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第一章 集合与常用逻辑用语综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.
【详解】命题 “ ”的否定是“ ”，
故选：A.
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将集合 化简，再由并集的运算，即可得到结果.
【详解】因为 ，且 ，所以 .
故选：A
3．已知 ，且 ，则 是 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】若 ，符合 ，但此时 ，不满足充分性，
若 ，符合 ，但是 ，不满足必要性.
故选：D
4．已知集合 ， ，则 的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】根据集合的描述法确定集合 中的元素，根据交集的概念可得 ，从而根据其元素个数得子
集个数.
【详解】因为 ，
，
所以 ，所以 的子集个数为 ．
故选：D．
5．若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】由题意，根据命题的真假关系得到原命题的否定为真命题，即 ，
恒成立，从而求解.
【详解】由命题“ ，使得 ”为假命题，
则命题“ ，使得 ”为真命题，
，则 ，
所以 ，
则 ，可得 .
故选：A
6．对于集合A，B，定义A\B= 且 ，则对于集合A={ }，B={
}， 且 ，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪ ”，则 C中元素个数为13.
【答案】B
【分析】根据各个选项确定相应的集合 ，然后由集合与子集定义得结论．
【详解】 ， ，集合 无公共元素，
选项A中，集合 为空集，没有真子集，A错；
选项B中，由 得 ，由 得 ，因此 中元素个数为 ，
B正确；
选项C中， 中元素个数为166，非空真子集个数为 ，C错；选项D中， ，而 ，因此其中元素个数为331个，D错．
故选：B．
7．在 中，“ 是正三角形”是“A，B，C成等差数列且 ， ， 成等比数列”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断
即得.
【详解】若在 中，由A，B，C成等差数列，
得 ，而 ，则 ，
， ， 成等比数列，
得 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
因此 是正三角形，即必要性成立；
若 是正三角形，
则 ， ，
因此A，B，C成等差数列且 ， ， 成等比数列，即充分性成立；
所以“ 是正三角形”是“A，B，C成等差数列且 ， ， ”成等比数列的充要条件.
故选：C.
8．对于平面上点 和曲线 ，任取 上一点 ，若线段 的长度存在最小值，则称该值为点 到曲线
的距离，记作 ．下列结论中正确的个数为（ ）
①若曲线 是一个点，则点集 所表示的图形的面积为 ；
②若曲线 是一个半径为 的圆，则点集 所表示的图形的面积为 ；
③若曲线 是一个长度为 的线段，则点集 所表示的图形的面积为 ；④若曲线 是边长为 的等边三角形，则点集 所表示的图形的面积为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题中定义分析出①②③④中点集构成的区域，计算出相应图形的面积，即可得出结论.
【详解】设点 ，
对于①，若曲线 表示点 ，则 ，
化简可得 ，
所以，点集 所表示的图形是以点 为圆心，半径为2的圆及其内部，
所以，点集 所表示的图形的面积为 ，①对；
对于②，若曲线 表示以点 为圆心，半径为2的圆，
设 为曲线 上一点，当点 在曲线 内时， ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
所以 ，可得 ，此时 ；
当点 在曲线 外时， ，
当且仅当 三点共线时，等号成立，
所以， ，可得 ，此时 ，
当点 在曲线 上时，线段 的长不存在最小值，
综上所述， 或 ，即 或 ，
所以，点集 所表示的图形是夹在圆 和圆 的区域
（但不包括圆 的圆周），此时，点集 所表示的图形的面积为 ，②错；
对于③，不妨设点曲线 为线段 ，且 ，
当点 与点 重合时，由①可知，则点集 表示的是以点 为圆心，半径为1的圆，
当点 与点 重合时，则点集 表示的是以点 为圆心，半径为1的圆，
故当点 在线段 上滑动时，点集 表示的区域是一个边长为2的正方形 和两个半径为1的半圆
所围成的区域，
此时，点集 的面积为 ，③对；
对于④，若曲线 是边长为9的等边三角形，设等边三角形为 ，
因为 ， ，则 ，
由③可知，点集 构成的区域由矩形 、 、 ，
以及分别由点 为圆心，半径为1，圆心角为 的三段圆弧，和夹在等边三角形 和等边三角形 中间的部分（包括边界），
因此 ， ，则 ，
所以，点集 所表示的图形的面积为 ，④对.
综上所述：正确的序号为①③④，共3个.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出点集 所表示的区域，并作出其图形，计算其面积即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】先根据集合的研究对象求出两集合，按选项分别求交集，并集和补集再判断即得.
【详解】由函数 有意义可得： 即 ，故 ，
由 可得： .
因 ，故A项错误，B项正确；因 ，故C项正确；
又 ，得 .故D项正确.
故选：BCD.
10．已知集合 ，集合 ，能使 成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由 成立的充要条件求出对应的参数 的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】 当且仅当 是 的子集，当且仅当 ，即 ，对比选项可知使得 成立的充分不必要条件有 ， .
故选：CD.
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为 ， 表
示不超过x的最大整数，例如 ， ．下列命题中正确的有（ ）
A． ，
B． ， ，
C． ，
D． ，
【答案】BD
【分析】根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.
【详解】对于A，当 时， ，当 时， ，而 ，
因此 ，A错误；
对于B， ， ，令 ，则 ， ，
因此 ，B正确；
对于C，取 ， ，则 ， ，
显然 ，C错误；
对于D， ，当 时， ，当 时， ，而 ，
因此 ，此时 ，D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量词命题为假、
存在量词命题为真只需举例说明.第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． ， 或 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】 或
【分析】根据条件及集合的运算，借助数轴，即可求出结果.
【详解】因为 ， 或 ，且 ，
由图知 或 ，得到 或 ，
故答案为： 或 .
13．命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内单调，若 的否定为真命题，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】先给出命题p的否定，由函数 的单调性进行求解.
【详解】命题p的否定为：任意 ，使得函数 在区间 内不单调，
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，
得 ，
故答案为：
14．已知命题 “方程 至少有一个负实根”，若 为真命题的一个必要不充分条件为
，则实数 的取值范围是 ．【答案】
【分析】
先求得 为真命题时 的取值范围，再根据必要不充分条件求得 的取值范围.
【详解】若命题 “方程 至少有一个负实根”为真命题，
时， ，符合题意；
当 时， ，且 ，
则此时方程 有一个正根和一个负根，符合题意；
当 时，由 ，解得 ，
此时方程为 符合题意；
由 解得 ，此时 ，
则此时方程 有两个负根，符合题意.
综上所述， 为真命题时， 的取值范围是 .
若 为真命题的一个必要不充分条件为 ，
则 .
故答案为：
【点睛】含参数的一元二次方程根的分布问题，可采用直接讨论法来进行研究，也可以采用分离参数法来
进行研究，如果采用直接讨论法，在分类讨论的过程中，要注意做到不重不漏.求命题的必要不充分条件，
可转化为找一个比本身“大”的范围来进行求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．已知集合 ， .
(1)若 ，求 ， ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）求出集合 ，然后即可求出 ， .
（2）根据 ，列出相应的不等式组从而可求解.
【详解】（1）当 时， ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（2）由（1）知 ，又 ，
所以 ，解得： .
所以实数 的取值范围为 .
16．已知命题 ， 为真命题.
(1)求实数 的取值集合A；
(2)设 为非空集合，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式 求解．
（2）由已知结合集合的包含关系列出不等关系，求解即可．
【详解】（1）
依题意，关于 的不等式 恒成立，
于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值的集合 ．（2）
因为 是 的必要不充分条件，所以 为 的真子集．
又 为非空集合，
所以 ， 得 ，
所以实数 的取值范围为 .
17．已知函数 的定义域为集合 ，函数 的值域为集合 .
(1)求 ；
(2)若集合 ，且 ，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出 ， 并计算 即可.
（2）分类讨论整合出 的取值集合即可.
【详解】（1）要使函数 有意义，
则 解得 ，所以 ，
对于函数 ， ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ， ，
当 时，即 时， ，满足题意；当 时，即 时，要使 ，则 ，解得 ，
综上所述，实数a的取值范围是 .
18．已知集合 ，集合 .
(1)存在 ，使 ， 成立，求实数 的值及集合 ；
(2)命题 ： ，都有 ，命题 ： 使得 成立.若命题 为假命题， 为真
命题，求实数 的取值范围；
(3)若任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)实数 的值为 ，集合
(2)
(3)
【分析】（1）依题意，若存在 ，使 ， 成立，则 ，
可确定 的值，再分别解出集合 即可；
（2）若命题 为假命题，则命题 为真命题，可得 ，再结合 为真命题，可得 ，取交
集即可得出实数 的取值范围；
（3）令 ，则可知 的对称轴为 ，要使 成立，即 成立，
再分别讨论对称轴所在位置即可判断 的最小值，从而求得答案.
【详解】（1）因为存在 ，使 ， 成立，
所以 恒成立，解得： ，又因为 ，所以 .
当 时，集合 ，
此时 ，
故实数 的值为1，集合 .
（2）因为命题 ： ，都有 ，为假命题，
则命题 ： ，有 ，为真命题，
所以 ，
又命题 ： ，使得 成立，
且 ： ，使得 ，为真命题，
则 恒成立，即 ，
所以 恒成立，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围为： .
（3）令 ，则 是开口向上，且对称轴为 的抛物线，
因为任意的 ，都有 ，
则要使 成立，即 成立，
当 ，即 时， 在 上是单调递增函数，
所以有 ，解得： ；
当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
所以有 ，解得： ；
当 ，即 时， 在 上是单调递减函数，
所以有 ，此时 没有实数解；综上所述：实数 的取值范围为： .
19．已知数列 的各项均为正整数，设集合 ， ，记 的元
素个数为 .
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合 ，并写出 的值;
(2)若 是递减数列，求证:“ ”的充要条件是“ 为等差数列”;
(3)已知数列 ，求证: .
【答案】(1) .
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若 为等差数列，且 是递减数列，得到 ，结合 ，证得充分性成立；再由 是
递减数列，得到 ，结合互不相等，得到 ，
得到必要性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到 ，得出 ，得到 ，不妨设
，则 ，推得 为奇数，矛盾，进而得证.
【详解】（1）解：由题意，数列 ，
可得 ，
所以集合 ，所以 .
（2）证明：充分性：若 为等差数列，且 是递减数列，则 的公差为 ，当 时， ，所以 ，
则 ，故充分性成立.
必要性:若 是递减数列， ，则 为等差数列，
因为 是递减数列，所以 ，
所以 ，且互不相等，
所以 ，
又因为 ，
所以 且互不相等，
所以 ，
所以 ，
所以 为等差数列，必要性成立.
所以若 是递减数列，“ ”的充要条件是“ 为等差数列”.
（3）证明：由题意集合 中的元素个数最多为 个，
即 ，
对于数列 ，此时 ，
若存在 ，则 ，其中 ，
故 ，
若 ，不妨设 ，则 ，而 ，故 为偶数， 为奇数，矛盾，
故 ，故 ，故由 得到的 彼此相异，所以 .
