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第30讲 概率小题
【知识点总结】
一、必然事件、不可能事件、随机事件
在一定条件下：
①必然要发生的事件叫必然事件；
②一定不发生的事件叫不可能事件；
③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率
在相同条件下，做次重复实验，事件A发生次，测得A发生的频率为，当很大时，A发生的频率总是
在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做 A的概率，记作。对于必
然事件A，；对于不可能事件A，=0.
三、基本事件和基本事件空间
在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、古典概型
条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同
五、互斥事件的概率
1、互斥事件
在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A与事件B互斥，则 。
2、对立事件
事件A,B互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B对立，记作 或 . .
3、互斥事件与对立事件的联系
对立事件必是互斥事件，即“事件A，B对立”是”事件A，B互斥“的充分不必要条件。
六、条件概率与独立事件
（1）在事件A发生的条件下，时间B发生的概率叫做A发生时B发生的条件概率，记作 ，条件
概率公式为 。
（2）若 ，即 ,称 与 为相互独立事件。 与 相互独立，即 发生
与否对 的发生与否无影响，反之亦然。即 相互独立，则有公式 。
（3）在 次独立重复实验中，事件 发生 次的概率记作 ，记 在其中一次实验中发生
的概率为 ，则 .【典型例题】
例1．（2022·浙江·高三专题练习）有两个事件，事件 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事
件 人中至少有 人生日相同.下列说法正确的是（ ）
A．事件 、 都是随机事件 B．事件 、 都是必然事件
C．事件 是随机事件，事件 是必然事件 D．事件 是必然事件，事件 是随机事件
例2．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共两场，第一场投篮20次的命中率为80%，
第二场投篮30次的命中率为70%，则该同学这两场投篮的命中率为（ ）
A．72% B．74% C．75% D．76%
例3．（2022·全国·高三专题练习）袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每
个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2021·河北衡水中学模拟预测）陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，
是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著
作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中
任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为
A． B． C． D．
（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列四个命题错误的是（ ）
A．对立事件一定是互斥事件
B．若 ， 为两个事件，则
C．若事件 ， ， 彼此互斥，则D．若事件 ， 满足 ，则A， 是对立事件例6．（2022·全国·高三专题练习）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2
个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝
________.
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收
到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨.
A．1 B．2
C．3 D．4
2．（2022·全国·高三专题练习（理））在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，
每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高三专题练习）在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事
件是（ ）
A．3本都是语文书 B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书 D．至少有一本是语文书
4．（2022·全国·高三专题练习）一个人有 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，他随意的进行试开，若
试开过的钥匙放在一边，试开次数 为随机变量，则
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共 场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录
板所示．
第一场 第二场 第三场投篮次数
投中次数
根据图中的数据信息，该同学 场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，3次中9环，4次
中8环，1次未中靶，则此人中靶的频率是（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.9
7．（2022·全国·高三专题练习（文））从一批产品中取出三件产品，设 “三件产品全不是次品”，
“三件产品全是次品”， “三件产品不全是次品”，则下列结论不正确的是（ ）
A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件
8．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件 “向上的点数为 ”，
“向上的点数为 ”， “向上的点数为 或 ”，则有（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在一个掷骰子的试验中，事件A表示“向上的面小于5的偶数点出现”，
事件B表示“向上的面小于4的点出现”，则在一次试验中，事件 发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B
表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A． B． C． D．1
11．（2022·全国·高三专题练习）随着网络技术的发达，电子支付变得愈发流行，若电子支付只包含微信
支付和支付宝支付两种.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概
率为0.15，则不用现金支付的概率为
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
12．（2022·全国·高三专题练习（文））甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为 ，和棋的概率为 ，则乙获
胜的概率为（ ）
A． B． C． D．13．（2022·全国·高三专题练习）若随机事件 ， 互斥， ， 发生的概率均不等于0，且 ，
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习）一人打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（
）
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
15．（2022·全国·高三专题练习）把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人
一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列
说法正确的是（ ）
A．A与B是不可能事件 B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件 D．B与C既是互斥事件也是对立事件
16．（2022·全国·高三专题练习）在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛取三局二胜制，即先
胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为 ，且各局比赛的胜负互不影响，
在甲已经先胜一局的情况下，甲获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知从甲袋内摸出1个红球的概率是 ，从乙袋内摸出1个红球的概率是
，从两袋内各摸出1个球，则2个球中至少有1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）国庆节放假，甲回老家过节的概率为 ，乙、丙回老家过节的概率分别
为 ， .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（ ）A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（2022·浙江·高三专题练习）对关于 的一元二次方程 ，通过掷骰子确定其中的系数，第
一次出现的数作为 ，第二次出现的数作为 （一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）一个袋子中装有大小形状完全相同的 个白球和 个黑球，从中一次摸出
个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习（理））不透明袋子里有大小完全相同的10只小球，其中4只蓝色6只红
色，小朋友花花想从袋子里取到一只红色小球，第一次从袋子里随机取出一只小球，却是蓝色，不放回，
再取第二次.则小朋友花花第二次取到红色小球的概率是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习（理））中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和
《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该
戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹
亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名
著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买
《牡丹亭》戏曲书籍（ ）
A．25本 B．30本 C．35本 D．40本
24．（2022·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6
个点）一次，观察掷出向上的点数，设事件 为掷出向上为偶数点，事件 为掷出向上为3点，则
（ ）
A． B．
C． D．
25．（2022·全国·高三专题练习）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每
局比赛中获胜的概率均为 ，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了
三局的概率为（ ）A． B．
C． D．26．（2022·全国·高三专题练习）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级
以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四
级以上大风的概率为（ ）
A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1
27．（2022·全国·高三专题练习）现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和
绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习（理））从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件
为“抽到黑色牌”，事件 为“抽到黑桃牌”，事件 为“抽到 ”，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立，事件 与事件 相互独立
B．事件 与事件 相互独立，事件 与事件 不相互独立
C．事件 与事件 不相互独立，事件 与事件 相互独立
D．事件 与事件 不相互独立，事件 与事件 不相互独立
29．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸
到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
30．（2022·全国·高三专题练习（理））某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合
格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是
0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（ ）
A．0.49 B．0.73 C．0.79. D．0.91
31．（2022·全国·高三专题练习）掷一枚硬币两次，记事件 “第一次出现正面”， “第二次出现反
面”，则有
A． 与 相互独立 B．
C． 与 互斥 D．
32．（2022·全国·高三专题练习）一台机床有 的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为 ，加工零件B时，停机的概率是 ，则这台机床停机的概率为（ ）
A． B．
C． D．
33．（2022·全国·高三专题练习）一只不透明的口袋内装有5个小球，其中3个白球､2个黑球.现有放回地
从袋中依次摸出1个球，则前三次摸出的球均为白球的概率是（ ）.
A． B． C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习）某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统
计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立 某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的
“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m， ，n，已知三个社团他都能进入的概率为 ，
至少进入一个社团的概率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
35．（2022·全国·高三专题练习）箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放
回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A． B． C． D．
二、多选题
36．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率
B．某种福利彩票的中奖概率为 ，买1000张这种彩票一定能中奖
C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为
D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，
30%认为明天不会降水
37．（2022·全国·高三专题练习）设A，B是两个事件，且B发生A必定发生， ， ，给出下列各式，其中正确的是（ ）
A． B．C． D．
38．（2022·江苏·高三专题练习）设 ， ， 为三个事件，下列各式意义表述正确的是（ ）
A． 表示事件 不发生且事件 和事件 同时发生
B． 表示事件 ， ， 中至少有一个没发生
C． 表示事件 ， 至少有一个发生
D． 表示事件 ， ， 恰有一个发生
39．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为随机事件A，B的对立事件， ，则
下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
40．（2022·全国·高三专题练习）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全
体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部
在5道党史题中(有3道选择题和 道填空题)，不放回地依次随机抽取 道题作答，设事件A为“第1次抽
到选择题”，事件B为“第 次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、双空题
41．（2022·全国·高三专题练习）在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取
两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为 ，取得两个绿玻璃球的概率为 ，则取得两个同颜
色的玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________．42．（2022·全国·高三专题练习）某射击运动员每次击中目标的概率为 ，现连续射击两次．
（1）已知第一次击中，则第二次击中的概率是_________ ；
（2）在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是_________ ．
四、填空题43．（2022·浙江·高三专题练习）给出下列4个说法：
①现有一批产品，次品率为0.05，则从中选取200件，必有10件是次品；
②做100次抛掷一枚硬币的试验，结果有51次出现正面向上，因此，出现正面向上的概率是 ；
③抛掷一枚骰子100次，有18次出现1点，则出现1点的频率是 ；
④随机事件的概率一定等于这个事件发生的频率．
其中正确的说法是________．(填序号)
44．（2022·全国·高三专题练习）从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量（单位：
g）分别为：492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，
496，500，501，499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为
_______.
45．（2022·全国·高三专题练习）现有 ， 两队参加关于“十九大”的知识问答竞赛，每队3人，每人
回答一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分. 队中每人答对的概率均为 ， 队中每人答对的概率
分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否之间互无影响.若事件 表示“ 队得2分”，事件 表示
“ 队得1分”，则 ___________.
46．（2022·全国·高三专题练习）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产
量的0.20，0.25，0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为 ， ， ， ，现在从出厂产品中
任取一件，则恰好抽到不合格的概率是___________.
47．（2022·浙江·高三专题练习）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科
学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 的精确度上，首次将“ ”
精确到小数点后第七位，即 ＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随
机取两个数字a，b，则事件“ ”的概率为_______．
48．（2022·浙江·高三专题练习）袋子中有3个大小质地完全相同的球，其中1个红球，2个黑球，现随机
从中不放回地依次摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为_________________．
49．（2022·上海·高三专题练习）盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，
再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．50．（2022·全国·模拟预测）2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，
我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知
甲被选出，则乙也被选出的概率为______.
51．（2022·全国·高三专题练习）抛掷骰子2次，每次结果用 表示，其中 ， 分别表示第一次､第
二次骰子朝上的点数.若设 ， ，则 ______.
