0，函数y=f(x)-t-1有两 个零点，则实数a的取值范围是 (-∞，4] ． 2-x, x≤1 解：当a=1时，f(x)= ， x2-4x+1, x>1 当m≤1时，f(m)=2-m=1，解得m=1， 当m>1时，f(m)=m2-4m+1=1，解得m=4或m =0(舍)．综上，m=1或m=4； 对任意的t>0，函数y=f (x)-t-1有两个零点，即 y=t+1(t>0)与y=f(x) 有两个交点．作出f(x)的 图象如图： 则12-4×1+a≤1，即a ≤4．∴实数a的取值范围是(-∞，4]． [练17](2020秋•番禺区校级期中) -x+2 (x>1)  已知函数f(x)= x2 (-1≤x≤1)．   x+2 (x<-1) 5 (1)求f f 2 91    的值； (2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域 和单调区间； (3)若方程f(x)=m有四个根，求实数m的取值 范围，并求出这四个根的和． 5 解：(1)f f 2    1 =f- 2  x2+1 [练18](2021秋•天津期中)已知函数 f(x)= ax+b 是定义域上的奇函数，且f(-1)=-2． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的 根，求实数m的取值范围； 解：解：(Ⅰ)∵f(-1)=-2，又f(x)是奇函数， 2 ∴f(1)=-f(-1)=2，∴   a+ 2 b =2 ，解得  a b= = 0 1 ， =-2 -a+b x2+1 1 ∴f(x)= =x+ ，定义域为{x|x≠0}． x x (Ⅱ)方程f(x)=m在(0,+∞)上有两个不同的根， 即x2-mx+1=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数 根， 须满足  △=m2-4>0 ，解得m>2， m>0 即实数m的取值范围是(2,+∞)． 1 [练19]设函数f(x)= +ax+b，a，b∈R． x (1)若函数y=f(x)-2为奇函数，且函数f(x)在 (0，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，求函数f (x)的解析式； 1 1 (2)当a=1时，方程f(x)= x在区间 ，2 2 2 1 = ． 4 (2)由图象可知，函数的值域是(-∞，1]， 单调增区间(-∞，-1]和[0，1]， 减区间[-1，0]和[1，+∞)． (3)∵方程f(x)=m有四个根， ∴根据图象可得实数m的取值范围是00 1 <-b<2 同的实数根，则 2 1  2     3 ，解得- ≤b   2 +2b× 1 +2>0 2 2   22+2b×2+2≥0 3 <- 2，∴实数b的最小值是- ； 2[巩固4](2021 秋• 通辽月考 ) 已知函数 f (x) = 课后提升 x2-2ax+5,x<1  [巩固1](2022 春• 如皋市期中 ) 已知函数 f(x) = a ,x≥1 在R上单调递减，则a的取值范 x x2-1,x≥0,   1 若f(f(a))=-1，则a= ( C ) 围是 ( C ) ,x<0, x A.(0,+∞) B. [1，+∞) A.1或-1 B. 1或0 C. [1，2] D.[1，2) C. 1或-1或0 D.-1或0 x2-2ax+5,x<1  解：当a<0时，f(a)= 1 <0，f(f(a))= 1 =a= 解：∵函数f(x)=a ,x≥1 a 1 x a a≥1  -1，得a=-1；当0≤a<1时，f(a)=a2-1<0，f(f 在R上单调递减，∴a>0 ， (a))= 1 =-1，解可得a=0， 1-2a+5≥a a2-1 解得1≤a≤2． 当a≥1时，f(a)=a2-1≥0，f(f(a))=(a2-1)2-1 =-1，解可得a=1； [巩固5](2021 秋• 海淀区校级期中 ) 设区间 A = 2x 1 [巩固2](2022•漳州)函数f(x)= ，则 ( AD )  0, x2+9  2 A. f(x)的定义域为R B. f(x)是偶函数 C. 函数y=f(x+2022)的零点为0 1 D.当x>0时，f(x)的最大值为 3 解：∵x2+9>0恒成立，∴f(x)的定义域R，A正确； -2x f(-x)= =-f(x)，函数为奇函数，故B错误；y x2+9 2(x+2022) = f(x+2022)= ，零点为-2022，C (x+2022)2+9 2x 2 2 错；当x>0时，f(x)= = ≤ x2+9 9 9 x+ 2 x⋅ x x 1 9 = ，当且仅当x= ，即x=3时取等，故D正确． 3 x [巩固3](2021秋•沙河口区校级期中)设函数f(x)= 2x-1,x∈[0,+∞)   ，又g(x)=f(x)-1，则函数g(x) x2-4,x∈(-∞,0) 的零点可以是 ( AC ) A.1 B. 5 C. - 5 D.-1 2x-1,x∈[0,+∞) 解：f(x)=   ，g(x)=f(x)-1， x2-4,x∈(-∞,0) 令f(x)-1=0， 当0≤x时，由2x-1=1，解得x=1； 当x<0时，由x2-4=1，解得x=- 5， ∴函数g(x)有2个零点，分别为x=1，x=- 5． 92  1 ,B=  ,1  2  1 x+ ,x∈A ，函数f(x)= 2 ，若x 0 3(1-x),x∈B ∈A，且f(f(x ))∈A，则x 的取值范围是 ( A ) 0 0 1 1 A.  , 3 2  1 B.  0,  4  3 C.  0,  8  1 1 D.  , 4 2  1 1 1 解：∵0≤x < ，∴f(x )=x + ∈  ，1 0 2 0 0 2  2  =B， 1 ∴ f[ f(x )] = 3(1 - f(x )) = 3 1-x + 0 0 0 2      = 1 3 -x 2 0  1 ．∵f[f(x )]∈A，∴0≤3 -x 0 2 0  1 < ， 2 1 1 1 1 1 ∴ x 0 x 的取值范围是 [- 3， 3) ． 0 解：由x3-3x=x(x2-3)=0可得x=± 3或x=0， 由-x=0可得x=0， 在同一直角坐标系中作出函数y=-x与函数y=x3 -3x的图象如下图所示： 由图象可知，当- 3≤x < 3时，函数f(x)有两个 0 零点，[巩固7](2021春•开封期末)已知函数f(x)是以4为 周 期 的 函 数 ，且 当 - 1 < x ≤ 3 时 ，f ( x ) = 1-x2, -10， 1 2 1 2 ∴f(x)-f(x )<0，f(x)0 a a≥0  ≥0  (1)求不等式f(x)>5的解集； 所以 2 ，即 2×0+1 ， -02+a×0+a≤ h(0)≤f(0) 0+1 m2 (2)若函数g(x)=f(x)- 有三个零点，求实数 2 整理得  a≥0 ，所以0≤a≤1．故实数a的取值范围 m的取值范围． a≤1 为[0，1]． 解：(1)当x≤0时，由x+6>5，得-10 时，由x2-2x+2>5，得x>3， 综上所述，不等式的解集 为(-1，0]∪(3,+∞)． m2 (2)函数g(x)=f(x)- 2 有三个零点，即方程 f(x) m2 - = 0 有三个不同实 2 数根，等价于函数y=f(x) m2 与函数y= 的图像有三个不同的交点，如图所示， 2 m2 由图可知，1< <2，解得-20 当a≠0时，有  ，解得0