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专题 09 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存
在性问题的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
压轴专练
类型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情
况（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。
2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分
类，结合图形范围验根防漏解。
3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速
定位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
例1．如图，关于x的二次函数 的图象与x轴相交于点 和点 ，与y轴相交于点
C．
(1)求二次函数的表达式和线段 的长；
(2)在抛物线对称轴上找一点P，使 为等腰三角形？直接写出点P的坐标．【答案】(1) ； ；
(2) 或 或 ．
【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对
称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）代入 和 ，解方程组即可；令 ，求出点 的坐标，利用两点间距离公式求解即可；
（2）当 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① ；② ；③ ，分别求解
即可．
【详解】（1）解：把 和 代入 可得 ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为： ；
令抛物线 ，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）存在．
理由：∵ ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， 为等腰三角形，
∴当 时， ，解得： ，此时 ；
当 时， ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，
解得： ，此时 ；
综上所述， 或 或 ．
【变式1-1】如图，抛物线 经过点 ，且顶点B的坐标为 ，对称轴与x轴交于点
C．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)在第一象限内的抛物线上找点P，使 是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点 的坐标为
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及的知识点主要有运用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形
的性质以及平面内两点间的距离公式．
（1）由抛物线 的顶点坐标是 知： ， ，则 ．再把 代入
此解析式求解即可；
（2）连接 、 则 设点 的坐标为 ，则根据平面内两点间的距离公式可得 ，的值，令二者相等求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线 的顶点 的坐标为 ，
．
抛物线经过点 ，
，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图，连接 、 ．
设点 的坐标为 ．
，
．
，
．
整理，得 ，
解得 （舍去）．
当 时， ，点 的坐标为 ．
【变式1-2】如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点C．已知点 的坐标
是 ，抛物线的对称轴是直线 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)第一象限内的抛物线上有一动点 ，使 的面积最大，求点 的坐标和 面积的最大值；
(3)对称轴与 轴交于点 ，在对称轴上找一点 ，使 是以 为腰的等腰三角形，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ；面积最大值为
(3)点M的坐标为 ， ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟
练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图，过点P作 轴交 于点E，先用含m的解析式表示出
，再利用二次函数的性质即可得解；
（3）分①当 时，②当 时，两种种情况讨论，即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线 ，∴ ，
∴ ，
将 代入 得 ，
由①②得， ， ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：令 得 ，
∴ ， ，
∴ ，
令 得 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解方程得 ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点P作 轴交 于点E，
设P点坐标为 ，则 ， ，
∴ ，∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
∴ ，
∴此时P点坐标为 ；
（3）解：∵对称轴与x轴交于点N，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，、
①当 时，
如图所示有 ， ，
②当 时，过点C作 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上所述：点M的坐标为 ， ， ．
类型二、二次函数中的直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如 A、B），设抛物线上动点P(x,y)，分∠A=90°、
∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。
2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，
结合x范围验根。
3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验
证直角合理性。
例2．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y
轴交于点C，该抛物线过点 ．
(1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使 是直角三角形？若存在，求出M的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ；(2)存在， 的坐标为 或 或 或 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，勾股定理等，解题的关键是分类讨论思想的应
用．
（1）把 代入 可得 ，故抛物线的解析式为 ，令 解得
或 ，从而 ；
（2）求出 ，抛物线的对称轴为直线 ，设 ，可得 ， ，
，分三种情况，用勾股定理列方程可解得答案．
【详解】（1）解：把 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
在 中，令 得： ，
解得： 或 ，
， ；
（2）解：抛物线的对称轴上存在点 ，使 是直角三角形，理由如下：
在 中，令 ，得 ，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，，
， ， ，
①当 为斜边时， ，
解得： 或 ，
或 ，
②当 为斜边时， ，
解得： ，
，
③当 为斜边时， ，
解得： ，
综上所述， 的坐标为 或 或 或 ．
【变式2-1】如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，连接 ， ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，点 的坐标为 ， ， ，
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：当 为斜边时，当 为斜边时，当 为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可．
【详解】（1）解：将点 ， 的坐标分别代入 ，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴设点 ．
由点 ， ， 的坐标，得
， ，
．
当 为斜边时， ，
整理得： ，解得 或 ，
∴点 或 ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴点 ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴点 ．
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键
是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
【变式2-2】如图，已知抛物线经过点 ， ，顶点为 ，与 轴交于点 ，且与直线
交于点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
(2)求 的面积；(3)若点 为抛物线上的一个动点，是否存在以 为直角边的直角三角形 ？ 若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，顶点 的坐标为 ；
(2) ；
(3)存在满足条件的 点，其坐标为 或 ．
【分析】本题考查了两点间的距离，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的性质，二次函数与几何
图形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）利用待定系数法求解析式即可；
（ ）联立 求出 ，则 ，过顶点 作 轴的平行线与直线
交于点 ，求出 ，所以 ，然后由 即可求解；
（ ）设 ，则 ， ，
，然后分 当 和 当 两种情况，
再解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ， ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ，
∵ ，
∴顶点 的坐标为 ；（2）解：联立 ，
解得： 或 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图 ，
过顶点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：存在，理由如下，
∵ ， ，点 为抛物线上的一个动点，
∴设 ，∴ ，
，
，
由于以 为直角边的直角三角形 ，
当 ，
∴ ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点 ；
当 ，
∴ ，
整理得： ，即 ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴点 ，
综上可知：点 的坐标为 或 ．
类型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足
“直角”+“两直角边相等”。
2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消 y；利用
斜率（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。
3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过 P作横纵垂线，使直角边等
长），验证交点合理性。例3．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴相交于点 ，连接 ，点 为线
段 上方抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的垂线 ，交 于点 ，交 轴于点 ．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点 作 直线 ， 为垂足，当点 运动到何处时，以 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角
形？并求出此时点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) ．
【分析】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握
知识点的应用是解题的关键．
（ ）把 ， 两点代入 即可求解；
（ ）由 直线 ，则 ， 轴，又 ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则
有 ，设 ，则 ， ，然后分 当 在 上方时和 当 在 下
方时两种情况分析，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过 ， 两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；（2）解：∵ 直线 ，
∴ ， 轴，
∵ ， ， 为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∴ ，
由抛物线的解析式为 得，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ 当 在 上方时， ，
解得： 或 ，
∴ 此时与 重合，舍去；或 ，
当 在 下方时， ，
解得： 或 ，
∴ ，此时与 重合，舍去；或 ，此时与 重合，舍去；
综上可得： ．
【变式3-1】如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴
交于点 ，且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解
题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解
决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据 为等腰直角三
角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的
判定定理找出 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为 ，
∴新抛物线的顶点为 ，
∴ ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，即 ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，则
， ， ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点C的坐标为 ，
故在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为 ．
【变式3-2】如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴相交于 ， 两点（点 在
点 的右侧），与 轴交于点 ．
(1)求线段 的长；
(2)若点 是抛物线上 ， 两点之间的一个动点（不与点 ， 重合），设点 的横坐标为 ，过点
作 轴，交直线 于点 ．
（ⅰ）当线段 的长有最大值时，求点 的坐标；
（ⅱ）过点 作 交抛物线于点 ，是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） 或 ．
【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质．
（1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解；
（2）（Ⅰ）由题意知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，即可求解；
（Ⅱ）由 得到当 时， 为等腰直角三角形，再根据点 在对称轴右侧或左侧
分情况讨论，分别画出图形求解即可．
【详解】（1）解： 抛物线的对称轴是直线 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ，解得 ， ，
， ，
；
（2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ，
．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得解得 ，
直线 的解析式为 ，
由题意知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
，
当 时，线段 的长有最大值，
此时 ，
点 的坐标为 ；
（ⅱ） ，
，
即当 时， 为等腰直角三角形．
①如图1，点 在对称轴右侧．
， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
．
由（ⅰ）知 ，
，
解得 或 （不合题意，舍去），
；
②如图2，点 在对称轴左侧．， 轴，抛物线的对称轴是直线 ，点 的横坐标为 ，
．
由（ⅰ）知 ，
，
解得 或 （不合题意，舍去），
．
存在， 的值为 或 ．
一、解答题
1．如图，已知抛物线 的图像与 轴相交于 、 两点，顶点为 ，对称轴与
轴交于点 ，点 在线段 上（不与 、 重合），过点 作 轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于
点 ．
(1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标；
(2)若 是以 为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标．【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌
握二次函数的性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的对称轴为直线 ，得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，从而得出
，把 代入 得： ，求出 或 ，即可得出点E
的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ，
当 时， ，
∴顶点C的坐标为 ；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，
∴ ，把 代入 得： ，
解得： 或 ，
∵点E在抛物线对称轴的左侧，
∴ ．
2．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
(1)求抛物线解析式；
(2)若点 为抛物线 部分上一动点（可与 ， 两点重合），过点 作 轴交直线 于点
，交 轴于点 ．连接 ，当 为等腰三角形时，直接写出 的值．
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式为 ， ，由两点之间距离公式求得 、 、 ，然后
分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，
∴将点 代入，得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，将点 代入，得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
∵点M在直线 上，且点 ，
∴点M的坐标为 ．
将 代入 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
．
当 为等腰三角形时，
（ⅰ）若 ，则 ，
即 ，解得 ．
（ⅱ）若 ，则 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
（ⅲ）若 ，则 ，
即 ，解得 或 （舍去）．
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、
解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ， ．抛物线的对称轴
与经过点 的直线 交于点 ，与 轴交于点(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点 ，使得 ，是以 为直角边的直角三角形，求出所有点 的坐标
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
（1）根据题意求出 ，用待定系数法求函数解析式即可
（2）先求出直线 的解析式 ，分两种情况讨论当 时，当 时，分别求出
点 的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴 ， ，
，
将 代入 得 ，
解得 ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解：将 代入 得 ，
，
直线 的解析式为 ，抛物线对称轴 与 轴交于点 ，
当 时， ，
，
设 ，则 ， ， ，
当 时，由 ，
，
即 ，
解方程组 得 或 ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
，
即 ，
解方程组 得 或 ，
点 的坐标为 或 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
4．如图1，抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ， 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)当点 的坐标为 时，求 的面积．
(3)如图2，连接 ，当 是以 为直角边的直角三角形时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)点 的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解
题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线 的解析式，得到 的长，再利用三角形面积公式即可求解；
（3）分两种情况：①点 为直角顶点，②点 为直角顶点，分别求解即可．
【详解】（1）解：把点 和点 代入 ，得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为： ；（2）解：设 交 轴于点 ，如图：
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 是以 为直角边的直角三角形，∴分两种情况：①点 为直角顶点，②点 为直角顶点，
①过点 作 交抛物线于点 ，交 轴于点 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，∴直线 的解析式为： ，
联立得： ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
②过点 作 交抛物线于点 ，连接 ，如图：
∵ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把点 代入得： ，
∴直线 的解析式为： ，
联立得： ，
解得： 或 （舍去），∴ ，
综上，点 的坐标为 或 ．
5．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接 ．若
点P在线段 上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点
F．设点P的横坐标为m．
(1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线 的函数解析式．
(2)在点P的运动过程中，是否存在m使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ， ，
(2)存在，m的值为3或2
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的
性质等知识：
（1）令 ，求出x的值，得点A，B的坐标，令 ，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为
，把 代入并求出k的值即可；
（2）分 和 两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：当 时， ，解得 或 ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将点 代入可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：存在m使得 为等腰直角三角形，理由如下：
∵点P的横坐标为m，且 ，
∴点P的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍）或 （舍）；
当 时， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得 或 （舍）；
综上所述：m的值为3或2．
6．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)请求出点 ， ， 的坐标；
(2)若 是第二象限的抛物线上的一个动点（不与 重合），过点 作 轴交 于点 ，求线段
长度的最大值；
(3)若 为直线 上的动点，在抛物线上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形？若存在，直接写
出 坐标．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)存在； 或
【分析】（1）令抛物线解析式中 ，解关于 的一元二次方程即可得出点 、 的坐标，再令抛物线解
析式中 求出 值即可得出点 坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点 的坐标；
（2）先求出直线 的解析式，设 ，则 ，可求 ，然后根据二次函
数的性质求解即可；
（3）假设存在，设点 ，分 ， 和 三种情况考虑，根据等腰
直角三角形的性质结合点 、 点的坐标找出点 的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于 的一
元二次方程，解方程求出 的值，再代入点 坐标中即可得出结论．【详解】（1）解：当 时 ，
解得： ， ，
，
当 时， ，
，
，
；
（2）解：设直线 解析式为 ，
由 得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
轴，
、 的横坐标相同，并且 、 分别在抛物线和直线 上，
设 ，
在第二象限，
，
，
，抛物线开口向下，
时， 长度最大，最大值为 ；
（3）解：在抛物线上存在点 ，使得 为等腰直角三角形，理由如下：假设存在，设点 ， 为等腰直角三角形，分三种情况：
当 时，设 与 轴交于 ，如图2，
， ，
，
，
， ，
，
点 在抛物线 上，
，
解得： （舍去）， ，
此时点 的坐标为 ；
当 时，
为等腰直角三角形，
，
又 ，
在 上，
过 作 于 ，如图 ，则 ，
，
，
，
点 在抛物线 上，
，
解得： （舍去）， ，
此时点 的坐标为 ；
当 时， ，如图 ，
点 在抛物线 上，
，
解得： （舍去）， ，
此时点 的坐标为 ， ，
，综上所述，在抛物线上是否存在点 ，使得 为等腰直角三角形，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图
象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分
类讨论的数学思想解决问题．
