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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 44 讲 直线与双曲线（精讲）
题型目录一览
①直线与双曲线的位置关系
②双曲线的弦长问题
③双曲线的中点弦问题
一、知识点梳理
1.点与双曲线的位置关系
① ②
2.直线与双曲线的位置关系
将直线的方程 与双曲线的方程 联立成方程组，消元转化为关于x或y
的一元二次方程，其判别式 为
若 即 ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若 即 ，
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
3.直线与双曲线的相交弦问题设直线 交双曲线 于点 两点，则
=
或
技巧：①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直
线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
4.双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类
问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转化为能用韦达定理直接代换的 .垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
注：①遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.
②在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ；
涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化.
5.双曲线的第二定义
平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e= (e>1)时，这
个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
二、题型分类精讲
题型 一 直线与双曲线的位置关系
策略方法 直线与双曲线的位置关系
联立直线与双曲线的方程，得到判别式Δ①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
【典例1】（单选题）若直线 与双曲线 相交，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·上海·高二专题练习）过 且与双曲线 有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2023·江苏·高二专题练习）已知双曲线 的方程为 ，点 ， 分别在双曲线的左支和右支
上，则直线 的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知两个点 ， ，若直线上存在点 ，使得
，则称该直线为“ 直线” 给出下列直线：① ，② ，③ ，则这
三条直线中有几条“ 直线”（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·高二课时练习）已知直线l的方程为 ，双曲线C的方程为 .若直线l与双曲线
C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．5．（2023秋·山东聊城·高二校考期末）直线 与双曲线 相交，有且只有1个
交点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）直线 与双曲线 没有公共点，
则斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京顺义·校考模拟预测）若双曲线 的一个顶点为A，过点A的直线
与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为( )
A． B． C． D．
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）经过双曲线 的右焦点作倾斜角为45°的
直线 ，交双曲线于 ， 两点，设 为坐标原点，则 等于（ ）
A． B．1 C．2 D．
9．（2023春·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知直线 与双曲线 有
且仅有1个交点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．5 B． C． D．
10．（2023秋·吉林·高二吉林市田家炳高级中学校考期末）已知双曲线 ( ， )的右焦点
为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．11．（2023·四川·校联考一模）双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C
的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
12．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知 是双曲线C： 的左焦点， ，
直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
13．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知F为双曲线C： 的左焦点，过F的一
条直线l与双曲线C交于A，B两点，与双曲线C的渐近线交于D，E两点，若 ，则直线l的斜
率为（ ）
A． B．
C． D．±2
14．（2023春·江西宜春·高二校联考阶段练习）已知点 ，若在直线
上存在点 ，使得 ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
15．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，点 ，若直线AF与C
只有一个交点，则 ．16．（2023·全国·高二专题练习）直线 与双曲线 没有交点，则 的取值范围为 .
17．（2023·福建厦门·统考模拟预测）写出同时满足下列条件的一条直线 的方程 .
①直线 在 轴上的截距为1；②直线 与双曲线 只有一个公共点.
18．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C： ，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲
线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为 ．
19．（2023·四川宜宾·统考三模）已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离
心率为 ，过 作渐近线 的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则
的周长为 .
20．（2023·全国·高三专题练习）过点 作双曲线 ： 的两条切线，切点分别为 ，求
直线 的方程 ．
21．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一
条渐近线方程为 ，若直线 与 只有一个公共点，则实数 的值为
三、解答题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知双曲线C： 的焦距为4，且过点
.
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 与双曲线C有且只有一个公共点，求实数 的值.
23．（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）已知双曲线： ： ( ，)与 有相同的渐近线，且经过点 .
（1）求双曲线 的方程；
（2）已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ､ ，且线段 的中点在圆 上，求实
数 的值.
24．（2023·浙江·二模）已知 ， 分别为双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一点，线段
与 交于 点.
(1)证明： ；
(2)若 的面积为8，求直线 的斜率.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，
交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
到一条渐近线的距离为1，点 ，且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点（异于点 ），且直线 的斜率之和为 ，求直线 的
方程.27．（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点， ， 为双曲线C：
的左右焦点，P为C的右支上一点，当 轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)若P异于C的右顶点A，点Q在直线 上， ，M为AP的中点，直线OM与直线 的交点
为N，求 的取值范围．
28．（2023秋·浙江·高三期末）已知点 是双曲线 上一点，B与A关于原
点对称，F是右焦点， ．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知圆心在y轴上的圆C经过点 ，与双曲线的右支交于点M，N，且直线 经过F，求圆C的
方程．
29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）已知 是双曲线 上相异的三
个点，点 关于原点对称，直线 的斜率乘积为2.
(1)求双曲线 的离心率.
(2)若双曲线 过点 ，过圆 上一点 作圆 的切线 ，直线 交双曲线 于
两点， ，求直线 的方程.
题型二 双曲线的弦长问题
策略方法 双曲线的弦长问题①解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
②处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条
件确定直线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
【典例1】（单选题）已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为
线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则
弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
2．过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 ， 两点，则满足 的直线 有（ ）条
A． B． C． D．
3．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C： －y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝
（ ）
A．2 B．2
C．3 D．4
4．已知双曲线C： 的焦距为4，左右焦点分别为 、 ，过 的直线 与C的左右两
支分别交于于A、B两点，且与两渐近线分别交于C、D两点．若线段CD的中点坐标为（1,3），则
的面积为A． B． C．6 D．4
5．已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别
为 ， .若 ，且 在 ， 之间，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的
渐近线交于C，D两点．若 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．3
7．在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上， 的一条渐近线的方程
为 ，左、右焦点分别为 ， ，过点 作斜率为 的直线，分别交 的两条渐近线于 两
点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为 ；
②直线 的方程为 ；
③直线 截双曲线所得弦长为3；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知曲线 ： ，过它的右焦点 作直线交曲线 于 、 两点，弦 的垂直平分线交
轴于点 ，可证明 是一个定值 ，则 （ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线 经过双曲线 （ ， ）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条
直线，使得 的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知双曲线： 的左右焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与双曲线在第一象限交
于点B，连接 ， ， 与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过 的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
三、填空题
11．过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB
的长为 ．12．已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作渐近线
的垂线交C于A，B两点，若 ，则 的周长为 ．
13．已知双曲线C： 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 作渐近线
的垂线交C于A，B两点，点A在第一象限，若 ，则 的周长为 .
14．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，
若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
四、解答题
15．设 ､ 分别为双曲线 的左右焦点，且 也为抛物线 的的焦点，若
点 ， ， 是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l： 与双曲线C相交于A､B两点，求 .
16．已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，求 的
面积.
17．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，焦距为 .
(1)求双曲线C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过 的直线l交双曲线C于A，B两点，且 的面积为 ，求直线l的方
程.
18．已知双曲线 过点 和点 ．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过 的直线与双曲线交于 ， 两点，过双曲线的右焦点 且与 平行的直线交双曲线于 ，
两点，试问 是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
19．已知实数m，n满足 .令 ， ，记动点 的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点 作相互垂直的两条直线 和 ， 和 与E分别交于A、B和C、D，证明： .
20．已知双曲线 的实轴长为6，左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，
轴，且 .
(1)求双曲线 及其渐近线的方程；
(2)如图，若过点 斜率为 的直线 与双曲线 及其两条渐近线从左至右依次交于 ， ， ，四点，且 ，求 .
21．已知双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点为 ， ，过点 作双曲线
一条渐近线的垂线，垂足为 ，且 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左顶点为 ，过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，连接 ， 分别交于
轴于点 ， ，且 ，求直线 的方程及 的面积．
22．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶
点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B， 的面积为
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 与双曲线的左､右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，
，求实数 的取值范围.
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线 的左顶点A，过右焦点F
且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若 的面积为 ．（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线 与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于
P，Q两点，求 的取值范围．
24． 已知双曲线 的离心率为 ，过双曲线 的右焦点 且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点，且 .
(1)求双曲线 的标准方程;
(2)若直线 ： 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点，与双曲线的渐近线分别交于 两
点，求 的取值范围.
25．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线C上，TP垂直x轴于点P，且点P到双曲线C的渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知过点 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且 的外接圆圆心Q在y轴上，求满足条件
的所有直线l的方程.
题型三 双曲线的中点弦问题
策略方法 双曲线的中点弦问题
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在
双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线
方程将 转化为能用韦达定理直接代换的 .垂直关系有时用向量的数量关系来刻
画，要注意转化.
【典例1】（单选题）设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB的中点为 ，则直线
AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 被斜率为 的直线截得的弦 的中点为
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， 是双曲线 上的两点，线段 的中点是 ，
则直线 的斜率为（ ）A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线 与双曲线 相交于 两点，若 是线段
的中点，则直线 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 过左焦点 作斜率为2的
直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为 ，则b的值是
（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交
于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
6．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知直线 与双曲线 的两条渐
近线分别交于点 ， （不重合）， 的垂直平分线过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线 的右焦点为 ， ，若直线 与的右支交于 两点，且 为 的重心，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率为 ，直线 与 交于
两点， 为线段 的中点， 为坐标原点，则 与 的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左､右两支分别交
于 两点，设 为坐标原点， 为 的中点，若 是以 为底边的等腰三角形，则直线 的斜率
为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的
是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2023·全国·高三专题练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线 相交于A、
B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（ ）
A．ba
12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的虚轴长为2，过C上点P的直线l与
C的渐近线分别交于点A，B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（ ）A．若 且直线l的斜率存在，直线l的方程为
B．若 ，直线l的斜率为1
C．若离心率 ，
D．若直线l的斜率不存在，
13．（2023春·湖北武汉·高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，过点 斜率为 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于 两点，下列命题正确的有
（ ）
A．
B．当点 为线段 的中点时，直线 的斜率为
C．若 ，则
D．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： ，其上、下焦点分别为 ， ， 为
坐标原点．过双曲线上一点 作直线 ，分别与双曲线的渐近线交于 ， 两点，且点 为 中
点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 轴，则 ．
B．若点 的坐标为 ，则直线 的斜率为
C．直线 的方程为 ．
D．若双曲线的离心率为 ，则三角形 的面积为2．
三、填空题15．（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线 相交于 两点，若点 为线段 的中
点，则直线的方程是 .
16．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线 与其相交于 ， 两点， 中点横坐标为 ，则此双曲线的方程是 .
17．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与 轴重合的直线 经过点 ，双曲线
： 上存在两点A，B关于 对称，AB中点M的横坐标为 ，若 ，则 的值为
.
18．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为4，离心率为 ，直线 与
交于 两点， 是线段 的中点， 为坐标原点．若点 的横坐标为 ，则 的取值范围为
．
19．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F，F 分别为双曲线C:
1 2
的左右焦点，过点F 且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且
1
点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为 ，若 ，则双曲线的离心率
20．（2023·全国·高三专题练习）若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实
数 的取值范围为 .
四、解答题
21．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，直线 相交于点M，且它们的斜率之积是
3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点 能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段 的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的其中一个焦点为 ，一条渐近
线方程为
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）已知倾斜角为 的直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点的纵坐标为4，求直线 的方
程.
23．（2023·全国·高三专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是
，记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知过点 的直线与曲线C相交于两点 ， ，请问点P能否为线段 的中点，并说明理由.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，
(1)过点 的直线交双曲线于 两点，若 为弦 的中点，求直线 的方程；
(2)是否存在直线 ，使得 为 被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线 的方程，若不存在，请
说明理由.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 恰好经过双曲线 的左焦
点 ，且与 交于 ， 两点， 为 的中点，当 时，直线 的斜率为1．
(1)求双曲线 的方程；(2)若直线 经过 且与直线 垂直，与双曲线 交于 ， 两点， 为 的中点，证明： 与
的面积之比为定值．
26．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： － ＝1(a、b为正
常数)的右顶点为A，直线l与双曲线C交于P、Q两点，且P、Q均不是双曲线的顶点，M为PQ的中点．
(1)设直线PQ与直线OM的斜率分别为k、k，求k·k 的值；
1 2 1 2
(2)若 ＝ ，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的两条渐近线方程为 ，直线l
交C于A，B两点.
(1)若线段AB的中点为 ，求l的方程；
(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为 ，求C的方程.
28．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，
M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两
个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
