文档内容
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 30 讲 数列求和（精讲）
题型目录一览
①裂项相消法
②错位相减法
③分组（并项）求和法
④倒序相加法
⑤数列求和的其他方法
一、知识点梳理
一、公式法
（1）等差数列 的前n项和
（2）等比数列 的前n项和
（3）一些常见的数列的前n项和：
① ；
② ；
③ ；
④
二、几种数列求和的常用方法
（1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项
和．
（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求
这个数列的前 项和即可用错位相减法求解．
（5）倒序相加法：如果一个数列 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求
这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解．
【常用结论】
裂项技巧
①等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
②根式型
（1）
（2）（3）
③指数型
（1）
（2）
（3）
④三角型
（1）
（2）
（3）
⑤阶乘
（1）
二、题型分类精讲
题型 一 裂项相消法
策略方法
（1）基本步骤（2）裂项原则
一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（3）消项规律
消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【典例1】正项的等差数列 的前项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，数列 的前项和为 ，求证 ．
【答案】(1)
(2)见详解.
【分析】（1）根据等差数列的通项和等比数列的等比中项性质求解即可；
（2）由等差数列的前 项和公式，结合裂项相消进行求和进行比较可得结果.
【详解】（1）在正项的等差数列 中，因为 ，
所以设公差为 ，
， ， 成等比数列，
所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，解得 ，或 （舍去），
所以 .
（2）证明：由（1） ，
所以
，
因为 ，
所以 ．
【典例2】已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，得到 ，整理得到 ，证明出结论；
（2）先求出 ，结合第一问可得到等比数列的公比及 ，进而变形得到
，利用裂项相消法求和.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ①，
当 时， ②，
则①－②得： ，
因为 ，所以
整理得： ，即 ，所以数列 是等比数列；
（2） 中，令 得， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故等比数列 的公比 ，
所以 ； ，
故 ，
则
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据条件求出 的通项公式，再运用裂项相消法求和.
【详解】设等差数列 的公差为d，因为 ，所以 …①，
又 ，即 ， ，代入①，解得 ， ，
则 ，
所以
；
故选：A.
2．（2023·海南·校联考模拟预测）设数列 的通项公式为 ，数列 的前 项和为 ，那
么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意化简得到 ，结合消项法，即可求解.
【详解】由数列 的通项公式为 ，可得 ，
所以 .
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，
他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则
点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列 ，四边形数组成数列 ，记 ，则数列 的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过对已知信息的分析归纳得出数列 和数列 的通项，进而求得数列 的通项和前n项
和，求得答案.
【详解】由题意可得， ， ，
∴ ，
设数列 的前 项和为 ，∴ ，
∴ .
故选：D.
4．（2023·江西南昌·统考三模）已知 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新
数列 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意分析出数列 与数列 的公共项，找出他们公共项的通向公式，再利用裂项相
消法解决问题.
【详解】若数列 与数列 的公共项，则设 ，即
，
因为 为偶数，所以 也为偶数，
所以令数列 与数列 的公共项为：
，
所以 ，
所以
，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）数列 的前n项和为 ，对一切正整数n，点 在函数
的图象上， （ 且 ），则数列 的前n项和为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 与 的关系求得 ，进而求出 ，利用裂项相消求和法即可求
解.
【详解】由题意知 ①，
当 时， ，
当 时， ②，①-②，得 ，
若 ， ，符合题意，
所以 ，则 ，
所以 ，
则
.
故选：D.
6．（2023·广东广州·统考一模）若数列 满足 ，则 的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
.
故选：D
二、填空题
7．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）数列 满足 ，其前
项和为 若 恒成立，则 的最小值为 ．
【答案】【分析】由裂项公式得 ，结合叠加法求得 ，可进一步判断 的取值范围.
【详解】 ，
则 ，因为 恒成立，所以 ，即 的最小
值为
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 ，
， 成等差数列，又记 ，数列 的前 项和 ．
【答案】
【分析】先根据等差中项可得 ，再利用 和 的关系可得 ，进而求得 ，所
以 ，利用裂项相消求和即可.
【详解】由对于任意的 ，总有 ， ， 成等差数列可得：
，
当 时可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，由数列 的各项均为正数，
所以 ，
又 时 ，所以 ，
所以 ，
，
.
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）在数列 中， ，则 的前n项和
．
【答案】
【分析】由已知可得 ，所以 是首项为4，公差为2的等差数列，由此可求出 ，从而可
得 ，进而可得 ，再利用裂项相消求和法求解即可
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 是首项为4，公差为2的等差数列，
所以 ，
则 ，所以 ．
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， 且 ，则 .
【答案】100
【分析】先裂项，然后由累加法可得.
【详解】∵ ，∴
∵ =9，即 =9，解得n=100
故答案为：100
三、解答题
11．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过对 进行变形，结合 ，得出 的通项公式，进而得出 的通项公
式；
（2）根据 的通项公式进行求和，即可证明结论．
【详解】（1）因为 ，则 化为 ，即 ，所以 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，解得 ，
当 时， ，
不满足上式，
所以 .
（2）结合（1）得， ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
12．（2023·河北张家口·统考三模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得 ；当 时，可得 ，两式相减得，得到
，进而求得数列 的通项公式；
（2）令 ，得到 ，结合裂项法求和，求得 ，即可得
证.【详解】（1）解：由题意，数列 满足 ，
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，
两式相减得 ，所以 ，
当 时， ，适合上式，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：令 ，由 ，
可得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 .
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
且 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用 与 的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列 的通项，再利用等差数
列定义推理作答.（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.
【详解】（1）数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，则 ，
于是 ，因此数列 是常数列，则 ，
从而 ，即 ，
所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列.
（2）由（1）知， ，
所以 .
14．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 ，首项 ，其前 项和为 ，点 在斜率为
1的直线上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为数列 的前 项和，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明详见解析.
【分析】（1）求出 ，再根据 与 的关系求出 即可；（2）根据裂项相消法求和再求最值即可.
【详解】（1）设斜率为1的直线为 ，则 ，
当 时， ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，当 时， ，
所以 ，经检验， 也成立.
所以 .
（2）证明：由（1）可得， ，
则
，
因为 ，
所以数列 是一个单调递增数列，
又因为 ，且当 时， .
所以 .
15．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足
.
(1)求证：数列 是等差数列；(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对递推式变形，根据等差数列的定义即可证明；
（2）先由（1）的结论求出数列 的通项公式，再求出 ，最后利用裂项相消法求和即可.
【详解】（1）由 ，可得 ，
又 ，所以 是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知： ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得 的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得 .
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，即
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ；
（2）
.
17．（2023·全国·模拟预测）记 为数列 的前 项和， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用 与 的关系即可求解；
（2）用裂项相消法求解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，，
所以 .
（2）由（1）知 ，
因为 ，
所以
.
18．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知等差数列 ，其前 项和 满足 为常数.
(1)求 及 的通项公式；
(2)记数列 ，求 前 项和的 .
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）计算出 的值，根据等差中项的性质可列方程解出 的值，再利用 与 的关系即
可求解；
（2）运用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）由题意，当 时， ，
当 时， ，
则 ， ，
因为数列 是等差数列，所以 ，即 ，解得 ，
则 ，满足 ，
所以 的通项公式为 ．
（2）由（1）可得， ，
则 ，
所以
．
19．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值
范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 的关系求解；
（2）利用裂项相消法求和，再结合不等式的性质求出 的取值范围.
【详解】（1） ，
∴ ， ，∴ ,
∴当 时， ；
当 时，也符合上式，
∴ ．
（2） ，
∵
，
∴ ，
当 时，满足 ，
当 时，存在 ，（其中， 表示不超过 的最大整数），
使得 ，则 ，
∴ ，不满足条件，
∴ ．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．
(1)证明： ．(2)设 为数列 的前n项和，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先判定数列为正项数列，再由已知变形得 ，从而得数列是递减数列，则
，讨论 时，有 ，累加得 ，即证；
（2）结合（1）变形得 ，裂项放缩得
，累加求和再证 即可.
【详解】（1）由已知条件易知 ，且 （*），
∴ ，因此 ．
数列 是递减数列，故 ，
当 ， 时， ，
由（*）式知 ，
累加可得 ，即 ．
经验证：当 时， 也成立．
因此，当 时， ．
（2）将（1）中（*）式平方可得 ．累加可得 ，
∴ ．
因此，当 ， 时，
．
只需证 ，即证 ．
平方并整理得 ，
即 ．再次平方，即证 ，显然成立．
经验证：当 时， 也成立．∴ ．
21．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为 ，从
① ；② ， ；③ 中任选一个条件作为已
知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，求证： .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合 求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为 ，则 ，两式相减得 ，即 ，
而 ， ，则 ，因此数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择②：因为 ，则 ，
于是当 时， ，即 ，由 ，得 ，
即有 ，因此 ， ，即数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择③：因为 ，又 ，
则 ，即 ，
显然 ，于是 ，即 是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而 ，即 ，因此 ，而 满足上式，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
因此 ，
则 ，
显然数列 单调递减，于是 ，则 ，
所以 .
22．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知 是数列 的前 项和，且 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系求解即可；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1） 时， ，
时 ，
经验证 时满足 ，
；
（2） ，
.
23．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）由 与 的关系求通项；
（2）先求出 ，再用裂项相消法求 .
【详解】（1）由已知 ①，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ②，
① ②得 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
（2）因为 ，
所以
.
24．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .（注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ .
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差得到 ，
当 时两边同除 ，即可得到 为常数数列，从而求出 ，即可证明；
（2）设 的公差为 ，根据等比中项的性质得到方程，求出 ，即可求出 的通项，再根据所选条件，
利用裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为 ，即 ，当 时 ，解得 ，
当 时 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
当 时上述式子恒成立，
当 时两边同除 可得 ，
即 ，所以 为常数数列，即 ，
所以 ，即 ，
当 时上述 也成立，
所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（2）设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ；若选① ，则 ，
所以 .
若选② ，则
，
所以 .
若选③ ，则 ，
所以
.
题型二 错位相减法
策略方法 错位相减法求数列 的前n项和
（1）适用条件
若 是公差为 的等差数列， 是公比为 的等比数列，求数列{an·bn}的前n
项和 ．
（2）基本步骤（3）注意事项
①在写出 与 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．
等差乘等比数列求和，令
c =(An+B)⋅qn
，可以用错位相减法．
n
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
①
n
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
②
n
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得： n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2 ．
【典例1】在数列 中， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 ，然后当 时，由已知式子可得 ，和已知
式子相减化简可求得 ，再验证 ，即可求得通项公式，（2）由（1）得 ，然后利用错位相减法可求得
【详解】（1）当 时， ，
当 时，则 ，得 ，
两式相减得， ，所以 ，
因为 满足上式，
所以
（2）由（1）得 ，
所以
所以 ，
所以
，
所以
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察数列属于等差乘等比模型，按照错位相减法求和即可.
【详解】由 ，得 ，
两式相减得
.
所以 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，数列 满足
，则数列 的前 项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出数列 、数列 的通项公式代入 ，利用错位相减法求得其前 项和 ．
【详解】解： 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
，
，
．①
．②① ②得
，
故选：A．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为： ， ，则数列 的前100
项之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用错位相减法求和作答.
【详解】令数列 的前n项和为 ，因为 ，
则 ，
则有
两式相减得： ，
因此 ，有 ，
所以数列 的前100项之和为 .
故选：B
二、填空题
4．（2023·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知等比数列{a}的前n项和S 满足S﹣2S ﹣2＝0
n n n n﹣1
（n≥2），则数列{na}的前n项和T＝ ．
n n
【答案】（n﹣1）2n+1+2
【分析】利用数列的递推关系式求出数列的首项与公比，然后求解通项公式，利用错位相减法求解{na }的
n前n项和T ．
n
【详解】解：等比数列{a }的前n项和S 满足S ﹣2S ﹣2＝0（n≥2），设公比为 ，
n n n n﹣1
n＝2时，S﹣2S﹣2＝0，即aq﹣a﹣2＝0
2 1 1 1
n＝3时，S﹣2S﹣2＝0，可得aq2﹣a﹣aq﹣2＝0，
3 2 1 1 1
解得a＝2，q＝2，
1
所以a ＝2n，
n
na ＝n2n，
n
T ＝1×2+2×22+3×23+ +n 2n， ①，
n
2T ＝1×22+2×23+3×24+ +n 2n+1， ②
n
①﹣②可得：﹣Tn＝2+22+23+••••+2n﹣n 2n+1 n 2n+1＝（1﹣n）2n+1﹣2，
所以Tn＝（n﹣1）2n+1+2．
故答案为：（n﹣1）2n+1+2．
5．（2023·全国·高三专题练习）数列 满足 ， ， ， ，则数列 的前
n项和为 .
【答案】
【分析】数列 满足 ，即数列 满足 ，可得数列 是等差数列，利
用等差数列的通项公式即可得出 .再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出数列 的前n项和
为 .
【详解】解：数列 满足 ，即数列 满足 ，
∴数列 是等差数列，设公差为d.则 ，解得 .
∴ ，
∴ ，
则数列 的前n项和为 ，
，
相减可得： ，
化为： .
故答案为：
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
6．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知数列 和数列 ， ， .设 ，则数
列 的前 项和 .
【答案】
【分析】首先根据所给的 以及 求出 ,再结合错位相减法即可求得 .
【详解】 , ,则 ，
①，②，
两式相减得 ，即
，变形化简可得
.故答案为：
三、解答题
7．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ； ；
(2)
【分析】（1）将 、 代入求 ，根据 关系及递推式可得 ，再次由
关系及等比数列定义写出通项公式；
（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求结果.
【详解】（1）由题意 ①，
当 时 ；当 时 ；
当 时， ②，
①－②得 ，
当 时， 也适合上式，所以 ，所以 时 ，
两式相减得 ，故数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 .
（2）由（1）得 ，
③，
④，
③－④得： ，
所以 .
8．（2023春·河南·高三阶段练习）在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，由等差中项的性质列出方程，即可求得公比 ，再由等比数列的通项公式即可得
到结果；
（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.
【详解】（1）设 的公比为 ，因为 是 和 的等差中项，所以 ，
则 ，解得 或 .
当 时， .
当 时， .
（2）因为 ，所以 .，
则 ，
则
.
故 .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ,且满足 ,数列 的前
项积 .
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1) ,
(2)
【分析】（1）对于数列 ,根据 ,利用 和 的关系求解;对于数列 ,因为其前
项积 ,根据 即可求解;
（2）由（1）知 ,利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）当 时, ,
∴ ,
当 时, ,化简得 ,
∵ ,∴ ,
∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列,
∴ .
当 时, ,
当 时, ，当 时也满足，
所以 .
（2） ,
设 ①,
则 ②,
①-②得 ,
∴ .
10．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求出数列 的前 项和 ．【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）当 时，根据 ，利用两式相减得 ，由等比数列的通项公式可求出
；根据等差数列的通项公式可求出 ；
（2）根据错位相减法可求出结果.
【详解】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
因为数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，则 ，
（2）由（1）知， ， ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，化简得 .
11．（2023·江西赣州·统考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，
.
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，进而可得 ，
又 ，从而可证明；
（2）由（1）可求 ，从而 ，再利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
，
故 ，即 ，又 ，
所以数列 为等比数列.
（2）由（1）可知，数列 为首项 ，公比 的等比数列，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ①，
②，
得，
，
所以 .
12．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）数列 满足 ， ，
(1)若数列 是等比数列，求 及 的通项公式；
(2)若数列 满足： ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）先通过递推关系配凑出等比数列的结构，从而得到 ，进而得出 的通项公式；
（2）利用错位相减法求和并证明.
【详解】（1）由 可得， ，
又 ，故 是首项为 ，公比为 的等比数列，即 ， ，于是
（2）由（1）知，
于是 ，
则 ，两式相减： ，
即 ，于是 ，故 .
13．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江一中校考三模） 已知数列 是正项等比数列，且 .
(1)求 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件可得 ，从而可求出公比，进而可求出 的通项公
式，
（2）由（1）得 ，然后利用错位相减法可求得
【详解】（1）由等比数列的性质可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以等比数列 的公比为 ，
所以 .
（2）由（1）得 .
所以 ，①则 ，②
① ②得
，
因此 ；
14．（2023秋·广东河源·高三校联考开学考试）正项等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ，
成等差数列， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，然后根据已知条件列方程组可求出 ，从而可求出数列的通
项公式，
（2）由（1）得 ，再利用错位相减法可求得结果.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
因为 ，所以 ，
相减得 ，所以 ，代入 ，得 ，
解得 或 ，
因为 ，所以
所以 .
（2）由已知得， ，
，
所以 ，
两个等式相减得 ，
所以 .
15．（2023春·山东临沂·高三校考阶段练习）已知数列 的首项为1，前 项和为 ，且满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 得 ，再根据累乘法可求出 ；
（2）根据错位相减法可求出结果.【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以当 时， ，
又 时， 也符合，
所以 .
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 .
16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，
.
(1)求数列 的通项公式；(2)已知 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）结合（1）的结论，利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ 是以 、公比为2的等比数列，
∴ .
（2）由（1）知， ，
当 时， .
当 时， ，①
∴ ，②
①-②得， ，∴ ，当 时，也适合，
∴ .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ， 的前 项和为 ，若对任意的正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取
值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义以及 的关系求解；
（2）利用错位相减法可求得 ，在根据题意得 即可求解.
【详解】（1）由 ，得 ，又 ，
所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列，
∴ ，即 ，
∴当 时，
，
又 不满足上式，所以 .
（2）由（1）知 ，∴ ，∴ ，①
，②
①−②得： ，
整理得 ，
又因为对任意的正整数 ， 恒成立，所以 ，
∵ ，
∴ 在 上单调递增， ，
由 ，可得 ，
所以实数 的取值范围是 .
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得到 是首项为 ，公比为 的等比数列，从而求出通项公式；（2）由错位相减法得到 ，进而得到不等式，即 恒成立，分
三种情况，得到实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，∴ ，
当 时，由 ①，
得 ②，
①－②得 ，
，∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ．
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得，
所以 ，
由 是 恒成立，
即 恒成立，
不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 ．
19．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设数列 满足条件① ；② ，请从条件①②中选一个，求出数列 的前
项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析【分析】（1）先求出 的值，将 换成 ，结合条件可得出 ，从而得出答案；
（2）若选①，可得 ，利用裂项相消法可求解；若选②，利用错位相减法可求解.
【详解】（1）∵ ，
所以 或 ，∵ ，∴ ，
……①． ……②．
① - ②得 是首项为3，公差为2得等差数列， ；
（2）若选①， ，
；
若选②，
，
，
，
.
题型三 分组（并项）求和法
策略方法 分组转化法求和的常见类型【典例1】已知数列 的前 项和 ，且 ；
(1)求它的通项
(2)若 ，求数 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用 求出 ；
（2）运用分组求和分别求出 和 的前n项和即可.
【详解】（1） ， 当 时， ，
当 时， ，经验证， 满足 ，
；
（2） ， ，
数列 是以首项为1，2为公比的等比数列，
；综上， ， .
【典例2】在等差数列 中， ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用已知条件，求解等差数列的首项与公差，即可得到数列的通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用分组求和方法求解即可．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，
则
解得 ， ，
故 ．
（2）由（1）可知 ，
则
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用数列前 项和 与通项 的关系及等比数列通项公式求解；
（2）求出数列 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用分组求和法求解.
【详解】（1） ①
当 时， ②
①－②得： 即
， 数列 是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2） .
所以 的前 项和 .
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）若数列 的首项为1，且 ．
(1)求证： 是等比数列；
(2)求 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）将已知条件转化为 ，由此证得数列 是等比数列.
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得 .
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 ，
即 ，
，所以 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
.
3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）设数列 的前 项和 满足 ，且 ， ，
成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列 的通项公式与前 项和 .
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）先根据 得到 ，利用 ， ， 成等比数列，可得 ，可判断数列 是首项为1，公比为2的等比数列，即可得 .
（2）由 得 ，利用分组求和法可得.
【详解】（1）由已知 ，有 ，
即 ，从而 ， ，
又因为 ， ， 成等比数列，即 ，
所以 ，解得 ，
所以，数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
故 .
（2）因为 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 ，
所以数列 的通项公式为 ，
.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)令 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）计算 ，确定 ，得到证明.
（2）计算 ，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.
【详解】（1） ，则 ，
，
故 是以首项为3，公比为3的等比数列．
（2） ，故 ，
.
5．（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列 满足 ，
(1)记 ，求证： 为等比数列；
(2)若 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由 可知 结合 可得
进而可证 为等比数列；（2）由（1）结论可先求出 的通项公式，进而求出 的通项公式，再根据 求
出 的通项公式，则 可求.
【详解】（1）证明： 且
，
又
，
为以4为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知： ，
，
又 ，
，
所以
.
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知正项数列 的前n项和 其中A，B，q为
常数．
(1)若 ，求证：数列 是等比数列；
(2)在（1）的条件下，若 ，求数列 的前10项和 ．【答案】(1)证明见解析
(2)1078
【分析】（1）由 的关系及等比数列的定义进行证明即可；
（2）先由 求得 ，又 ，即得 ，再由分组求和法求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，也符合上式，
所以 ，
由正项数列 ，可得 且 ， ,
又 ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（2）因为数列 为等比数列，由 可得 ，
又正项数列 可得 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 .
7．（2023·全国·高三专题练习）已知首项为3的数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 ，得出 与 的关系，进一步变形得出等比数列；
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果.
【详解】（1）由题意得， ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知， ，即 ．
数列 的前n项和为 ，
数列 的前n项和为 ，
故 ．
8．（2023·广东东莞·校考三模）已知数列 和 ， ， ， .
(1)求证数列 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）通过题中关系，可得 ，进而可得数列 是以 为首项，公比为
的等比数列.
（2）由（1）可得 ， ，则 ，可利用分组求和与错位相减求和解题.
【详解】（1）由 ， ， 得 ，
整理得 ，而 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列
（2）由（1）知 ，∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
从而
∴ .
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ．
(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等差差数列的定义证明即可，从而可得 的通项公式；
（2）利用分式分离变形，结合分组求和与裂项求和即可得 .
【详解】（1）证明：因为 ，所以 ，即
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ；
（2）
.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， 是公差为2的等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)【分析】（1）推导出 ，则 ，两式相减得 ，再由累乘法能求
出 的通项公式；
（2）分奇数偶数两种情况讨论，利用并项求和能求出 .
【详解】（1）由题意可知 ，整理可得 ，①
则 ②
由② ①可得 ，
整理可得 ，
因为 ，所以由累乘法可得 ，
因为 ，所以 ，
（2）当 为偶数时，
当 为奇数时，
所以， .11．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和 ，其中 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 的关系分析可得：数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，进而可得结
果；
（2）由（1）可得： ，利用并项求和运算求解.
【详解】（1）因为 ，则 ，由 ，可得 ，
当 时，则 ，整理得 ，即 ；
当 时，则 ，可得 ，
整理得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
故数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得： ，当 为偶数时，则 ，
所以
，
即 .
12．（2023·云南曲靖·校考三模）已知数列 满足 .记 .
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，求数列 的前20项的和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明；
（2）由（1）的结果可知 ，再利用并项求和，即可求解.
【详解】（1） ，且 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）可知，
则数列 的前 项和
所以 ，数列 的前20项的和为.
13．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n
项和，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ， 时得 ； 时求得
，可知 是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列的通项公式可求得 ，进
而求得 ；
（2）由（1）知 ，分 是奇数、偶数可得 .
【详解】（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，①
当 时， ，
∴ ，得 （ 舍去），
当 时， ，②①－②得， ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ 是首项为2，公差为1的等差数列，
∴ ，
故 ；
（2）由（1）知 ，
当 是奇数时，
，
当 是偶数时，
，
综上 .
14．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 作差得到 ，即可得到 ，从而得到 是
常数数列，即可得解；
（2）由（1）可得 ，对 分奇、偶两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ，当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 是常数数列，又 ，所以 ，则 .
（2）因为 ，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，；
综上可得 .
15．（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
【答案】(1) ；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出 ，再分奇偶求和作答.
【详解】（1）设 的公比为q，由 ，得 ，解得 ，
由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ， ，
当k为偶数时， ，令 ，得 ；
当k为奇数时， ，令 ，得 ，
所以 或37.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，记 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出 ，即可求出通项；
（2）由（1）可得 ，在分 为偶数、奇数两种情况讨论，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）因为 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
（2）由题意 知， ，
所以
．
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
．综上 ．
17．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ， ，点
在直线 上．
(1)求 及 ；
(2)记 ，求数列 的前20项和 ．
【答案】(1) ，
(2)1123
【分析】（1）由点 在直线上，得出 与 的关系，进而得出数列 为等比数列，即可得到答
案；
（2）由分组求和，结合等差数列、等比数列的求和公式即可得出答案．
【详解】（1）由点 在直线 上，得 .
当 时， ，即 ，
当 时，由 得 ，
两式相减得 ，即 ,而 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ．（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以
．
18．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知数列 为正项等差数列，数列 为递增的正项等
比数列， ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前2n项的和.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，然后根据已知条件列方程组可求出
，从而可求出数列 ， 的通项公式；
（2）由（1）得 ，然后利用分组求和法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，因为 ， ，
所以得 ，解得 或 ，
因为数列 为正项数列， 为正项递增数列，
所以解得 ， ，
所以 ，
（2）由（1）得 ，
所以数列 的前2项和为
.
题型四 倒序相加法
策略方法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数
列求和时可用倒序相加法（等差数列前 项和公式的推导即用此方法）．
【典例1】设 是函数 的图象上任意两点，且 ，已
知点 的横坐标为 ．
(1)求证： 点的纵坐标为定值；
(2)若 且 求 ；
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【分析】（1）利用中点坐标公式的表示，得到 ，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运
算法则，可以得到常数；
（2）利用（1）中所求，当 时， ，可以采用倒序相加法，求和即可.
【详解】（1）证明：设 ，因为 ，故可得 ，
由 知 ，故 ，
故 .
故 点的纵坐标为定值 .
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故 .
【题型训练】
一、解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，函数 对一切实数 总
有 ，数列 满足 分别求数列 、 的通
项公式.【答案】 ；
【分析】利用 的关系即可容易得到 ；根据函数性质，利用倒序相加法即可求得 .
【详解】当
当
时满足上式，故 ；
∵ =1∴
∵ ①
∴ ②
∴① ②，得
【点睛】本题考查利用 的关系求数列的通项公式，涉及倒序相加法求数列的前 项和，属综合基础题.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点
均在函数 的图象上．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 ，令 ，求数列 的前2020项和 ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）由题意可得 ，然后利用 可求出数列 的通项公式；
（2）由题意可得 ，然后利用倒序相加法可求得结果【详解】（1）∵点 均在函数 的图象上，
∴ ．
当 时， ；
当 时， ，适合上式，∴ ．
（2）∵ ，∴ ．
又由（1）知 ，∴ ．
∴ ，①
又 ，②
①+②， ，
∴ ．
3．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算 可得答案；（2）由（1）的计算结果，当 时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1） ；
（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 ，
又 不符合 ，
所以 .
4．（2023·河北·模拟预测）已知函数 满足 ，若数列 满足：
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若 对一切 恒
成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由 ，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；（2）由（1）可得 的通项公式，由数列的裂项相消求和可得 ，再由参数分离和配方法求得最值，即
可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为 ,
由 ①,
则 ②,
所以 可得： ，
故 ， .
（2）由（1）知， ，则 时， ，
所以
.
又由 对一切 恒成立,可得 恒成立,
即有 对一切 恒成立.
当 时, 取得最大值 ，所以 ；
故实数 的取值范围是 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知f(x)＝ (x∈R)，P(x，y)，P(x，y)是函数y＝f(x)的图像上的
1 1 1 2 2 2两点，且线段PP 的中点P的横坐标是 .
1 2
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列{an}的通项公式是an＝ ，求数列{an}的前m项和Sm.
【答案】（1）证明见解析；（2）Sm＝
【解析】（1）先根据中点坐标公式得x1＋x2＝1，再代入化简求得y1＋y2＝ ，即证得结果；
（2）先求 ，再利用倒序相加法求 ，两者相加得结果.
【详解】（1）证明：∵P1P2的中点P的横坐标为 ，
∴ ＝ ，∴x1＋x2＝1.
∵P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是函数y＝f(x)的图像上的两点，
∴y1＝ ，y2＝ ，
∴y1＋y2＝ ＋
＝
＝
＝ ＝ ＝ ，
∴点P的纵坐标为 ＝ .
∴点P的纵坐标是定值.
（2）Sm＝a1＋a2＋a3＋…＋am
＝令
由（1）知 ＋ ＝ .(k＝1，2，3，…，m－1)
∴倒序相加得∴2S＝ (m－1)，∴S＝ (m－1).
又f（1）＝ ＝ ，
∴Sm＝S＋f（1）＝ (m－1)＋ ＝ .
【点睛】本题考查利用指数性质运算、利用倒序相加法求和，考查基本求解能力，属基础题.
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）计算 的值．
（2）求数列 的通项公式．
（3）若 ， ，数列 的前 项和为 ，若 对一切
成立，求 的取值范围．
【答案】（1）2；（2） ；（3） ．
【分析】（1）代入函数式直接计算；
（2）用倒序相加法计算 ；
（3）由裂项相消法求得 ，注意分类 ， ， 时可转化为求函数（数列）的最大值．
【详解】（1） .（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 .
又 不符合 ，
所以 .
（3）由（2）知， ，
因为 ，所以 ， ，
由 ，得 ， ，
当 时， ， ，
，
，
由 ，得 ，
因为对勾函数 在 上单调递增，又 ，
所以 ， ，所以综上，由 ，得 .
所以 的取值范围为 .
7．（2023·全国·高三专题练习）设奇函数 对任意 都有
求 和 的值；
数列 满足： ，数列 是等差数列吗？请给予
证明；
【答案】解：（1） ， ；（2）是等差数列.
【分析】（1）根据 ，且f（x）是奇函数，将 代入，可求 的值，再结合奇函数
得到 ．令 ，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得
数列{an}是等差数列．
【详解】解：（1）∵ ，且f（x）是奇函数
∴
∴ ，故
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，即 ．
（2）令又
两式相加 ．
所以 ，
故 ，
又 ．故数列{an}是等差数列．
【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查奇函数性质的应用，考查倒序相加求和，属于中档
题.
8．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是函数 的图像上的任意两点.
（1）当 时，求 的值；
（2）设 ，其中 ，求 ；
（3）对于（2）中的 ，已知 ，其中 ，设 为数列 的前n项的和，求证 .
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析．
【分析】（1）由已知条件和对数的运算性质求解.
（2）借助第（1）问的结论和采用倒序相加法求解.
（3）借助第（2）问先求出数列的通项 ，对 进行先放缩，再裂项求和.
【详解】（1）
（2） ①②
两式子相加得
所以 .
（3）由（2）有： ，
又 ， ， 故 .
另外的放缩方法：
当 时
（从第4项开始放缩）
检验当 、 、 时不等式成立．
【点睛】数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，常用放缩法来解决，这类问题的求解策略是：通过
多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下
几种：⑴添加或舍去一些项，如： ； ；⑵将分子或分母放大（或缩小）；⑶利用基本不等式放缩，如： 等．
9．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，设 ，
．
（1）求数列 的通项公式．
（2）若 ， ，数列 的前 项和为 ，若 对一切
成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）计算 的值，然后用倒序相加法计算 ；
（2）由裂项相消法求得 ，注意分类 ， ， 时可转化为求函数（数列）的最大值．
【详解】（1） ；
时， ，
，
相加得 ，
所以 ，又 ，
所以对一切正整数 ，有 ；
（2） ，
， ， ，即 ， ，时， ，
，
，即 ，
，
， ，所以 即 时， 取得最大值 ， ，
综上， ．
【点睛】本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾
两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方
法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还
可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合．
题型 五 数列求和的其他方法
【典例1】已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 前n项的和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据 求解即可；(2)由于 时， ，当 时， ，所以分 和 两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为数列 的前 项和为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
显然，当 时， 满足 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
因为 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，
当 时， ①， ②，
所以① ②得 ，因为 ，
所以 ，
所以
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， ，则
等于（ ）
A．1008 B．1009 C．1010 D．1011
【答案】D【分析】由 时， 得到 ，两式作差，整理可得： ，结合并项求
和，即可求解.
【详解】解：由题意可得，当 时， ， ，
两式作差可得 ，
即 ，
即当 时，数列任意连续两项之和为1，又因为 ，
所以 ，
故选： ．
2．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知 为数列 的前 项和，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题，当 时， ，当 时 ，进而分奇偶性讨论得 ，
为正偶数， ， 为正奇数，再求和即可.
【详解】解：因为 ，
所以，当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以，当 为偶数时， ，故 ， 为正奇数；
当 为奇数时， ，即 ，故 ， 为正偶数；所以 ，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则满足
的 的最小值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【分析】由条件可得 得出 ，再由 解出 的范围，得出答案.
【详解】由 ，
则
由 ，即 ，即 ，所以
所以满足 的 的最小值为为32
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）对于实数 ， 表示不超过 的最大整数．已知数列 的通项公式
，前 项和为 ，则 （ ）．
A．155 B．167 C．173 D．179
【答案】C
【分析】先对 有理化，而后用裂项求和法求出 ，再对 的取值进行分类，得到 的大致范围，从而确
定 的值，最后再求 .【详解】由题知， ，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
所以 .
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）设 是数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】推导出数列 是以 为周期的周期数列，由 可得出 ，代值计算
即可得解.
【详解】在数列 中， ， ，则 ， ， ，以此类推可知，对任意的 ， ，即数列 是以 为周期的周期数列，
，因此， .
故选：B.
【点睛】思路点睛：根据递推公式证明数列 是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列 的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数 ；
（2）证明 ，则可说明数列 是周期为 的周期数列.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为数列 的前 项和，且满足 ， ，
则 （ ）.
A．0 B．4 C．74 D．80
【答案】C
【解析】根据已知条件求出 ，寻找到规律，然后求得和 ．
【详解】由已知得 ，
∵ ，∴ ， ， 时 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推关系，根据递推关系依次求出数列的前几项，寻找规律得出结论．
二、填空题
7．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ，则满足 的
最小值为___________
【答案】【分析】先求得 ，由 ，可得 ，由此即可求解
【详解】因为 ，
所以
，
由 ，可得 ，解得 ，
所以满足 的 最小值为 ，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， 且 ，则该数列的
前9项之和为 .
【答案】34
【分析】当 为奇数时， ，可得 ，
当 为偶数时， ，利用等差数列的通项公式及前 项和公式即可得出.
【详解】 ，
当 为奇数时， ，
，
当 为偶数时， ，则数列 是以 为首项， 的等差数列，
.
故答案为: 34
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前 项和公式，分类讨论、分组求和的方法，考查了推理
能力和计算能力，属于中档题.三、解答题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列 中，公差 ， 是 和 的等比中项；
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题设条件，结合等差数列的通项公式，得到 ，求得 ，即可求得数
列 的通项公式；
（2）由（1）知 ，求得 ，通过去绝对值符号可知当 时， ，当 时，
，利用等差数列前 项和公式进而计算可得结论.
即可求解.
【详解】（1） 是 和 的等比中项，
所以 ，
即 ，
又由 ，
即 ，
整理得 ，
所以数列 的通项公式为 .（2）由（1）知 ， ，
则 ，
当 时， ，
所以 ，
当 时，记数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 ，
综上得： .
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，等比中项公式的应用，以及含绝对值的数列求和问题，
着重考查推理与运算能力.属于中档题.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2） 求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【分析】（1）利用 求解数列 的通项公式；
（2）由（1）由 得 ，然后分 和 两种情况对 化简求解即可
【详解】解：（1）当 时， ，即 ，当 时， ，
时，满足上式，
所以
（2）由 得 ，而 ，
所以当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
当 时，
，
所以
【点睛】此题考查 的关系，考查数列求和的方法，考查分类思想，属于基础题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，且 ，正项等比数列
满足： ， .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】(1)利用公式 ，求出 ，再结合 即可求出 的值，再利用公式即可求出数列 的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列 的首项 和公比 ，
再根据等比数列的通项公式求解即可；
(2)去掉绝对值可得 ，再对 分 和 讨论求和即可.
【详解】(1)当 时， ，
由 ，得 ，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ；
设正项等比数列 的公比为 ，则 ，
所以 ，解得 或 (舍)，
所以 .
(2) ，
所以当 时, ，
当 时， ，
即
12．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，进而得 ；
（2）由题知 为单调递减数列，再根据 ， ，分 和 两种情况讨论求解即
可；
【详解】（1）解：因为在数列 中， ， ，
所以， ，
所以，等式两边同加上 得 ，
因为，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ．
（2）解：因为 ，即所以， 为单调递减数列，
因为 ， ，
所以， 时， ， 时， ，
记 的前 项和为 ，则 ，
所以，当 时， ， ；
当 时， ， ，①
，②
所以，① ②得： ，即
，
综上，
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项之积为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前50项和 .【答案】(1)
(2)243
【分析】（1） 根据数列的递推公式即可求解；
（2）根据（1）的结论求出 ，进而求和.
【详解】（1）由数列 的前 项之积为：
，
可得 ，
依题意有 ，
又因为 符合上式 ，
所以 .
（2）由题意， ，即 ，
当 时， ，
当 时，
当 时， ，共有 个， ，
则
.
14．（2023·全国·高三专题练习）在① ；② ；③ 是 与 的等比中项，三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知 为公差不为零的等差数列，其前 项和为 为等比数列，其前 项和 为常数， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 其中 表示不超过 的最大整数，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【分析】若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
若选
（1）先求 ，可得 ，进而得 ，由基本量运算可得 ；
（2）由 ， 可得解.
【详解】若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，
故
不妨设 的公差为 .则
解得 所以
由 ，则 ，，
所以 .
若选 ： 由已知 ， ，
通项
故 .
不妨设 的公差为 ，则 ，
解得 所以 .
由 ，则 ，
，
所以 .
若选 ： 由已知 ，所以
通项 ，故
不妨设 的公差为 .则 ，
因为 解得 所以 .
由
则
，所以 .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键一是利用基本量运算求解通项公式，二是根据判断 的值.
