文档内容
机密★启用前
2025 年陕西省初中学业水平考试
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分，考
试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和
准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算： （ ）
A. 1 B. C. 9 D.
【答案】B
【解析】
本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答．
解： ，
故选：B．
的
2. 上马石是古人上下马 工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体的俯视图为（
）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
本题考查三视图，考生解答本题需要熟悉三视图，会观察几何体的三视图．根据俯视图是从上方看到的解
答即可．
解：该几何体的俯视图为：
，
故选：D．
3. 如图，点 在直线 上， 平分 ．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本 题 考 查 了 角 平 分 线 的 定 义 ， 先 根 据 平 分 ， 得 ， 故
，即可作答．
解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4. 计算 的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答．
解： ，故选：D．
5. 如图，在 中， ， ， 为 边上的中线， ，则图中与
互余的角共有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角
形内角和定理求出 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，根据
等边对等角得出 ，再结合 根据三角形内角和定理求出
，最后根据余角的性质求解即可．
解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴图中与 互余的角是 ，共有4个，
故选：C．6. 在平面直角坐标系中，过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐
标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点 ， ，求出这条直线的解析式
为 ，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为 ，再将每个选项进行验证，即可作
答．
解：设过点 ， 的直线解析式为 ，
把点 ， 分别代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 ， 的直线向上平移3个单位长度，
∴平移后的直线解析式为 ，
当 时，则 ，
即 在直线 上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意；
当 时，则 ，即 在直线 上，故D选项不符合题意；
当 时，则 ，
即 在直线 上，故C选项不符合题意；
故选：B
7. 如图，正方形 的边长为4，点 为 的中点，点 在 上， ，则 的面积
为（ ）
A. 10 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】
该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
根据四边形 为正方形，得出 ， ，勾股定理求出
，证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，即可求出 的面积．
解：∵四边形 为正方形，
∵ 为 的中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴有两个交点，且这两个交点
分别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向下 B. 当 时， 的值随 值的增大而增大
C. 函数的最小值小于 D. 当 时，
【答案】D
【解析】
本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程
的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
解：由题意可得：方程 的两根异号，
∴ ，
解得 ，
∴二次项系数 ，开口向上，故A不符合题意；
∵ 的对称轴为直线 ，
∴当 时，y随x增大而增大，故B不符合题意；∵当 时， ，
∴最小值为 ，故C不符合题意；
当 时， ，
∵ ，
∴此时 ，故D符合题意；
故选：D
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 满足 的整数 可以是______（写出一个符合题意的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
本题考查了无理数的估算，先整理得 ，结合 ，即可作答．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴整数 可以是 ，
故答案为：3（答案不唯一）
10. 生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个
图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形
的个数为______．
【答案】21
【解析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案
中矩形的个数： ；第2个图案中矩形的个数： ；第3个图案中矩形的个数：
；…第n个图案中矩形的个数： ，算出第10个图案中矩形个数即可．
解：∵第1个图案中矩形的个数： ；
第2个图案中矩形的个数： ；
第3个图案中矩形的个数： ；
…
第n个图案中矩形的个数： ，
∴则第10个图案中矩形的个数为： ，
故答案为：21．
11. 草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓．小康和小悦采摘的时长相同，采摘结
束后，小康采摘的草莓比小悦多 ．已知小康平均每小时采摘 ，小悦平均每小时采摘 ，小康
采摘的时长是______小时．
【答案】
【解析】
此题主要考查了一元一次方程的应用，根据采摘的质量得出等式是解题关键．利用小康采摘的草莓比小悦
多 得出等式求出答案．
解：设两小组采摘了 小时，
依题意： ，
解得： ，
因此，两小组采摘了 小时．
故答案为： ．12. 如图， 为 的直径， ， ，则 的度数为______．
【答案】
【解析】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先 根 据 为 的 直 径 ， ， 则 ， 再 根 据 ， 即
，代入 进行计算，即可作答．
解：∵ 为 的直径， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为： ．
13. 如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，则 的
值为______．【答案】9
【解析】
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根
据题意得出 ， ，解得 ， ，即 ，再把 代入 进行计
算，即可作答．
解：∵过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，
∴ ， 两点关于原点 对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为：9．
14. 如图，在 中， ， ， ．动点 ， 分别在边 ， 上，且，以 为边作等边 ，使点 始终在 的内部或边上．当 的面积最
大时， 的长为______．
【答案】5
【解析】
如图，在 中，得出 ，根据 是等边三角形，得出
，连接 ，证明 ，得出 ，
则 ，作 的平分线交 于点 ，证明 是等边三角形，得出 ，
根据 ，得出直线 和直线 重合，确定点 在 上运动，根据 的面积
，得出 最大时， 的面积最大，当点 与点 重合时， 的面积最大，此时，
根据等边三角形的性质得 ，则 ，得出 ．
解：如图，在 中， ， ， ，
则 ，∵ 是等边三角形，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 的平分线交 于点 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴直线 和直线 重合，
即点 在 上运动，
∵ 的面积 ，
则 最大时， 的面积最大，
根据题意可得当点 与点 重合时， 最大，即 的面积最大，
此时，如图，则 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算： ．
【答案】7
【解析】
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算二次根式 的乘法、化简二次根式、化简绝对值、零次幂，再合并即可．
解：
．
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小
大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．解：
由①得， ；
由②得， ，
∴原不等式组的解集为： ．
17. 化简： ．
【答案】
【解析】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算．
解：
．
18. 如图，已知 ，点 在边 上．请用尺规作图法，在 的内部求作一点 ，使得
，且 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【解析】本题考查尺规基本作图—作角的平分线，作一角等于已知角，平行线的性质，熟练掌握尺规基本作图是解
题的关键．先作 的平分线 ，再在 同侧作 ，使 ， 交
于P即可．
解：如图，点 即为所求；
理由如下：
由作图可知： 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 即为所求．
19. 如图，点 是 的边 延长线上一点， ， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行得到 ，再证明 即可．证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
20. 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”
“科技”（分别记作 ， ， ， ， ）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五
张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上
洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从
中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
本题考查了用列表或画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答．
（2）先理解题意，再画树状图，得到一共有 种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能
结果有 种，运用概率公式进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有 种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有 种，
∴这两个小组研究方向不同的概率 ．
21. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量
示意图如图所示，他们在坡面 上的点 处安装测角仪 ，测得信号杆顶端 的仰角 为 ，
与坡面的夹角 为 ，又测得点 与信号杆底端 之间的距离 为 ．已知 ，点 ，
， 在同一条直线上， ， 均与水平线 垂直．求信号杆的高 ．（参考数据：
， ， ）
【答案】信号杆的高 为
【解析】
本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出 ，再在 中，运用
， ，代入数值进行计算，得出 的值，然后证明四边
形 是矩形，故 ，根据 ， ，得 ，
，把数值代入 进行计算，即可作答．
解：过点E作 于点 ，过点D作 于点 ，如图所示：
∵ ， 均与水平线 垂直．
∴
∴ ，
∵
∴
在 中， ，
则 ，
在 中， ，
则 ，∵过点E作 于点 ，过点D作 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
信号杆的高 为 ．
22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 与气体温度 成一次函数关系．
某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度 … 25 30 35 …
59
气体体积 … 606 616 …
6
（1）求 与 的函数关系式；
（2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 时停止加热．求停止加热时的气体温度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）令 ，求解即可．
【小问1详解】解：设 与 的函数关系式为 ，
则 ，解得 ，
故 与 的函数关系式为 ．
【小问2详解】
解：令 ，
则 ，解得： ，
答：停止加热时的气体温度为 ．
23. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学
活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100
分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，
80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为______分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次
竞赛的获奖人数．
【答案】（1）
（2） ，
（3） 人【解析】
本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数 的含义．
（1）直接利用平均数公式计算即可；
（2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可；
（3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案.
【小问1详解】
解：B组15个成绩的平均数为：
；
【小问2详解】
解：∵ ，
的
∴本次被抽取 所有成绩的个数为 ，
∵ ，而 ，
所抽取的50个成绩分数排序后排在第 个，第 个分数落在B组，
而B组成绩排序后为：
从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
∴第 个，第 个分数 ，
本次被抽取的所有成绩的中位数为 分；
【小问3详解】
解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的
获奖人数为 （人）.
24. 如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ，
为⊙ 的直径， 与 相交于点 ， ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）如图，连接 ，证明 ， ，即 ，可得 ，进一步
证明 ，可得 ；
（2）求解 ，设 的半径为 ，结合 ，可得 ，可得： ，
，求解 ，证明 ，可得 ，
进一步可得答案.
【小问1详解】
解：如图，连接 ，
∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
设 的半径为 ，
∴ ， ，而 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ， ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ .
25. 某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门洞 ， 均呈抛物线型，水平横梁
， 的最高点 到 的距离 ， ， 关于 所在直线对称． ， ，
为框架，点 ， 在 上，点 ， 分别在 ， 上， ， ， ．以
为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线 的函数表达式；
（2）已知抛物线 的函数表达式为 ， ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）理解题意，先设抛物线 的函数表达式为 ，结合二次函数的对称性得，再代入 进行求解，即可作答．
（2）理解题意，得出 ，再结合抛物线 ， 函数表达式分别为 ，
的
，代入 ，整理得 ，再解方程，可作答．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴抛物线 的顶点 坐标为 ，
设抛物线 的函数表达式为 ，
∵ ，
∴结合二次函数的对称性得 ，
将 代入 ，
得
则 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线 的函数表达式 ，
∵ ， ， ． ，且抛物线 的函数表达式为 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
26. 问题探究
（1）如图①，在 中，请画出一个 ，使得点 ， ， 分别在边 ， ， 上；
（2）如图②，在矩形 中， ， ， 为矩形 内一点，且满足 ，
周长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址
修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示， 区域为草地，线段 为花海边沿，点 为游客
服务中心，线段 为步道，点 和点 为步道口，点 为观景台．按照设计要求，点 ， 分别在边 ，
上，且满足 ， 为 的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使 最大．已
知 ， ，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的
点），并计算此时步道口 与游客服务中心 之间的距离 ．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务
中心的大小均忽略不计）
【答案】（1）见详解（2） （3）【解析】
（1）先作 ， 交 于点 ，得出 ，再以点B为圆心，以 的长为半径画
弧，交线段 于一点 ，连接 ，则 ，故四边形 是平行四边形，即可作答．
（2）过 点作 于点 ，解得 ，故 在线段 上运动的，整理 ，
经过分析当 有最小值时，则 的周长有最小值，即作 点关于 的对称点 ，当
三点共线时， 有最小值，即 的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得
，即可作答．
（3）取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，得 是 的中位线，再过点 作
，证明 ，整理 ，故 ，再证明四边形
是平行四边形，因为 是 的中点，得 ，证明 ， ，理解题意，
得 为定值，则点 在 的中位线 上运动，作 的外接圆 ，当且仅当 与 相
切 时 ， 的 值 最 大 ， 先 得 出 ， ， 运 用 三 角 函 数 得
，代入数值进行计算，即可作答．
解：（1）依题意，
先作 ， 交 于点 ，得出 ，再以点B为圆心，以 的长为半径画弧，
交线段 于一点 ，连接 ，
则 ，∵
∴四边形 是平行四边形，
即 如图所示：
（2）如图2，过 点作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
过点 作 且分别与 ， 交于 ，
即 在线段 上运动的，
则 ，
当 有最小值时，则 的周长有最小值，
作 点关于 的对称点
∴ ， ，∴ ，
当 三点共线时， 有最小值，即 的长，
即 的周长有最小值，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
此时 的周长 ；
（3）如图3，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，
∴ 是 的中位线，
过点 作 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
连接
∵ 是 的中点，且四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 是 的中点
过 点作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，过 点作 于点 ，
∴ 为定值，
∴ 为定值，则点 在 的中位线 上运动，
作 的外接圆 ，当且仅当 与 相切时， 的值最大，
，
故 ，
如图4，连接 ，作 于点 ， 于点 ，连接
∵ 与 相切于点
∴ ，
∵ 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 三点共线，
∴ ，
则 ，∴ ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点 ， 是 的中点
∴ 是三角形 的中位线，
∴
∴ ．
