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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 39 讲 圆的方程、直线与圆的位置关系（精讲）
题型目录一览
①圆的方程
②点与圆的位置关系
③与圆有关的轨迹问题
④直线与圆相交
⑤直线与圆相切、相离
一、知识点梳理
一、圆的基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
二、圆的基本性质、定理与公式
1．圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为 ，半径
（3）圆的直径式方程：若 ，则以线段AB为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；② 的参数方程为 （ 为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为 （ 为参
数， 为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，
然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2．点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
三、直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
四、直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
【常用结论】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为 ，利用圆心到
切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求出的 值有两个，则说明斜率不存在的情形不
符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
二、题型分类精讲
题型 一 圆的方程
策略方法 求圆的方程的两种方法【典例1】已知圆 过三点 ， ， ，则 的圆心和半径分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】利用斜率可以推出 是直角三角形，而直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，
据此求解.
【详解】由题意， ， ，即 ，
故 ，即 是直角三角形，且 为斜边，
直角三角形外接圆的直径是斜边长，圆心是斜边中点，
又 ，
于是 的外接圆半径为 ，圆心是 的中点，即 .
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则 实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得 的取值范围.【详解】由圆的一般式方程可得 ，即 ，求得 ，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆 的方程为 ，则圆心 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将圆的方程配成标准方程，可求得圆心坐标.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心 的坐标为 .
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 是圆 的对称轴，
则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆的方程可得圆心坐标，根据圆心在直线 上可求得结果.
【详解】由圆 方程得：圆心 ，
直线 是圆 的对称轴， 圆心 在直线 上，即 ，解得： .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ， ，则其外接圆的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先设圆的方程为 ，根据题意，列出方程组求解，即可求出结果.【详解】设 的外接圆的方程为 ，
因为 的顶点 ， ， ，
所以 ，解得 ，
因此 即为所求圆的方程.
故选：A.
【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，利用待定系数法求解即可，属于基础题型.
5．（2023·全国·高三专题练习）以点 为圆心，且与直线 相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.
【详解】由题得圆心到直线的距离 ，
所以圆的方程为 .
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）圆C： 关于直线 对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据点关于直线 对称的性质，结合圆的标准方程进行求解即可.
【详解】由圆C： ，可知圆心坐标： ，半径为 ，
因为点 关于直线 的对称点为 ，所以圆C： 关于直线 对称的圆的方程是
，
故选：C
7．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程 表示一个圆的充要条件是
，即 ，且 ， .
故选：D
8．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知圆 ，过点
作圆C的两条切线，切点分别为A，B．则四边形 的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．14 D．18
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，得到切线长，求出四边形的面积.
【详解】依题意，圆 ，圆心为 ，半径为3，则 ， ，
故 ，由对称性可知， 与 全等，
故四边形 的面积 ．
故选：B
9．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点 ， 且圆心在直线 上的圆与 轴相交于 ，
两点，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为 ，则圆的方程为 ，结合已知条件
即可求出圆的方程，在圆的方程中令 ，即可求出 ， 两点的坐标，由此即可得解.
【详解】因为圆心在直线 上，所以设圆的圆心、半径分别为 ，
则圆的方程为 ，
将 ， 代入圆的方程有 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，在圆的方程中令 得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.
二、填空题
10．（2023秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考开学考试）已知圆 的面积为 ，则
．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程得出圆的半径，然后根据已知列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，圆的半径 .
所以，圆的面积为 ，
所以， ，解得 .
故答案为： .
11．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知圆 的半
径为3，则 .
【答案】
【分析】化简圆的方程为圆的标准方程，根据题意列出方程，即可求解.
【详解】将圆 的方程转化为 ，
因为圆 的半径为3，所以 ，即 .
故答案为： .
12．（2023秋·江西吉安·高三吉安三中校考开学考试）请写出一个过点 ，且与直线 相切
的圆的标准方程，为 ．【答案】 （答案不唯一）
【分析】写出一个符合条件的圆的标准方程即可.
【详解】设 为直径的一个端点， 到直线 的距离 ，
可知半径 ，又若圆心 在直线 上，且 ，
解得 ，所求圆的方程为 .
故答案为： （答案不唯一）．
13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，过 四点的圆的
方程为 .
【答案】
【分析】根据题意，设圆的方程为 ，取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得
到结果.
【详解】设圆的方程为 ，
将点 的坐标分别代入可得，
，解得
则可得圆的方程为
故答案为:
14．（2023春·河南商丘·高三临颍县第一高级中学校联考阶段练习）圆心与圆 的圆
心重合，且过点 的圆的方程为 ．
【答案】【分析】根据同圆心设出方程 ，代入点 求出 即可求解.
【详解】依题意，
设所求圆的方程为 ，
由于所求圆过点 ，所以 ，
解得 ．所以所求圆的方程为 ．
故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C： ，则当圆C的面积最小
时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用配方法，结合二次函数的性质、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】 ，
所以半径 ，当且仅当 时，半径最小，
此时圆心为 ，圆心到原点的距离为 ，
因为 ，
所以原点在圆外，根据圆的性质，
圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 ，
故答案为：
16．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线
与两坐标轴的交点及点 的圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令 ，得 ，解得 ，
所以直线 与 轴的交点为 ,
令 ，得 ，解得 ，
所以直线 与 轴的交点为 ,
设圆的方程为 ,则
因为 ， ， 三点都在圆上，
所以 ,解得
故所求圆的方程为
故答案为： .
题型二 点与圆的位置关系
策略方法 判断集合关系的三种方法
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束
条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
【典例1】“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由x2＋y2﹣2mx＝0可得 ，该方程表示圆，所以有 ，
当点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外时，
有 ，所以此时 ，
显然由 不一定能推出 ，但是由 一定能推出 ，所以“m<1”是“点P（1，1）在圆C：x2＋y2﹣2mx＝0外”的必要不充分条件，
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023春·福建·高三校联考阶段练习）设圆 ： ，若直线 在 轴上的截距为 ，则
与 的交点个数为（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】C
【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．
【详解】解： 直线 在 轴上的截距为 ，
直线 过定点 ，
，
点 在圆内，
直线 与 的交点个数为 个．
故选： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两直线 与 的交点在圆 的内部，则实
数k的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，利用该交点到圆心的距离小于半径列式，解不等式可得结果.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
由 得 ，则两直线 与 的交点为 ，
依题意得 ，解得 .故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）点 为圆 外一点，则直线 与该圆
的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解；
【详解】因为点 为圆 外一点，
所以 .
圆 的圆心 ，半径为 ，
所以圆心 到直线 的距离为
，即 .
所以直线 与该圆的位置关系为相交.
故选：A.
4．（2023·辽宁·校联考二模）已知圆 ，直线l： ，若l与圆O相交，则（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
【答案】D
【分析】根据l与圆O相交，可知圆心到直线的距离小于半径，列出不等式，再判断点与直线和圆的关系.
【详解】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
则有 ，故 ，
把 代入 ，所以点不在直线l上，故A错误；又 ，则点 在圆O外，故D正确.
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件得到圆 的标准方程，再由圆的半径的平方大于0得到 ；再根据点 在
圆 的外部得到 ，即可求解得到 的取值范围.
【详解】由 ，得 ，
则 ，解得： ①，
又∵点 在圆 的外部，
∴ ，即 ，解得 或 ②，
由①②得 ，
故选：B．
二、填空题
6．（2023·全国·高三专题练习）若坐标原点在圆 的内部，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可.
【详解】∵原点 在圆 的内部，
，解得
所以实数 的取值范围为
故答案为：
7．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆 ，若点 在圆 上，并且点 到直线
的距离为 ，则满足条件的点 的个数为 .
【答案】3
【分析】设 ，根据点P到直线 的距离为 ，求得 ，再由 在圆
上，得到 ，取得 或 ，进而求得满足条件的点的个数，得到答案.
【详解】设 ，由点P到直线 的距离为 ，得
两边平方整理得到 ①
因为 在圆 上，所以 ，即 ②
联立①②得 ，
解得 或 ，
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
当 时，由①②可得 ，解得 或 ，即 或
综上，满足条件的点P的个数为 .
故答案为：3.
8．（2023·全国·高三专题练习）设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则 的最大值为 .
【答案】12
【解析】由平面向量的数量积公式，可得 的解析式；再由 是圆 上的动点，可
得 ， 的取值范围；从而求得 的最大值．
【详解】 是圆 上的动点，且 ， ，
， ， ，
由 ，得 ，且 ，
，
的最大值为：12
故答案为： ．
题型三 与圆有关的轨迹问题
策略方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
【典例1】已知直线 ，点 与点 关于原点对称，若直线 上存在点 满足 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】由 求出点 的轨迹，由直线 与此轨迹存在公共点求出 的范围作答.
【详解】依题意， ，设点 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，由已知得 ，
而点 既在直线 上，又在圆 上，因此直线 与圆 有公共点，
又圆 的圆心为原点，半径为 ，于是 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是 ： 上的两个动点，P是线段
的中点，若 ，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆的垂径定理得 ，利用勾股关系求得 ，结合圆的定义即可求出点P的轨迹方
程.
【详解】因为 中点为P，所以 ，又 ，所以 ，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为 .
故选：C.2．（2023秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）在平面内， 是两个定点， 是动点，若
，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【分析】由平行四边形法则易得 ，可知 ，可判断点 的轨迹为以线段 为直径的圆.
【详解】设 为线段 的中点， .因为 ，所以 ，所以
，所以 ，当点 在点 或 时也满足 ，所以点 的轨迹为以线段
为直径的圆.
故选: A.
3．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中， ， ，
动点 满足 ，则使 为等腰三角形的点 个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设 ，根据 可得动点 的轨迹方程为圆 ，再结合 为
等腰三角形分析即可求解.
【详解】设 ，由 ，
得 ，
整理得 ，记为圆
又 ， 为等腰三角形，
则有 或 .因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个；
因为圆 与圆 相交，故满足 点 有2个，
故使 为等腰三角形的点 共有4个.
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之
比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系 中，
， ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接设 ，根据两点间距离公式 代入运算整理．
【详解】∵ ，即
设 ，则 ，整理得
故选：B．
5．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市第四中学校校考模拟预测）已知圆 ，圆
，过动点P分别作圆 、圆 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 ，
则动点P的轨迹方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由条件结合圆的切线性质可得出 ，结合两点间的距离公式可得出答案.【详解】由 得 ．
因为两圆的半径均为1，则 ，
则 ，即 ．
所以点P的轨迹方程为 ．
故选：D
6．（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线 ，点 与点 关于原点
对称，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 求出点 的轨迹，由直线 与此轨迹存在公共点求出 的范围作答.
【详解】依题意， ，设点 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，由已知得 ，
而点 既在直线 上，又在圆 上，因此直线 与圆 有公共点，
又圆 的圆心为原点，半径为 ，于是 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B
7．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆 的直径 ，若平面内一个动点 与点 的距离是它与点
距离的 倍，则 的面积的最大值为（ ）A．64 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，设 ，利用 求出点 的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果.
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系，
则 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
所以点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 到直线 的距离的最大值为 ，
因此 的面积的最大值为 .
故选：D
二、填空题
8．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .【答案】
【分析】由勾股定理得 后列式求解
【详解】设 ，由 得 ，则 ，即 .
故答案为：
9．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 ， ， ，点P满足
，则点P到点C距离的最大值为 ．
【答案】10
【分析】设 ，根据题意求出点P的轨迹方程，然后利用圆的性质求得答案.
【详解】设 ，
∵ ，∴ ，化简得 ．
则点P的轨迹是以 为圆心，半径等于4圆，
∵ ，故 的最大值为 ，
故答案为：10．
10．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）已知点 ， ，动点M满足
，则点M到直线 的距离可以是 ．（写出一个符合题意的整数值）
【答案】0或1 (只写一个即可)
【分析】由题设知 的轨迹为 ，根据圆心到 距离得到 到直线距离的范围，
即可写出一个值.
【详解】由题设知 ，即 在以 为直径的圆上，且圆心为 ，半径为 ，
所以 的轨迹为 ，而 到 的距离为 ，即直线过圆心，
所以M到直线 的距离范围 ，
所以点M到直线 的距离的整数值可以是0或1.
故答案为：0或1 (只写一个即可)
11．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，M是抛物线 准线上的一点，点P在圆
上.若MP的中点在圆 上，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】设 ，由已知条件求点P轨迹方程，与圆 联立方程组，求交点坐标，代入
中求取值范围.
【详解】抛物线 的准线方程为x=1，设 ， ，MP的中点为 ，则 ，
.
由题意，知 在圆 上，所以 ，即 ，
联立 消去x可得 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，由P在圆 上，可知 ，
所以 ，即 或 ，而 ，所以 或 .
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为：
12．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）点P圆 上，点 在直线
上，O坐标原点，且 ，则点 的横坐标的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由条件可得点 在以 为直径的圆上，由条件列
不等式可求点Q的横坐标的取值范围.
【详解】因为点 在直线 上，
故设点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即点 在圆 上，
又点 在圆 上，
所以两圆有交点，
又圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以点 的横坐标的取值范围为 .
故答案为： .
13．（2023·四川成都·三模）已知 ， 是圆 内一点，对圆O上任意一点P都
有 为定值，则mn的值为 ．
【答案】
【分析】设 ， （ 为正常数），把 用 表示后整理即得圆 方程，由此
可求得 ，得出结论．
【详解】设 ， （ 为正常数），显然 ，否则 点轨迹是线段 的中垂线，
，
整理得 ，这就是圆 的方程，所以 ， 解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
题型四 直线与圆相交
策略方法 直线与圆的相交问题
（1）研究直线与圆的相交问题，应牢牢记住三长关系，即半径长 、弦心距 和半径 之间
形成的数量关系 ．
（2）弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这也是求弦
长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公
式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方程代入圆的
方程，消元后利用根与系数关系得弦长：
．
【典例1】直线l： 截圆 所得的弦长等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用几何法求出弦长作答.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
点 到直线 的距离 ，
所以所求弦长为 .
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法 与 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心到直线 的距离 ，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）直线 和圆 的位置关系为（ ）A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据直线与圆的位置关系列式判断即可.
【详解】由 ，得 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
而直线 可化为 ，
所以圆心 到直线 的距离为 ，
则直线 和圆 相交.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C:x2+y2=1，直线 ：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，1） B．（- ，- ） C．（ ， ） D．（- ， ）
【答案】D
【分析】利用圆心到直线 的距离列不等式，从而求得 的取值范围.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 ，
由于圆与直线 相交，
所以 ，解得 .
故选：D
4．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若直线 与曲线
有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线 恒过定点 ，
曲线 表示以点 为圆心，半径为1，且位于直线 右侧的半圆（包括点 ，
）．
当直线 经过点 时， 与曲线 有两个不同的交点，此时 ，直线记为 ；
当 与半圆相切时，由 ，得 ，切线记为 ．
分析可知当 时， 与曲线 有两个不同的交点，
故选：A．
5．（2023·北京·高三专题练习）若圆 与y轴交于A，B两点，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】直接联立方程求A、B坐标即可.
【详解】联立 得 ，故A、B坐标为 ，即 .
故选：D
6．（2023秋·北京·高三统考开学考试）直线 被圆 所截得的弦长为（ ）A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据圆心 在直线 上可得结果.
【详解】由已知得圆心为 ，半径 ，
因为圆心 在直线 上，
所以直线 被圆 所截得的弦长为 .
故选：C
7．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）过点 ， 且圆心在直线 上的圆与 轴相交于 ，
两点，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为 ，则圆的方程为 ，结合已知条件
即可求出圆的方程，在圆的方程中令 ，即可求出 ， 两点的坐标，由此即可得解.
【详解】因为圆心在直线 上，所以设圆的圆心、半径分别为 ，
则圆的方程为 ，
将 ， 代入圆的方程有 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，
在圆的方程中令 得 ，解得 ，
所以 .
故选：C.8．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为A，
B，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ，由切线长公式求出 的
长，进而可得以 为圆心， 为半径为圆，则 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两
方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ，
过点 作圆 的两条切线，设切点分别为 、 ，
而 ，则 ，
则以 为圆心， 为半径为圆为 ，即圆 ，
所以 为两圆的公共弦所在的直线，则有 ，
作差变形可得： ；
即直线 的方程为 .
故选：B.
9．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）圆 被过点
的直线截得的最短弦长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】根据点与圆、直线与圆的位置关系即可求得最短弦长.【详解】圆 ，圆心 ，半径
所以 ，故点 在圆 内，
则当直线垂直于过C，P的直径时，
最短弦长 .
故选：C.
10．（2023·河北衡水·模拟预测）已知直线 与圆 相交于 两点，则 的面
积为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出圆心和半径，由垂径定理得到 ，从而求出 的面积.
【详解】圆 的方程为 ，故圆心坐标为 ，半径 ，
点 到线段 的距离为 ，
故 ，
的面积 .
故选：B.
11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线 与圆 ： 相交于
， 两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【详解】直线 ，即 恒过定点 ，而 ，即点 在圆 内，
因此当且仅当 时， 最小，
而圆 的圆心 ，半径 ， ，
所以 .
故选：B
12．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知圆 ，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，若 ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用直线与圆相切的性质及四边形内角和计算可得∠APO=30°，解三角形即可.
【详解】如图所示，因为 ，若 ，则 ，即 ，因为 ，所以 .
故选：D
13．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）若直线 把圆 分成长度为1：2的
两段圆弧，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直线和圆相交于 ，则根据较短弧长与较长弧长之比为 得到 ,利用点与直线的距
离建立条件关系即可．
【详解】圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
设直线和圆相交于 ，
若较短弧长与较长弧长之比为 ，则 ，
则圆心到直线 的距离 ，即 ，
即 ，
故选:D
14．（2023·全国·高三专题练习）若不等式 的解集为区间 ，且 ,则
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C【分析】将问题转化为半圆 位于直线 下方的区间长度为2，由此可得 ，
求出直线与半圆的交点坐标即可求得 的值.
【详解】解：如图所示：
因为 表示以坐标原点为圆心，4为半径位于 轴上方(含和 轴交点)的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式 的解集为区间 ，且 ,
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以 ，
所以直线与半圆的交点 ，
所以 .
故选：C.
15．（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们关于
直线x＋my＋4＝0对称，且 ，则直线PQ的方程为（ ）
A．y＝－x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
【答案】B
【分析】由 的对称性得圆心过已知直线 ，从而求得 值，直线 与直线 垂
直，可设出其方程为 ，同时设 ， 代入圆方程应用韦达定理得 ，
得 ，代入 求得 得直线方程（注意判断直线与圆相交）．【详解】曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，即曲线(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆，
因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，
所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入可得m＝－1，即直线方程为x－y＋4＝0.
由题意知直线PQ与直线x－y＋4＝0垂直，
所以可设直线PQ：y＝－x＋b，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝－x＋b代入圆的方程，整理得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4(4－b)2－4×2·(b2－6b＋1)＞
0，解得2－3 ＜b＜2＋3 ，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝ ，y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝ ＋4b.
因为 ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈(2－3 ，2＋3 )，
所以直线PQ的方程为y＝－x＋1.
故选：B.
二、填空题
16．（2023·全国·高三专题练习）若直线过点 且被圆 截得的弦长是6，则该直线的方程为
.
【答案】 或 ．
【分析】由弦长求得圆心到直线的距离，根据点到直线的距离求直线的方程.
【详解】由题可知圆心 ，半径 ，弦长 ，设弦心距是d，
则 ，解得 ，
若l斜率不存在，直线是 ，代入圆的方程解得 ,故该直线被圆截得的弦长为6,符合题意，
若l斜率存在，设直线方程 ，即 ，
则圆心到直线的距离 ，解得 ，
直线l的方程为 ，即 ，
综上，所求直线方程为 或 ．故答案为： 或 ．
17．（2023·广西柳州·统考模拟预测）设直线 与圆 相交于 两点，且弦
的长为2，则实数 的值是 .
【答案】
【详解】根据给定条件，利用几何法求弦长列式求解作答.
【点睛】圆 的圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
依题意， ，则 ，解得 ，
所以实数 的值是 .
故答案为：
18．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知直线 与圆 相交于A、B两点．
若 为直角三角形，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由 为直角三角形，可得 ，从而可得 的值.
【详解】根据题意，圆 即 ，
若 为直角三角形，即为等腰直角三角形，
所以有圆心 到直线的距离为： ，解得： ．
故答案为：
19．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知圆 ，直线l过点 ，且交圆O于P，Q两点，使弦长 为整数的直线l共有 条.
【答案】16
【分析】根据弦长公式 ，可知线段 的长度变化是连续的，故只需求得 长度的最小值
和最大值，即可知道长度介于最小值和最大值之间的整数的个数，再由对称性即可求解.
【详解】
如图，过点 作 垂直于 ，垂足为 ，连接 ，设 ，圆半径为 ，则有
=
所以当 即 两点重合时， 取得最小值为 ，
因为圆 直径为14，
所以 ，
当 或 时，分别代表圆 内过 点的最短弦和最长弦，
这两条弦分别只有1条，其余长度为7、8、9、10、11、12、13的弦由于圆的对称性分别有两条，
故该圆内过 点且长度为整数的弦共有 条.
故答案为：16.
20．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线 与圆
交于A， 两点，若 是圆上的一动点，则 面积的最大值是 .
【答案】
【分析】求出圆C圆心到弦AB的长度d，求出弦AB的长度，M到弦AB的最大距离为d＋r(r为圆C半
径)，根据三角形面积公式即可求出答案．【详解】 ，则圆C的圆心为 ，半径为 ，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为 ，
则 ，
则 到弦AB的距离的最大值为 ，
则 面积的最大值是 .
故答案为：
21．（2023·全国·高三专题练习）若过定点 的直线 截圆C： 所得弦长小于3，则该直
线斜率的取值范围为
【答案】
【分析】讨论直线斜率不存在和存在两种情况，根据相交弦长公式验证弦长，即可列不等式求得直线斜率
的取值范围.
【详解】当直线l斜率不存在时，圆心 到直线 的距离为1，
此时直线 截圆C所得弦长为 ，不符合题意，故直线l的斜率存在；
设直线l方程为 ，即 ，此时圆心 到直线 的距离
，
则有 ，解得 ，即直线l斜率的取值范围为 ．
故答案为： ．22．（2023·高三课时练习）已知圆 ，过点A（2，0）的直线l交圆C于M、N两点，且
，则直线l的方程是 .
【答案】
【分析】当直线 的斜率不存在时，求出 的坐标，经计算可知，不符合题意；所以直线 的斜率存在，
设直线 ，联立直线与圆的方程，根据韦达定理得 和 ，再求出 ，根据
，解方程得 ，即可求出直线 的方程.
【详解】当直线 的斜率不存在时， ，联立 ，得 或 ，
不妨设 ， ，则 ，不符合题意；
所以直线 的斜率存在，设直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，
设 ， ，
则 ， ，
则 ，
所以 ,
解得 ， ，
所以直线l的方程是 .
故答案为：题型 五 直线与圆相切、相离
策略方法 直线与圆相切、相离的问题
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即 ．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式： ，因
为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个
根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过圆 上一点 的切线方程是 ．
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换为 ，
替换为 即可，因此可得到上面的结论．
（3）关于直线与圆的相离问题的题目大多是最值问题，即直线上的点与圆上的点的最近或最
远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与圆心距离的最近和最远距离再加减半径
长的问题．【典例1】已知直线 是圆 的对称轴，过点 作圆C
的一条切线，切点为 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．7
【答案】D
【分析】根据题意，得到直线 过圆心 ，求得 ，得到 ，结合圆的弦长公式，即可求
解.
【详解】由圆 ，可得 ，
所以圆心 ，半径为 ，
又由直线 是圆 的对称轴，即直线 过圆心 ，
即 ，解得 ，即 ，
则 ，
所以切线长为 .
故选：D.
【典例2】已知直线 与圆 相离，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由 ，得 ，
∵直线 与圆 相离，∴ 解得 ．
∴实数m的取值范围是 ，
故选:D
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知圆 ，直线 ，则圆C与直线l
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交且直线过圆C的圆心
【答案】B
【分析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断．
【详解】由 可得 ，
故圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，
故直线与圆C相切．
故选：B
2．（2023·江苏常州·校考一模）已知 是圆 内一点，现有以 为中点的弦所在
直线 和直线 ，则（ ）
A． 且 与圆相交 B． 且 与圆相离
C． 且 与圆相离 D． 且 与圆相交
【答案】C
【解析】由垂直关系确定直线 的斜率，由斜率关系确定 ，圆心 到直线 的距离结合点
与圆 的位置关系得出 与圆相离.【详解】由 可知，以 为中点的弦所在直线 的斜率为
则直线 的方程为 ，直线 的方程可化为
由 可知，
圆心 到直线 的距离为
因为 是圆 内一点，所以 ，即
故直线 与圆相离
故选：C
3．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）已知直线 与圆 相切，则实
数 （ ）
A． 或 B． 或9 C．11或 D． 或
【答案】A
【分析】由圆心到直线的距离等于半径列出方程，求出 .
【详解】依题知圆心 ，半径为3，则 ，解得 或 .
故选：A.
4．（2023秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知 ，直线 ，
若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点 在 上
C．点 在 内 D．点 在 外
【答案】C
【分析】根据l与 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，由此列不等式 ，即可推出 ，即可得答案.
【详解】由已知l与 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，
不妨设 为 的半径，即有 ，
故 ，由于 ，则 ，所以 ,
则点 在 内，
故选：C．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与圆 相离，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.
【详解】由 ，得 ，
∵直线 与圆 相离，
∴ 解得 ．
∴实数m的取值范围是 ，
故选:D．
6．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆 ： 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断 点在圆上，再求出 ，即
可得到切线的斜率，最后利用点斜式计算可得.
【详解】圆 ： ，即 ，圆心为 ，半径 ，
又 ，所以点 在圆上，且 ，
所以切线的斜率 ，所以切线方程为 ，即 .
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出 值，再根据充分不必要条件
的判定即可得到答案.
【详解】若直线 与圆 相切，
则圆心 到直线 的距离 等于半径 ，即 ， ，
故前者能推出后者，后者无法推出前者，
故“ ”是“直线 与圆 相切”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）若直线 ，与 相切，则
最大值为（ ）
A． B． C．3 D．5【答案】B
【分析】由条件可得 ，然后设 ，由三角函数的知识可得答案.
【详解】 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 ，与 相切，
所以 ，即 ，
所以可设 ，
所以 ，其中 ，
故选：B
9．（2023·陕西宝鸡·校考一模）已知点 在圆 上，过 作圆 的切线 ，则 的倾斜
角为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.
【详解】圆心为 ，所以 ,所以过 的切线 的斜率为 ，
设倾斜角为 ，则 ，
由于 ，故 ，
故选：D
10．（2023春·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）已知圆 ，过直线
上的动点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．【答案】D
【分析】根据题意易知当圆心 到直线 上点的距离最小时， 最小，利用点到直线的距离公式计算即
可.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
设圆心 到直线 ： 的距离为 ，则 ，
易得 ，则 ，
故当圆心 到直线 上点的距离最小时，即圆心到直线的距离 ，此时 最小，
因为 ，所以 ，
故 最小值是 ．
故选：D.
11．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知圆 在点 处的切线上一点 在第
一象限内，则 的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．9
【答案】C
【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解．
【详解】易知圆 在点 处的切线的方程为 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ， 时，等号成立．所以 的最小值为 .
故选：C.
12．（2023秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）已知 是 上一点，过点
作圆 的两条切线，切点分别为 ，当直线 与 平行时， （ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接 ，由 切圆 于 知， ，
因为直线 与 平行，则 ， ，而圆 半径为 ，
于是 ，由四边形 面积 ，得 ，
所以 .
故选：C
13．（2023·全国·高三专题练习）过点 作圆C： 的两条切线，切点分别为
A，B，则直线 的方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ，由切线长公式求出 的
长，进而可得以 为圆心， 为半径为圆，则 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两
方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆 的圆心为 ，半径 ，
过点 作圆 的两条切线，设切点分别为 、 ，
而 ，则 ，
则以 为圆心， 为半径为圆为 ，即圆 ，
所以 为两圆的公共弦所在的直线，则有 ，
作差变形可得： ；
即直线 的方程为 .
故选：B.
14．（2023秋·广西玉林·高三校联考开学考试）已知点 是圆 上的动点，直线
与 轴、 轴分别交于 两点，当 最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出示意图之后，结合图形可知， 与圆 相切时，切线长 取到最小值.
【详解】圆 化成标准形式为 ，
故圆心为 ，半径为 ，直线与坐标轴交于点 ，点 ，如图所示：则当 最小时， 与圆 相切，连接 ，
可知 ，
由勾股定理可得 .
故选：A
15．（2023秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）“ ”是“直线 与圆 相
切”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】由与圆相切等价于直线到圆心距离等于半径结合充分必要条件相关知识可得答案.
【详解】由 可得 ，则其圆心为 ，半径为1.
当 时，直线为 ，此时其到圆 圆心距离为 ，则“ ”
是“直线 与圆 相切”的充分条件；若直线“直线 与圆
相切”，则 ，得 或 ，则“ ”不是“直线 与
圆 相切”的必要条件，则“ ”是“直线 与圆 相切”的充
分不必要条件.
故选：A二、填空题
16．（2023·天津南开·统考二模）若直线 与圆 相切，则 .
【答案】
【分析】由圆心到切线的距离等于半径求解．
【详解】由题意圆心为 ，半径为2，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
17．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动点 作圆 的切
线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由勾股定理得 后列式求解
【详解】设 ，由 得 ，则 ，即 .
故答案为：
18．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考期末）设点 在直线 上， 与 轴
相切，且经过点 ，则 的半径为 ．
【答案】1或5
【分析】设点 ，根据点 到 轴距离与点 距离相等，以及在直线 上列方程组求
解即可.
【详解】设点 ，则由题意得 ，解得 或
所以 的半径为 或 .
故答案为：1或5
19．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）圆心在直线 上，且与直线
相切的一个圆的方程为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】依题意可得直线 与直线 平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一个点确定圆心，
即可得到圆的方程.
【详解】因为直线 与直线 平行，
设圆心坐标为 ，因为圆心到直线 的距离等于圆的半径r，
所以 ，取 ，则圆的方程为 .
故答案为： （答案不唯一）
20．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）已知过点 作圆 的切线，则切线长为
.
【答案】
【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解.
【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
设切点为 ，因为 ，可得 ，
所以切线长为 .
故答案为： .21．（2023·全国·高三专题练习）（忽视切线斜率不存在）过点 的圆 的切线
方程是 .
【答案】 或
【分析】根据给定的圆方程，求出圆心和半径，再利用圆的切线性质求出切线方程作答.
【详解】依题意，圆 的圆心 ，半径 ，
显然点 到直线 的距离为1，到直线 的距离也为1，
所以过点 的圆 的切线方程是 或 .
故答案为： 或
22．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点 ， ，经过点 作圆
的切线与 轴交于点 ，则 ．
【答案】
【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得 ，即可得解.
【详解】如图所示，设圆心为 点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得 ，所以切线方程为 ，
令 ，解得 ，故 ，
所以
故答案为： .23．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）若直线 上存在点P，过点P作圆O： 的两条
切线，A，B为切点，满足 ，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用数形结合及数量积 可求得P点轨迹为 ，根据题意可知直线 与
有交点，由直线和圆的位置关系即可求得k的取值范围.
【详解】如下图所示，已知圆心 ，半径
设 ，令 ，则 ，
且 ，所以 ，由 可得：
，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ，则 ，即所以满足条件的P点轨迹为 ，又点P在直线 上，
所以直线 与 有交点，即 ，
解得 ，所以 ．
故答案为：
24．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆 ，点 在
直线 上，过点 作直线 与圆 相切于点 ，则 的周长的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，将求周长的最小值转化为求圆心到直线的距离，进而得解.
【详解】由圆 知圆心 ，半径 ，
因为 与圆 相切于点 ，所以 ，
所以 ，所以 越小， 越小，
当 时， 最小，
因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 的最小值为6，
此时， ， ，
故 的周长的最小值为 .故答案为： .
