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第一章 集合与常用逻辑用语综合检测
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D D A B C C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD CD BD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 或
13．
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）【详解】（1）当 时， ，所以 或 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .（2）由（1）知 ，又 ，
所以 ，解得： .
所以实数 的取值范围为 .
16．（15分）【详解】（1）依题意，关于 的不等式 恒成立，
于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值的集合 ．
（2）
因为 是 的必要不充分条件，所以 为 的真子集．
又 为非空集合，
所以 ， 得 ，
所以实数 的取值范围为 .
17．（15分）【详解】（1）要使函数 有意义，
则 解得 ，所以 ，
对于函数 ， ，所以 ，所以 .
（2）因为 ， ，
当 时，即 时， ，满足题意；
当 时，即 时，要使 ，则 ，解得 ，综上所述，实数a的取值范围是 .
18．（17分）【详解】（1）因为存在 ，使 ， 成立，
所以 恒成立，解得： ，
又因为 ，所以 .
当 时，集合 ，
此时 ，
故实数 的值为1，集合 .
（2）因为命题 ： ，都有 ，为假命题，
则命题 ： ，有 ，为真命题，
所以 ，
又命题 ： ，使得 成立，
且 ： ，使得 ，为真命题，
则 恒成立，即 ，
所以 恒成立，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围为： .
（3）令 ，则 是开口向上，且对称轴为 的抛物线，
因为任意的 ，都有 ，
则要使 成立，即 成立，
当 ，即 时， 在 上是单调递增函数，
所以有 ，解得： ；当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
所以有 ，解得： ；
当 ，即 时， 在 上是单调递减函数，
所以有 ，此时 没有实数解；
综上所述：实数 的取值范围为： .
19．（17分）【详解】（1）解：由题意，数列 ，
可得 ，
所以集合 ，所以 .
（2）证明：充分性：若 为等差数列，且 是递减数列，则 的公差为 ，
当 时， ，所以 ，
则 ，故充分性成立.
必要性:若 是递减数列， ，则 为等差数列，
因为 是递减数列，所以 ，
所以 ，且互不相等，
所以 ，
又因为 ，
所以 且互不相等，
所以 ，所以 ，
所以 为等差数列，必要性成立.
所以若 是递减数列，“ ”的充要条件是“ 为等差数列”.
（3）证明：由题意集合 中的元素个数最多为 个，
即 ，
对于数列 ，此时 ，
若存在 ，则 ，其中 ，
故 ，
若 ，不妨设 ，则 ，而 ，
故 为偶数， 为奇数，矛盾，
故 ，故 ，故由 得到的 彼此相异，所以 .
