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第一章 集合与常用逻辑用语章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设集合S={x∈N|0<x<6}，T={4,5,6}，则S∩T =
A．{1,2,3,4,5,6} B．{1,2,3}
C．{4,5} D．{4,5,6}
【答案】C
【详解】试题分析：因为
所以, ,故选C．
考点：集合的运算．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先分别解绝对值和指数不等式，从而得到 ，即可得到答案.
【详解】由 得 ，由 得 ，
因为 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查指数不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.
3．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合A，可求出集合B中的具体元素，即可得 ．
【详解】解： ，
故选B
【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题．
4．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“ ，使得 ”的否定是“ 都有 ”
B．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C． 是 ， 的必要条件
D． 的充要条件是
【答案】C
【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D；
【详解】解：对于A：命题“ ，使得 ”的否定是“ 都有 ”，故A错
误；
对于B：命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故B错误；
对于C：由 ， ，则 ，故 是 ， 的必要条件，
由 推不出 ， ，如 ， ，显然满足 ，故 不是 ， 的充分条件，
故C正确；
对于D：由 推不出 ，如 ，显然满足 ，但是 没意义，故D错误；
故选：C5．若 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出 ，当 时，求出 的取值范围，即可得出实数 的
取值范围.
【详解】对任意的 ， ，则 ，
因为 ，则 ，则 ， .
故选：C.
6．已知 ,给出下列条件：① ；② ；③ ，则使得 成立的充分而不必
要条件是
A．① B．② C．③ D．①②③
【答案】C
【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是 成立的充分而不必要条件即可.
【详解】由① ，得： ，不一定有 成立，不符；
对于②，当 时，有 ，但 不成立，所以不符；
对于③，由 ，知c≠0，所以，有 成立，
当 成立时，不一定有 ，因为c可以为0，符合题意；
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
7．下列判断正确的是( )
A．设 是实数,则“ ”是“ ”的充分而不必要条件
B． :“ , ”则有 :不存在 ,C．命题“若 ,则 ”的否命题为:“若 ,则 ”
D．“ , ”为真命题
【答案】A
【分析】对于A中，根据不等式的性质和充分不必要条件判定，可得A正确；对于B中，根据特称命题的
否定为全称命题，即可判定；对于C中，否命题的定义，即可判定；对于D中，根据指数函数与对数函数
的性质，即可判定，得到答案.
【详解】对于A中，当 时， 一定成立，但当 时， 或 ，故 是 成立的充
分不必要条件，所以A正确；
对于B中，根据特称命题的否定为全称命题，可得命题 的否定为 ，
所以不正确；
对于C中，命题“若 ,则 ”的否命题应为:“若 ,则 ”，所以不正确；
对于D中，根据指数函数与对数函数的性质可知，函数 与 在第一象限有一个交点，所以
“ , ”为假命题命题，故选A.
【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充分不必要条件的判定，全称命题与特
称命题的关系，以及指数与对数函数的图象与性质的应用等知识的综合考查，着重考查了分析问题和解答
问题的能力，属于基础题.
8．用 表示非空集合 中的元素个数，定义 ，若 ，
，且 ，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】要使 ，则 ，分类讨论利用判别式来确定集合 中方程根的情况，进而可得实数
的取值范围.
【详解】解：要使 ，则 ，
所以 或 或 ，
解得 或 ，
又当 时， ，不合题意，
综上，实数 的取值范围是 ，
故选：B.
【点睛】本题考查集合新定义，考查学生理解能力和计算能力，是中档题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列命题是真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ABD
【分析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取 ，可判断B选项的正误；取 ，可判断C选
项的正误；取 ，可判断D选项的正误.
【详解】对于A：当 时， ；当 时， ；
综上所述： ， ，故A正确；
对于B：当 时，满足 ，故B正确；
对于C：当 时， ，故C错误；对于D：当 时， ，故D正确；
故选：ABD．
10．定义集合运算： ，设 ， ，则（ ）
A．当 ， 时，
B． 可取两个值， 可取两个值， 有4个式子
C． 中有4个元素
D． 的真子集有7个
【答案】BD
【分析】根据集合的定义可求出 ，从而可判断各项的正误.
【详解】 ，
故 中有3个元素，其真子集的个数为 ，故C错误，D正确.
当 ， 时， ，故A错误.
可取两个值， 可取两个值， 共有4个算式，
分别为：
， ，
故B正确．
故选：BD．
【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结
果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．
11．下列命题正确的是（ ）
A．“关于 的不等式 在 上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设 ，则“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
C．“ ”是“ ”的充分不必要条件D．命题“ ”是假命题的实数 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由 且 时，
判断B；解不等式 结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“ ”是真
命题，再由 判断D.
【详解】对于A，当 时，显然不成立；当 时，有 ，解得 ，故A正确；
对于B，当 且 时， ，则“ 且 ”是“ ”的充分条件，故B错误；
对于C，由 可得 或 ，即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“ ”是假命题，则命题“ ”是真命题，即 在
上恒成立，即 ，故D正确；
故选：ACD
12．已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 ，则可得到 为奇数或4的倍数，从而可以判断A，B；根据
，即可判断C；讨论M中元素的情况，进而可判断D．
【详解】由 ，
则 ， 同为奇数或同为偶数，所以 为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；因为 ，且 ，所以 ，
故 成立，故C正确；
又 ，所以 ，
由 ，则 为奇数或4的倍数，
当 中至少有一个为4的倍数时，则 为4的倍数，所以 ，
当 都为奇数时，则可令 ，
所以 ，所以 ，
故 ，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点睛：涉及 数的特性的探讨，利用奇数偶数的性质进行分类讨论是解题的关
键．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．“一元二次方程 有两个相等的实数根”是“ ”的___________条件．
【答案】充分不必要
【分析】根据二次方程根的个数能得到 ，然后用充分条件和必要条件的定义进行求解即可
【详解】因为一元二次方程 有两个相等的实数根，
所以 ，即 ，故能推出 ，充分性成立，
因为 不能推出 ，必要性不成立．故答案为：充分不必要14．已知集合 有且仅有两个子集，则实数 ___________
【答案】0或1
【分析】由集合 有且仅有两个子集可得集合 只有1个元素，再对 分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵集合 有且仅有两个子集，
∴集合 只有1个元素，
∴方程 只有1个实数根，
当 时，方程化为 ，得 ，符合题意；
当 时，由根的判别式有 ，得 ，
故答案为：0或1．
【点睛】本题主要考查方程集合的子集个数，考查方程解的个数，属于基础题．
15．已知条件 ， ，p是q的充分条件，则实数k的取值范围是_______.
【答案】
【分析】先根据分式不等式求出 ，设条件 对应的集合为 ，条件 对应的集合为 ，由p是q的充分条
件，可得 ，进而可得出答案.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
设 ，
因为p是q的充分条件，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以实数k的取值范围是 .
故答案为： .
16．已知集合 ， ，如果存在正数 ，使得对任意 ，都满足 ，
则实数t＝______.【答案】－4或0
【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.
【详解】当 时，当 时，则 ，
当 时，则 ，
即当 时， ；当 时， ；所以 ，
当 时， ；当 时， ，所以 ，
因此有 ；
当 时，当 时，则 ，
当 时，则 ，
即当 时， ；当 时， ；所以 ，
当 时， ；当 时， ，所以 ，
因此有 ，
当 时，同理可得无解，
综上所述：实数t的值为－4或0，
故答案为：－4或0
【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知集合 ．
(1)当 时，求 和 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）当 时求出集合 ，再与 进行交集和并集运算即可求解；
（2）由题意可得 ，讨论 和 ，根据包含关系列不等式组即可求解.
(1)当 时， ， ，
所以 ，
(2)
若 ，则 ，
当 时， ，可得 ，此时符合题意，
当 时，若 则 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围为： .
18．已知集合 ， ．
(1)求 ；
(2)若集合 ，在① ；② 是 的充分条件，这两个条件中任选一个作为
条件，求实数 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，即可求出集合 ，再根据交集的
定义计算可得；
（2）根据所选条件得到 ，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】（1）∵ ，∴ ，∴ 且 ，∴ 且 ，
又 ，
∴ ；
（2）若选① ，则 ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴实数 的取值范围为 ；
若选② 是 的充分条件，则 ，
∵ 且 ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴实数 的取值范围为 ．
19．已知集合 ， ，且 .
(1)若命题p：“ ， ”是真命题，求m的取值范围；
(2)若命题q：“ ， ”是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据命题p为真命题，得到 ，从而得到不等式组，求出m的取值范围；
（2）根据命题q为真命题，得到 ，从而得到不等式组，求出m的取值范围.
【详解】（1）命题p：“ ， ”是真命题，故 ，所以 ，解得 ，
故m的取值范围是 .
（2）由于命题q为真命题，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ,
当 时，一定有 ，
要想满足 ，则要满足 ，解得 ，
故 时， ，
故m的取值范围为 .
20．已知
(1)求证 是关于 的方程 有解的一个充分条件；
(2)当 时，求关于 的方程 有一个正根和一个负根的充要条件．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将 代入函数，求解 即可.
（2）由一元二次方程有一正一负根，即 列式求解可得a的范围，再检验必要性即可.
【详解】（1）证明：当 时， ，
则 ，即： ，解得： ，
所以 是关于x的方程 有解的一个充分条件.
（2）当 时，因为方程 有一个正根和一个负根，
所以 ，解得：反之，当 时， ，且 ，
所以 有一个正根和一个负根，满足条件．
所以，当 时，关于x的方程 有一个正根和一个负根的充要条件为 .
21．命题 ：任意 ， 成立；命题 ：存在 ， + 成立.
(1)若命题 为假命题，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由 和 有且只有一个为真命题，得到 真 假，或 假 真，然后分别求的m的
取值范围，再取并集即得.
【详解】（1）由q真： ，得 或 ，
所以q假： ；
（2）p真： 推出 ，
由 和 有且只有一个为真命题，
真 假，或 假 真，
或 ，
或 或 .
22．已知数列 ， ，…， 的各项均为正整数．设集合， 记的元素个数为 ．
(1)若数列 1，1，3，2，求集合 ，并写出 的值；
(2)若 是递增数列，求证：“ ”的充要条件是“ 为等差数列”；
(3)若 ，数列 由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列 中每个至少出现一次，
求 的最大值．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析
(3)43
【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的 的取值可能，得出 的值；
（2）利用已知的定义及性质，分别证明充分性和必要性成立即可；
（3）根据新定义分析差值可能出现的情况数，对其进行分析即可得出结论.
【详解】（1）因为 ， ， ， ，则 的可能情况有：
， ， ， ， ， ，
所以 ， ．
（2）充分性：若 是等差数列，设公差为d．
因为数列 是递增数列，所以 ．
则当 时， ，
所以 ， ．
必要性：若 ．
因为 是递增数列，所以 ，
所以 ，且互不相等，所以 ．
又 ，
所以 ，且互不相等．
所以 ，
所以 ，
所以 为等差数列．
（3）因为数列A由1，2，3，…，11，22这12个数组成，任意两个不同的数作差，
差值只可能为 和 ，共42个不同的值；
∵这12个数在数列 中每个至少出现一次，
∴当 时， 和 这两个数中至少有一个在集合 中，
∵这12个数在数列 中共出现23次，所以数列 中存在 ，
∴ ，
当数列 ：1，2，3，…，11，22，11，10，…，2，1．
有 ， ．
则 的最大值为43．
