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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 43 讲 双曲线及其性质（精讲）
题型目录一览
①双曲线的定义及其应用
②求双曲线的标准方程
③双曲线的几何性质
④双曲线的渐近线
⑤双曲线的离心率
一、知识点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于 ）的点的轨迹叫做双曲线（这
两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为
．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支；（2）当 时，点的轨迹是以
和 为端点的两条射线；当 时，点的轨迹是线段 的垂直平分线；（3） 时，点的轨
迹不存在．注：①条件“ ”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定 ，
的值），注意 的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
标准方程图形
A
2
焦点坐标 ， ，
对称性 关于 ， 轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标 ， ，
范围
实轴、虚轴 实轴长为 ，虚轴长为
离心率
渐近线方程 令 ， 令 ，
焦点到渐近线的距离为 焦点到渐近线的距离为
共焦点的双
曲线方程
共渐近线的
双曲线方程
通径
通径（过焦点且垂直于 的弦）是同支中的最短弦，其长为
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线 离心率 两渐
等轴双曲线
近线互相垂直 渐近线方程为 方程可设为
．
【常用结论】
1.双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为 ．
2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线 ，点 在双曲线内部，等价于 ．
点 在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
3.双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数 ；顶点到两条渐近线的距离为常数 ;
性质2：双曲线上的任意点 到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数 ；
4.焦点三角形
双曲线焦点三角形面积为 （可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5.双曲线的切线
点 在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方程为 ．若点
在双曲线 外，则点 对应切点弦方程为
二、题型分类精讲
题型 一 双曲线的定义及其应用
策略方法 双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是不是双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．
(2)结合||PF |－|PF ||＝2a，建立|PF |与|PF |的关系．
1 2 1 2
【典例1】（单选题）已知双曲线 的左焦点为 ，点 是双曲线 右支上的一点，点 是
圆 上的一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B． C．7 D．8
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ， ，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为
双曲线的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2023秋·江苏·高三江苏省梁丰高级中学校联考阶段练习）设P是双曲线 上一点，F，F 分
1 2
别是双曲线左、右两个焦点，若|PF|=9，则|PF|等于（ ）
1 2
A．1 B．17 C．1或17 D．8
3．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 满足 ，则动点 的轨迹
是（ ）
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点Р满足
，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，若 的内切圆圆心在直线
上，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·河南·校联考模拟预测）已知点 在双曲线 上，双曲线的左、右焦点分别
记为 ， ，已知 ， ， 为坐标原点.则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，设M到直线 的距离为d，则 的最小值为（ ）
A．7 B． C．8 D．
8．（2023·全国·高三专题练习）设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且
，则 的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ，点 为其两个焦点，点 为双曲线上一点，若
，则三角形 的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过原点 的直线与 交于
点 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
11．（2023·青海玉树·统考模拟预测）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点P是C的右支
上的一点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
12．（2023·四川达州·统考二模）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过 的直线与C的右支
交于P，Q两点，则 （ ）A．5 B．6 C．8 D．12
13．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，
过 的直线分别交双曲线 的左右两支于 两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右两个焦点分别是 ，双曲线上一点 满
足 ，则 ．
15．（2023·高三课时练习）已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上，
且 ，则 = .
16．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线交
双曲线C的右支于A，B两点，若 的周长为20，则线段AB的长为 ．
17．（2023·上海·高三专题练习）设 为双曲线 : 左、右焦点，且 的离心率为 ，
若点M在 的左支上，直线 与 的左支相交于另一点N，且 ，则 ．
18．（2023·北京·101中学校考三模）已知 分别是双曲线 的左右焦点， 是 上
的一点，且 ，则 的周长是 ．
19．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知 是双曲线 的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则 的最小值为 .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2 y2 =1，点F，F 为其两个焦点，点P为双曲线上一点，
1 2若P F ⊥PF ，则∣P F ∣+∣P F ∣的值为 .
1 2 1 2
21．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知曲线C： ，点M与曲线C的焦
点不重合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C上，若m＝1时，
的值为a，m＝－1时， 的值为b，则 的值为 ．
题型二 求双曲线的标准方程
策略方法 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求
出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即
“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件
求λ的值．
【典例1】求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．
(1)中心在原点，实轴在 轴上，一个焦点坐标为 的等轴双曲线；
(2)椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，且它的一个顶点坐标为 ．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点P与
F，F 的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
1 2
A． － ＝1 B． － ＝1
C． － ＝1 D． － ＝12．（2023·全国·高三专题练习）以 为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·四川成都·高三校考开学考试）若双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ，且焦点
在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． 或 B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，一条渐近线方程为
，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023春·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）双曲线 过点 ，且离心率为
，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）经过点 和 的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．7．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲
面，可以看成是双曲线C： 的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的
最小直径为8 ，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（ ）
A． B．24 C．32 D．
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知双曲线 ： 的上焦点为F，点M 在 的一条
渐近线上， 是面积为 的等边三角形，其中点О为坐标原点，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 满足 ，且与椭圆 有公
共焦点，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知点 分别是等轴双曲线 的左、右焦点，
为坐标原点，点 在双曲线 上， ， 的面积为8，则双曲线 的方程为（ ）A． B． C． D．
11．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设 分别是双曲线 的左、右焦点，
为坐标原点，过左焦点 作直线 与圆 切于点 ，与双曲线右支交于点 ，且满足
， ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·全国·校联考三模）若双曲线 与双曲线 有相同的焦距，且 过点 ，则双
曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
13．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且垂
直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若 的周长为24， ，则该双曲线的标
准方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023秋·北京·高三东直门中学校考开学考试）双曲线 的左、右焦点分别为
．过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方
程为（ ）A． B．
C． D．
15．（2023·四川凉山·三模）已知以直线 为渐近线的双曲线，经过直线 与直线
的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6 B． C． D．8
16．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的焦点为 ， ，过 的直线 与 的左支相
交于 两点，过 的直线 与 的右支相交于 ， 两点，若四边形 为平行四边形，以 为直
径的圆过 ， ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率 ，实半轴长为4，则双曲线的方程
为 .
18．（2023·全国·高三专题练习）经过点 且焦点为 ， 的双曲线的标准方程是
．
19．（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知双曲线 的焦距为4，焦点到渐近线的距离是
1，则 的标准方程为 .
20．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知双曲线以两坐标轴为对称轴，且它的一个顶点为
，它的一条渐近线方程为 ，则双曲线的标准方程为 ．21．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，存在过点 的直线与双曲
线 的右支交于 两点，且 为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线 的方程： ．
22．（2023·重庆·统考模拟预测）双曲线 ： 的焦距是4，其渐近线与圆 ：
相切，则双曲线 的方程为 ．
23．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的渐近线方程为 ，且点 在 上，
则双曲线 的方程为 ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 过三点 ， ， 中
的两点，则 的方程为 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，则
的最小值为 ．
26．（2023·上海·高三专题练习）过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ，
两点， 为 的右焦点，若 ，且 ，则双曲线 的方程为 .
27．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为 ，点 在双曲线的右支上，
点 到直线 的距离为1．当 时， 的内心恰好是点 ，则双曲线的方程
．
题型三 双曲线的 简单 几何性质
策略方法 处理双曲线的简单几何性质问题思路
处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线
有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．【典例1】（单选题）双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则m的值为（ ）
A．9 B．－9 C． D．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的虚轴长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为
C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为
4．（2023·全国·高三专题练习）已知等轴双曲线C的焦距为12，则C的实轴长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．6
5．（2023·全国·模拟预测）已知直线 经过双曲线 的一个焦点，且平行
于 的一条渐近线，则 的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末）已知椭圆 ： 和双曲线 ：
有公共的焦点 ， ，点P是 与 在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）
①椭圆的短轴长为 ；
②双曲线的虚轴长为 ；
③双曲线 的离心率恰好为椭圆 离心率的两倍；
④ 是一个以 为底的等腰三角形．
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2023秋·北京·高三北京一七一中校考开学考试）“ ”是“双曲线 ： 的虚轴长为
2”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·甘肃陇南·统考一模）已知双曲线 ： 的左顶点为 ，右焦点为 ，焦距
为6，点 在双曲线 上，且 ， ，则双曲线 的实轴长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2023·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
10．（2023·高三课时练习）已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的（
）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
11．（2023·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线 上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别
相交于M、N两点，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题12．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： ，则下列选项中正确的是（ ）
A． 的焦点坐标为 B． 的顶点坐标为
C． 的离心率为 D． 的焦点到渐近线的距离为3
13．（2023秋·河北·高三校联考开学考试）已知双曲线 ，且p，q，r依次成公比为2的等比
数列，则（ ）
A．C的实轴长为4
B．C的离心率为
C．C的焦点到渐近线的距离为
D．过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条
14．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知双曲线 ，左、右焦点为 ， 为双
曲线上一点，则下列正确的是（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．虚轴长为4 D．若 ，则
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为
为 上一点，则（ ）
A．双曲线 的实轴长为2
B．双曲线 的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线 的焦距为4
16．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知双曲线E ，则（ ）A． ，E的渐近线方程为 B． ，E的离心率为
C． ，E的离心率为 D． ，E的虚轴长为2
17．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）设 、 分别是双曲线 ： 的左、右焦
点，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．当 时， 的离心率是
C．当 时， 到渐近线的距离随着 的增大而减小
D．当 时， 的实轴长是虚轴长的两倍
18．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，点 是双曲线 左支上的动点， 是圆
上的动点，则（ ）
A． 的实轴长为6
B． 的渐近线为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
三、填空题
19．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）若双曲线的焦距为6，实轴长为2，则该双曲线的虚轴长为
．
20．（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知双曲线 的离心率为3，
则双曲线 的虚轴长为 .
21．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）双曲线 的顶点坐标为 .22．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线恰好平分
第一、三象限，若 的虚轴长为4，则 的实轴长为 .
23．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古
代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆
(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑
白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 .
24．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心在原点，右顶点为 ，点 在双曲线的右支上，
点 到直线 的距离为1．当 时， 的内心恰好是点 ，则双曲线的方程
．
25．（2023秋·上海青浦·高三上海市青浦高级中学校考阶段练习）已知P（x，y），P（x，y）两点均
1 1 1 2 2 2
在双曲线Γ： （a＞0）的右支上，若 恒成立，则实数a的取值范围为 ．
题型四 双曲线的渐近线
策略方法 求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即
令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x．
【典例1】（单选题）已知双曲线 的离心率为 ，则其两条渐近线所成的锐角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）下列双曲线中，渐近线方程为 的是
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三对口高考）设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线
方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·云南·校联考模拟预测）双曲线 的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知点F是双曲线 的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的
一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）点F是抛物线 的焦点，A为双曲线C： 的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
8．（2023·河南开封·统考三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
则双曲线的渐近线方程式为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，点 ，若直
线 与 只有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·河南·统考二模）已知圆 与双曲线 的渐近线相切，则双曲线
C的焦距为（ ）
A．2 B． C． D．4
11．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ， ，点M，N在双曲线C上， .若 为等边三角形，且 ，
则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知双曲线 以正方形 的两个顶点
为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，设双曲线 的一条渐近线斜率为 ，则 为（ ）A． B．
C． D．
13．（2023·贵州遵义·统考三模）过双曲线 的左焦点F作C的其中一条渐近线的
垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且 ，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 ： 的一条渐近线与圆： 交于第一象限的一
点 ，记双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，则 的值为（ ）
A．0 B．4 C．7 D．12
15．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线 上一点
到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM
平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知双曲线 的左、右焦
点分别为 , ,点 在 上,且 , ,则 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·四川·校联考一模）双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． B．－1 C．1 D．3
18．（2023·四川·校联考一模）双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C
的两条渐近线分别交于点A，B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
19．（2023·四川·校联考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过
的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上， ， 平分 ，则双曲线
的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023秋·河北邯郸·高三统考阶段练习）设 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直
线 交双曲线的左支于 ， 两点，若直线 为双曲线的一条渐近线， ，则 的
值为（ ）
A．11 B．12 C．14 D．16
21．（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知双曲线 ， 为双曲线 上任意一点，过点 分
别作双曲线 的两条浙近线的垂线，垂足分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）如图所示，点 是双曲线的左、右焦点，双曲线 的右支上存在一点 满足 与双曲线 的左支
的交点 平分线段 ，则双曲线 的渐近线斜率为（ ）
A． 3 B． C． D．
23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）过原点的直线与双曲线 交于A，B两
点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF的面积为 ，则双曲线的渐近线方程为
△
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
24．（2023·全国·高三专题练习）双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）过点 且与双曲线 的一条渐
近线平行的直线方程为 .
26．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考二模）若双曲线 的渐近线与圆 相
切，则 ．
27．（2023·河北唐山·统考二模）已知直线 ： 过双曲线 ： 的一
个焦点，且与 的一条渐近线平行，则 的实轴长为 ．28．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线 ，离心率为 ，焦点 到渐近
线距离为1，则双曲线方程为 ．
29．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）设双曲线 的左，右焦点分别为 ，左，
右顶点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限的交点为 ，若 为等腰三角形，
则直线 的斜率的大小为 .
30．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）双曲线
的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为 ．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知 为双曲线 的两个焦点，过点 且垂直于x
轴的直线交双曲线于点P，且 ，则此双曲线的渐近线方程为 .
32．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，直线
与双曲线 的一条渐近线平行，过 作 ，垂足为 ，则 的面积为
.
33．（2023·安徽安庆·统考二模）已知双曲线 ， 的两个焦点分别为 ， ，过 轴
上方的焦点 的直线与双曲线上支交于 ， 两点，以 为直径的圆经过点 ，若 ， ，
成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为 .
34．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知双曲线 的一
条渐近线方程为 ，若直线 与 只有一个公共点，则实数 的值为
35．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 ，已知 ，则双曲线的渐近线方程为 ．
36．（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知双曲线 的上、下焦点
分别为 ， ， 的一条渐近线过点 ，点 在 上，且 ，则 .
37．（2023·江苏·统考模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，过
点 作斜率为 的直线交C右支于M，N两点，且 .写出C的一条渐近线方程 .
38．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点 是双曲线C： 右支上的一点，过点Р作双曲
线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若 的最小值是 ，则 ．
题型 五 双曲线的离心率
策略方法 求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的
方程(或不等式)求解．
【典例1】（单选题）已知双曲线 （ ）的左右焦点分别是 ， ，点 在第一象限
且在 的渐近线上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·北京大兴·校考三模）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为
（ ）A． B．2 C． D．3
2．（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线 的离心率是2，则 （ ）
A．12 B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且
；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点 在双曲线 的渐近线上，则双曲线的离
心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知双曲线C的顶点为 ， ，虚轴的一个端点为B，且 是一
个等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则此双
曲线的离心率 为（ ）
A．2或 B． C． D． 或2
7．（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线 的右焦点为 为虚轴上端点， 是
中点， 为坐标原点， 交双曲线右支于 ，若 垂直于 轴，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．8．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，点 在 的右支上，点 在直线 上，若 ，则双曲线 的离心率的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023秋·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）已知双曲线 ： （ ， ），
、 分别为左、右焦点，点 在双曲线上， ， 到左焦点 的距离是 到右焦点 的距离的3
倍，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知圆 与双曲线 的一条
渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）若过双曲线 的一个焦点作双
曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 轴于点 （ 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是
（ ）
A． B． C． D．12．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的左支交于 两点，若 的周长为 ，则当 取
得最大值时，该双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线 ， 为原点， 分别为该双曲
线的左，右顶点 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 在双曲线的渐近线上， 为
的平分线，且线段 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
14．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知过双曲线 ： 的右焦点 作
轴的垂线与两条渐近线交于 ， ， 的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
15．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，直线
分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点， ， 到直线 的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．16．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线C的焦点分别为 ，虚轴为 ．若四边形
的一个内角为120°，则C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
17．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，双曲线
上的两点 关于原点 对称(其中点 在双曲线 的右支上)，且 ，双曲线 上的点 满足
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 与
双曲线 的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对称点为点 ，若 ，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，右顶点
为 ，一条渐近线与圆 在第一象限交于点 ， 交 轴于点 ，且 ，则
的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： 的右焦点F的坐标为 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若 ， ，则双曲线C的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．3
21．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆 （ 为原点）是半径为 的圆分别与 轴负半
轴､双曲线 的一条渐近线交于 两点（ 在第一象限），若 的另一条渐近线与直
线 垂直，则 的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
22．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知双曲线 的右顶点为A，左､右
焦点分别为 ， ，以 为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为M，且 ，则
该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·四川成都·校考模拟预测）以双曲线 的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近
线分别交于A，B，C，D四点，若四边形 的面积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 或2 B．2或 C． D．
二、填空题
24．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的离心率为2，则实数
.
25．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线 （ ， ）的
离心率为 ，若直线 与 无公共点，则e的取值范围是 .26．（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）双曲线 ，离心率为 ，焦点 到渐近
线距离为1，则双曲线方程为 ．
27．（2023秋·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的右顶点为A，左、
右焦点分别为 ， ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P，且 ，直线 的斜率为 ，则
该双曲线的离心率为 ．
28．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线 ： （ ， ）和
圆 ： 的一个交点，且 ，其中 ， 是双曲线 的两个焦点，则双曲线
的离心率为 ．
29．（2023秋·江苏南京·高三南京外国语学校校考阶段练习）已知双曲线方程为 ，
左焦点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为 .
30．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知 分别是双曲线 的
左､右焦点，点 是双曲线 的右顶点，点 在过点 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形，
，则双曲线的离心率为 .
31．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）点 是双曲线 的右焦点，圆
与双曲线C的一条渐近线交于A、B，若 为直角三角形，则双曲线的离心率为
．
32．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ，A为双曲线 的右支上一点，点A关于原点 的对称点为 ，满足 ，且 ，则双曲
线 的离心率为 .
33．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线与双
曲线的左右两支分别交于 ， 两点.若 ，且 ，则该双曲线的离心率为 .
34．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，
点 坐标为 ，点 为双曲线左支上的动点，且 的周长不小于18，则双曲线 的离心率的取值范
围为 .
35．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）经过原点且斜率为 的直线l与双曲线C：
恒有两个公共点，则C的离心率e的取值范围是 .
36．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线C： （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，
若过点 且斜率为 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为
.
37．（2023·四川广安·统考模拟预测）过双曲线 （ ）的右焦点 且与x轴垂直的直线与
渐近线交于第一象限的一点P， 为左焦点，直线 的倾斜角为 ，则双曲线的离心率e为 .
38．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线 的
左、右焦点分别为 ，P是C右支上一点，线段 与C的左支交于点M．若 ，且
，则 的离心率为 ．39．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E： 的左、右焦点分别
为 ， ，点M在双曲线E上， 为直角三角形，O为坐标原点，作 ，垂足为N，若
，则双曲线E的离心率为 .
40．（2023秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知双曲线 的右焦点
为 ，过点 作一条渐近线的垂线，垂足为 ，点 在双曲线右支上且 轴，若 （ 为
坐标原点），则双曲线 的离心率为 ．
41．（2023秋·四川内江·高三期末）已知双曲线 的左右焦点分别为 、
，过点 的直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，点 在第一象限， 两点到 轴的距离
之和为 ，若以 为直径的圆过线段 的中点，则双曲线 的离心率的平方为 ．
42．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，圆
，过点 作圆 的切线交双曲线的右支于点 ，点 为 的中点，且 ，则双曲
线 的离心率是 .
